实际工业控制系统总会受到模型非线性、不确定性及未知复杂干扰的影响，使其具有良好的控制性能是具有很大挑战性的问题。研究人员提出许多控制方案来提高非线性控制系统的抗干扰能力，如H_∞控制^[1]、自适应控制方法^[2]、模型预测控制^[3]、随机非线性控制^[4]、滑模控制^[5]、反步控制^[6]、高增益控制方法^[7]，自抗扰控制(ADRC)方法^[8-10]，以及基于扰动观测器(DOBC)的控制方法^[11-14]等。DOBC方法的主要思想是设计干扰观测器来估计扰动，通过前馈补偿干扰，以提高抗干扰性能。目前有多种干扰观测器(DO)的设计方案，如未知输入观测器(UIO)^[15]、不确定性和扰动估计器(UDE)^[16]、高阶扰动观测器^[17]等。

需要指出的是，对具有外部可建模扰动的非线性系统的控制一直是研究人员关注的重点，在现有的控制方法中，大部分所考虑的外生系统都是利用线性模型进行建模的。Chen等人设计了一种谐波干扰观测器^[18]，这种观测器是针对频率已知但幅度和相位未知的线性谐波类型扰动所设计的。Guo等人考虑由外生系统产生外部扰动的一般性，针对带有这种类型干扰的系统，设计了DOBC方法^[19]。

为了提高抗干扰效果，DOBC方法通常与其他控制方法相结合，形成了复合抗干扰控制方法。针对一类受干扰影响的非线性时滞系统，研究人员提出了一种基于DOBC和H_∞控制的复合抗干扰控制方案^[20]。为了更好地利用神经网络的逼近能力，将神经网络方法和反步控制相结合，设计了一种新型的DOBC方案^[21]。需要指出的是，实际控制系统中存在许多非线性外生系统^[22]，它不仅可以描述未知恒定负载和谐波信号之类的线性信号，而且还可以描述一些非线性信号。近些年，作者等人将对DOBC的结果从线性外生系统推广到了非线性外生系统。尽管如此，这些研究方法要求在应用DOBC方法时必须要求外生系统中的非线性已知，现有的研究方法中还不具备处理未知非线性外生系统所产生干扰的能力。

另一方面，自适应模糊控制方法对于解决具有强非线性、强耦合、多变量和不确定性特点的系统的控制问题具有重要的研究意义和应用价值, 因此这种方法已经成功的应用到许多相关的实际领域。1993年，Wang提出了一种新颖的自适应模糊控制算法^[23]，并通过李雅普诺夫方法分析了闭环系统的稳定性。最近几年，国内外学者提出了多种非线性直接和间接自适应模糊控制方法^[24-26]。为了达到更好的控制和抗干扰效果，也出现了一些将自适应模糊控制方法与干扰观测器相结合的方法^[27-31]。干扰观测器和模糊控制也用于处理由线性外部系统产生的建模干扰系统的控制中^[32]。然而，对于具有未知非线性的外生系统的复杂非线性系统的控制，相应的研究成果很少，缺少一个系统的控制方案去深入探讨并解决该问题。

在以上分析基础上，本研究针对带有未知非线性外生系统建模干扰的多输入多输出(MIMO)非线性系统，研究了基于模糊干扰观测器(FDO)的控制(FDOBC)设计问题。采用基于径向基函数(RBF)的自适应模糊控制方法逼近原系统及外生系统中的未知非线性函数，并在此基础上设计了FDO来估计非线性外生系统所产生的外部建模干扰。在存在不确定性和干扰的情况下，该方法可保证闭环系统有界。与已有的方法和结果相比，本研究的贡献如下：与线性的外生系统不同，本文考虑了具有未知非线性的外生系统来描述更一般的干扰的情况。与已知非线性相比，这种含有未知非线性的系统不仅可以描述未知恒载、谐波等线性信号，还可以描述一些未知非线性信号。为了估计外生系统中的未知非线性函数，本文将提出了一种FDO，并且设计了新颖的干扰估计误差观测器，来观测自适应控制律设计中所需的未知干扰动态估计误差。该方案能更加有效的估计外生系统中的未知非线性部分，提供更准确的扰动估计结果，从而提高了整体系统的抗干扰能力。进一步提出了一种基于模糊干扰观测器的复合抗干扰控制方案，该方案补偿了原系统和外生系统中的未知非线性，为具有未知非线性外生系统生成的可建模干扰提供了新的抗扰方案。

1 问题描述 1.1 非线性系统与外生系统

考虑一类具有由非线性外生系统建模扰动的非线性系统，该系统的系统模型为

$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}_u \boldsymbol{u}(t)+\boldsymbol{F}_1 \boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{x}(t))+\boldsymbol{B}_d \boldsymbol{d}(t) \text { 。} $

(1)

式中x(t)∈R^n_x，u(t)∈R^n_u，d(t)∈R^n_d分别表示系统的状态向量、输入控制向量以及可建模干扰。A∈R^n_x×n_x，B_u∈R^n_x×n_u，B_d∈R^n_x×n_d和F₁∈R^n_x×n_f1是已知的常数矩阵。f₁(x(t))∈R^n_x是满足假设1所述的有界条件的Lipschitz连续的未知非线性函数。

未知的外部扰动d(t)则由非线性外生系统产生，采用下式表示：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{\zeta}}(t)=\boldsymbol{W} \boldsymbol{\zeta}(t)+\boldsymbol{F}_2 \boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{\zeta}(t)) \\ \boldsymbol{d}(t)=\boldsymbol{H} \boldsymbol{\zeta}(t) \end{array}\right.。$

(2)

式中ζ(t)∈R^n_ζ表示外生系统的状态向量，f₂(ζ(t))∈R^n_f2则是一个未知的有界非线性函数，W∈R^n_ζ×n_ζ, H∈R^n_d×n_ζ和F₂∈R^n_ζ×n_f2表示已知的外生系统常数矩阵。

该外生系统的模型可描述多种类型的干扰，比如处于复杂环境中的系统因为传感器测量误差、控制误差、结构振动和外部空间环境而产生的扰动转矩^[18]；惯性导航初始对准时因惯性传感器漂移而产生的测量误差^[33]等。除了可描述具有未知常数和未知相位的线性谐波干扰外，该模型还考虑了外生系统中不确定的非线性，更接近于真实的非线性外生系统所产生干扰的模型描述，可描述更加一般的外生系统模型。当该模型中未知非线性函数f₂(ζ(t))的系数矩阵F₂为全零矩阵时，该模型即为线性外生系统产生的干扰。

假设1. 未知非线性函数f₁(x(t))和f₂(ζ(t))是有界的。

假设2. 增广矩阵(A, B_u)是可镇定的。

假设3. 增广矩阵(W, B_dH)是可检测的。

假设4. 存在一个常数矩阵M∈R^n_u×n_d，使得等式B_d=B_uM满足。

假设5. 存在一个常数矩阵N∈R^n_u×n_f1，满足F₁=B_uN。

1.2 RBF模糊逻辑系统

模糊逻辑系统的基本结构是由模糊推理机、模糊规则机、模糊化算子和解模糊化算子四部分组成。

模糊推理规则机中的模糊语句的形式为：

$ \begin{aligned} & \quad\quad \boldsymbol{R}^l \text { ：如果 } x_1 \text { 是 } \boldsymbol{F}_1^l, \cdots, x_n \text { 是 } \boldsymbol{F}_n^l \text { ，则 } y_1 \text { 是 } \boldsymbol{G}^l, l=1 \text { ，}\\ & 2, \cdots, M \text { 。} \end{aligned} $

(3)

其中F_i^l和G^l分别是与模糊隶属度μ_Fi^l(x_i)和μ_G^L(y)相关联的模糊集合，M是规则总数。

将单点模糊化、乘积推理和中心平均去模糊化策略三者相结合，得到模糊系统的输出为

$ y(\boldsymbol{x})=\frac{\sum\nolimits_{l=1}^m y^l \prod\nolimits_{i=1}^n \mu_{F_i^l}\left(x_i\right)}{\sum\nolimits_{l=1}^m \prod\nolimits_{i=1}^n \mu_{F_i^l}\left(x_i\right)}。$

(4)

采用径向基函数的方法定义模糊基函数，其形式为

$ \eta^l(\boldsymbol{x})=\frac{\prod\nolimits_{i=1}^n \mu_{F_i^l}\left(x_i\right)}{\sum\nolimits_{l=1}^m \prod\nolimits_{i=1}^n \mu_{F_i^l}\left(x_i\right)} 。$

(5)

则公式(4)可以写成

$ y(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{x}) \text { 。} $

(6)

其中θ=[θ₁, θ₂, …, θ_m]^T为自适应参数向量，η=[η₁, η₂, …, η_m]^T则为径向基函数向量。

引理1^[23]   设函数f(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，那么对于任意常量ε>0，都存在一个模糊逻辑系统使得以下不等式成立：

$ \sup\limits_{x \in \Omega}\left|f(x)-\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}(x)\right| \leqslant \varepsilon 。$

式中ε是模糊逼近的最小误差。

2 基于模糊干扰观测器的复合模糊控制 2.1 自适应模糊逼近器设计

为了逼近系统中的未知非线性函数f₁(x(t))和f₂(ζ(t))，给出如下形式的自适应模糊逼近器设计：

$ \hat{\boldsymbol{f}}_1(\boldsymbol{x}(t))=\boldsymbol{\theta}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x}), $

(7)

$ \hat{\boldsymbol{f}}_2(\boldsymbol{\zeta}(t))=\boldsymbol{\theta}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\boldsymbol{\zeta}(t)) \text { 。} $

(8)

定义最优自适应估计参数θ_f1^*和θ_f2^*如下：

$ \boldsymbol{\theta}_{f_1}^*=\underset{\Theta_{f_1} \in \Omega_{f_1}}{\arg \min} \left\{\sup\limits_{x \in U_x}\left|\boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{x})-\hat{\boldsymbol{f}}_1(\boldsymbol{x})\right|\right\}, $

(9)

$ \boldsymbol{\theta}_{f_2}^*=\underset{\Theta_{f_2} \in \Omega_{f_2}}{\arg \min} \left\{\sup\limits_{\zeta \in U_\zeta}\left|\boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{\zeta}(t))-\hat{\boldsymbol{f}}_2(\boldsymbol{\zeta}(t))\right|\right\} 。$

(10)

所以θ_f1^*Tη₁(x)和θ_f2^*Tη₂(ζ(t))是对于未知非线性函数f₁(x(t))和f₂(ζ(t))的最优估计。

但是，此处应该说明的是，由于非线性外生系统状态量ζ(t)是不可测得的，因此在实际设计自适应模糊逼近器时并不可用，所以在近似非线性函数时，采用对ζ(t)的估计值$ \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)$，则设计对于未知非线性函数f₂(ζ(t))的模糊逼近器形式如下：

$ \hat{\boldsymbol{f}}_2(\boldsymbol{\zeta}(t))=\boldsymbol{\theta}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) 。$

(11)

估计值$ \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)$将由随后设计的FDO得出。

2.2 模糊干扰观测器设计

为了更好的提高干扰观测器的控制精度，结合之前由自适应模糊逼近器得到的对系统本身及外生系统中未知非线性函数的逼近值，设计了如下形式的FDO：

$ \left\{\begin{aligned} \dot{\hat{\boldsymbol{\zeta}}}(t)= & \boldsymbol{W} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)+\boldsymbol{F}_2 \hat{\boldsymbol{f}}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))+\boldsymbol{L}(\dot{\boldsymbol{x}}(t)- \\ &\left.\boldsymbol{A x}(t)-\boldsymbol{F}_1 \hat{\boldsymbol{f}}_1(x)-\boldsymbol{B}_u u(t)-\boldsymbol{B}_d \hat{\boldsymbol{d}}(t)\right) 。\\ \hat{\boldsymbol{d}}(t)= & \boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \end{aligned}\right. $

(12)

由此可以得到对非线性外生系统状态ζ(t)的估计值$ \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)$，$ \hat{\boldsymbol{d}}(t)$为通过FDO得到的可建模干扰d(t)的估计值，L是需要设计者自行设计决定的干扰观测器增益矩阵。

为了方便分析，定义虚拟变量ξ(t)形式为

$ \boldsymbol{\xi}(t)=\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)-\boldsymbol{L} \boldsymbol{x}(t) \text { 。} $

(13)

通过将其引入公式(12)中，可以得到该虚拟变量的更新律为

$ \begin{aligned} \dot{\boldsymbol{\xi}}(t)= & \left(\boldsymbol{W}-\boldsymbol{L} \boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H}\right)(\boldsymbol{\xi}(t)+\boldsymbol{L} \boldsymbol{x}(t))+ \\ & \boldsymbol{F}_2 \hat{\boldsymbol{f}}_2(\boldsymbol{\xi}(t)+\boldsymbol{L} \boldsymbol{x}(t))+ \\ & \left.\boldsymbol{L}\left(-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{F}_1 \hat{\boldsymbol{f}}_1(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{B}_u u(t)\right)\right) \text { 。} \end{aligned} $

(14)

通过将式(12)，(13)和(14)相结合，设计FDO如下：

$ \left\{\begin{array}{l} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)=\boldsymbol{\xi}(t)+\boldsymbol{L} \boldsymbol{x}(t) \\ \hat{\boldsymbol{d}}(t)=\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \end{array}\right. \text { 。} $

(15)

式中虚拟变量ξ(t)的更新律由式(14)给出，模糊干扰观测器的增益矩阵L将在之后的定理中利用线性矩阵不等式技术求解得出。

2.3 基于FDO的FDOBC设计

基于以上自适应模糊逼近器(7)和(11)及FDO(15)，设计了复合抗干扰控制器，其形式为

$ u(t)=\boldsymbol{K} \boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{M} \hat{\boldsymbol{d}}(t)-\boldsymbol{N} \hat{\boldsymbol{f}}_{1}(\boldsymbol{x}(t)) \text { 。} $

(16)

该复合控制器中包括了对系统状态向量x(t)的线性反馈项Kx(t)，对FDO得出的估计值$ \hat{\boldsymbol{d}}(t)$的补偿项$ \boldsymbol{M} \hat{\boldsymbol{d}}(t)$，以及对于原系统中未知非线性函数f₁(x(t))的补偿项$ \boldsymbol{N} \hat{\boldsymbol{f}}_{1}(\boldsymbol{x}(t))$。其中矩阵K∈R^n_u×n_x是需要自行设计的控制器增益矩阵。

定义对于非线性外生系统状态ζ(t)的估计误差e_ζ(t) 为

$ \boldsymbol{e}_{\zeta}(t)=\boldsymbol{\zeta}(t)-\boldsymbol{\zeta}(t) \text { 。} $

(17)

通过公式，可以得到对由非线性外生系统产生的可建模扰动的估计误差为

$ \boldsymbol{d}(t)-\hat{\boldsymbol{d}}(t)=\boldsymbol{H} \boldsymbol{e}_{\zeta}(t) \text { 。} $

(18)

结合公式(14)，(15)，(17)和(18)，然后，对式(17)两侧关于时间t求导，可以得到

$ \begin{gathered} \dot{\boldsymbol{e}}_\zeta(t)=\left(\boldsymbol{W}-\boldsymbol{L} \boldsymbol{B}_d H\right) \boldsymbol{e}_\zeta(t)+ \\ \boldsymbol{F}_2\left[\boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{\zeta}(t))-\hat{\boldsymbol{f}}_2\left(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \mid \boldsymbol{\theta}_{f_2}^*\right)\right]+ \\ \boldsymbol{F}_2\left[\hat{\boldsymbol{f}}_2\left(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \mid \boldsymbol{\theta}_{f_2}^*\right)-\hat{\boldsymbol{f}}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))\right]- \\ \boldsymbol{L} \boldsymbol{F}_1\left[\boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{x})-\hat{\boldsymbol{f}}_1\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right)+\hat{\boldsymbol{f}}_1\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right)-\hat{\boldsymbol{f}}_1(\boldsymbol{x})\right] 。\end{gathered} $

(19)

通过将复合控制器(16)代入系统模型(1)中，可以得到如下方程：

$ \begin{gathered} \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}_u \boldsymbol{K}\right) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H} \boldsymbol{e}_\zeta(t)+ \\ \boldsymbol{F}_1\left[\boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{x})-\hat{\boldsymbol{f}}_1\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right)+\hat{\boldsymbol{f}}_1\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right)-\hat{\boldsymbol{f}}_1(\boldsymbol{x})\right]。\end{gathered} $

(20)

结合公式(19)和(20)，可以得到一个增广系统方程，其形式为

$ \begin{gathered} \dot{\tilde{\boldsymbol{x}}}(t)=\tilde{\boldsymbol{A}} \tilde{\boldsymbol{x}}(t)+\tilde{\boldsymbol{F}}_1\left[\Delta \boldsymbol{f}_1+\hat{\boldsymbol{f}}_1\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right)-\hat{\boldsymbol{f}}_1(x)\right]+ \\ \tilde{\boldsymbol{F}}_2\left[\Delta \boldsymbol{f}_2+\hat{\boldsymbol{f}}_2\left(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \mid \boldsymbol{\theta}_{f_2}^*\right)-\hat{\boldsymbol{f}}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))\right] 。\end{gathered} $

(21)

式中：$ \tilde{\boldsymbol{x}}(t)=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{x}(t) \\ \boldsymbol{e}_\zeta(t) \end{array}\right]$表示增广系统的状态向量；矩阵$ \tilde{\boldsymbol{A}}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}_u \boldsymbol{K} & \boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H} \\ 0 & \boldsymbol{W}-\boldsymbol{L} \boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H} \end{array}\right]、\tilde{\boldsymbol{F}}_1=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{F}_1 \\ -\boldsymbol{L} \boldsymbol{F}_1 \end{array}\right]$和$\tilde{\boldsymbol{F}}_2=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \boldsymbol{F}_2 \end{array}\right] $分别表示增广系统的常数矩阵的增广矩阵，Δf₁和Δf₂分别表示对于未知非线性函数f₁(x(t))和f₂(ζ(t))的最小估计误差，其表达式为：

$ \begin{gathered} \Delta \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{x})-\hat{\boldsymbol{f}}_1\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right), \\ \Delta \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{\zeta}(t))-\hat{\boldsymbol{f}}_2\left(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \mid \boldsymbol{\theta}_{f_2}^*\right) 。\end{gathered} $

2.4 控制目标

注意到增广系统(21)的状态量包括原系统状态x(t)与干扰估计误差系统状态e_ζ(t)。本文控制目标是设计基于FDO(14)和(15)的复合控制器(16)，使得增广系统(21)是闭环有界的。在此情况下，闭环被控系统(1)在外部可建模干扰(2)的情况下，也是有界的。

3 模糊抗扰控制设计及稳定性分析

通过本节的分析，将得到模糊干扰观测器增益矩阵L及复合控制器增益矩阵K的具体表达式，并在稳定性分析的过程中，将得到带有投影算子自适应参数θ_f1和θ_f2的更新律，并且设计了干扰估计误差观测器，估计了自适应更新律中未知的干扰估计误差。在利用李雅普诺夫稳定性方法与LMI方法相结合分析后，使得增广系统(21)满足有界性。

对于增广系统(21)，选择如下李雅普诺夫函数进行分析：

$ V=\tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P} }\tilde{\boldsymbol{x}}+\frac{1}{\boldsymbol{\gamma}_{1}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_{1}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_{1}}+\frac{1}{\boldsymbol{\gamma}_{2}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_{2}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_{2} 。} $

(22)

式中矩阵$\tilde{\boldsymbol{P}} \in \mathbf{R}^{\left(n_{x}+n_{\zeta}\right) \times\left(n_{x}+n_{\zeta}\right)} $满足$ \tilde{\boldsymbol{P}}>0$。对李雅普诺夫函数两侧沿着时间t同时求导，可以得到

$ \begin{gathered} \dot{V}=\tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{A}}+\tilde{\boldsymbol{A}}^{{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\right) \tilde{\boldsymbol{x}}+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \Delta \boldsymbol{f}_1+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_2 \Delta \boldsymbol{f}_2+ \\ \frac{2}{\gamma_1} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}}\left(\gamma_1 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})-\dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}\right)+ \\ \frac{2}{\gamma_2} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}}\left(\gamma_2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_2 \tilde{\boldsymbol{\eta}}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))-\dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}\right) 。\end{gathered} $

(23)

式中$\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}=\boldsymbol{\theta}_{f_1}^*-\boldsymbol{\theta}_{f_1}, \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}=\boldsymbol{\theta}_{f_2}^*-\boldsymbol{\theta}_{f_2} $。$\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1} $和$ \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}$表示自适应模糊估计器中参数更新律的逼近误差。

为了消除公式(23)中的项$ \frac{2}{\gamma_{1}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_{1}}^{\mathrm{T}}\left(\gamma_{1} \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}(\boldsymbol{x})\right)$和$ \frac{2}{\gamma_2} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}}\left(\gamma_2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathbf{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_2 \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))\right)$，设计自适应参数更新律为

$ \dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}=\gamma_1 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x}), $

(24)

$ \dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}=\gamma_2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathbf{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_2 \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))。$

(25)

此处在设计自适应更新律(24)和(25)之前需要知道估计误差的值e_ζ(t)，但是在实际设计中，该值并不是可以直接得到的。为了解决这个问题，将设计干扰估计误差观测器，得出e_ζ(t)的估计值$\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta(t) $。

在增广系统(21)中，原系统状态向量x(t)是已知的，设计干扰估计误差观测器去估计的值e_ζ(t)，其形式为

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{\tilde{\boldsymbol{x}}}}(t)=\tilde{\boldsymbol{A}} \hat{\tilde{\boldsymbol{x}}}(t)+\tilde{\boldsymbol{L}}\left(\boldsymbol{y}_{\tilde{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}_{\hat{\tilde{x}}}\right) \\ \hat{\boldsymbol{y}}_{\hat{\tilde{x}}}=\tilde{\boldsymbol{C}} \hat{\tilde{\boldsymbol{x}}}(t) 。\end{array}\right. $

(26)

式中有$ \hat{\tilde{\boldsymbol{x}}}(t)=\left[\begin{array}{ll} \hat{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}(t) & \hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \tilde{\boldsymbol{C}}=\left[\begin{array}{ll} I & 0 \end{array}\right]$。

通过忽略近似误差，可以得到如下估计误差系统：

$ \dot{\boldsymbol{e}}_{\hat{\tilde{x}}}=\dot{{\tilde{\boldsymbol{x}}}}(t)-\dot{\hat{\tilde{\boldsymbol{x}}}}(t)=(\tilde{\boldsymbol{A}}-\tilde{\boldsymbol{L}} \tilde{\boldsymbol{C}}) \boldsymbol{e}_{\hat{\tilde{x}}}。$

(27)

式中$\boldsymbol{e}_{\hat{\tilde{x}}}=\tilde{\boldsymbol{x}}-\hat{\tilde{\boldsymbol{x}}} $表示对状态$ \tilde{\boldsymbol{x}}(t)$的估计误差，矩阵$ \tilde{\boldsymbol{L}}$表示干扰估计误差观测器的增益矩阵，并且$ \tilde{\boldsymbol{L}}$的选择要使得矩阵($ \tilde{\boldsymbol{A}}-\tilde{\boldsymbol{L}} \tilde{\boldsymbol{C}}$)为Hurwitz矩阵。

通过以上的分析，将自适应更新律设计为：

$ \dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_{1}}=\gamma_{1} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{{\boldsymbol{F}}}_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}(\boldsymbol{x}(t)), $

(28)

$ \dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}=\gamma_2 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{P} \tilde{F}_2 \eta_2(\hat{\zeta}(t))。$

(29)

式中$ \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} & \hat{\boldsymbol{e}}_\zeta{ }^{\mathrm{T}} \end{array}\right]$。需要注意的是，在自适应更新律中，$ \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} & \hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right]$采用的为已知系统状态量与估计误差的估计量，所以设计干扰估计误差观测器的目的即为得到e_ζ(t)的估计值$ \hat{\boldsymbol{e}}_\zeta(t)$，自适应更新律的设计中，只采用$ \hat{\boldsymbol{e}}_\zeta(t)$而不需要$ \hat{\boldsymbol{x}}(t)$。

为了保证自适应更新律参数是有界的，此处对参数θ_f1和θ_f2引入投影算子

$ \dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}=\left\{\begin{array}{l} \gamma_1 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x}), \left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right\|<\boldsymbol{M}_{f_1} \\ \quad \text { 或 }\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right\|=\boldsymbol{M}_{f_1} \text { 且 } \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\theta}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(x) \leqslant 0 \\ P_{f_1}\left[\gamma_1 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\eta}_1(x)\right], \left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right\|=\boldsymbol{M}_{f_1} \\ \quad \text { 且 } \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\theta}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(x)>0 \end{array}, \right. $

(30)

$ \dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}=\left\{\begin{array}{l} \gamma_2 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_2 \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}), \left\|\boldsymbol{\theta}_{f_2}\right\|<\boldsymbol{M}_{f_2} \\ \quad \text { 或 }\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_2}\right\|=\boldsymbol{M}_{f_2} \text { 且 } \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \boldsymbol{\theta}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) \leqslant 0 \\ P_{f_2}\left[\gamma_2 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_2 \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}})\right], \left\|\boldsymbol{\theta}_{f_2}\right\|=\boldsymbol{M}_{f_2} \\ \quad \text { 且 } \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_2 \boldsymbol{\theta}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))>0 \end{array} 。\right. $

(31)

式中M_f1和M_f2是需要自行设计的参数边界，P_f1[·]和P_f2[·]表示投影算子，定义为

$ \begin{gathered} P_{f_{1}}\left[\gamma_{1} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}(x)\right]= \\ \gamma_{1} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}(x)-\gamma_{1} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{1} \frac{\boldsymbol{\theta}_{f_{1}} \boldsymbol{\theta}_{f_{1}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{1}(x)}{\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_{1}}\right\|^{2}}, \end{gathered} $

(32)

$ \begin{gathered} P_{f_{2}}\left[\gamma_{2} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))\right]= \\ \gamma_{2} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))-\gamma_{2} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{2} \frac{\boldsymbol{\theta}_{f_{2}} \boldsymbol{\theta}_{f_{2}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{2}(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))}{\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_{2}}\right\|^{2}} 。\end{gathered} $

(33)

利用自适应参数更新律(30)和(31)及投影算子(32)和(33)，通过式(23)可得

$ \begin{gathered} \dot{V}=\tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{A}}+\tilde{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\right) \tilde{\boldsymbol{x}}+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \Delta \boldsymbol{f}_1+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \Delta \boldsymbol{f}_2+ \\ 2\left[\begin{array}{ll} 0 & \boldsymbol{e}_\zeta^{\mathrm{T}}-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})+ \\ 2\left[\begin{array}{ll} 0 & \boldsymbol{e}_\zeta^{\mathrm{T}}-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))+ \\ \boldsymbol{n}_{1} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{1} \frac{\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_{1}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\theta}_{f_{1}} \boldsymbol{\theta}_{f_{1}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{1}(\boldsymbol{x})}{\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_{1}}\right\|^{2}}+ \\ \boldsymbol{n}_{2} \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{2} \frac{\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_{2}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\theta}_{f_{2}} \boldsymbol{\theta}_{f_{2}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{2}(\hat{\boldsymbol{\zeta}})}{\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_{2}}\right\|^{2}}。\end{gathered} $

(34)

当参数满足更新律(30)中第一行的条件时，公式(34)中的n₁=0，而当参数满足第二行条件时，公式(34)中的n₁=1；同时，当参数满足更新律(31)中第一行的条件时，公式(34)中的n₂=0，而当参数满足第二行条件时，公式(34)中的n₂=1。当有n₁=0且n₂=0时，公式可变形为

$ \begin{gathered} \dot{V}=\tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{A}}+\tilde{\boldsymbol{A}}^{\mathbf{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\right) \tilde{\boldsymbol{x}}+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathbf{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \Delta \boldsymbol{f}_1+ \\ 2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \Delta \boldsymbol{f}_2+2\left[\begin{array}{ll} 0 & \boldsymbol{e}_\zeta^{\mathrm{T}}-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1, \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})+ \\ 2\left[\begin{array}{ll} 0 & \boldsymbol{e}_\zeta^{\mathrm{T}}-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))。\end{gathered} $

(35)

当n₁=1时，表示参数θ_f1满足条件‖θ_f1‖=M_f1且$\overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{f}_1}^{\mathbf{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})>0 $，即此时的参数更新律为$\dot{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}=\gamma_1 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_1 \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x}) -\gamma_1 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\tilde{\boldsymbol{F}}_1 \frac{\boldsymbol{\theta}_{f_1} \boldsymbol{\theta}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\mathbf{x})}{\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right\|^2}$。因为有$ \left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right\|=\boldsymbol{M}_{f_1} \geqslant\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right\|$，所以可以得出：

$ \begin{gathered} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\theta}_{f_1}=\left(\boldsymbol{\theta}_{f_1}^*-\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\theta}_{f_1}= \\ -\frac{1}{2}\left[\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right\|^2-\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right\|^2+\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}-\boldsymbol{\theta}_{f_1}^*\right\|^2\right]<0 。\end{gathered} $

(36)

从上式可以得出式(34)中项$ \boldsymbol{n}_1 \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \cdot \frac{\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\theta}_{f_1} \boldsymbol{\theta}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})}{\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_1}\right\|^2}$是非正的。同理可以得到公式(34)中项$ \overline{\tilde{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \frac{\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\theta}_{f_2} \boldsymbol{\theta}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))}{\left\|\boldsymbol{\theta}_{f_2}\right\|^2}$也是非正的。

经过该分析后，从式(34)中可以得出：

$ \begin{gathered} \dot{V} \leqslant \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{A}}+\tilde{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\right) \tilde{\boldsymbol{x}}+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \Delta \boldsymbol{f}_1+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \Delta \boldsymbol{f}_2+ \\ 2\left[\begin{array}{ll} 0 & \boldsymbol{e}_\zeta^{\mathrm{T}}-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})+ \\ 2\left[\begin{array}{ll} 0 & \boldsymbol{e}_\zeta^{\mathrm{T}}-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))= \\ \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{A}}+\tilde{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}}\right) \tilde{\boldsymbol{x}}+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 \Delta \boldsymbol{f}_1+2 \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 \Delta \boldsymbol{f}_2- \\ 2 \tilde{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{L} \boldsymbol{F}_1 \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})+2 \tilde{\boldsymbol{e}}_{\zeta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{F}_2 \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) 。\end{gathered} $

(37)

式中有$\tilde{\boldsymbol{e}}_\zeta(t)=\boldsymbol{e}_\zeta(t)-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta(t) $，即对估计误差还会产生一个误差项，该误差项用$ \tilde{\boldsymbol{e}}_\zeta(t)$表示。

综合分析公式(23)和(37)，可以得到不等式

$ \begin{gathered} \dot{V} \leqslant \boldsymbol{\omega}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varLambda}_1 \boldsymbol{\omega}_1+\tau_1 \tilde{\boldsymbol{e}}_{\xi}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{e}}_\zeta+\tau_2 \Delta \boldsymbol{f}_1{ }^{\mathrm{T}} \Delta \boldsymbol{f}_1+ \\ \tau_3 \Delta \boldsymbol{f}_2^{\mathrm{T}} \Delta \boldsymbol{f}_2+\tau_4 \boldsymbol{\eta}_1^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{x}) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})+ \\ \tau_5 \boldsymbol{\eta}_2^{\mathrm{T}}(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) 。\end{gathered} $

(38)

式中常量τ₁>0，τ₂>0，τ₃>0，τ₄>0和τ₅>0为给定正常量，不等式中的向量ω₁和矩阵Λ₁分别为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{\omega}_1^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{lllll} \tilde{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} & \tilde{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} & \Delta \boldsymbol{f}_1^{\mathrm{T}} & \Delta \boldsymbol{f}_2^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{\eta}_1^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{x}) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1} \cdot \end{array}\right. \\ \left.\boldsymbol{\eta}_2^{\mathrm{T}}(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}\right], \\ \boldsymbol{\Lambda}_1=\left[\begin{array}{cccccc} \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{A}}+* & 0 & \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_1 & \tilde{\boldsymbol{P}} \tilde{\boldsymbol{F}}_2 & 0 & 0 \\ 0 & -\tau_1 \boldsymbol{I} & 0 & 0 & -\boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{L} \boldsymbol{F}_1 & \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{F}_2 \\ * & * & -\tau_2 \boldsymbol{I} & 0 & 0 & 0 \\ * & * & * & -\tau_3 \boldsymbol{I} & * & 0 \\ * & * & * & * & -\tau_4 \boldsymbol{I} & 0 \\ * & * & * & * & * & -\tau_5 \boldsymbol{I} \end{array}\right] 。\end{gathered} $

式中*表示关于对称项的转置。

定理1   考虑带有未知非线性外生系统(2)的非线性系统(1)，假定假设条件1-5全部成立。

假设存在常量τ₁>0，τ₂>0，τ₃>0，τ₄>0，τ₅>0，并存在矩阵Q₁>0∈R^n_x×n_x，P₂>0∈R^n_x×n_x，X∈R^n_x×n_x和Y∈R^n_ζ×n_x，满足以下的LMI:

$ \left[\begin{array}{ccc} \left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}_1+\boldsymbol{B}_u \boldsymbol{X}\right)+* & \boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H} & \boldsymbol{\varXi}_1 \\ * & \left(\boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{W}-\boldsymbol{Y} \boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H}\right)+* & \boldsymbol{\varXi}_2 \\ * & * & \boldsymbol{\varXi}_3 \end{array}\right]<0 \text { 。} $

(39)

式中

$ \begin{aligned} & \boldsymbol{\varXi}_1=\left[\begin{array}{llllllllll} 0 & \boldsymbol{F}_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \\ & \boldsymbol{\varXi}_2=\left[\begin{array}{llllllll} 0 & -\boldsymbol{Y F}_1 & \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{F}_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \\ & \boldsymbol{\varXi}_3=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{R}_{11} & \boldsymbol{R}_{12} \\ * & \boldsymbol{R}_{22} \end{array}\right] \text { 。} \end{aligned} $

在Ξ₃的表达式中，有

$ \begin{gathered} \boldsymbol{R}_{11}=\left[\begin{array}{ccccc} -\tau_1 \boldsymbol{I} & 0 & 0 & -\boldsymbol{Y} \boldsymbol{F}_1 & \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{F}_2 \\ * & -\tau_2 \boldsymbol{I} & 0 & 0 & 0 \\ * & * & -\tau_3 \boldsymbol{I} & 0 & 0 \\ * & * & * & -\tau_4 \boldsymbol{I} & 0 \\ * & * & * & * & -\tau_5 \boldsymbol{I} \end{array}\right], \\ \boldsymbol{R}_{22}=\left[\begin{array}{ccccc} -\tau_1^{-1} \boldsymbol{I} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & -\tau_2^{-1} \boldsymbol{I} & 0 & 0 & 0 \\ * & * & -\tau_3^{-1} \boldsymbol{I} & 0 & 0 \\ * & * & * & -\tau_4^{-1} \boldsymbol{I} & 0 \\ * & * & * & * & -\tau_5^{-1} \boldsymbol{I} \end{array}\right] \text { 。} \end{gathered} $

矩阵R₁₂为相对应维数的零矩阵，I表示相应维数的单位矩阵。则存在基于FDO(14)和(15)，估计误差观测器(26)，复合控制律(16)，自适应参数更新律(30)—(33)，使得增广系统(21)是最终一致有界(UUB)的，并且原闭环系统(1)在存在非线性外生系统(2)产生的未知干扰的情况下是UUB的。

基于FDO的复合控制律增益矩阵K和模糊干扰观测器的增益矩阵L由下式给出：

$ \boldsymbol{K}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{Q}_1^{-1}, $

(40)

$ \boldsymbol{L}=\boldsymbol{P}_2^{-1} \boldsymbol{Y} \text { 。} $

(41)

证明   假设存在常量τ₁>0，τ₂>0，τ₃>0，τ₄>0，τ₅>0，并存在矩阵Q₁=P₁^－1，P₂，X和Y使得(39)成立，通过对(39)左乘和右乘对角矩阵diag{P₁, I, I, I, I, I}，可以得到：

$ \left[\begin{array}{ccc} \left(\boldsymbol{P}_1\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}_u \boldsymbol{K}\right)\right)+* & \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H} & \Sigma_1 \\ * & \left(\boldsymbol{P}_2\left(\boldsymbol{W}-\boldsymbol{L} \boldsymbol{B}_d \boldsymbol{H}\right)\right)+* & \Sigma_2 \\ * & * & \Sigma_3 \end{array}\right]<0 。$

(42)

式中

$ \begin{aligned} \boldsymbol{\varSigma}_1 & =\left[\begin{array}{llllllllll} 0 & \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{F}_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{\varSigma}_2 & =\left[\begin{array}{llllllllll} 0 & -\boldsymbol{P}_2 \mathbf{L F}_1 & \mathbf{P}_2 \mathbf{F}_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{\varSigma}_3 & =\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{S}_{11} & \boldsymbol{R}_{12} \\ * & \boldsymbol{R}_{22} \end{array}\right] 。\end{aligned} $

矩阵Σ₃中子矩阵S₁₁的表达式为

$ \boldsymbol{S}_{11}=\left[\begin{array}{ccccc} -\tau_1 \boldsymbol{I} & 0 & 0 & -\boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{L} \boldsymbol{F}_1 & \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{F}_2 \\ * & -\tau_2 \boldsymbol{I} & 0 & 0 & 0 \\ * & * & -\tau_3 \boldsymbol{I} & 0 & 0 \\ * & * & * & -\tau_4 \boldsymbol{I} & 0 \\ * & * & * & * & -\tau_5 \boldsymbol{I} \end{array}\right]。$

令$\boldsymbol{P}_1=\boldsymbol{Q}_1^{-1}, \tilde{\boldsymbol{P}}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{P}_1 & 0 \\ 0 & \boldsymbol{P}_2 \end{array}\right] $。从不等式(42)中可以得出

$ \left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{\varLambda}_1 & 0 \\ 0 & -\boldsymbol{T} \end{array}\right]<0 \text { 。} $

(43)

式中有T=－R₂₂，由舒尔补定理，从矩阵不等式(43)中可得

$ \boldsymbol{\varLambda}_1 \leqslant-\boldsymbol{T} \text { 。} $

(44)

利用不等式，从公式(38)中得出

$ \dot{V}<\boldsymbol{\omega}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T} \boldsymbol{\omega}_1+\Delta_e \text { 。} $

(45)

式中有

$ \begin{gathered} \Delta_e=\tau_1 \tilde{\boldsymbol{e}}_\zeta^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{e}}_\zeta+\tau_2 \Delta \boldsymbol{f}_1{ }^{\mathrm{T}} \Delta \boldsymbol{f}_1+\tau_3 \Delta \boldsymbol{f}_2^{\mathrm{T}} \Delta f_2+ \\ \tau_4 \boldsymbol{\eta}_1^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{x}) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_1(\boldsymbol{x})+\tau_5 \boldsymbol{\eta}_2^{\mathrm{T}}(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) 。\end{gathered} $

(46)

因为常量τ₁，τ₂，τ₃，τ₄，τ₅是给定的正常数，由于满足假设1—4并且注意到(27)使得估计误差有界，所以可以得到Δ_e是有界的。令β=λ_min{T}表示矩阵T的最小特征值。根据公式(22)和(45)可以总结出当满足以下不等式

$ \sqrt{\begin{aligned} & \|\tilde{\boldsymbol{x}}\|^2+\left\|\boldsymbol{e}_\zeta-\hat{\boldsymbol{e}}_\zeta\right\|^2+\left\|\Delta f_1\right\|^2+\left\|\Delta f_2\right\|^2+ \\ & \left\|\boldsymbol{\eta}_1^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{x}) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}\right\|^2+\left\|\boldsymbol{\eta}_2^{\mathrm{T}}(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)) \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}\right\|^2 \end{aligned}} \geqslant \frac{\sqrt{\Delta_e}}{\sqrt{\beta}} 。$

(47)

时，有$\dot{V} \leqslant 0 $。由此可以得出结论对于任意的t>t₀，都有$ \tilde{\boldsymbol{x}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_1}, \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{f_2}$是有界的。因此，此定理可以保证原闭环系统(1)的状态向量x(t)也是有界的。到此，证明了增广系统及原闭环系统的有界性。

4 实验仿真与分析

在本节中，将通过MATLAB软件对所设计复合控制算法进行实验仿真，并且将所设计的模糊干扰观测器与线性及非线性干扰观测器的观测性能进行对比，验证所设计控制律的有效性及优越性。

在仿真中，考虑具有非线性外生系统所产生的干扰的系统为

$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}_u \boldsymbol{u}(t)+\boldsymbol{B}_d \boldsymbol{d}(t)+\boldsymbol{F}_1 \boldsymbol{f}_1(\boldsymbol{x}(t)) 。$

(48)

式中x(t)=[x₁(t)  x₂(t)  x₃(t)  x₄(t)]^T∈R⁴为系统的状态向量，实验仿真中所选用的状态向量为一个四维向量。选取系统的各个参数矩阵为$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} -0.060\;5 & 32.37 & 0 & 32.2 \\ -0.001\;4 & -1.475 & 1 & 0 \\ -0.011\;1 & -34.72 & -2.793 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $, $\boldsymbol{B}_u=\boldsymbol{B}_d=\boldsymbol{F}_1=\left[\begin{array}{c} 0.8 \\ -0.506\;4 \\ -33.8 \\ 0.8 \end{array}\right] $。选取系统中的未知非线性函数为f₁(x)=sin(x₁(t))x₂(t)，系统初始状态为$ \boldsymbol{x}(0)=\left[\begin{array}{llll} 2 & -2 & 3 & 2 \end{array}\right]$。

系统模型中的外部可建模干扰选择为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\zeta}(t)=\boldsymbol{W} \boldsymbol{\zeta}(t)+\boldsymbol{F}_2 \boldsymbol{f}_2(\boldsymbol{\zeta}(t)) \\ \boldsymbol{d}(t)=\boldsymbol{H} \boldsymbol{\zeta}(t) \end{array}\right. \text { 。} $

(49)

式中$\zeta(t)=\left[\begin{array}{ll} \zeta_1(t) & \zeta_2(t) \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \in \mathbf{R}^2 $为非线性外生系统的二维状态向量。非线性外生系统的常量矩阵分别取值为$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -5 \\ 5 & 0 \end{array}\right], \boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{ll} 25 & 1 \end{array}\right], \boldsymbol{F}_2=\left[\begin{array}{c} 1.5 \\ 2 \end{array}\right]$，非线性外生系统中的未知非线性函数选取为$ f_2(\zeta(t))=\sin \left(\zeta_1(t)\right) \zeta_2(t)$，该非线性外生系统状态初始值选择为$ \zeta(0)=\hat{\zeta}(0)=\left[\begin{array}{ll} 0.8 & 0.8 \end{array}\right]$。

采用自适应模糊逼近器去逼近系统中的未知非线性函数时，针对未知非线性函数f₁(x)，选取基函数η₁(x)为

$ \begin{aligned} & \mu_{F_i^1}\left(x_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{x_i+6}{2}\right)^2\right], \mu_{F_i^2}\left(x_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{x_i+4}{2}\right)^2\right], \\ & \mu_{F_i^3}\left(x_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{x_i+2}{2}\right)^2\right], \mu_{F_i^4}\left(x_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{x_i}{2}\right)^2\right], \\ & \mu_{F_i^5}\left(x_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{x_i-2}{2}\right)^2\right], \mu_{F_i^6}\left(x_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{x_i-4}{2}\right)^2\right], \\ & \mu_{F_i^7}\left(x_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{x_i-6}{2}\right)^2\right] 。\end{aligned} $

针对该自适应模糊控制方案，共选取了七个径向基函数。针对未知非线性函数$f_2(\zeta(t)) $选取基函数$ \boldsymbol{\eta}_2(\zeta(t))$为

$ \begin{aligned} & \mu_{F_i^1}\left(\zeta_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{\zeta_i+4}{2}\right)^2\right], \mu_{F_i^2}\left(\zeta_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{\zeta_i+2}{2}\right)^2\right], \\ & \mu_{F_i^3}\left(\zeta_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{\zeta_i}{2}\right)^2\right], \mu_{F_i^4}\left(\zeta_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{\zeta_i-2}{2}\right)^2\right], \\ & \mu_{F_i^5}\left(\zeta_i\right)=\exp \left[-\left(\frac{\zeta_i-4}{2}\right)^2\right] 。\end{aligned} $

针对该自适应模糊控制方案，共选取了五个径向基函数。

针对未知非线性函数所选取的径向基函数的形式如图 1所示。

自适应模糊参数更新律中的参数选取为γ₁=0.3和γ₂=0.5，其中参数θ_f1和θ_f2的范围上限选择为M_f1=0.5和M_f2=1.6。自适应参数θ_f1和θ_f2的初始值为$\boldsymbol{\theta}_{f_1}(0)=0.1 \times\left[\begin{array}{lllllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $和$ \boldsymbol{\theta}_{f_2}(0)=0.1 \times\left[\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}$。

通过选择τ₁=0.3，τ₂=0.2，τ₃=0.3，τ₄=0.1和τ₅=0.1，再利用MATLAB软件中的LMI工具箱求解定理1中的线性矩阵不等式，可以得到自适应模糊复合控制器的控制增益矩阵K和FDO的增益矩阵L的具体数值为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{lllll} 1.190\;1 & 6.057\;0 & 1.771\;4 & 8.294\;8 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{cccc} -0.008\;6 & -24.785\;5 & 0.364\;7 & -0.002\;2 \\ 0.079\;2 & 227.470\;7 & -3.346\;7 & 0.019\;8 \end{array}\right] 。\end{gathered} $

为了验证本研究所设计控制方法的有效性，在本节的仿真中，考虑了与不同种类控制策略的对比仿真实验，包括传统的H_∞控制方法^[1]，基于线性干扰观测器(Linear disturbance observer, LDO)的控制方法(Linear disturbance observer-based control, LDOBC)^[19]以及基于非线性干扰观测器(Nonlinear disturbance observer, NLDO)的控制方法(Nonlinear disturbance observer-based control, NLDOBC)^[22]。

其中传统的H_∞控制方法中，系统的控制器形式设计为

$ u_H=\boldsymbol{K}_H \boldsymbol{x}。$

(50)

可以看出，该方法中所设计的控制器不包括对系统中未知非线性项的补偿项和对系统中建模干扰的补偿项，因此该方法并不具备对系统中未知干扰进行处理的能力。

LDOBC和NLDOBC方法与本方法的不同之处在于对系统中未知非线性函数的处理方法上。LDOBC方法中对干扰采用LDO的观测方法，其具体形式为

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{\boldsymbol{\zeta}}}(t)=\boldsymbol{W} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)+\boldsymbol{L}\left(\dot{\boldsymbol{x}}(t)-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{B}_u u(t)-\boldsymbol{B}_d \hat{\boldsymbol{d}}(t)\right) \\ \hat{\boldsymbol{d}}(t)=\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \end{array}\right.。$

(51)

NLDOBC方法中，NLDO设计为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{\boldsymbol{\zeta}}}(t)=\boldsymbol{W} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t)+\boldsymbol{F}_2 \boldsymbol{f}_2(\hat{\boldsymbol{\zeta}}(t))+ \\ \boldsymbol{L}\left(\dot{\boldsymbol{x}}(t)-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{F}_1 \boldsymbol{f}_1(x)-\boldsymbol{B}_u u(t)-\boldsymbol{B}_d \hat{\boldsymbol{d}}(t)\right) \\ \hat{\boldsymbol{d}}(t)=\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{\zeta}}(t) \end{array}\right.。$

(52)

从LDO和NLDO的设计形式中可以看出，LDO方法没有考虑系统中的非线性因素，这使得在设计干扰观测器的过程中，系统非线性得不到有效处理。而NLDO方法中，当系统中的非线性为未知时，其干扰观测器无法对外生系统中的未知非线性函数进行有效的估计和补偿。综合以上分析，本方法中设计的FDO可有效对外生系统中未知非线性进行估计和补偿，并通过设计复合控制器再对系统中所有的未知非线性和干扰影响进行反馈，可有效提高系统的控制精度。

系统的参数选择与FDOBC方法中相同，利用MATLAB软件中LMI工具箱求解得到H_∞控制方法、LDOBC方法和NLDOBC方法中的系统控制矩阵具体数值为

$ \begin{aligned} & \boldsymbol{K}_H=\left[\begin{array}{llllll} 1.436\;3 & 6.961\;9 & 2.027\;7 & 8.889\;5 \end{array}\right], \\ & K_L=\left[\begin{array}{lllll} 1.366\;5 & 6.603\;2 & 1.929\;2 & 8.481\;9 \end{array}\right], \\ & K_{N L}=\left[\begin{array}{lllll} 1.213\;5 & 6.574\;1 & 1.827\;9 & 8.312\;7 \end{array}\right], \\ & \boldsymbol{L}_L=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & -0.001\;8 & -0.118\;7 & 0 \\ 0 & 0.003\;8 & 0.256\;8 & 0 \end{array}\right], \\ & \boldsymbol{L}_{N L}=\left[\begin{array}{llll} 0.001\;2 & -0.321\;8 & 0.253\;7 & -0.025\;4 \\ 0.635\;4 & -6.480\;2 & 0.635\;4 & -0.822\;5 \end{array}\right] 。\end{aligned} $

将三种对比方法及本文所设计的控制算法分别作用在系统上，相应的控制效果如图 2所示。

在上述结果中，传统的H_∞控制方法、LDOBC、NLDOBC及本文中所设计的基于模糊干扰观测器的控制方法，分别使用上标“H”、“L”、“N”和“F”来表示。结果表明，与传统的H_∞控制方法以及LDOBC相比，本文中所设计的FDOBC方法对于系统的状态具有更好的控制效果，可以使得系统状态在更短的时间内收敛到更小的范围内。此外，在与NLDOBC方法的对比中，可以看出FDOBC方法可以达到与其相同的控制效果，甚至在图 2(a)中可以达到更好的控制效果。

为了更加直观的看出LDO、NLDO以及FDO对于非线性外生系统产生的可建模干扰的估计能力，又将三者的估计误差进行了一个对比，结果如图 3所示。

从该实验结果可以看出，本文中所设计的FDO在对外部非线性系统所产生的可建模干扰的估计精度上有所提高，经过所设计的复合控制器的反馈控制后，对系统也达到了更好的控制效果。

为了更加直观的看出系统状态向量的各个分状态的收敛情况，将利用四个状态的平方误差积分(Integrated square error, ISE)指标来说明四种控制方法下系统状态的收敛情况比较，结果如表 1所示。

从该表分析得到，H_∞控制方法下，当系统中存在干扰时，该方法没有抗干扰能力，从而导致系统状态很难收敛到小范围内，并且相对零状态存在很大的偏差。LDOBC方法由于对系统中外生系统干扰的非线性部分无处理能力，从而也使得系统状态并未收敛到小范围内，但其基于LDO的干扰观测存在一定的抗干扰能力，使得该方法相比与控制方法效果较好些。文中所设计的FDOBC方法由于对外生系统中的未知非线性可进行较高精度的估计补偿，从而使得该方法相对NLDOBC方法有着更高的控制精度，为外生系统中含有的未知非线性提供了观测方法和解决方案。

为了进一步验证所设计的FDO对非线性外生系统所产生干扰的估计能力和对外生系统中不确定性的衰减能力，分别考虑外生系统中未知非线性函数采取不同形式的情况下，所设计控制策略对系统的控制效果。

情况1. 外生系统未知非线性函数形式为

$ f_2(\zeta(t))=\sin \left(\zeta_1(t)\right) \zeta_2(t)+\sin \left(2 \zeta_1(t)\right)。$

情况2. 外生系统未知非线性函数形式为

$ f_2(\zeta(t))=\sin \left(\zeta_1(t)\right) \zeta_2(t)+\zeta_2(t) \cos \left(2 \zeta_2(t)\right) 。$

分别采用NLDOBC策略及FDOBC策略对系统进行控制。当外生非线性系统中的未知非线性函数形式为情况1和情况2时，控制效果分别如图 4和图 5所示。

从图 4和图 5中可以得出，本文中所提出的FDOBC方法可以达到与NLDOBC方法相近的控制效果，并当外生系统中存在未知函数时，可更加有效的补偿具有未知非线性的外生系统所产生的建模干扰，而NLDOBC方法无法对外生系统中的未知非线性进行一个良好的补偿。

为了更加直观的看出FDO与NLDO对于干扰的估计效果，又给出了情况1和情况2对干扰的估计误差对比曲线，如图 6所示。

为了更加直观的比较NLDO和FDO对含有不同形式非线性函数的外生系统干扰的估计能力，给出情况1和情况2下采用两种干扰观测器的系统状态ISE对比，结果如表 2所示。

通过对以上实验结果的分析可以得出，FDO在对于外生系统模型中存在的未知非线性函数的建模干扰有着良好的估计效果。相比于H_∞方法无抗干扰能力、LDOBC方法对非线性干扰处理效果差、NLDOBC方法对系统中未知非线性无法处理的缺点，本研究中所设计的基于FDO的FDOBC方法可将通过自适应模糊逼近器得到的未知非线性估计值用于干扰观测器的设计中，从而使自适应模糊方法与干扰观测器技术相结合，使得所设计的FDO对存在未知非线性的外生干扰有着更高精度的估计效果，从而使得系统整体符合控制器的设计具有更高的鲁棒性和抗干扰能力。

5 结语

针对非线性外生系统所产生的干扰，提出了一种新型FDOBC方法来估计并补偿系统扰动。设计了一种基于RBF的模糊逼近器，用于估计系统及外生系统中未知非线性函数，并设计了一种扰动估计误差观测器来估计自适应更新律设计所需的未知干扰动态估计误差，最后利用李雅普诺夫方法与LMI技术相结合，保证了闭环系统信号的有界性。在仿真实验中，与已有的方法进行实验对比，结果表明所提出的方法明显提高了对系统的控制精度与抗干扰性能。需要指出的是，若系统的状态并非全部可得，则需要进一步考虑输出反馈方法。