本文研究下列带有分数阶p拉普拉斯算子和对数非线性项的抛物方程的初边值问题

$ \begin{gathered} u_{t}+(-\Delta)_{p}^{s} u+|u|^{p^{-2}} u=|u| ^{q-2} u \log |u|,\\ x \in \Omega, t>0 , \end{gathered} $

(1)

$ u(x, t)=0, x \in {\bf R}^{\mathit N} \backslash \Omega, t>0 , $

(2)

$ u(x, 0)=u_{0}(x), x \in \Omega, $

(3)

其中$\Omega \subset {\bf R}^{\mathit N}(\mathit N \geqslant 1)$是具有Lipschitz边界的有界区域, $u_{0} \neq 0$是$\Omega$上的初始函数。分数阶$p$拉普拉斯算子$\text { (- } \Delta)_{p}^{s}$是定义在光滑函数上的非线性非局部算子,

$ \begin{gathered} (-\Delta)_{p}^{s} \varphi(x)= \\ 2 \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_{{\bf R}^{\mathit N} \backslash B_{\varepsilon}(x)} \frac{|\varphi(x)-\varphi(y)|^{p-2}(\varphi(x)-\varphi(y))}{|x-y|^{N+s p}} \mathrm{~d} y, \end{gathered} $

分数阶Sobolev空间和分数阶拉普拉斯算子的有关内容可参考文献[1-2]。在本文中，我们假设，

$ s \in(0, 1), N>s p \text {, 且 } 2 \leqslant p<q<p\left(1+\frac{2 s}{N}\right) \text { 。} $

近年来，各种带有分数阶拉普拉斯算子和非局部算子的模型被广泛研究。这些算子广泛应用于各领域，例如金融、流体动力学、人口动力学、图像处理等。在文献[3]中, 分数阶拉普拉斯变换被认为是稳定的径向对称Levy过程的无穷小生成器。Laskin在文献[4]中推导了分数薛定谔方程，这是将费曼路径积分从布朗运动扩展到量子力学路径的结果。更多涉及分数阶拉普拉斯算子的研究成果可参考文献[5-8]。

Fu和Pucci^[9]研究了下列含有分数阶的抛物方程的Dirichlet问题

$ \begin{gathered} u_{t}+(-\Delta)^{s} u=|u|^{p-2} u, x \in \Omega, t>0 \\ \text { 式中 } s \in(0, 1), N>2 s, 1<p \leqslant 2_{s}^{*}-1=\frac{N+2 s}{N-2 s} \text { 。} \end{gathered} $

作者引入了位势阱族，利用Galerkin近似方法证明了0 < Ju(u₀) < d时弱解的全局存在性，此外还得到了强解的真空隔离和爆破结果。

Pan等^[10]研究了下列涉及分数阶拉普拉斯算子的退化基尔霍夫型抛物方程

$ u_{t}+[u]_{s, p}^{(\lambda-1) p}(-\Delta)_{p}^{s} u=|u|^{q-2} u 。$

他们利用Galerkin方法和位势阱理论得到了解的全局存在结果。Yang和Tian等^[11]针对上述模型做了更深入的研究，借助位势阱族和凹凸性方法，分别讨论了次临界、临界和超临界初始能量下解的有限时间爆破结果，并得到了低和高初始能量下的爆破时间的上界。特别的，Zhang和Xiang等^[12]考虑了p=2时的情况，利用Galerkin方法和微分不等式技巧研究了非负解的局部存在和爆破条件，并得到了爆破时间的上下界。

Yang和Xiang^[13]考虑了下列非局部基尔霍夫型问题

$ u_{t}+M\left([u]_{s, p}^{p}\right)(-\Delta)_{p}^{s} u=\lambda|u|^{r-2} u-\mu|u|^{q-2} u 。$

通过合理的假设, 他们得到了解的消失和非消失结果, 并推广Gagliardo-Nirenberg不等式得到了更准确的解的衰减估计。

Zhou和Ding^[14]考虑了下列含有对数非线性项的非退化基尔霍夫型问题

$ u_{t}+M\left([u]_{s}^{2}\right) \gamma_{k} u=|u|^{p-2} u \log |u|_{\circ} $

他们得到了在适当假设条件下解的全局存在、有限爆破和爆破时间上下界的结果, 并考虑了基态解的存在性以及一般全局解的渐进行为。Yang和Xiang^[15]考虑了上述模型的退化情形, 在位势阱理论的基础上, 给出了高初始能量J(u₀)>d条件下在无穷远处消失的全局解的存在性以及有限时间爆破解的存在性。

Boudjeriou^[16]考虑了具有分数阶p拉普拉斯算子和对数非线性项的抛物方程的Dirichlet问题

$ u_{t}+(-\Delta)_{p}^{s} u+|u|^{p-2} u=|u|{ }^{p-2} u \log |u| $

(4)

Boudjeriou利用Galerkin近似的方法得到了解的局部存在性，结合位势阱理论，建立了解的全局存在结果，给出了全局解的衰减速度估计。并利用微分不等式技巧得到了适当假设条件下局部解在任意负初始能量下的有限爆破结果。此方程恰为方程(1)的q=p的特殊情形。

在上述工作的启发下, 本文研究公式$(1) \sim(3)$在$2 \leqslant p < q < p\left(1+\frac{2 s}{N}\right)$情形下解的爆破性质。分数阶$p$拉普拉斯算子和对数非线性源项对公式$(1) \sim(3)$的研究造成了一定的困难, 因此本文建立了适当的辅助函数, 借助位势阱理论和凹凸性方法, 得到了解的有限时间爆破和爆破时间上下界等结果。

1 预备知识

首先回顾一下分数Sobolev空间和分数阶p拉普拉斯算子的相关内容。

设$\Omega \subset {\bf R}^{\mathit N}$是具有Lipschitz边界的开集, 对任意的$p \in(1, \infty)$和任意的$0 < s < 1$, 考虑分数Sobolev空间

$W^{s, p}(\Omega)=\left\{u \in L^{p}(\Omega), u\right.$可测且$\left.[u]_{s, p} < \infty\right\}$, 其中$(s, p)$-Gagliardo半范数$[u]_{s, p}$定义为

$ [u]_{s, p}=\left(\int_{{\bf R}^{\mathit N}} \int_{{\bf R}^{\mathit N}} \frac{|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s p}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)^{\frac{1}{p}} 。$

为了得到问题$(1) \sim(3)$的弱解的存在性, 我们考虑$W^{s, p}(\Omega)$的子空间

$ \begin{gathered} W_{0}^{s, p}(\Omega)= \\ \left\{\begin{array}{l} u \in L^{p}(\Omega), [u]_{s, p}<\infty, u=0 \text { 在 } {\bf R}^{\mathit N} \backslash \Omega \text { 上} \\ \text { 几乎处处成立 } \end{array}\right\} \text { 。} \end{gathered} $

在${\bf R}^{\mathit N} \backslash \Omega$上令$u=0$, 则$W_{0}^{s, p}(\Omega)$中的函数$u$通过延拓可以定义在整个空间$W_{0}^{s, p}\left(\bf{R}^{\mathit N}\right)$上。

对于实数$0 < s < 1 < p < \infty$, 分数临界指标定义为

$ p_{s}^{*}=\left\{\begin{array}{l} \frac{N p}{N-s p}, s p<N, \\ \infty, \quad s p \geqslant N 。\end{array}\right. $

对任意的$1 \leqslant r \leqslant p_{s}^{*}, W_{0}^{s, p}(\Omega)$连续嵌人到$L^{r}(\Omega)$中,

即

$ \|u\|_{r} \leqslant C_{r}[u]_{s, p }。$

(5)

定义泛函

$ \begin{gathered} J(u)=\frac{1}{p}[u]_{s, p}^{p}+\frac{1}{p}\|u\|_{p}^{p}- \\ \frac{1}{q} \int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x+\frac{1}{q^{2}}\left\|_{u}\right\|_{q}^{q}, \\ I(u)=[u]_{s, p}^{p}+\|u\|_{p}^{p}-\int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x, \\ N=\left\{u \in X_{0} \mid I(u)=0\right\}, \\ \end{gathered} $

其中$ X_{0}=W_{0}^{s, p}(\Omega) \backslash\{0\}。$

定义位势阱$ N_{+} \text {和阱外集合} N-\text { 如下} $

$ N_{+}=\left\{u \in X_{0} \mid J(u)<d, I(u)>0\right\}, \\ N_{-}=\left\{u \in X_{0} \mid J(u)<d, I(u)<0\right\}, $

其中势阱深度

$ d=\inf \left\{J(u) \mid u \in X_{0}, I(u)=0\right\} 。$

显然,

$ \begin{gathered} J(u)=\frac{1}{q} I(u)+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)[u]_{s, p}^{p}+ \\ \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)\|u\|_{p}^{p}+\frac{1}{q^{2}}\|u\|_{q}^{q}。\\ \end{gathered} $

(6)

接下来给出问题(1)~(3)弱解的定义。

定义 1   若函数$u=u(x, t)$满足$u \in L^{\infty}\left(0, T_{*}\right.$; $\left.W_{0}^{s, p}(\Omega)\right), u_{t} \in L^{2}\left(0, T_{*}; L^{2}(\Omega)\right), u(\cdot, 0)=u_{0}(x) \in$ $X_{0}$, 且对任意的检验函数$\varphi \in W_{0}^{s, p}(\Omega)$, 以及几乎处处的$t \in\left(0, T_{*}\right)$, 都有

$ \begin{gathered} \int_{\Omega} u_{t} \varphi \mathrm{d} x+K^{s, p}(u, \varphi)+\int_{\Omega}|u|^{p-2} u \varphi \mathrm{d} x= \\ \int_{\Omega}|u|^{q-2} u \log |u| \varphi \mathrm{d} x, \end{gathered} $

其中

$ \begin{gathered} K^{s, p}(u, \varphi)= \\ \int_{{\bf R}^{\mathit N}} \int_{{\bf R}^{\mathit N}} \frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}(u(x)-u(y))}{|x-y|^{N+s p}} \cdot\\ (\varphi(x)-\varphi(y)) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x 。\end{gathered} $

则称$u$是问题$(1) \sim(3)$在$\Omega \times\left(0, T_{*}\right)$上的一个弱解。

为了得到本文主要结论，需要下列引理。

引理 1 ^[17]   设0 < T≤∞，非负函数F(t)∈C²[0, T)满足

$ F^{\prime \prime}(t) F(t)-(1+\gamma)\left(F^{\prime}(t)\right)^{2} \geqslant 0 $

其中, $\gamma>0$。如果$F(0)>0, F^{\prime}(0)>0$, 则

$ T \leqslant \frac{F(0)}{\gamma F^{\prime}(0)}<\infty \text {, } $

并且当$t \rightarrow T$时, $F(t) \rightarrow \infty$。

引理 2   设$u \in X_{0}$, 则有下列结论成立

(i) $0 < [u]_{s, p} < R$, 则$I(u)>0$,

(ii) $I(u) < 0$, 则$[u]_{s, p}>R$,

(iii) $I(u)=0$, 则$[u]_{s, p} \geqslant R$,

其中$R=\left(C\left(\frac{1}{2}\right)\right)^{-\frac{1}{p(r-1)}}$。

证明   由简单的计算可得, 对任意的$\sigma>0$和几乎处处的$x \in \Omega$, 都有$\log |u(x)| \leqslant \frac{|u(x)|^{\sigma}}{\sigma}$。所以, 选取适当的$\sigma$满足$0 < \sigma < p\left(1+\frac{2 s}{N}\right)-q$, 由插值不等式和(5)式可得

$ \begin{gathered} \int_{\Omega}|u|{ }^{q} \log |u| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{\sigma}\left\|_{u}\right\|_{q+\sigma}^{q+\sigma} \leqslant \\ C\|u\|_{p s^{*}}^{\theta(q+\sigma)}\|u\|_{p}^{(1-\theta)(q+\sigma)} \leqslant \\ C C_{p s^{*}}^{\theta(q+\sigma)}[u]_{s, p}^{\theta(q+\sigma)}\|u\|_{p}^{(1-\theta)(q+\sigma)} \leqslant \\ C[u]_{s, p}^{\theta(q+\sigma)}\left\|_{u}\right\|_{p}^{(1-\theta)(q+\sigma)}, \end{gathered} $

其中，

$ \theta=1-\left(\frac{1}{2 s}-\frac{1}{q+\sigma}\right)\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{p}+\frac{1}{2 s}\right)^{-1} \in(0, 1) \text { 。} $

由于$0 < \sigma < p\left(1+\frac{2 s}{N}\right)-q$, 可得$\frac{p}{(1-\theta)(q+\sigma)}>1$。对任意的$\varepsilon \in(0, 1)$, 利用Young不等式, 有

$ \int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x \leqslant C(\varepsilon)\left([u]_{s, p}^{p}\right)^{r}+\varepsilon\left\|_{u}\right\|_{p}^{p} \text { 。} $

因为$2 \leqslant p < q+\sigma < p\left(1+\frac{2 s}{N}\right)$, 所以

$r=\frac{\theta(q+\sigma)}{p-(1-\theta)(q+\sigma)}>1$。结合$I(u)$的定义,有

$ \begin{gathered} I(u)=[u]_{s, p}^{p}+\|u\|_{p}^{p}-\int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x \geqslant \\ (1-\varepsilon)\left\|{u}\right\|_{p}^{p}+[u]_{s, p}^{p}\left(1-C(\varepsilon)\left([u]_{s, p}^{p}\right)^{r-1}\right) 。\end{gathered} $

取$\varepsilon=\frac{1}{2}$, 可得

$ I(u) \geqslant[u]_{s, p}^{p}\left(1-C\left(\frac{1}{2}\right)\left([u]_{s, p}^{p}\right)^{r-1}\right) 。$

若$0 < [u]_{s, p} < R$, 则由上式可得$I(u)>0$。同理可证结论(ii) 和(iii) 成立。

引理 3 ^[14]    若$J\left(u_{0}\right) \leqslant d$, 则

(i) 当$u_{0} \in N_{+}$时, 对任意的$t \in[0, T), u(t) \in N_{+}$,

(ii) 当$u_{0} \in N_{-}$时, 对任意的$t \in[0, T), u(t) \in N_{-}$。

其中, $T$为解的最大存在时间。

引理 4   设$u \in X_{0}, I(u) < 0$, 则存在$\lambda * \in(0, 1)$, 使得$I(\lambda * u)=0$。

证明   由$I(u)$的定义可知,

$ \begin{gathered} I(\lambda u)=\lambda^{p}[u]_{s, p}^{p}+ \\ \lambda^{p}\|u\|_{p}^{p}-\lambda^{q} \int_{\Omega}|u|^{q} \log |\lambda u| \mathrm{d} x= \\ \lambda^{p}\left([u]_{s, p}^{p}+\|u\|_{p}^{p}-\lambda^{q-p} \int_{\Omega}|u|^{q} \log |\lambda u| \mathrm{d} x\right)= \\ \lambda^{p}\left([u]_{s, p}^{p}-\varphi(\lambda)\right), \end{gathered} $

其中$\varphi(\lambda)=\lambda^{q-p} \int_{\Omega}|u|^{q} \log |\lambda u| \mathrm{d} x-\|u\|_{p}^{p}$。从而由$I(u) < 0$, 可得

$ \varphi(1)>[u]_{s, p}^{p}>R^{p}>0 。$

(7)

另一方面,

$ \begin{gathered} \varphi(\lambda)=\lambda^{q-p} \int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x+ \\ \lambda^{q-p} \log |\lambda|\|u\|_{q}^{q}-\|u\|_{p}^{p} 。\end{gathered} $

因为$q>p$, 因此$\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0^{+}} \varphi(\lambda)=-\left\|{u}\right\|_{p}^{p} < 0$。结合(7) 式可得存在$\lambda^{*} \in(0, 1)$使得$I(\lambda * u)=0$。

引理 5   设$u \in X_{0}, I(u) < 0$, 则$I(u) < q(J(u)-$ d)。

证明   由引理4可知, 存在$\lambda * \in(0, 1)$, 使得$I(\lambda * u)=0$。令

$ g(\lambda)=q J(\lambda u)-I(\lambda u)=\\ \frac{\lambda^{p}(q-p)}{p}[u]_{s, p}^{p}+\frac{\lambda^{p}(q-p)}{p}\|u\|_{p}^{p}+\frac{\lambda^{q}}{q}\|u\|_{q}^{q}, $

则

$ \begin{gathered} g^{\prime}(\lambda)=\lambda^{p-1}(q-p)[u]_{s, p}^{p}+ \\ \lambda^{p-1}(q-p)\|u\|_{p}^{p}+\lambda^{q-1}\|u\|_{q}^{q} \geqslant \\ \lambda^{p-1}(q-p)[u]_{s, p}^{p}>\lambda^{p-1}(q-p) R^{p}>0 。\end{gathered} $

这意味着$g(\lambda)$关于$\lambda>0$是严格增的。因此由$\lambda * \in$ $(0, 1)$, 可得$g(1)>g\left(\lambda^{*}\right)$, 即

$ q J(u)-I(u)>q J\left(\lambda^{*} u\right)-I\left(\lambda^{*} u\right)=q J\left(\lambda^{*} u\right) \geqslant q d, $

最后一个不等式可由$d$的定义得到。

2 主要结论及证明

定理 1   (解的局部存在性) 设$u_{0} \in X_{0}$, 则存在一个正数$T$., 使得问题$(1) \sim(3)$在$\Omega \times\left(0, T_{*}\right)$上存在一个弱解$u(x, t)$满足定义1。而且对几乎处处的$t \in$ $\left[0, T_{*}\right], u(x, t)$满足能量不等式

$ \int_{0}^{t}\left\|u_{s}(s)\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+J(u(t)) \leqslant J\left(u_{0}\right) \text { 。} $

(8)

定理 2   若$J\left(u_{0}\right) \leqslant d, I\left(u_{0}\right) < 0, u_{0} \in X_{0}, u=$ $u(t)$是问题(1) $\sim(3)$的一个解, 则$u(t)$在有限时刻$T$爆破, 即

$ \lim \limits_{t \rightarrow T^{-}} \int_{0}^{t}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s=\infty \text { 。} $

此外,

(i) 若$J\left(u_{0}\right) < d$, 则

$ T \leqslant \frac{4(q-1)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{q\left(d-J\left(u_{0}\right)\right)(q-2)^{2}}, $

(ii) 若$2 \leqslant p < q < p\left(1+\frac{2 s}{N}\right) < p_{s}^{*}$, 则对任意的

$ \begin{array}{r} 0<\varepsilon<p\left(1+\frac{2 s}{N}\right)-q, \text { 有, } \\ T>\frac{\left\|_{u_{0}}\right\|_{2}^{2-2 \xi}}{2 \bar{C}(\xi-1)} 。\end{array} $

证明   首先, 证明爆破发生。

(a) $J\left(u_{0}\right) < d$。假设$u=u(t), t \in[0, T)$是问题$(1) \sim(3)$的弱解, 满足$J\left(u_{0}\right) < d, I\left(u_{0}\right) < 0$。由引理3可知, 对任意的$t \in[0, T), I(u) < 0$。下证$u(t)$在有限时刻爆破。采用反证法。假设$T=\infty$, 定义辅助函数

$ M(t)=\int_{0}^{t}\|u(s)\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s, t \in[0, T), $

则有

$ \begin{gathered} M^{\prime}(t)=\|u\|_{2}^{2}, \\ M^{\prime \prime}(t)=2\left(u, u_{t}\right)=-2 I(u) 。\end{gathered} $

由(6)和(8)式可得

$ \begin{gathered} -2 I(u) \geqslant-2 q J\left(u_{0}\right)+2 q \int_{0}^{t}\left\|_{u_{s}}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+ \\ \frac{2(q-p)}{p}[u]_{s, p}^{p}+\frac{2(q-p)}{p}\left\|_{u}\right\|_{p}^{p}+\frac{2}{q}\left\|_{u}\right\|_{q}^{q} 。\end{gathered} $

所以,

$ \begin{gathered} M^{\prime \prime}(t)=-2 I(u) \geqslant \\ -2 q J\left(u_{0}\right)+2 q \int_{0}^{t}\left\|u_{s}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+\frac{2(q-p)}{p}[u]_{s, p}^{p} \geqslant \\ -2 q J\left(u_{0}\right)+2 q \int_{0}^{t}\left\|u_{s}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+\frac{2(q-p)}{p C_{2}^{p}}\|u\|_{2}^{p}。\end{gathered} $

其中$C_{2}$由(5) 式定义。另外, 由

$ \begin{gathered} \left(\int_{0}^{t}\left(u_{s}, u\right) \mathrm{d} s\right)^{2}=\left(\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s\right)^{2}= \\ \left(\frac{1}{2}\left(\|u\|_{2}^{2}-\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}\right)\right)^{2}=\\ \frac{1}{4}\left(\left(M^{\prime}(t)\right)^{2}-2\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2} M^{\prime}(t)+\left\|u_{0}\right\|_{2}^{4}\right), \end{gathered} $

可得

$ \begin{gathered} M(t) M^{\prime \prime}(t)-\frac{q}{2}\left(M^{\prime}(t)\right)^{2} \geqslant \\ 2 q \int_{0}^{t}\left\|u_{s}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s \int_{0}^{t}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s-2 q\left(\int_{0}^{t}\left(u_{s}, u\right) \mathrm{d} s\right)^{2}+ \\ \frac{q}{2}\left\|u_{0}\right\|_{2}^{4}-q\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2} M^{\prime}(t)+\frac{2(q-p)}{p C_{2}^{p}}\left\|{u}\right\|_{2}^{p} M(t)- \\ 2 q J\left(u_{0}\right) M(t) \geqslant \\ \frac{2(q-p)}{p C_{2}^{p}}\left(M^{\prime}(t)\right)^{\frac{p}{2}} M(t)-q\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2} M^{\prime}(t)- \\ 2 q J\left(u_{0}\right) M(t) 。\end{gathered} $

因为$M^{\prime \prime}(t)=-2 I(u)>0$, 所以

$ M^{\prime}(t)>M^{\prime}(0)=\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}>0 \text { 。} $

因此

$ \begin{gathered} M(t) M^{\prime \prime}(t)-\frac{q}{2}\left(M^{\prime}(t)\right)^{2} \geqslant \\ \frac{2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}} M^{\prime}(t) M(t)-q\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2} M^{\prime}(t)- \\ 2 q J\left(u_{0}\right) M(t) 。\end{gathered} $

由引理5, 当$0 \leqslant t < \infty$时, 有

$ -2 I(u)>2 q(d-J(u)) \text { 。} $

所以

$ M^{\prime \prime}(t)=-2 I(u)>2 q(d-J(u))=C_{1}>0。$

从而

$ \begin{aligned} &M^{\prime}(t) \geqslant C_{1} t+M^{\prime}(0)>C_{1} t ;\\ &M(t) \geqslant \frac{C_{1}}{2} t^{2}+M(0)=\frac{C_{1}}{2} t^{2}。\end{aligned} $

即

$ \lim \limits_{t \rightarrow \infty} M(t)=\lim \limits_{t \rightarrow \infty} M^{\prime}(t)=\infty。$

所以存在$t_{0} \geqslant 0$满足

$ \begin{gathered} \frac{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}} M(t)>q\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}, t_{0} \leqslant t<\infty, \\ \frac{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}} M^{\prime}(t)>2 q J\left(u_{0}\right), t_{0} \leqslant t<\infty 。\end{gathered} $

因此对任意的$t_{0} \leqslant t < \infty$,

$ \begin{gathered} M(t) M^{\prime \prime}(t)-\frac{q}{2}\left(M^{\prime}(t)\right)^{2} \geqslant \\ \left(\frac{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}} M(t)-q\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}\right) M^{\prime}(t)+ \\ \left(\frac{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}} M^{\prime}(t)-2 q J\left(u_{0}\right)\right) M(t)>0 。\end{gathered} $

则由引理1可知$M(t)$的最大存在时间$T_{1}$满足$T_{1} <\infty$, 且$\lim \limits_{t \rightarrow T_{1}} M(t)=\infty$, 与$T=\infty$相矛盾, 从而满足条件的解在有限时间爆破。

(b) $J\left(u_{0}\right)=d$。因为对于任意的$t \geqslant 0$, 都有$I(u) < 0$, 从而$\left(u_{t}, u\right)=-I(u)>0, t \geqslant 0$。所以可得, 对于$t \geqslant 0, \left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}>0$。因此存在$t_{1}>0$满足

$ J\left(u\left(t_{1}\right)\right) \leqslant J\left(u_{0}\right)-\int_{0}^{t 1}\left\|u_{s}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s<d_{\circ} $

取$t_{1}$为初始时刻, 则重复(a) 的过程仍可得到爆破结果。

其次, 估计爆破时间的上界。

设$u(t)$是问题$(1) \sim(3)$满足$J\left(u_{0}\right) < d$, $I\left(u_{0}\right) < 0$的解, 则由第一步可知, $T < \infty$。定义 $\varphi(t)=\left(\int_{0}^{t}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s\right)^{\frac{1}{2}}, \psi(t)=\left(\int_{0}^{t}\left\|u_{s}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s\right)^{\frac{1}{2}} \text 。$对任意的t∈[0, T) 考虑函数

$ F(t)=\int_{0}^{t}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+(T-t)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+\beta(t+\alpha)^{2}, $

其中$\alpha, \beta$为待定正数。则对$t \in[0, T)$,

$ F^{\prime}(t)=\|u\|_{2}^{2}-\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+2 \beta(t+\alpha)>2 \beta(t+\alpha)>0 \text { 。} $

这意味着,

$ F(t) \geqslant F(0)=T\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+\beta \alpha^{2}>0 。$

另外,

$ F^{\prime \prime}(t)=-2 I(u)+2 \beta>2 q(d-J(u))+2 \beta \geqslant\\ 2 q\left(d-J\left(u_{0}\right)\right)+2 q \psi^{2}(t)+2 \beta \text { 。} $

由Schwartz不等式可知, 对$t \in[0, T)$,

$ \begin{aligned} &\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s=\int_{0}^{t}\left(u, u_{s}\right) \mathrm{d} s \leqslant \\ &\int_{0}^{t}\|u\|_{2}\left\|u_{s}\right\|_{2} \mathrm{~d} s \leqslant \varphi(t) \psi(t) 。\end{aligned} $

所以,

$ \begin{gathered} \left(F(t)-(T-t)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}\right)\left(\psi^{2}(t)+\beta\right)= \\ \varphi^{2}(t) \psi^{2}(t)+\beta \varphi^{2}(t)+\beta(t+\alpha)^{2} \psi^{2}(t)+ \\ \beta^{2}(t+\alpha)^{2} \geqslant \\ \varphi^{2}(t) \psi^{2}(t)+2 \beta \varphi(t) \psi(t)(t+\alpha)+\beta^{2}(t+\alpha)^{2}= \\ (\varphi(t) \psi(t)+\beta(t+\alpha))^{2} \geqslant \\ \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+\beta(t+\alpha)\right)^{2} \end{gathered} $

从而,

$ \begin{gathered} \left(F^{\prime}(t)\right)^{2}=4\left(\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+\beta(t+\alpha)\right)^{2} \leqslant \\ 4\left(F(t)-(T-t)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}\right)\left(\psi^{2}(t)+\beta\right) \leqslant \\ 4 F(t)\left(\psi^{2}(t)+\beta\right) 。\end{gathered} $

所以, 我们有, 当对$t \in[0, T)$时,

$ \begin{gathered} F^{\prime \prime}(t) F(t)-\frac{q}{2}\left[F^{\prime}(t)\right]^{2}>\\ F(t)\left(2 q\left(d-J\left(u_{0}\right)\right)+2 q \psi^{2}(t)+2 \beta\right)-\\ 2 q F(t)\left(\psi^{2}(t)+\beta\right)= \\ F(t)\left(2 q\left(d-J\left(u_{0}\right)\right)-2(q-1) \beta\right) 。\end{gathered} $

选取$\beta$充分小满足$0 < \beta < \frac{q\left(d-J\left(u_{0}\right)\right)}{q-1}$, 使得上式非们。则由引理1可知,

$ T \leqslant \frac{F(0)}{\left(\frac{q}{2}-1\right) F^{\prime}(0)}=\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{(q-2) \beta \alpha} T+\frac{\alpha}{q-2} 。$

取$\alpha$充分大满足$\alpha>\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{(q-2) \beta}$, 可得

$ T \leqslant \frac{\beta \alpha^{2}}{(q-2) \beta \alpha-\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}} 。$

令$\rho=\beta \alpha$, 则$T \leqslant \inf \limits_{(\rho, \alpha) \in \mathit \Phi} f(\rho, \alpha)$, 其中

$ f(\rho, \alpha)=\frac{\rho \alpha}{(q-2) \rho-\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}, \\ \mathit \Phi=\left\{(\rho, \alpha): \rho>\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{q-2}, \alpha \geqslant \frac{(q-1) \rho}{q\left(d-J\left(u_{0}\right)\right)}\right\} 。$

由计算可得,

$ T \leqslant \frac{4(q-1)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{q\left(d-J\left(u_{0}\right)\right)(q-2)^{2} 。} $

最后, 估计爆破时间的下界。

设$u(t)$是问题$(1) \sim(3)$满足$J\left(u_{0}\right) < d$, $I\left(u_{0}\right) < 0$的解, 则由第一步可知, $T < \infty$。定义

$ f(t)=\frac{1}{2}\|u\|_{2}^{2}, $

则

$ f(T)=\infty, $

(9)

且当$t \in[0, T)$时,

$ \begin{gathered} f^{\prime}(t)=-I(u)= \\ -[u]_{s, p}^{p}-\|u\|_{p}^{p}+\int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x>0。\end{gathered} $

选取适当的$\varepsilon$满足$0 < \varepsilon < p\left(1+\frac{2 s}{N}\right)-q$, 对任意的$2 \leqslant p < q+\varepsilon < p\left(1+\frac{2 s}{N}\right) < p_{s}^{*}$, 由插值不等式可得

$ \begin{gathered} \int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{\varepsilon}\|u\|_{q+e}^{q+e} \leqslant\\ C\|u\|_{p_{s}^{*}}^{\theta(q+e)}\|u\|_{2}^{(1-\theta)(q+e)} \leqslant\\ C C_{p_{s}^{*}}^{\theta(q+e)}[u]_{s, p}^{\theta(q+e)}\|u\|_{2}^{(1-\theta)(q+e)} \leqslant \\ \bar{C}\left(\|u\|_{p}^{p}+[u]_{s, p}^{p}\right)^{\frac{\theta(q+s)}{p}}\left(\|u\|_{2}^{2}\right)^{\frac{(1-\theta)(q+s)}{2}}<\\ \bar{C}\left(\int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x\right)^{\frac{\theta(q+\varepsilon)}{p}}\left(\|u\|_{2}^{2}\right)^{\frac{(1-\theta)(q+\varepsilon)}{2}} \leqslant\\ \bar{C}\left(\|u\|_{q+\varepsilon}^{q+\varepsilon}\right)^{\frac{\theta(q+\varepsilon)}{p}}\left(\|u\|_{2}^{2}\right)^{\frac{(1-\theta)(q+\varepsilon)}{2}}, \end{gathered} $

其中$\theta=\left(\frac{1}{2 s}-\frac{1}{q+\varepsilon}\right)\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{p}+\frac{1}{2 s}\right)^{-1} \in(0, 1)$。从而$\frac{\theta(q+\varepsilon)}{p} < 1$。所以

$ \left(\|u\|_{q+\varepsilon}^{q+\varepsilon}\right)^{1-\frac{\theta(q+\varepsilon)}{p}}<\bar{C}\left(\|u\|_{2}^{2}\right)^{\frac{(1-\theta)(q+\varepsilon)}{2}} $

即

$ \|u\|_{q+\varepsilon}^{q+\varepsilon}<\bar{C} ^{\frac{p}{p-\theta(q+\varepsilon)}}\left(\|u\|_{2}^{2}\right)^{{\frac{(1-\theta)(q+s)}{2}} \cdot \frac{p}{p-\theta(q+\varepsilon)}} 。$

(10)

令

$ \xi=\frac{p(1-\theta)(q+\varepsilon)}{2(p-\theta(q+\varepsilon))}>1, $

所以, 当$t \in[0, T)$时,

$ f^{\prime}(t)=-I(u) \leqslant \int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{\varepsilon}\|u\|_{q+\xi}^{q+\xi}<\\ \bar{C}\left(\|u\|_{2}^{2}\right)^{\xi}=2^{\xi} \bar{C}(f(t))^{\xi} \text { 。} $

(11)

下证对任意$t \in[0, T), f(t)>0$。采取反证法。若存在$t_{1} \geqslant 0$使得$u\left(t_{1}\right)_{2}^{2}=0$, 则与(10) 式矛盾。从而由(11) 式可得, 当$t \in[0, T)$时,

$ \frac{f^{\prime}(t)}{(f(t))^{\xi}}<2^{\xi} \bar{C}_{\text {。}} $

(12)

对(12) 式在$(0, t)$上积分可得,

$ (f(0))^{1-\xi}-(f(t))^{1-\xi}<2^{\xi} \bar{C}(\xi-1) t \text { 。} $

(13)

在(13) 式中令$t \rightarrow T$, 结合(9) 式可得

$ T>\frac{(f(0))^{1-\xi}}{2^{\xi} \bar{C}(\xi-1)}=\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2-2 \xi}}{2 \bar{C}(\xi-1)} \text { 。} $

此外, 对(12) 式在$(t, T)$上积分可得

$ \|u\|_{2}^{2}>\left(\frac{1}{(\xi-1) 2^{\xi} \bar{C}}\right)^{\frac{1}{\xi-1}}(T-t)^{-\frac{1}{\xi-1} 。} $

定理 3   若$J\left(u_{0}\right) < 0, u=u(t)$是问题$(1) \sim(3)$的弱解, 则$u(t)$在有限时间$T$爆破, 爆破时间上界为

$ T \leqslant \frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{q(2-q) J\left(u_{0}\right)} \text { 。} $

另外,

$ \|u\|_{2} \leqslant\left(\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{q}}{q(2-q) J\left(u_{0}\right)}\right)^{\frac{1}{q-2}}(T-t)^{-\frac{1}{q-2}} \text { 。} $

证明   令$\varphi(t)=\|u\|_{2}^{2}, \psi(t)=-2 q J(u)$。

比较$\varphi^{\prime}(t)$和$\psi(t)$, 易得

$ \begin{gathered} \varphi^{\prime}(t)=2\left(u, u_{t}\right)=-2 I(u)= \\ -2[u]_{s, p}^{p}-2\left\|{u}\right\|_{p}^{p}+2 \int_{\Omega}|u|^{q} \log |u| \mathrm{d} x \geqslant \psi(t) 。\end{gathered} $

(14)

另一方面, 由$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} J(u)=-\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2} \leqslant 0$, 可知

$ \psi^{\prime}(t)=-2 q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} J(u)=2 q\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2} \geqslant 0 。$

又$\psi(0)=-2 q J\left(u_{0}\right)>0, \psi^{\prime}(t) \geqslant 0$, 所以对于任意的$t \in[0, T)$, 有$\psi(t)>0$。

因为$J\left(u_{0}\right) < 0, I\left(u_{0}\right) < 0$, 因此由定理2可知, 对于任意的$t \in[0, T), \varphi(t)>0$。

又因为

$ \begin{gathered} \varphi(t) \psi^{\prime}(t)=2 q\|u\|_{2}^{2}\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2} \geqslant 2 q\left(\left(u, u_{t}\right)\right)^{2}=\\ 2 q\left(\frac{1}{2} \varphi^{\prime}(t)\right)^{2} \text {, } \end{gathered} $

结合(14) 式可得,

$ \varphi(t) \psi^{\prime}(t) \geqslant \frac{q}{2}\left(\varphi^{\prime}(t)\right)^{2} \geqslant \frac{q}{2} \varphi^{\prime}(t) \psi(t), $

即

$ \frac{\psi^{\prime}(t)}{\psi(t)} \geqslant \frac{q}{2} \frac{\varphi^{\prime}(t)}{\varphi(t)} \text { 。} $

(15)

对(15) 式在$(0, t)$上积分可得

$ \frac{\psi(t)}{(\varphi(t))^{\frac{q}{2}}} \geqslant \frac{\psi(0)}{(\varphi(0))^{\frac{q}{2}}}, $

从而有

$ \frac{\varphi^{\prime}(t)}{(\varphi(t))^{\frac{q}{2}}} \geqslant \frac{\psi(0)}{(\varphi(0))^{\frac{q}{2}}} \text { 。} $

(16)

对(16) 式在$(0, t)$上积分可得

$ \frac{1}{(\varphi(t))^{\frac{q}{2}-1}} \leqslant \frac{1}{(\varphi(0))^{\frac{q}{2}-1}}-\frac{q-2}{2} \frac{\psi(0)}{(\varphi(0))^{\frac{q}{2}}}t \text { 。} $

令$t \rightarrow T$, 可得

$ T \leqslant \frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{q(2-q) J\left(u_{0}\right)} \text { 。} $

此外, 对(16) 式在$(t, T)$上积分可得

$ \|u\|_{2} \leqslant\left(\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{q}}{q(2-q) J\left(u_{0}\right)}\right)^{\frac{1}{q-2}}(T-t)^{-\frac{1}{q-2}} 。$

定理 4   若$J\left(u_{0}\right) < \frac{q-p}{p q C_{2}^{p}}\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p}, u=u(t)$是问题(1) $\sim(3)$的弱解, 则$u(t)$在有限时间$T$爆破, 爆破上界估计为

$ T \leqslant \frac{8 p C_{2}^{p}(q-1)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{(q-2)^{2}\left(2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p}-2 p q C_{2}^{p} J\left(u_{0}\right)\right)} 。$

而且, 对于任意的$t \in[0, T), u(t)$的$L^{2}(\Omega)$范数呈指数形式增长, 即

$ \|u\|_{2}^{2} \geqslant\left(\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}-A J\left(u_{0}\right)\right) \mathrm{e}^{{\frac{2 q}{A}}{t}}+A J\left(u_{0}\right), $

其中

$ A=\frac{p q C_{2}^{p}}{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}} 。$

证明   首先, 证明爆破发生。

由（6）式和假设条件可知,

$ \begin{gathered} I\left(u_{0}\right)=q J\left(u_{0}\right)-\frac{q-p}{p}\left[u_{0}\right]_{s, p}^{p}-\frac{q-p}{p}\left\|_{u_{0}}\right\|_{p}^{p}- \\ \frac{1}{q}\left\|u_{0}\right\|_{q}^{q} \leqslant q J\left(u_{0}\right)-\frac{q-p}{p C_{2}^{p}}\left\|_{u_{0}}\right\|_{2}^{p}<0 。\end{gathered} $

下证对任意的$t \in[0, T), I(u) < 0$。采取反证法。假设存在$t_{0} \in(0, T)$, 使得$I\left(u\left(t_{0}\right)\right)=0$且$I(u(t)) < $ 0, 对任意的$t \in\left[0, t_{0}\right)$。因为对于$t \in\left[0, t_{0}\right)$, 都有

$ \frac{\mathrm{d} \mid u \|_{2}^{2}}{\mathrm{~d} t}=-2 I(u)>0_。$

因此$\left\|{u}(t)\right\|_{2}^{2}$关于$t \in\left[0, t_{0}\right)$严格增, 从而

$ J\left(u_{0}\right)<\frac{q-p}{p q C_{2}^{p}}\left\|{u_{0}}\right\|_{2}^{p}<\frac{q-p}{p q C_{2}^{p}}\left\|_{u\left(t_{0}\right)}\right\|_{2}^{p} 。$

(17)

另一方面,

$ \begin{gathered} \frac{q-p}{p q C_{2}^{p}} \|\left. u\left(t_{0}\right)\right|_{2} ^{p} \leqslant \frac{q-p}{p q}\left[u\left(t_{0}\right)\right]_{s, p}^{p} \leqslant \\ J\left(u\left(t_{0}\right)\right) \leqslant J\left(u_{0}\right), \end{gathered} $

与(17) 式矛盾。从而对任意的$t \in[0, T), I(u) < 0$。

下证对任意的$t \in[0, T)$, 我们只需考虑$J(u) \geqslant$ 0的情形。事实上, 若存在$t_{0}$满足$J\left(u\left(t_{0}\right)\right) < 0$, 则将$t_{0}$作为初始条件, 由定理3可知解在有限时间发生爆破。当$J(u) \geqslant 0$时, 利用反证法, 假设解是全局存在的。令

$ \varphi(t)=\frac{1}{2}\|u\|_{2}^{2}-\frac{p q C_{2}^{p}}{2(q-p)\left\|{u_{0}}\right\|_{2}^{p-2}} J(u(t)) 。$

则

$ \begin{gathered} \varphi^{\prime}(t)=-I(u)+\frac{p q C_{2}^{p}}{2(q-p)\left\|{u_{0}}\right\|_{2}^{p-2}} \|u_{t} \|_{2}^{2} \geqslant \\ \frac{q-p}{p C_{2}^{p}}\left\|{u}\right\|_{2}^{p}-q J(u) \geqslant \\ \frac{(q-p)\left\|u{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}} \|\left.u\right\|_{2} ^{2}-q J(u)= \\ \frac{2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}}\left(\frac{1}{2}\left\|{u}\right\|_{2}^{2}-\frac{p q C_{2}^{p}}{2(q-p)\left\|{u_{0}}\right\|_{2}^{p-2}} J(u)\right)= \\ \frac{2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}} \varphi(t), \end{gathered} $

此外, 由

$ \varphi(0)=\frac{1}{2} \|\left. u_{0}\right|_{2} ^{2}-\frac{p q C_{2}^{\beta}}{2(q-p) \|\left. u_{0}\right|_{2} ^{p-2}} J\left(u_{0}\right)>0 $

和$J(u) \geqslant 0$, 可得当$t \geqslant 0$时,

$ \frac{1}{2}\|u\|_{2}^{2} \geqslant \varphi(t) \geqslant \varphi(0) \mathrm{e}^{\frac{2(q-p)\left\|{u_{0}}\right\|_{2}^{p-2}}{_p {C_{2}^p}}{t}} 。$

(18)

另一方面, 由Hölder不等式和$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} J(u)=-\|u_{t} \|_{2}^{2} \leqslant 0$可得

$ \begin{gathered} \|u\|_{2}=\left\|u_{0}+\int_{0}^{t} u_{s} \mathrm{~d} s\right\|_{2} \leqslant\left\|u_{0}\right\|_{2}+\int_{0}^{t}\left\|u_{s}\right\|_{2} \mathrm{~d} s \leqslant \\ \left\|u_{0}\right\|_{2}+t^{\frac{1}{2}}\left(\int_{0}^{t}\left\|_{u_{s}}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant\\ \left\|u_{0}\right\|_{2}+t^{\frac{1}{2}}\left(J\left(u_{0}\right)-J(u)\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant \\ \left\|u_{0}\right\|_{2}+t^{\frac{1}{2}}\left(J\left(u_{0}\right)\right)^{\frac{1}{2}}, \end{gathered} $

所以

$ \sqrt{2 \varphi(0)} {\mathrm{e}^{\frac{(q-p)\|u_{0}\| {1}_{2}^{p-2}}{{{_p}{C}_{2}^p} }t}} \leqslant \|u_{0} \|_{2}+t^{\frac{1}{2}}\left(J\left(u_{0}\right)\right)^{\frac{1}{2}} 。$

(19)

当$t$充分大时, (19) 式不再成立, 因此假设不成立, 从而解在有限时间爆破。

其次, 估计爆破时间上界。

由前述证明可知, 最大存在时间$T < \infty$。对任意的$T_{1} \in(0, T)$, 构造辅助函数

$ G(t)=\int_{0}^{t}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+(T-t) \|\left. u_{0}\right|_{2} ^{2}+\beta(t+\alpha)^{2}, $

其中, $\alpha$和$\beta$为待定正数。对任意的$t \in\left[0, T_{1}\right]$, 计算可得

$ \begin{gathered} G(0)=T\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+\beta \alpha^{2}>0, \\ G^{\prime}(t)=\|u\|_{2}^{2}-\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+2 \beta(t+\alpha)>0, \\ G^{\prime}(0)=2 \beta \alpha>0, \\ G^{\prime \prime}(t)=-2 I(u)+2 \beta= \\ -2 q J(u)+\frac{2(q-p)}{p}[u]_{s, p}^{p}+ \\ \frac{2(q-p)}{p}\left\|u\right\|_{p} ^{p}+\frac{2}{q} \| u \|_{q}^{q}+2 \beta \geqslant \\ \frac{2(q-p)}{p C_{2}^{p}}\left\|{u}\right\|_{2}^{p}-2 q J\left(u_{0}\right)+2 q \int_{0}^{t}\left\|{u_{s}}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+2 \beta \geqslant \\ \frac{2(q-p)}{p C_{2}^{p}} \|u_{0}\|_{2}^{p}-2 q J\left(u_{0}\right)+2 q \int_{0}^{t} \| u_{s} \|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+2 \beta>0 \end{gathered} $

因此, 对任意的$t \in\left[0, T_{1}\right]$,

$ \begin{gathered} G(t) \geqslant G(0)>0 \text { 。} \end{gathered} $

令

$ \varphi(t)=\left(\int_{0}^{t}\left\|_{u}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s\right)^{\frac{1}{2}}, \psi(t)=\left(\int_{0}^{t}\left\|_{u_{s}}\right\|_{2}^{2} \mathrm{ds}\right)^{\frac{1}{2}}, $

则由定理2可得, 对任意的$t \in\left[0, T_{1}\right]$,

$ \begin{gathered} \left(G(t)-(T-t)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}\right)\left(\psi^{2}(t)+\beta\right) \geqslant \\ \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\|u\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+\beta(t+\alpha)\right)^{2}, \\ \left(G^{\prime}(t)\right)^{2} \leqslant 4 G(t)\left(\psi^{2}(t)+\beta\right) 。\end{gathered} $

所以

$ \begin{gathered} G(t) G^{\prime \prime}(t)-\frac{q}{2}\left(G^{\prime}(t)\right)^{2} \geqslant \\ G(t)\left(G^{\prime \prime}(t)-2 q\left(\int_{0}^{t}\left\|u{s}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} s+\beta\right)\right) \geqslant \\ G(t)\left(\frac{2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p}}{p C_{2}^{p}}-2 q J\left(u_{0}\right)-2(q-1) \beta\right) 。\end{gathered} $

取$\beta$充分小满足$\beta \in\left(0, \frac{\rho}{2(q-1)}\right]$, 其中

$ \rho=\frac{2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p}}{p C_{2}^{p}}-2 q J\left(u_{0}\right)>0 。$

因此,

$ G(t) G^{\prime \prime}(t)-\frac{q}{2}\left[G^{\prime}(t)\right]^{2} \geqslant 0 。$

由引理1可得

$ T_{1} \leqslant \frac{G(0)}{\left(\frac{q}{2}-1\right) G^{\prime}(0)}=\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{(q-2) \alpha \beta} T+\frac{\alpha}{q-2} 。$

令$T_{1} \rightarrow T$可得

$ T \leqslant \frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{(q-2) \alpha \beta} T+\frac{\alpha}{q-2}, $

取$\alpha$充分大满足

$ \alpha \in\left(\frac{\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{(q-2) \beta},+\infty\right) 。$

所以

$ \begin{gathered} T \leqslant \frac{\beta \alpha^{2}}{(q-2) \alpha \beta-\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}} \leqslant \\ \frac{8 p C_{2}^{p}(q-1)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}}{(q-2)^{2}\left(2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p}-2 p q C_{2}^{p} J\left(u_{0}\right)\right)} 。\end{gathered} \\ $

最后, 估计解的增长速度。

由前面证明可知, 对任意的$t \in[0, T), I(u)<$0。所以由$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\|u\|_{2}^{2}=-2 I(u)>0$可知, $\|u(t)\|_{2}^{2}$关于$t$是严格递增的。因此

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\|u\|_{2}^{2}-\frac{p q C_{2}^{p}}{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}} J\left(u_{0}\right)\right) \geqslant \\ -2 q J\left(u_{0}\right)+\frac{2(q-p)}{p C_{2}^{p}} \|u\|_{2}^{p} \geqslant \\ -2 q J\left(u_{0}\right)+\frac{2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}}\|u\|_{2}^{2} \geqslant \\ \frac{2(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}{p C_{2}^{p}}\left(\|u\|_{2}^{2}-\frac{p q C_{2}^{p}}{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}} J\left(u_{0}\right)\right), \end{gathered} $

这意味着,

$ \|u\|_{2}^{2} \geqslant\left(\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}-A J\left(u_{0}\right)\right) \mathrm{e}^{{\frac{2 q}{A}}{t}}+A J\left(u_{0}\right), $

其中,

$ A=\frac{p q C_{2}^{p}}{(q-p)\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p-2}}。$

3 结语

本文研究了问题(1)~(3) 弱解的有限时间爆破和爆破时间上下界。利用位势阱理论、凹凸性方法和微分不等式, 分别针对$J\left(u_{0}\right)<0 、J\left(u_{0}\right)<d$ 和 $0 \leqslant$ $J\left(u_{0}\right)<\frac{q-p}{p q C_{2}^{p}}\left\|u_{0}\right\|_{2}^{p}$三种不同的初始能量进行了讨论,得到了相应的爆破时间的上下界和解的增长估计。