分数阶微积分是对任意阶导数和积分的探索，从数学上讲，它是对经典微积分学的延伸^[1]。分数阶导数具有历史记忆的特性，也越来越多地出现在控制科学和工程领域的应用之中。对分数阶系统的稳定和控制问题进行深入研究是十分必要的，现已有大量相关成果^[2-8]。例如，文献[2]研究了针对分数阶系统的二次型李雅普诺夫函数，文献[3]将李雅普诺夫直接法推广到非线性分数阶系统，并给出了分数阶系统的Mittag-Leffler稳定的定义及充分判据，文献[4]研究了时滞分数阶神经网络的Mittag-Leffler同步问题，文献[5-6]研究了分数阶广义系统的镇定问题。

滑模控制是研究鲁棒控制问题的一种有效方法^[9-10]。近年来，滑模控制也被应用到分数阶系统中，提出了各种分数阶滑模控制策略和方法^[11-15]。文献[11-12]研究了针对分数阶混沌系统的鲁棒滑模控制器设计问题。文献[13]将滑模控制用于线性多变量分数阶系统的鲁棒调节问题。文献[14]设计了基于扰动观测器的分数阶系统的滑模控制器。文献[15]研究了分数阶系统的高阶滑模观测器问题。现有的分数阶滑模控制经常采用整数阶滑模控制的方法，即对滑模切换函数和李雅普诺夫函数求取一阶导数，进而获得等效控制并研究滑动模态的稳定性。然而，研究并发展分数阶的滑模控制方法和分数阶稳定性理论似乎会更有意义，例如构造分数阶型的切换函数并求分数阶导数。

无源性理论可以保持系统内部的稳定，这在控制理论中起着非常重要的作用。基于李雅普诺夫函数的稳定性理论也可以用无源性来解释，可以说是对稳定性的一种更高层次的抽象。然而，以往关于无源性的讨论主要集中在整数阶系统的情况下^[16-18]。据作者了解，分数阶广义系统的无源性分析尚未得到研究，本文首次尝试对具有时变不确定参数的分数阶广义系统进行鲁棒无源性分析。

针对一类含扰动的不确定分数阶广义系统，本文基于滑模方法讨论了其具有无源性能的鲁棒可容许性问题。本文工作的主要贡献可概括为以下两方面：

(1) 对带外部扰动的不确定分数阶广义系统设计分数阶积分型切换函数，利用分数阶稳定性理论对滑动模态进行稳定性分析并给出充分条件。

(2) 首次给出不确定分数阶广义系统鲁棒无源可容许性的充分性判据。

1 问题描述

考虑一类时变不确定分数阶广义系统

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{E}_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{u}(t)+\boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{x}(t)))+\boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t), \\ \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{D} \boldsymbol{\omega}(t), \end{array}\right. $

(1)

式中：α∈0，1；奇异矩阵E∈R^n×n的秩为r≤n；x(t)∈Rⁿ是状态变量，u(t)∈R^m是控制输入，y(t)∈R^l是输出变量，ω(t)∈R^p是范数有界的外部扰动；A(t)=A₁+ΔA₁(t)，C(t)=C₁+ΔC₁(t)，矩阵A₁、B₁、B₂、C₁和D均是已知的且具有合适的维数。ΔA₁(t)和ΔC₁(t)是时变的未知矩阵，代表系统的参数不确定性，满足ΔA₁(t)=M₁F(t)N，ΔC₁(t)=M₂F(t)N，矩阵M₁、M₂和N具有合适的维数，F(t)∈R^i×j是已知的有界函数，满足F^T(t)F(t)≤I。此外，未知的非线性函数h(t, x(t))∈R^m满足‖h(t, x(t))‖≤ι‖x(t)‖，其中常数ι>0。

${ }_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)$表示对x(t)求从0到t的α阶Caputo导数。下面给出几个本文将用到的重要预备知识，其他相关的分数阶微积分的定义和性质参见文献[1-3]。

定义1^[5] 分数阶广义系统

$ \boldsymbol{E}_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t), \alpha \in(0, 1) $

(2)

被称为是

(Ⅰ)正则的，如果存在常数s₀使得$\operatorname{det}\left(s_0^\alpha \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)$不为零；

(Ⅱ)无脉冲的，如果$\operatorname{deg}\left(\operatorname{det}\left(s_0^\alpha \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)\right)=r$；

(Ⅲ)渐近稳定性的，如果$\operatorname{det}(s \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=0$的所有有限根都满足$|\arg (s)|>\frac{\alpha {\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}$；

(Ⅳ)可容许的，如果系统同时是正则的、无脉冲的和渐近稳定的。

定义2  分数阶广义系统(1)被称为是鲁棒无源的，当u(t)=0时，如果存在常数γ>0使得下式

$ -\gamma \int_0^{t^*} \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{\omega}(t) \mathrm{d} t \leqslant 2 \int_0^{t^*} \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{y}(t) \mathrm{d} t $

对任意t^*>0和任意可容许的系统不确定性在零初始情况下都成立。

定义3  分数阶广义系统被称为是具有无源性能的鲁棒可容许的，如果系统对任何可容许的不确定性同时满足鲁棒无源性和可容许性。

引理1^[2]  对于分数阶系统

$ { }_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}(t)), \alpha \in(0, 1), $

(3)

如果x(t)=0是系统的平凡解，则系统(3)被称为是

(Ⅰ)稳定的，如果任意x(t)≠0使得x^T(t)·f(x(t))≤0成立；

(Ⅱ)渐近稳定的，如果任意x(t)≠0使得x^T(t)·f(x(t)) < 0成立。

引理2^[19]  Y和Z是具有合适维数的实矩阵，对任何满足V^TV≤I的矩阵V及常数ε>0，不等式

$ \boldsymbol{Y} \boldsymbol{V} \boldsymbol{Z}+(\boldsymbol{Y} \boldsymbol{V} \boldsymbol{Z})^{\mathrm{T}} \leqslant \varepsilon^{-1} \boldsymbol{Y} \boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}+\varepsilon \boldsymbol{Z}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Z} $

成立。

2 主要结果

本节针对分数阶广义系统设计了分数阶积分型切换函数和分数阶滑模控制方法，依次解决下面三个问题：

(1) 如何设计分数阶积分型切换函数并得到滑动模态方程？

(2) 如何确保滑动模态具有鲁棒无源性和可容许性，给出对应的充分条件，并确定控制反馈增益矩阵？

(3) 如何设计滑模控制律使状态轨迹可以到达预设的切换面？

2.1 分数阶积分型切换函数

分数阶积分型切换函数设计如下：

$ \boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{G} \boldsymbol{E} \boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_1 \boldsymbol{K}\right)_0 \boldsymbol{I}_t^\alpha \boldsymbol{x}(t), $

(4)

式中：G∈R^m×n需满足GB₁可逆；K∈R^m×n是控制反馈增益矩阵，将在后文给定。

根据分数阶微积分的性质^[1]，Ex(t)可改写为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{E x}(t)=\boldsymbol{E x}(0)+\boldsymbol{E}_0 \boldsymbol{I}_t^{\alpha } {}_0^c D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)= \\ \boldsymbol{E x}(0)+{ }_0 I_t^\alpha\left[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{u}(t)+\right. \\ \left.\boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{x}(t)))+\boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t)\right] 。\end{gathered} $

(5)

将式(5)代入式(4)，积分型切换函数变形为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{G} \boldsymbol{E} \boldsymbol{x}(0)+{ }_0 I_t^\alpha\left[\boldsymbol{G} \Delta \boldsymbol{A}_1(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{G B}_1(\boldsymbol{u}(t)+\right. \\ \left.\boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{x}(t))-\boldsymbol{K} \boldsymbol{x}(t))+\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t)\right] \end{gathered} $

对s(t)求α阶导数得

$ \begin{gathered} _0^C D_t^\alpha \boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{G} \Delta \boldsymbol{A}_1(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{x}(t))+ \\ \boldsymbol{u}(t)-\boldsymbol{K} \boldsymbol{x}(t))+\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t) 。\end{gathered} $

(6)

令${ }_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{s}(t)=\bf{0}$，得到等效控制

$ \begin{gathered} \boldsymbol{u}_{\mathrm{eq}}(t)=-\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1\right)^{-1} \boldsymbol{G}\left(\Delta \boldsymbol{A}_1(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t)\right)- \\ \boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{x}(t))+\boldsymbol{K} \boldsymbol{x}(t) 。\end{gathered} $

(7)

将式(7)代入式(1)，滑动模态被表示为

$ \begin{aligned} \boldsymbol{E}_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)= & \left(\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_1 \boldsymbol{K}\right) \boldsymbol{x}(t)+\left[\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}_1\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1\right)^{-1} \boldsymbol{G}\right] \cdot \\ & \left(\Delta \boldsymbol{A}_1(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t)\right) 。\end{aligned} $

(8)

为方便表示，下文将符号简记为：$\overline{\boldsymbol{A}}(t) \triangleq \widetilde{\boldsymbol{A}}+\hat{\boldsymbol{A}}(t)$，$\overline{\boldsymbol{B}} \triangleq \widetilde{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{B}_2$，$\widetilde{\boldsymbol{A}} \triangleq \boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_1 \boldsymbol{K}$，$\hat{\boldsymbol{A}}(t) \triangleq \widetilde{\boldsymbol{G}} \Delta \boldsymbol{A}_1(t)$，$\overline{\boldsymbol{M}}_1 \triangleq \widetilde{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{M}_1$，$\widetilde{\boldsymbol{G}} \triangleq \boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}_1\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1\right)^{-1} \boldsymbol{G}$。

因此，滑动模态(8)和系统(1)中的输出方程可写作

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{E}_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)=\overline{\boldsymbol{A}}(t) \boldsymbol{x}(t)+\overline{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{\omega}(t) \\ \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}(t) \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{D} \boldsymbol{\omega}(t) \end{array}。\right. $

(9)

2.2 具有无源性能的鲁棒可容许性分析

本小节研究式(9)中滑动模态和输出方程的鲁棒无源性和可容许性问题，具体分为两步：第一步，假设系统(9)中包含矩阵K在内的所有矩阵都是已知的，给出系统(9)在满足无源性条件下的鲁棒可容许充分判据。第二步，确定控制反馈增益矩阵K，使系统(9)实现具有无源性能的鲁棒可容许性。

定理1  给定常数γ>0，分数阶系统(9)是具有无源性能的鲁棒可容许的，如果存在矩阵P∈R^n×n和常数ε>0，使得

$ \begin{gathered} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} \geqslant 0, \\ {\left[\begin{array}{ccc} \mathit{\boldsymbol{\varPi}}_1 & \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{C}_1^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{M}}_1 \\ * & -\gamma \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} & -\boldsymbol{M}_2 \\ * & * & -\varepsilon \boldsymbol{I} \end{array}\right]<0} \end{gathered} $

(10)

成立，其中，$\mathit{\boldsymbol{\varPi}}_1=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{A}}+\widetilde{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}+\varepsilon \boldsymbol{N}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{N}$。

证明 首先考虑标称情况，当系统(9)中的不确定项ΔA₁(t)=0和ΔC₁(t)=0时，系统(9)被写作

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{E}_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{x}(t)=\widetilde{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{x}(t)+\overline{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{\omega}(t) \\ \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}_1 \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{D} \boldsymbol{\omega}(t) \end{array}。\right. $

(11)

构造李雅普诺夫函数

$ V(\boldsymbol{x}(t)) \triangleq \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E} \boldsymbol{x}(t) 。$

对V(x(t))求α阶导数，可以得到

$ \begin{gathered} { }_0^C D_t^\alpha V(\boldsymbol{x}(t))={ }_0^C D_t^\alpha\left(\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E} \boldsymbol{x}(t)\right) \leqslant \\ 2 \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(\widetilde{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{x}(t)+\overline{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{\omega}(t)) 。\end{gathered} $

令

$ \boldsymbol{\chi}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{A}}+\widetilde{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} & \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{C}_1^{\mathrm{T}} \\ * & -\boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \end{array}\right], \boldsymbol{\varphi}(t)=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{x}(t) \\ \boldsymbol{\omega}(t) \end{array}\right] 。$

结合式(10)可知χ < 0，因此

$ \begin{gathered} { }_0^C D_t^\alpha V(\boldsymbol{x}(t))-2 \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{y}(x)-\gamma \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{\omega}(t) \leqslant \\ \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{\chi} \boldsymbol{\varphi}(t)<0 。\end{gathered} $

(12)

对上式不等号两侧作关于t的[0，t^*](∀t^*>0)区间上的一阶积分，由于V(x(t))>0，故

$ \begin{gathered} { }_0 I_{t^*}^1{ }_0^C D_t^\alpha V(\boldsymbol{x}(t))={ }_0 I_{t^*}^{1-\alpha}{ }_0 I_{t^*}^\alpha{ }_0^C D_t^\alpha V(\boldsymbol{x}(t))= \\ { }_0 I_{t^*}^{1-\alpha} V(\boldsymbol{x}(t))=\frac{1}{\mathit{\Gamma }(1-\alpha)} \int_0^{t^*} \frac{V(\boldsymbol{x}(\zeta))}{\left(t^*-\zeta\right)^\alpha} \mathrm{d} \sigma>0 \end{gathered} $

(13)

在零初始条件下成立。因此，对∀t^*>0，

$ -\gamma \int_0^{t^*} \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{\omega}(t) \mathrm{d} t \leqslant 2 \int_0^{t^*} \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{y}(t) \mathrm{d} t $

在零初始情况下成立，故分数阶系统(11)是鲁棒无源的。

另一方面，对矩阵P和$\widetilde{\boldsymbol{A}}$进行相同维数的分块$\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{P}_{11} & \boldsymbol{P}_{12} \\ \boldsymbol{P}_{21} & \boldsymbol{P}_{22} \end{array}\right]$，$\widetilde{\boldsymbol{A}}=\left[\begin{array}{cc} \widetilde{\boldsymbol{A}}_{11} & \widetilde{\boldsymbol{A}}_{12} \\ \widetilde{\boldsymbol{A}}_{21} & \widetilde{\boldsymbol{A}}_{22} \end{array}\right]$，P₁₁∈R^r×r。由χ < 0可以得到$\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{A}}+\widetilde{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}<0$，即

$ \left[\begin{array}{cc} \circledast & \circledast \\ \circledast & \boldsymbol{P}_{22}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}+\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{22} \end{array}\right]<0, $

其中$\circledast$表示讨论中未使用的矩阵块。从而$\boldsymbol{P}_{22}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}+\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{22}<0$，显然$\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}$是非奇异的。否则，如果$\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}$是奇异矩阵，则存在向量ξ≠0使得$\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22} \boldsymbol{\xi}=\bf{0}$，从而，$\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{P}_{22}^{\mathrm{T}} \cdot\right.\left.\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}+\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{22}\right) \boldsymbol{\xi}=\bf{0}$这与$\boldsymbol{P}_{22}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}+\widetilde{\boldsymbol{A}}_{22}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{22}<0$矛盾。因此，标称系统(11)是正则和无脉冲的^[7]。

并且，当ω(t)=0时，根据式(12)和引理1，可知系统(11)同时是渐近稳定的，由定义1进而实现可容许性。

下面考虑一般情况。用A(t)和C(t)代替$\widetilde{\boldsymbol{A}}$和C₁，用

$ \begin{array}{c} & \hat{\boldsymbol{\chi}}(t) \triangleq\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{A}}(t)+\overline{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{P} & \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}(t) \\ * & -\gamma \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]= \\ & \boldsymbol{\chi}+\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{M}}_1 \\ -\boldsymbol{M}_2 \end{array}\right] \boldsymbol{F}(t)\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{N} & \bf{0} \end{array}\right]\right)+ \\ &\left(\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{M}}_1 \\ -\boldsymbol{M}_2 \end{array}\right] \boldsymbol{F}(t)\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{N} & \bf{0} \end{array}\right]\right)^{\mathrm{T}} \end{array} $

(14)

代替χ。根据引理2可知

$ \begin{gathered} \hat{\boldsymbol{\chi}}(t) \leqslant \widetilde{\boldsymbol{\chi}} \triangleq \boldsymbol{\chi}+\boldsymbol{\varepsilon}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{N}^{\mathrm{T}} \\ \bf{0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{N} & \bf{0} \end{array}\right]+ \\ \frac{1}{\varepsilon}\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{M}}_1 \\ -\boldsymbol{M}_2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \overline{\boldsymbol{M}}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} & -\boldsymbol{M}_2^{\mathrm{T}} \end{array}\right] 。\end{gathered} $

(15)

结合Schur补定理，由式(10)可知$\widetilde{\boldsymbol{\chi}}<0$, 从而$\hat{\boldsymbol{\chi}}(t)<0$，接下来的证明过程与特殊情况下相同。因此，系统(9)是具有无源性能的鲁棒可容许的。

注1  无源性问题早已被研究过，但它们的结果是在整数阶情况下建立的^[16-18]。需要注意的是，为分数阶广义系统构建适当的无源性标准并不是一项简单的任务。本文巧妙地利用区间参数和分数阶微积分的性质，解决了参数间切换的复杂性。

注2  当定理1的条件满足时，系统(9)可以实现具有无源性能的鲁棒可容许性，但实际上矩阵$\widetilde{\boldsymbol{A}}$中包含未知的控制增益矩阵K。下面给出求解增益矩阵K的条件，同时使得系统(9)是无源和鲁棒可容许的。

定理2  给定常数γ>0，系统(9)是具有无源性能的鲁棒可容许的，如果存在常数ε>0，矩阵H∈R^m×n和L∈R^n×n，使得

$ \left[\begin{array}{cccc} \mathit{\boldsymbol{\varPi}}_2 & \overline{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{L}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_1^{\mathrm{T}} & \overline{\boldsymbol{M}}_1 & \boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{L}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{N}^{\mathrm{T}} \\ * & -\gamma \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} & -\boldsymbol{M}_2 & \bf{0} \\ * & * & -\varepsilon \boldsymbol{I} & \bf{0} \\ * & * & * & -\varepsilon \boldsymbol{I} \end{array}\right]<0 $

(16)

成立，其中，$\mathit{\boldsymbol{\varPi}}_2=\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}_1^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}_1 \boldsymbol{H}+\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}_1^{\mathrm{T}}$。且式(4)中的矩阵K被给定为K=HL^－1。

证明 结合Schur补定理，由式(16)可得

$ \left[\begin{array}{ccc} \mathit{\boldsymbol{\varPi}}_2+\varepsilon \boldsymbol{L}^{\mathrm{T}} \bf{N}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{N} \boldsymbol{L} & \overline{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{L}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_1^{\mathrm{T}} & \overline{\boldsymbol{M}}_1 \\ * & -\gamma \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} & -\boldsymbol{M}_2 \\ * & * & -\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{I} \end{array}\right]<0 。$

(17)

利用diag{L^－T，I，I}对式(17)做合同变换，因合同变换不改变负定性质，再结合H=KL可得

$ \left[\begin{array}{ccc} \mathit{\boldsymbol{\varPi}}_3 & \boldsymbol{L}^{-\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{C}_1^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{L}^{-\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{M}}_1 \\ * & -\gamma \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} & -\boldsymbol{M}_2 \\ * & * & -\varepsilon \boldsymbol{I} \end{array}\right]<0, $

其中，$\mathit{\boldsymbol{\varPi}}_3=\boldsymbol{L}^{-\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{A}}+\widetilde{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{L}^{-\mathrm{T}}+\boldsymbol{\varepsilon} \bf{N}^{\mathrm{T}} \bf{N}$。当式(10)中的P取P=L^－1时，定理1中的条件可以满足，因此系统(9)是具有无源性能的鲁棒可容许。

2.3 滑模控制律

本小节设计了滑模控制器，使系统(1)中的状态轨迹在其作用下可以到达切换面。

定理3  切换函数s(t)由式(4)给出，s(t)中的矩阵G满足GB₁可逆，矩阵K由定理2得到。设计滑模控制器如下：

$ \begin{gathered} \boldsymbol{u}(t)=\boldsymbol{K} \boldsymbol{x}(t)-\left(\boldsymbol{G B}_1\right)^{-1}\left(\left\|\boldsymbol{G M}_1\right\|\|\boldsymbol{N} \boldsymbol{x}(t)\|+\right. \\ \left.\iota \left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1\right\|\|\boldsymbol{x}(t)\|+\left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_2\right\|\|\boldsymbol{\omega}(t)\|+\rho\right) \cdot \\ \operatorname{sgn}(\boldsymbol{s}(t)), \end{gathered} $

(18)

式中ρ>0，系统(1)的状态轨迹可以到达切换面s(t)=0。

证明 将u(t)代入到式(6)中得到

$ \begin{gathered} { }_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{G} \Delta \boldsymbol{A}_1(t) \boldsymbol{x}(t)-\left(\left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{M}_1\right\|\|\boldsymbol{N} \boldsymbol{x}(t)\|+\right. \\ \left.\iota \left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1\right\|\|\boldsymbol{x}(t)\|+\left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_2\right\|\|\boldsymbol{\omega}(t)\|+\rho\right) \cdot \\ \quad \operatorname{sgn}(\boldsymbol{s}(t))+\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1 \boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{x}(t))+\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t) 。\end{gathered} $

(19)

选取李雅普诺夫候选函数

$ \mathit{\boldsymbol{\psi }}(t)=\frac{1}{2} \boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{s}(t) 。$

对Ψ(t)求α阶导数，从而得到

$ \begin{gathered} { }_0^C D_t^\alpha \mathit{\boldsymbol{\psi }}(t) \leqslant \boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(t){ }_0^C D_t^\alpha \boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(t)\left(\boldsymbol{G} \Delta \boldsymbol{A}_1(t) \boldsymbol{x}(t)+\right. \\ \boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1 \boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{x}(t))+\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_2 \boldsymbol{\omega}(t)-\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(t)\left(\left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{M}_1\right\|\|\boldsymbol{N} \boldsymbol{x}(t)\|+\right. \\ \left.\iota \left\|\boldsymbol{G B}_1\right\|\|\boldsymbol{x}(t)\|+\left\|\boldsymbol{G B}_2\right\|\|\boldsymbol{\omega}(t)\|+\rho\right) \operatorname{sgn}(\boldsymbol{s}(t)) \leqslant \\ \|\boldsymbol{s}(t)\|\left(\left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{M}_1\right\|\|\boldsymbol{N} \boldsymbol{x}(t)\|+\iota \left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_1\right\|\|\boldsymbol{x}(t)\|+\right. \\ \left.\left\|\boldsymbol{G B}_2\right\|\|\boldsymbol{\omega}(t)\|\right)-\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(t)\left(\left\|\boldsymbol{G M}_1\right\|\|\boldsymbol{N} \boldsymbol{x}(t)\|+\right. \\ \left.\iota\left\|\boldsymbol{G B}_1\right\|\|\boldsymbol{x}(t)\|+\left\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{B}_2\right\|\|\boldsymbol{\omega}(t)\|\right) \operatorname{sgn}(\boldsymbol{s}(t))- \\ \rho \boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(t) \operatorname{sgn}(\boldsymbol{s}(t)) \leqslant-\rho\|\boldsymbol{s}(t)\|<0, \end{gathered} $

(20)

其中s^T(t)sgn(s(t))≥‖s(t)‖。因此，状态轨迹可以到达切换面。

3 数值算例

对不确定分数阶广义系统(1)赋予如下参数：

$ \begin{aligned} \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \boldsymbol{A}_1=\left[\begin{array}{ccc} -1.5 & 0.4 & 0.2 \\ 0.3 & -0.6 & 0.4 \\ 0.9 & 0.6 & 1.1 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{B}_1=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0.7 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{B}_2=\left[\begin{array}{c} 0.4 \\ 0.5 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{C}_1=\left[\begin{array}{lll} 1.4 & 2 & 1.7 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{M}_1=\left[\begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0.2 \\ 0.3 & 0.6 & 0.1 \\ 0.4 & 0.2 & 0.3 \end{array}\right], \boldsymbol{N}=\left[\begin{array}{ccc} 0.2 & 0.1 & 0.2 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 \\ 0.1 & 0.3 & 0.8 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{D}=0.4, \boldsymbol{M}_2=\left[\begin{array}{lll} 0.3 & 0.4 & 0.3 \end{array}\right], \boldsymbol{G}=\left[\begin{array}{lll} 0.85 & 1 & 0 \end{array}\right] 。\end{aligned} $

此外，令α=0.85，函数h(t, x(t))=0.1e^－tx(t)，即ι=0.1，外部扰动$\boldsymbol{\omega}(t)=\frac{1}{1+t^2}$。我们的目标是利用式(18)给出的控制器u(t)，使系统(1)同时具有鲁棒无源性和可容许性。

利用MATLAB软件对定理2中的式(16)进行求解，可得ε=0.6，矩阵

$ \begin{aligned} & \boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{cccccc} 0.476 0 & 0.423 8 & -0.571 2 \end{array}\right], \\ & \boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{rrl} 0.7816 & 0.2899 & 0 \\ 0.2899 & 0.8573 & 0 \\ -0.8378 & -1.0203 & 0.184 \end{array}\right] \text {, } \end{aligned} $

从而K=[－1.750 4  －2.607 1  －3.103 3]。取参数ρ=0.01，给定初始条件x₀=[－10  6.8  9.5]。结合上述所有给出的条件，仿真结果如图 1~3所示，图 1代表的是状态轨迹x(t)，图 2描述的是切换函数s(t)，图 3表示的是控制器u(t)。

4 结语

本文针对带外部扰动的不确定分数阶广义系统设计了分数阶积分型切换函数，计算了切换函数的分数阶导数并使其为0，得到了等效控制，设计了滑模控制器使状态轨迹到达切换面。利用区间参数和分数阶微积分的性质，通过线性矩阵不等式首次给出了滑动模态具有无源性能的鲁棒可容许性的充分性判据，并且解决了滑动模态的鲁棒无源化问题。本文给出的鲁棒无源分析方法也可尝试推广到分数阶奇异摄动系统和分数阶时滞系统。