0 引言

物质平衡法是油藏工程重要的研究方法，可以用来计算油气藏的地质储量、判断油气藏的驱动类型、估算油气藏天然水侵量、预测油气藏动态等。在应用物质平衡方程求解油藏实际问题时，一般都要对其进行线性化处理^[1-4]。油藏累积采油量的地下体积与油藏压降之间的关系曲线被称为油藏生产指示曲线，封闭未饱和弹性驱动油藏的生产指示曲线被认为是一条直线，因此油藏生产指示曲线可以用来进行驱动类型的判断^{[3, 5]}。把弹性驱动油藏的生产指示曲线看作一条直线的前提是油藏的有效压缩系数为常数，然而原油压缩系数并非常数，而是一个随着地层压力增大而减小的变量，只是在一定的压力范围之内，通常将其视为常数而已^{[3, 6]}。因此，弹性驱动油藏的生产指示曲线并非一条直线，而是一条曲线，并且油藏压降越大，曲线偏离直线越明显。缝洞型碳酸盐岩油藏埋藏较深，如塔河油田奥陶系缝洞型油藏埋深5 300~7 000 m，地层压力较高，一般属于未饱和油藏，地层压力与饱和压力差值较大，可达50 MPa以上，原始地层压力与饱和压力下的原油压缩系数差别很大，可相差几倍，甚至十几倍^[7-9]。因此，缝洞型油藏根据该油藏生产指示曲线进行油藏驱动类型判断、地质储量计算与油藏动态预测等研究将会存在明显的误差。

针对缝洞型碳酸盐岩油藏，通过建立原油体积系数、原油压缩系数与地层压力的函数关系式，简化弹性驱动物质平衡方程，建立新型的油藏生产指示曲线，以期能够更加准确地进行油藏研究。

1 油藏生产指示曲线存在问题

弹性驱动是指开采原油的驱动能量全部来自油藏自身的弹性膨胀能，油藏为未饱和油藏，不存在气顶，油藏既不注水，也没有其他外来能量的参与。封闭未饱和孔隙型砂岩油藏弹性驱动的物质平衡方程可表示为^[3]

$ N_{\mathrm{p}} B_{\mathrm{o}}=N B_{\mathrm{oi}} C_{\mathrm{eff}} \Delta p $

(1)

$ C_{\mathrm{eff}}=C_{\mathrm{o}}+\frac{S_{\mathrm{wi}} C_{\mathrm{w}}+C_{\mathrm{p}}}{S_{\mathrm{oi}}} $

(2)

式中：N_p为地面条件下的累积产油量，万m³；N为地面条件下的原油地质储量，万m³；B_o为当前地层压力下原油的体积系数，m³/m³；C_eff为油藏的有效压缩系数，MPa^-1；B_oi为原始地层压力下原油的体积系数，m³/m³；Δp为油藏压降，MPa；C_o，C_w，C_p分别为地层原油、地层水、岩石压缩系数，MPa^-1；S_wi为束缚水饱和度，小数；S_oi为原始含油饱和度，小数。

缝洞型碳酸盐岩油藏的储集空间以大型溶洞为主，溶洞是主要的储集空间与产量的主要贡献者，灰岩基质不能作为有效储集层，而是以一种渗流屏障的形式存在^[10-15]。为简化研究，忽略束缚水与岩石的压缩系数，仅考虑地层原油的压缩系数，因此缝洞型油藏的有效压缩系数可简化为

$ {C_{{\rm{eff}}}} = {C_{\rm{o}}} $

(3)

由式（1）、式（2）、与式（3），得到封闭定容未饱和缝洞型油藏弹性驱动的物质平衡方程

$ {N_{\rm{p}}}{B_{\rm{o}}} = N{B_{{\rm{oi}}}}{C_{\rm{o}}}\Delta p $

(4)

由式（4）可知，缝洞型油藏弹性驱动的油藏生产指示曲线，即累积采油量的地下体积N_pB_o与油藏压降Δp的关系曲线，其斜率为NB_oiC_o，由于油藏的原油地质储量N以及原始地层压力下的原油体积系数B_oi为定值，因此油藏生产指示曲线的斜率取决于原油压缩系数C_o的变化。

原油压缩系数是一个随着压力增大而减小的变量^{[3, 6, 8]}。1980年，Vasquez等^[16]在对4 036个实验数据点进行线性回归分析后，提出了饱和压力之上地层原油等温压缩系数的相关经验公式

$ {C_{\rm{o}}} = \frac{{28.075{\kern 1pt} {R_{{\rm{sb}}}} + 30.96{\kern 1pt} T - 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} 180{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\gamma _{{\rm{gs}}}} + \frac{{1{\kern 1pt} {\kern 1pt} 784.315}}{{{\gamma _{\rm{o}}}}} - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} 540.815}}{{{{10}^5}{\kern 1pt} p}} $

(5)

$ {\gamma _{{\rm{gs}}}} = {\gamma _{\rm{g}}}\left[ {1 + 0.248{\kern 1pt} {\kern 1pt} 8\left( {\frac{{1.076}}{{{\gamma _{\rm{o}}}}} - 1} \right)\left( {0.056{\kern 1pt} {\kern 1pt} 25{\kern 1pt} {T_{{\rm{sep}}}} + 1} \right)\left( {\log {p_{{\rm{sep}}}} + 0.101{\kern 1pt} {\kern 1pt} 9} \right)} \right] $

(6)

式中：R_sb为饱和压力下的溶解气油比，m³/m³；T为油藏温度，℃；p为地层压力，MPa；T_sep为分离器温度，℃；γ_gs为参考分离器压力0.689 MPa（100 psi）下分离气体的相对密度，小数；γ_o为油罐油相对密度，小数；γ_g为分离器压力与分离器温度下分离气体的相对密度，小数；p_sep为分离器压力，MPa。

$ B = \frac{{28.075{\kern 1pt} {\kern 1pt} {R_{{\rm{sb}}}} + 30.96{\kern 1pt} {\kern 1pt} T - 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} 180{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\gamma _{{\rm{gs}}}} + \frac{{1{\kern 1pt} {\kern 1pt} 784.315}}{{{\gamma _{\rm{o}}}}} - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} 540.815}}{{{{10}^5}}} $

(7)

则原油压缩系数的Vasquez-Beggs经验公式，即式（6）可简化为

$ {C_{\rm{o}}} = \frac{B}{p} $

(8)

由式（7）可知，当原油相对密度γ_o、天然气相对密度γ_g、油藏温度T与饱和压力下的溶解气油比R_sb一定时，系数B为常数，此时原油压缩系数C_o只与地层压力p有关。由式（8）可知，地层原油的等温压缩系数C_o与地层压力p成反比，地层压力p越大，原油压缩系数C_o越小^{[8, 17-18]}。

因此，缝洞型油藏弹性驱动的油藏生产指示曲线的斜率NB_oiC_o不是常数，而是随着地层压力增大而减小的变量，即弹性驱动的油藏生产指示曲线本身就是一条曲线，而非一条直线。如图 1所示，假设地层原油压缩系数为常数得到的油藏生产指示曲线直线形式，与实际的油藏生产指示曲线存在明显偏差，而且油藏压降越大，偏离直线越明显。因此，对于超深的缝洞型油藏来讲，利用该油藏生产指示曲线进行油藏驱动类型判断、地质储量计算以及水侵量的计算等将会产生很大的误差，需要进行改进。

2 原油体积系数、原油压缩系数与地层压力的函数关系式

油藏物质平衡方程中涉及的原油高压物性参数包括原油体积系数B_o与原油压缩系数C_o，饱和压力之上两者均随着地层压力增大而减小。因此，通过建立原油体积系数、原油压缩系数与地层压力的函数关系式，简化物质平衡方程，从而建立新的油藏生产指示曲线。

地层原油的等温压缩系数是指单位压力变化下原油的体积变化率，可由原油体积系数表示^[3]

$ {C_{\rm{o}}} = - \frac{1}{{{B_{\rm{o}}}}}\frac{{{\rm{d}}{B_{\rm{o}}}}}{{{\rm{d}}p}} $

(9)

由式（9）可知，只要得到原油体积系数与地层压力的函数关系式，就可以得到原油压缩系数与地层压力的函数关系式。

2.1 原油体积系数与地层压力不符合线性关系

目前一般是把饱和压力之上的原油体积系数与地层压力作为线性函数处理^[19]（图 2中的直线部分）。

假设饱和压力之上原油体积系数与地层压力的线性函数关系式为

$ {B_{\rm{o}}} = mp + n $

(10)

式中：m，n分别为函数关系式的斜率和截距，取常数。

由式（10）得到原油体积系数对地层压力的导数

$ \frac{{{\rm{d}}{B_{\rm{o}}}}}{{{\rm{d}}p}} = m $

(11)

将式（11）代入式（9），得到饱和压力之上地层压力p对应的原油压缩系数C_o为

$ {C_{\rm{o}}} = - \frac{m}{{{B_{\rm{o}}}}} $

(12)

由式（12）可知，如果饱和压力之上的原油体积系数与地层压力为线性函数关系，那么原油压缩系数与原油体积系数成反比，即随着地层压力的增大，原油体积系数减小，而原油压缩系数增大，这与实际情况相矛盾。因此，饱和压力之上原油的体积系数与地层压力不符合线性关系。

2.2 原油体积系数与地层压力符合幂函数关系

当地层压力高于饱和压力时，原油体积系数与地层压力的关系是非线性的^{[6, 8]}。由于原油压缩系数与原油体积系数均随着地层压力的增大而减小，根据原油压缩系数的定义以及Vasquez-Beggs经验公式，假设饱和压力之上的原油体积系数与地层压力符合幂函数关系（图 2中的曲线部分），其关系式可表示为

$ {B_{\rm{o}}} = a{p^b} $

(13)

式中：a，b分别为幂函数关系式的系数和指数，取常数。

利用原油高压物性资料中原始地层压力p_i、饱和压力p_b以及相对应的原油体积系数B_oi与B_ob，由式（13）联立方程求解得到系数a，b

$ a=\frac{B_{\mathrm{oi}}}{p_{\mathrm{i}}{ }^{b}}=\frac{B_{\mathrm{ob}}}{p_{\mathrm{b}}{ }^{b}} $

(14)

$ b=\frac{\ln \frac{B_{\mathrm{oi}}}{B_{\mathrm{ob}}}}{\ln \frac{p_{\mathrm{i}}}{p_{\mathrm{b}}}} $

(15)

式中：B_ob为饱和压力之下原油的体积系数，m³/m³。

确定a，b的值后，就可以得到饱和压力之上任意地层压力p对应的原油体积系数B_o，B_o与饱和压力、原始地层压力下的原油体积系数B_ob及B_oi的关系式为

$ B_{\mathrm{o}}=B_{\mathrm{ob}}\left(\frac{p}{p_{\mathrm{b}}}\right)^{b}=B_{\mathrm{oi}}\left(\frac{p}{p_{\mathrm{i}}}\right)^{b} $

(16)

由式（13）得到原油体积系数B_o对地层压力p的导数

$ \frac{{{\rm{d}}{B_{\rm{o}}}}}{{{\rm{d}}p}} = ab{p^{b - 1}} $

(17)

将式（17）、式（13）代入式（9），得到饱和压力之上原油压缩系数C_o与地层压力p的幂函数关系式为

$ {C_{\rm{o}}} = - \frac{b}{p} $

(18)

对比式（18）与式（8）可以看出，假设饱和压力之上原油体积系数与地层压力满足幂函数关系得到的原油压缩系数与地层压力的幂函数关系式，与Vasquez-Beggs经验公式的形式完全一致。

因此，假设饱和压力之上的原油体积系数与地层压力满足幂函数关系是合理的。

2.3 原油压缩系数的使用

从原油等温压缩系数的定义[式（9）]可以看出，原油压缩系数的使用存在2种情况：

一是饱和压力之上某一地层压力p对应的原油压缩系数，可记为C_op，表示为

$ {C_{{\rm{op}}}} = - \frac{b}{p} $

(19)

二是饱和压力之上地层压力从p₁下降到p₂产生压降Δp，压力区间（p₁，p₂）所对应的平均原油压缩系数可记为C_oΔp，如高压物性实验中测定不同压力区间的原油压缩系数^{[3, 20]}。

对式（9）两边积分，得到压力区间（p₁，p₂）所对应的平均原油压缩系数C_oΔp

$ {C_{{\rm{o}}\Delta {\rm{p}}}} = - \frac{{\int_{{p_1}}^{{p_2}} {\frac{1}{{{B_0}}}} {\rm{d}}{B_{\rm{o}}}}}{{{p_2} - {p_1}}} = \frac{{\ln \frac{{{B_{{\rm{o}}2}}}}{{{B_{{\rm{ol}}}}}}}}{{\Delta p}} = \frac{{\ln {{\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^b}}}{{\Delta p}} $

(20)

对于一个具体的油藏来讲，投入开发后原始地层压力p_i下降到某一地层压力p时，油藏压降Δp对应的平均原油压缩系数可记为C_oΔpi，例如物质平衡方程式（4）中的原油压缩系数。

由式（20）可知，油藏压降Δp对应的平均原油压缩系数C_oΔpi为

$ {C_{{\rm{o}}\Delta {\rm{pi}}}} = \frac{{\ln \frac{{{B_{\rm{o}}}}}{{{B_{{\rm{oi}}}}}}}}{{\Delta p}} = \frac{{\ln {{\left( {\frac{p}{{{p_{\rm{i}}}}}} \right)}^b}}}{{\Delta p}} $

(21)

在油藏物质平衡方程中，不应使用地层压力p对应的原油压缩系数C_op，而应使用油藏压降Δp对应的平均原油压缩系数C_oΔpi。

因此，封闭定容弹性驱动缝洞型油藏的物质平衡方程式应表示为

$ {N_{\rm{p}}}{B_{\rm{o}}} = N{B_{{\rm{oi}}}}{C_{{\rm{o}}\Delta {\rm{pi}}}}\Delta p $

(22)

3 新型油藏生产指示曲线

将油藏压降Δp对应的平均原油压缩系数C_oΔpi [式（21）]代入式（22），缝洞型油藏弹性驱动的物质平衡方程式可变为

$ {N_{\rm{p}}}{B_{\rm{o}}} = N{B_{{\rm{oi}}}}\ln \frac{{{B_{\rm{o}}}}}{{{B_{{\rm{oi}}}}}} = N{B_{{\rm{oi}}}}\ln {\left( {\frac{p}{{{p_{\rm{i}}}}}} \right)^b} $

(23)

式中：p/p_i表示油藏地层压力保持水平；(p/p_i)^b为饱和压力之上地层压力p对应的原油体积系数B_o与原始地层压力p_i对应的原油体积系数B_oi的比值，表示油藏原油地质储量地下体积的弹性膨胀倍数；ln(p/p_i)^b表示油藏原油地质储量地下体积的弹性膨胀幅度。

由式（23）可知，油藏累积采油量的地下体积N_pB_o不是与油藏压降Δp成直线关系，而是与油藏弹性膨胀幅度ln(p/p_i)^b成直线关系。

将饱和压力之上地层压力p对应的原油体积系数B_o[式（13）]代入式（23），就可以得到形式更加简单的缝洞型油藏弹性驱动的物质平衡方程式

$ {N_{\rm{p}}} = N\frac{{\ln {{\left( {\frac{p}{{{p_{\rm{i}}}}}} \right)}^b}}}{{{{\left( {\frac{p}{{{p_{\rm{i}}}}}} \right)}^b}}} $

(24)

利用生产数据来绘制出累积产油量N_p与ln(p/p_i)^b/(p/p_i)^b的关系曲线，即可得到缝洞型油藏弹性驱动的新型油藏生产指示曲线（图 3）。

如图 3所示，缝洞型油藏弹性驱动的新型油藏生产指数曲线始终为一条直线，且直线的斜率即为油藏的原油地质储量N。

弹性驱动的新型油藏生产指数曲线的横坐标ln(p/p_i)^b/(p/p_i)^b即为油藏弹性驱动的采出程度

$ {R_{\rm{o}}} = \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{N} = \frac{{\ln {{\left( {\frac{p}{{{p_{\rm{i}}}}}} \right)}^b}}}{{{{\left( {\frac{p}{{{p_{\rm{i}}}}}} \right)}^b}}} $

(25)

若油藏发生水侵，物质平衡方程可表示为

$ N_{\mathrm{p}} B_{\mathrm{o}}+W_{\mathrm{p}} B_{\mathrm{w}}=N B_{\mathrm{oi}} C_{\mathrm{o} \Delta \mathrm{pi}} \Delta p+W_{\mathrm{e}} $

(26)

式中：W_p为地面条件下的累积产水量，m³；W_e为油藏水侵量的地下体积，m³；B_w为当前地层压力下地层水的体积系数，m³/m³。

将式（13）与式（21）代入式（26），得到

$ N_{\mathrm{p}}=N \frac{\ln \left(\frac{p}{p_{\mathrm{i}}}\right)^{b}}{\left(\frac{p}{p_{\mathrm{i}}}\right)^{b}}+\frac{W_{\mathrm{e}}-W_{\mathrm{p}} B_{\mathrm{w}}}{B_{\mathrm{o}}} $

(27)

从式（27）可以看出，若油藏发生明显水侵，新型油藏生产指示曲线将偏离直线。因此，新型油藏生产指示曲线可以更加准确地判断驱动类型。

4 实例计算

某缝洞型油藏A油井，生产井段为6 458~ 6 550 m，油藏温度T为141.7 ℃，原始地层压力p_i为72.27 MPa，饱和压力p_b为24.19 MPa，原油体积系数B_oi，B_ob分别为1.508 3 m³/m³，1.678 5 m³/m³，饱和压力下的溶解气油比R_sb为177 m³/m³，分离器温度T_sep为34.9 ℃，分离器压力p_sep为1.04 MPa，油罐油相对密度γ_o = 0.817 9，分离气相对密度γ_g = 0.684 0，参考分离器压力下分离气体的相对密度γ_gs= 0.705 0。

4.1 原油体积系数计算结果

利用式（14）、式（15）计算得到A井原油体积系数B_o与地层压力p的幂函数关系式的斜率a = 2.291 3，截距b = -0.098。因此，A井饱和压力之上原油体积系数B_o与地层压力p的幂函数关系式为

$ {B_{\rm{o}}} = 2.291{\kern 1pt} {\kern 1pt} 3{p^{ - 0.098}} $

(28)

如表 1所列，原油体积系数幂函数关系式的计算值与实验值的平均相对误差仅为0.02%，计算精度远大于线性函数关系式的计算值（平均相对误差2%）。

如图 4所示，线性函数关系式明显不符合原油体积系数的变化规律，而原油体积系数与地层压力幂函数关系式的计算值与实验值几乎重合，不仅符合实际变化规律，而且计算精度高。

4.2 原油压缩系数计算结果

在得到了A井的原油体积系数B_o与地层压力p的幂函数关系式后，利用式（18）就可以得到饱和压力之上原油压缩系数C_op与地层压力p的幂函数关系式

$ {C_{{\rm{op}}}} = \frac{{0.098}}{p} $

(29)

由A井的相关参数可以计算得到原油压缩系数Vasquez-Beggs经验公式中的系数B = 0.082，因此A井饱和压力之上地层压力p对应的原油压缩系数的Vasquez-Beggs经验公式为

$ {C_{{\rm{op}}}} = \frac{{0.082}}{p} $

(30)

计算结果表明：假设饱和压力之上原油体积系数与地层压力为线性关系，得到的原油压缩系数随着地层压力的增大而增大，不符合实际变化规律，而假设原油体积系数与地层压力为幂函数关系，则与Vasquez-Beggs经验公式变化趋势一致，符合实际变化规律，原油压缩系数均随着地层压力的增大而减小，只是两者之间存在一定的误差，如图 5所示。

原油高压物性实验中测定原油压缩系数一般分多个压力区间分别进行测试。由式（20）得到A井饱和压力之上不同压力区间的平均原油压缩系数C_oΔp为

$ {C_{{\rm{o}}\Delta {\rm{p}}}} = \frac{{ - 0.098}}{{\Delta p}}\ln \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} $

(23)

如表 2所列，不同压力区间的平均原油压缩系数值与实验值的相对误差约为2.8%，而VasquezBeggs经验公式的计算值与实验值的相对误差约为18.5%，前者精度更高。

如图 6所示，饱和压力之上原油体积系数、原油压缩系数与地层压力的幂函数关系式不仅符合实际变化规律，而且具有较高的计算精度。

如图 7（b）所示，A井弹性驱动中N_pB_o与ln(p/p_i)^b始终保持直线关系，直线的斜率NB_oi为19.882，再除以原始地层压力p_i对应的原油体积系数B_oi（1.508 3 m³/m³），就可以得到A井的原油地质储量N为13.182万m³。

A井弹性驱动的新型油藏生产指示曲线始终为一条直线（图 8），直线的斜率即为原油地质储量N（13.182万m³）。因此，新型油藏生产指示曲线不存在原油藏生产指示曲线由于拟合直线数据点选取的不同造成原油地质储量计算结果存在多解性的问题。

4.3 弹性驱动油藏生产指示曲线

A井生产数据表明：累积采油量的地下体积N_pB_o与油藏压降Δp不是线性关系而是曲线关系[图 7（a）]，与油藏弹性膨胀幅度ln(p/p_i)^b成线性关系[图 7（b）]。

如图 7（a）所示，A井原油藏生产指示曲线为一条曲线，随着油藏压降的增大，地层压力越来越小，原油压缩系数越来越大，导致原油藏生产指示曲线偏离直线越来越明显。因此，原油藏生产指示曲线拟合直线数据点选取的不同将会使得原油地质储量的计算结果存在多解性。图 7（a）中3个数据点的拟合直线计算得到的地质储量为12.438万m³，而2个数据点与4个数据点的拟合直线计算得到的地质储量分别为11.862万m³、13.480万m³。

5 结论

（1）封闭未饱和弹性驱动油藏的生产指示曲线被认为是一条直线，但由于原油的压缩系数是一个随着地层压力增大而减小的变量，因此弹性驱动油藏的生产指示曲线并非一条直线，而是一条曲线，并且油藏压降越大，曲线偏离直线越明显。

（2）饱和压力之上原油体积系数与地层压力不符合线性关系，而是符合幂函数关系。在油藏物质平衡分析中，应使用原始地层压力下降到某一地层压力产生的油藏压降所对应的平均原油压缩系数。

（3）对于封闭定容未饱和弹性驱动缝洞型油藏，通过建立原油体积系数、原油压缩系数与地层压力的函数关系式，简化物质平衡方程，建立的新型油藏生产指示曲线为一条直线，其斜率为原油地质储量。

（4）饱和压力之上原油体积系数、原油压缩系数与地层压力的幂函数关系式不仅符合实际变化规律，而且具有很高的计算精度。在此基础上建立的新型油藏生产指示曲线可以更加准确地进行油藏驱动类型判断、储量计算等油藏研究。