中国是一个滑坡灾害频发的国家^[1-2]，滑坡给国民经济带来的危害是巨大的，例如1960年至2007年，在毕节地区发生滑坡约734个，其中大型滑坡和超大型的就有60个^[3]，仅滑坡灾害直接经济损失已超过1600万元，因此合理的边坡的稳定性评价十分重要.传统的评价边坡稳定性采用安全系数的方法^[4-11]，陈剑等^[12-20]采用滑坡概率评价边坡的稳定性，滑坡概率评价边坡稳定性可以做到较好的量化分析，如滑坡概率10%时，它的滑坡概率是5 %的两倍，在灾害风险评价方面有非常大的优越性.文中应用逻辑回归模型和确定性系数CF求解滑坡概率，并分析不同的边坡状态取值，得到的滑坡概率不同，分析其准确性与精度之间的关系，进行滑坡概率求解优化.

1 滑坡概率求解 1.1 逻辑回归模型

应用逻辑回归的方法求解滑坡概率^[21]，其实质上是采用各影响因子不同子集区间的滑坡概率与总的滑坡概率建立函数关系，即确定性系数；采用逻辑回归的方法求出各影响因子的回归系数，建立滑坡逻辑回归概率函数；采用工程类比的思想适用于预测外界条件近似的边坡滑坡概率.逻辑回归模型：设P为发生滑坡的概率，取值范围为[0,1]，(1-P)为不发生滑坡的概率，将两者的比值取自然对数得ln[P/(1-P)]，令Z=ln[P/(1-P)]，并作为因变量，将影响因子X_i(i=1, 2, ..., n)作为自变量，建立线性回归方程：

$ \ln \left( \frac{P}{1-P} \right)=Z={{B}_{0}}+{{B}_{1}}{{X}_{1}}+\cdots +{{B}_{n}}{{X}_{n}} $

(1)

可转化为：

$ P=\frac{1}{1+\exp \left(-z \right)}=\frac{1}{1+\exp \left[-\left( {{B}_{0}}+{{B}_{1}}{{X}_{1}}+\cdots {{B}_{n}}{{X}_{n}} \right) \right]} $

(2)

式中：B_i(i=1, 2, ..., n)为回归常数.P-Z的关系如图 1(取三位小数)所示，Z取值在(-10，10)的范围内时，P取值(0，1)之间；Z取值大于10时或者小于-10时，P分别取值为0.999955和0.000045；Z=0时，P=0.5.所以要求自变量X_i也必须以0为中心且变化区间较小.

1.2 确定性系数CF

确定性系数CF^[22]作为一个概率函数，其表示为：

$ CF=\left\{ \begin{align} & \frac{{{P}_{a}}-{{P}_{s}}}{{{P}_{a}}\left( 1-{{P}_{s}} \right)}, {{P}_{a}}>{{P}_{s}}; \\ & \frac{{{P}_{a}}-{{P}_{s}}}{{{P}_{s}}\left( 1-{{P}_{a}} \right)}, {{P}_{a}}>{{P}_{s}}. \\ \end{align} \right. $

(3)

式(3)中：P_a为滑坡在a数据类中发生的条件概率，表示为影响因子子集a中滑坡的个数与边坡总数的比值；P_s为滑坡在整个数据中发生的先验概率，表示为总的数据中滑坡个数与边坡总数的比值.由式(3)可以看出，CF的取值处在[0,1]之间，且以P_a=P_s时CF=0为中心，满足自变量X_i的要求，将其作为自变量X_i.同时CF值越接近1说明其子集区间a内发生滑坡的概率越大，越接近-1说明发生滑坡的概率越小.

2 实例运算 2.1 样本边坡实例及确定滑坡影响因子

选取30个样本边坡实例，选取重度、内聚力、内摩擦角、边坡角、边坡高度、孔隙压力比等6个参数作为滑坡影响因子^[23]，如表 1所示.

2.2 求解样本边坡实例中各影响因子CF值

由表 1中各影响因子的极差，将各影响因子按确定步长划分子集区间，由公式(3)，确定各子集区间CF值.根据各子集区间CF值，得到各实例影响因子对应的CF值.如表 2所示，以边坡状态取值4、-4为例(边坡状态取值：边坡滑坡状态取正值，稳定状态取负值，且绝对值相同).

由式(2)可得，边坡状态取1时，滑坡概率为73.106 %，边坡状态取-1时，滑坡概率26.894 %；边坡状态取2时，滑坡概率为88.080 %，边坡状态取-2时，滑坡概率11.920 %；边坡状态取4时，滑坡概率为98.201 %，边坡状态取-4时，滑坡概率1.799 %；边坡状态取6时，滑坡概率为99.753 %，边坡状态取-6时，滑坡概率0.247 %；边坡状态取8时，滑坡概率为99.966 %，边坡状态取-8时，滑坡概率0.034 %；边坡状态取10时，滑坡概率为99.995 %，边坡状态取-10时，滑坡概率0.005%.

2.3 各边坡实例滑坡概率求解及最优边坡状态取值分析

将各影响因子CF值作为输入指标，不同边坡状态取值如1、-1作为输出，应用SPSS软件进行回归运算.回归模型R²=0.917，Sig. < 0.001，说明模型模拟的准确性和显著性.得不同边坡状态取值绝对值时，所得回归系数如表 3所示：

根据式(2)，将所得回归系数代入，得到不同边坡状态取值绝对值时其对应的滑坡概率不同，并与边坡实际状态和安全系数作对比，如表 4所列.

由表 4可知，当边坡状态处于滑坡状态时，安全系数取值0.67~1.2之间.此时边坡状态取值为1时，滑坡概率为60.81%~80.47 %；边坡状态取值为2时，滑坡概率为70.60 %~94.12%；边坡状态取值为4时，滑坡概率为85.23 %~99.61%；边坡状态取值为6时，滑坡概率为93.26 %~99.98%；边坡状态取值为8时，滑坡概率为97.08 %~100%；边坡状态取值为10时，滑坡概率为98.77 %~100%.

当边坡处于稳定状态时，安全系数取值1.23~2.05之间.此时边坡状态取值为-1时，滑坡概率为19.50%~43.00 %；边坡状态取值为-2时，滑坡概率为5.51 %~36.15%；边坡状态取值为-4时，滑坡概率为0.34 %~24.29%；边坡状态取值为-6时，滑坡概率为0.02 %~15.36%；边坡状态取值为-8时，滑坡概率为0.00 %~9.31%；边坡状态取值为-10时，滑坡概率为0.00 %~5.51%.

由上可知，边坡状态取值绝对值越大，则所得滑坡概率越向滑坡概率0.00%和100.00%靠近，即与样本边坡状态输入值越吻合；边坡状态取值绝对值越大，所得滑坡概率取值区间越小.说明随着边坡状态取值绝对值的增加，所得滑坡概率与样本输入值越吻合，但用于预测目标边坡的滑坡概率，则存在误差的可能性越大.结合边坡稳定性等级(表 5)^[24]，边坡状态滑坡时，所得滑坡概率应处于90%以上或60%~90%；边坡状态稳定时，所得的滑坡概率应处于5%~30%或5%以下，综合考虑选取边坡状态取值绝对值为4，作为最优边坡状态取值.

3 结论

边坡状态取值的不同，对滑坡概率的预测结果起重要作用，取值越高，则预测结果越往滑坡概率0.00%和100.00 %的两极靠近，所得滑坡概率与样本输入值越吻合，但用于预测目标边坡的滑坡概率，则存在误差的可能性越大.考虑边坡状态取值时，应结合样本边坡和预测目标边坡的实际情况，样本边坡数据统计不够精确、且目标边坡判定要求不高时，可采用低取值边坡状态，反之亦然.