一 前言

选矿等试验过程中, 原矿品位(α_o)和各产品的加权平均品位(α_计)二者存在的差距是必然的。其误差原因在于计量加工等过程的损失、精度, 或由于化验误差所造成。为反映工艺过程的质量, 二者的差距应为多少才被认为是误差允许范围之列, 是选矿金属平衡过程中一个无规可循的问题。由于α_o与α_计的允许差距尚无明确的规定范围, 而很难评价试验工作中金属平衡的质量是否符合要求。如外国某公司为我国某钨矿所进行的流程试验中, 原矿wo₃品位为0.21 %, 而各产品金属加权wo₃品位为0.15 %, 二者差距虽然很大, 但由于无正规检查标准和误差计算不具体而不能提出疑议。通常试验室试验或些产件的金属平衡, 当α_o与α_计比较一致时, 称为“算得回”即各产品金属量之和基本上等于原矿中的金属总量, 但二者的差距常因无严格标准而引起争论。本文利用概率密度叠加原理, 提出金属平衡中品位波动范围初步计算方法, 供讨论。

二 概率密度叠加公式推导

设矿石选别前, 原矿产率为1, 品位为α_o, 经选别后得精矿和尾矿, 精矿产率为γki; 尾矿产率为γxi; 二者产率误差分别为Δγki和γxi。精矿品位为βki; 尾矿品位为βxi, 二者化验品位误差分别为Δβk₁和Δβx₁。而二者由于取样不能混至绝对均匀引起的品位误差分别为Δβk₂和Δβx₂, 按质量平衡原理得：

由于过程不可避免的损失(包括计量精度), 取样的不均匀和化验所造成的误差, 即: γki = γ k ± Δγki; γxi= γ x ± Δγxi; βki = βk ± Δβk₁± Δβk₂; βxt= βx ± Δβx₁± Δβx₂; 因此：

(1)

(1) 式中因ΔγkiΔβk₁; ΔγkiΔβk₂和Δγxi Δβx₁; ΔγxiΔβx₂的值很小而忽略不计则,

(2)

按工艺过程性质, γki和γxi的误差Δγki; 和Δγxi属正态分布, 并一般规定(Δγki + Δγxi)之和不能超过原矿重量的2 % ^{〔1〕〔2〕}, 为计算方便, 设Δγki和Δγxi的最大值分别为γk和γx的2 %。化验过程中, βki和βxi的误差Δβk₁和Δβx₁的大小, 随化验方法和各样品品位高低而异。Δβk₂和Δβx₂由于取样过程中不可能混至绝对均匀所引起, 取样过程按2 6 (6为取样过程的均方差)控制, 即所取样品按95.4 % ^{〔2〕〔1〕}的确准性计算, Δβk₂和Δβx₂分别为0.046βk和0.046βx。

βki、βxi和γki、γxi假设为(可看作为)独立随机变量。(2)式等号右边第一项中, γkβk为金属量, 相当于正态分布曲线峰值的横坐标, 并设

(3)

为精矿产率损失误差、取样不均匀误差和精矿品位化验误差所引起的精矿金属量误差项, 此误差由常数γk、βk分别乘品位、产率误差Δβk₁、Δβk₂和Δγki所构成。根据方差性质:随机变量与常数项乘积的方差等于常数项平方乘随机变量的方差^〔3〕。因而有:

(4)

(4) 式中Δβk₁、Δβk₂和Δγki必须除2的原因是因为采用2 6控制^〔2〕, 因此把误差除2后得均方差。

(5)

(6)

根据上述分析, α_计由和相叠加而成, 它们的概率密度均为正态分布, 所构成的概率密度公式:

(7)

(8)

按(2)式, X和y叠加后的分布函数为:

(9)

这里的积分区域G : X +y ≤ Z是直线, x + y ≤Z左边的半平面, 化成累次积分得:

(10)

将(10)对E求导数, 得Z的概率密度为:

(11)

把(7), (8)代入(11)得:

(12)

(12)式表明:二独立随机变量和y叠加后的概率密度公式均方差为叠加前二均方差分别平方之和再开方, 即:

(13)

叠加后正态曲线的峰值横坐标:

(12)式的推导方法可推广应用到n个独立随机变量和的概率密度, 即若X_k ~ N,

K=(1, 2...n)时，则E=X₁+X₂+...X_n, μ_1-n=(μ₁+μ²...μ_n)δ_1-n²=(δ₁²+δ₂²...δ^2_n), 即

三 计算实例

〔例1〕某厂细粒跳汰毛精矿wo₃品位α_o=50.06 %, 继续加工得精矿和尾矿产率分别为γk = 51.15 %和γx= 48.85%, 精矿和尾矿品位分别为βk=69.29 %和βx= 30.30 %, 试求α_计是否符合要求?

解:计量按2 %误差要求, 精矿和尾矿的重量误差分别为Δγ k = ± 1.02 %和Δγx= ± 0.98 %。根据化验精度, 精矿和尾矿化验误差分别均为Δβk₁, Δ βx₁= ± 0.3‰。因取样不可能完全绝对均匀引起的品位误差分别为Δβ₂k = ± 0.046 × Bk = ± 0.046 × 69.29 % =±3.19%和Δβx₂= ± 0.046βx = 0.046 ×30.03% = ± 1.39 %。按题意对照公式(3)：

因过程采用2δ控制,

而原矿品位为50.06 %, 故本试验的计算品位符合误差要求。

〔例2〕某矿山钨细泥精矿经筛析得粗细二粒级, 其产率分别为γ₁= 9.08 %, γ₂= 90.92 %, 筛析前原矿化验品位wo₃α_o=16.65 %, 筛析后β₁= 11.30 %, β₂=18.26%, 求α_计是否符合要求?

解:同〔例1〕, 误差Δ γ₁=0.18 %, Δγ₂= 1.82%。化验误差Δ β₁₁=0.25%, Δβ₁₂=0.25 %, 取样不均匀引起的品位误差Δβ₂₁= 0.046×11.30 %=0.52 %, Δβ₂₂=0.046×18.26 % = 0.84%。

同理:μ₂=90.92 %×18.26 % = 16.60%

而原矿α_o=16.65 %, 故本试验的金属平衡计算不合要求, 必须检查原因再进行计算或重做试验

四 结语

从本文公式(2)看出: Δ γixβi和Δβixγi的误差项中, Δβi一般虽然大于Δγi, 但因βi有时远大于γi, 因此二者的影响依情况而定, 当α_计不合要求时, 各方面均应检查, 而不应忽略任何一方。