数量信息是当今社会不可或缺的组成部分，人们在工作和生活中的方方面面都离不开数量表征和数概念这两种重要的基础数认知能力的参与。数量表征和数概念是儿童最先发展的重要数能力，它们是人类高级数能力的基础(Le Corre， & Carey，2007; Jordan，Glutting， & Ramineni，2010)，对个体的数学成就具有显著影响(Booth & Siegler， 2008; Gilmore，McCarthy， & Spelke，2010; Holloway & Ansari， 2009)。因此，数量表征和数概念一直是数认知领域的关注热点，并且由于这两种数能力发展的关键期主要在幼儿和儿童早期，许多学者在探索其发展特点及机制时会将目光聚焦在儿童，特别是幼儿身上。

数量表征有两方面含义，从静态的角度分析，它是指主体理解数量概念及其关系的概念系统，主体对数量意义的理解并非只是孤立地理解特定量的大小，而是要会建构一种量与量之间的复杂关系网络；从动态的角度分析，数量表征是指个体头脑内部对数量刺激的解释、表达与操作过程(Brysbaert，2004)。其中，个体对由视觉、听觉或跨通道呈现的实物或实物记号的数量刺激进行表达和运算的过程称为非符号数量表征；而依赖于符号知识对数字和数词等形式的数量进行表征，则称为符号数量表征(赖颖慧，陈英和，陈聪，2012)。

人类婴儿的非符号数量表征能力出现得很早，Wynn(1992)发现5个月的婴儿就能基于数量规则进行非符号小数量表征。大量研究表明当控制了累积面积等视知觉线索时，婴儿能对非符号大数量进行表征(Brannon，Abbott， & Lutz，2004; Cordes & Brannon， 2009)，却不能表征小于4的数量(Wood & Spelke， 2005; Jordan & Brannon， 2006; Cordes & Brannon， 2009)。这些结果反映出婴儿对非符号大、小数量表征的差异，即依靠数量比例对大数量进行近似表征，而对小数量的精确表征则可能依靠对视知觉线索的注意，这种差异在成人身上也存在(Logan & Zbrodoff， 2003)。成人与幼儿在数量表征机制上(如表征线索)的异同也得到了研究者的关注。很多研究从大小两个数量系统分离的角度，试图揭示出非符号数量表征的发展特点及机制。

儿童的符号数量表征则是在开始学习数字符号之后才发展起来的，在后天语言数字符号的参与下，个体的数量表征形式逐渐呈现一种精确的表征方式，即线性表征。也就是说，线性数量表征是学习的结果，存在一个从无到有的发展过程。然而现有研究对于线性数量表征何时以及如何形成的问题尚无定论(Ramani & Siegler， 2008; Siegler & Ramani， 2008，2009; Whyte & Bull， 2008)，所以在数认知领域，线性数量表征的发生、发展特点及其影响因素也是被广泛研究的重点。

个体借助数量表征过程来理解数概念，而数概念的掌握又可以帮助个体进行精确的符号数量表征，因此两者具有密切的联系。数概念可分为基数概念、序数概念和名词概念(Nieder，2005)。其中基数概念表达了“多少”这一数量信息，与其他数认知能力关系密切，得到了较多研究者的关注。儿童数概念的研究主要存在以下几大争议，其一，发展的连续性和非连续性问题(Cordes & Gelman， 2005; Lee & Sarnecka， 2010)；其二，儿童数概念的获得是先天能力，还是后天习得(Carey，2004)；其三，数概念的领域特殊性和一般性问题。

针对领域现状，我们的研究团队多年来在数量表征与数概念的发展特点及机制方面开展了系统研究。下面将从数量表征线索、线性数量表征和数概念的发展，以及非符号小数量表征机制、线性数量表征机制和数概念的影响因素机制几个方面进行总结。

儿童有非符号和符号两种数量表征方式。在儿童非符号数量表征发展中，其数量表征线索的变化是其重要的特点；在符号数量表征发展中，最突出的特点是由近似表征向线性表征形式的转变。

日常生活中的数量信息常和其他信息混淆，如三块饼干既在数量上大于两块饼干，也在面积、周长等连续量方面大于两块饼干，这些都可能是个体进行数量表征时依据的线索。那么，当人类进行表征时，到底加工了离散的数量信息还是连续的面积、周长等其他信息呢？成人和儿童的加工特点有无差异呢？一些研究者支持离散量线索是数量表征的基础，并提出了累积器模型(accumulater model)，认为婴幼儿先天就对离散量敏感，可以依据离散量进行表征(Gallistel & Gelman， 1992; Wynn，1995)。另一些研究者则认为婴儿最初是依据连续量线索，如面积、体积等来进行表征的(Mix，Huttenlocher， & Levine，2002)。目前对成人的研究远没有对婴幼儿的研究充分，在为数不多的研究中也出现了结果上的分歧。另外很多研究者认为，人类生而具有两种数量表征系统，即对大数(大于3或4的自然数)的近似表征系统(approximate number system，ANS)和对小数(1至3或4的自然数)的精确表征系统(object tracking system，OTS)(Feigenson，Dehaene， & Spelke，2004; Yi & Kristy， 2014; 王乃弋，罗跃嘉，李红，2006)。在不同的数量系统下，个体所运用的表征线索也可能存在差异，小数系统可以同时表征两种线索，而大数系统的表征线索则是离散量。

鉴于此，我们对大、小数量的表征进行了区分，并从数量表征线索发展的角度揭示了幼儿到成人期数量表征的规律。王静、陈英和和曹仕莹(2011)通过Stroop范式测量了成人被试在数量-面积关系一致(数量大、面积大)和不一致条件(数量大、面积小)下对小数量集和大数量集的数量判断和面积判断。结果发现，在数量判断任务中，无论是进行大数(>4)、小数(1~4)还是混合(既包括大数也包括小数)比较，成人都没有出现Stroop效应，而在面积判断中均出现了Stroop效应，即成人对面积的判断受到了数量判断的影响，但数量判断不受面积判断影响，说明成人主要将离散量作为加工线索。但进一步的分析发现，离散量和连续量线索的一致性程度会对成人的加工产生影响，在数量判断任务中，当两种线索的一致性降低，成人出现了Stroop效应，说明成人能够同时加工数量和面积信息，但对后者的抑制能力更强。那么儿童的表现如何呢？陈英和、王静(2010)进一步探究了4~5岁儿童的Stroop效应，结果发现他们不仅受到表征线索的影响，还受表征的数量范围的影响，只有在比较两个大数量集合的数量和面积时，儿童才不会出现数量和面积的Stroop效应，否则他们的表征会受到干扰。我们认为儿童数量表征线索的发展正体现在对小数范围内的连续量线索表征的抑制能力不断增加，对数量信息的加工优势越发明显。

线性数量表征是对数量大小的精确表征，是不包含梯度性变异的、线性的数量表征(Okamoto & Case， 1996)，主要采用点阵估计和数字线估计两种任务来对数量表征模式是否呈线性进行研究(Izard & Dehaene， 2008)。线性数量表征的发展可以通过个体在估计任务中随年龄增长的绝对误差百分比等指标来体现。

Petitto最早发现，从一年级到三年级，儿童在0~10数字线估计任务上的绝对误差百分比从14%降低到4%，在0~100数字线估计任务上从19%降低到8%(Petitto，1990)。近年来关于数字线估计的研究更多来自以Siegler为中心的实验小组。

徐华和陈英和(2012)总结了Siegler以及国内外学者对数字线估计的一系列研究，概括了线性数量估计发展趋势的基本规律。这些研究以幼儿、小学儿童、成人等为研究对象，选取0~10、0~100、0~1000等不同的数量范围进行考察。通过对这些研究结果的归纳发现，在相同数量范围下，估计精确度随年龄增加而增加，即年龄越大，估计的绝对误差百分比下降，估计模式由对数、对数和线性混合向单纯线性过渡；在相同年龄下，范围越大，估计的绝对误差百分比越大，估计模式越倾向于对数模式。可见，儿童线性估计的发展在不同年龄、不同数量范围下呈现出不同的发展趋势。

这些研究还表明，幼儿阶段可以形成对10以内数字线估计的线性表征；二年级儿童可以形成0~100的线性表征；六年级儿童出现对0~1000的线性表征。然而现有研究对于线性数量表征何时形成的问题尚无定论。Siegler和Ramani发现4~5岁幼儿的数量估计呈现出线性表征(Ramani & Siegler， 2008; Siegler & Ramani， 2008，2009)，Whyte和Bull发现平均年龄为3岁零10个月的幼儿也表现出线性数量表征(Whyte & Bull， 2008)。为探讨中国背景下的线性数量表征发展规律，我们(徐华，陈英和，2011)采用0~10数字线估计任务变式——位置数字任务，考察了3~4岁儿童的线性数量表征形成时间。结果发现，如果运用传统的静态分组法，中国儿童形成线性数量表征的年龄为4.41岁；如果运用新的动态分组法(按照平均年龄递减的顺序每次选择24个被试组成一组，对各组的表征模式进行曲线拟合)，中国儿童形成线性数量表征的年龄阶段为4.10~4.12岁之间。

同时，我们(韩瑽瑽，张静，黄大庆，陈英和，2010)还采用0~100的数字线估计任务，对2~4年级普通儿童和数学学习困难儿童(以下简称数困儿童)的数量估计能力进行了比较，发现不仅普通儿童的数量估计能力随年龄的发展而发展，数困儿童的数量估计能力也随年龄的发展而不断发展，可以逐步形成线性表征。不过，数学困难儿童完成数字线估计任务的精确性显著低于普通儿童，二年级数学困难儿童完成数字线估计任务时采用指数函数和线性函数进行表征，而同年级正常儿童均采用线性表征形式。这个结果验证了以往研究中的数量表征能力发展的基本趋势，并进一步揭示出数量表征的发展具有个体差异性，数困儿童表现出明显的滞后。

以往关于儿童数认知的研究和实践主要关注儿童表征和使用抽象数字符号的能力，近期的研究则发现，非符号数量表征与人类高级数能力发展密切相关，有重要的研究价值(陈英和，赖颖慧，2013)。目前的研究较为一致地发现，人类在非符号大数量比较时会受到数量比例的影响，说明大数表征具有一定的模糊性；但在小数量表征方面，其特点和形成机制则存在较大的争议。首先，早期的研究没有剥离大小、面积、密度等视觉线索对数量表征的影响，难以说明儿童是否真正具有数量表征能力(陈英和，赖颖慧，2013)；其次，虽然很多研究者认为小数量表征是精确的，但一些研究还是发现小数表征受比例影响，存在模糊性(Cantlon，Safford， & Brannon，2010)；最后，在对小数表征机制的解释上，不同的研究者也提出了多种理论模型，不同的模型对小数表征与视觉线索的关系表述存在较大差异。基于这些争议，我们(赖颖慧，陈英和，陈聪，2012)探究了视觉线索对儿童表征的影响。这项研究包含了两个实验，实验一要求3~4和5~6岁被试在一块大饼干和多块小饼干之间进行选择。其中在面积相等的条件下，单块大饼干和1~4块小饼干的总面积均相等；在面积不等的条件下，大饼干的面积始终大于小饼干面积的和。结果发现在面积相同条件下，幼儿的选择是随机的，在面积不同时，幼儿倾向于选择面积较大的饼干。这说明幼儿能同时分辨数量和面积两个维度，而非单纯依靠单一线索进行表征。实验二向被试呈现完全由单色圆点组成的点集和由混色圆点和方块组成的点集，在一致条件下点越多元素累积面积越大，在不一致条件下点越多元素累积面积越小。结果发现当整体线索干扰数量表征时，元素的形状、颜色等信息能提高儿童数量表征的正确率，说明知觉线索影响数量表征。实验二还发现，幼儿在累积面积不同且缺少视觉线索时出现比例效应，幼儿的小数表征并不总是精确的。这些结果提示我们，人类对小数量的精确表征是需要一定的条件的，除了视觉线索，一些研究也发现个体对小数的精确表征可能会受到注意、工作记忆等因素的影响(王一峰，王荣燕，李红，2011)，这让我们对小数表征的特点和局限性有了新的认识。

幼儿从近似表征转向精确表征，即形成线性数量表征受到了诸多因素的影响。我们(徐华，陈英和，2012)基于以往大量关于数量估计的研究，将这些影响因素总结为与数学认知能力相关的因素和与认知加工相关的因素。

与数学认知能力相关的因素主要包括数值范围、数数能力和比例知识(Ebersbach，Luwel，Frick，Onghena， & Verschaffel，2008；Laski & Siegler， 2007；Lipton & Spelke， 2005)。我们(徐华，陈英和，2011)通过数数任务、给数取物任务、数字线估计任务，考察被试数数能力、数概念水平及其数量表征之间的关系。结果发现，数数能力、数概念水平显著影响被试数量表征的模式和准确性，数数能力越高、数概念水平越高，被试数量表征越准确，越倾向形成线性数量表征。这说明数字语言的习得对线性数量表征的形成具有促进作用。

与认知加工相关的因素主要包括空间能力、工作记忆、反馈和锚定等(Longo & Lourenco， 2007；Geary，Hoard，Nugent， & Byrd-Craven，2008)。其中，反馈作为一种直接的干预手段，对线性表征的形成十分重要。Opfer和Siegler(2007)对美国二年级儿童在0~1000数字线估计中进行了150附近数字的反馈，发现他们会从先前的对数表征转向线性表征，且这种转变是突然的、整体性的。因此Siegler等人认为反馈是促使儿童由对数表征向线性表征转化的原因。李晓芹(2008)和Izard等人(2008)的研究结果也与Siegler等人的观点一致，即反馈对数量表征具有调节作用，内部数字线存在着校准的过程。但是这些研究没有结合被试的数能力发展情况，忽视了数能力与反馈的交互作用。我们(徐华，陈英和，2011)选取了未能形成线性数量表征的被试，采用对某一数量所对应的正确数字给予反馈的方式，考察反馈的促进作用及其与数数能力、数概念水平之间的关系。结果发现，反馈能够促进被试数量表征向线性转换，同时也显著提高了表征的准确性，并且其数数和数概念水平越高，反馈促进作用越大。这些结果表明个体线性数量表征的形成同时受到内部数能力因素与外部反馈因素的影响。

关于儿童数概念的发展存在两大理论争议。第一，儿童数概念的发展是连续的还是非连续的。有一些研究者认为儿童很可能是由于理解了基数词的含义才能精确理解较大的数量，这种数概念在本质上是连续发展的(Cordes & Gelman， 2005; Gelman & Gallistel， 1978)，而另一些研究者则认为由于数量表征系统的容量有限，只能到3或4，儿童是由于掌握了数数技能才能表征5或者更大的数量，数概念的发展是表征系统的变化造成的，而这种发展是非连续性的(Lee & Sarnecka， 2010)。第二个争议是儿童数概念是先天能力还是后天习得的。Gelman和Gallistel(1978)等人认为儿童先天就能够理解后继函数(successor function)的概念，即儿童能理解如果一个数词n所指代的基数词是n，若在数数序列中，数词p紧接在n之后，那么p对应的基数值就是n+1。这使得他们可以利用对这个函数的理解发展数数技能。而另一些研究者则认为数数技能来自于儿童学习数数经验，是后天学习的结果(Fuson，1988)。

为了解决上述理论争议，我们在Garey(2001，2004)等人提出的理解者水平理论(the knower-levels theory)的基础上，改进已有的研究范式，进行了一系列实验研究以探讨儿童数概念的发展。我们(韩瑽瑽，张静，陈英和，2013)首先对给数取物范式进行了改进，使用数字1~10，以更精细地对儿童数概念的发展水平进行划分，然后对2~5岁儿童的数概念发展趋势进行了研究。结果发现，从儿童数概念的发展来看，3~4岁是儿童数概念快速发展的时期，到4岁时儿童已经具有比较稳定的数概念；从理解者水平理论来看，2~3岁的儿童，基本能够完成数词1~3，而对于4~5岁的儿童，他们似乎很快经历了中间的过渡阶段，快速学会5以上的数字，达到基数原则水平，这支持了Garey等人的观点。在随后的实验中，我们改进了经典的单位任务和方向任务(Sarnecka & Carey， 2008)，使用挡板来避免儿童对数词数量的快速提取和目测，并扩展数词范围，从4~5扩展为1~6，探讨了儿童对后继函数的方向性(加1或减1)和单位性(加1或加2)特点的内隐理解。为了进一步比较儿童对后继函数理解时的方向性和单位性的差异，我们使用箱子任务，要求儿童自发生成数词。结果表明儿童先有方向感，后有单位感，4岁以后的绝大部分儿童可以理解后继函数的方向性和单位性变化，而大部分2~3岁的儿童还不能很好理解。同时，达到基数原则水平的儿童与未达到的儿童对于后继函数的理解之间存在差距，但这种发展不是全或无的，即便是基数原则水平的幼儿，其对数词变化的方向性和单位性的把握，也是从数词1开始不断精细化发展的，而未掌握基数原则的儿童也有对小数量的方向性和单位性的认识。我们的研究揭示了作为数概念发展机制的后继函数，其发展的进程是渐进的而非全或无的，这也支持了数概念发展是后天习得的观点。

数概念是一种抽象概念，具有不同于具体概念的特点，描述数概念需要借助集合来实现。由于数概念的这种特点，研究者对于数概念的发展是领域一般性还是领域特殊性的，始终存在争论。以皮亚杰为代表的心理学家认为儿童数概念的形成和其他概念一样都是通过经验逐步归纳完成的(Piaget，1941)；而以格尔曼(Gelman，1991)为首的另一些心理学家则认为儿童的数概念发展是基于婴儿先天的数字敏感性，婴儿在表征数量时，会将注意力放在数量上而不是事物的其他物理特点上。近年来，有很多研究者对格尔曼的观点提出质疑。研究者使用等量匹配的实验范式研究了儿童数概念的领域一般性特点，发现了表面相似性和标签效应。表面相似性是指当物体间具有很多共性时，就会引发比较，即高相似度引发比较(Gentner & Rattermann， 1991)。标签效应是指幼儿倾向于把具有相同名称的物体归为一类(Imai，Gentner， & Uchida，1994; Waxman & Markow， 1995)。不过，以往的探讨只集中在等量匹配范式中，这只体现了对等量关系的识别能力，而忽视了辨别数量间差异的能力。

对此，我们(韩瑽瑽，陈蒲晶，陈英和，2010)采用等量匹配(要求儿童选出与目标卡片上物体数量相等的卡片)和数量比较范式(要求儿童指出包含较多物体的那张卡片)，通过设置高低物体表面相似性条件，测查了数概念的表面相似性效应；并且使用给数取物(要求儿童按照一个数字取出桌上放置的若干圆盘)和给物取数任务(说出主试拿出的若干圆盘的数量，再挑出对应数字的卡片)考察标签效应，进一步探索儿童数概念发展中的领域一般性特点。结果发现，年龄是影响儿童数概念的重要因素，4岁和5岁组的儿童完成等量匹配和数量比较任务的正确率显著高于3岁儿童。同时，高表面相似性有利于儿童数概念的形成，表面一致条件下，儿童的等量匹配和数量比较任务的正确率显著高于不一致条件。并且，数字标签效应也会促进数概念的发展，擅长使用数字标签的儿童完成任务的水平高于不擅长使用的儿童。后续干预研究发现(韩瑽瑽，陈英和，2012)，在低表面相似性任务中对儿童进行练习训练，有利于儿童克服知觉干扰因素的影响，真正理解和掌握数概念。通过干预训练后，他们在后测检验中完成等量匹配任务和数量比较任务的成绩显著提高。

综上，我们通过一系列实证研究初步揭示了数量表征与数概念的发展特点及机制，在相关的理论构建、影响机制、研究争议等问题上进行了探索，并取得了一些有价值的成果，这些成果为未来的进一步研究打下了基础。在后续的研究中，有关儿童数量表征和数概念发展特点及机制的探索仍有待于进一步的扩展和深入。

在数量表征方面，我们探究了非符号数量表征线索的发展及其影响机制。结果表明，幼儿在小数段上同时表征离散量和连续量，但在大数上不存在表征线索的偏好分化；而成人则无论大小数均偏好离散量。根据两种系统假说(Feigenson et al., 2004)，小数的表征受数量多少的限制，它依赖于物体的知觉特征，如元素面积、体积等；大数系统则不受元素数量的限制，其表征线索更可能是离散量——集合元素个数。然而我们的研究结果中发现成人没有表现出对小数的连续量的关注，幼儿在大数上没有表现出对离散量的加工优势。同时，我们对于非符号小数量表征机制的实验结果也表明个体对小数量的表征并不总是精确的，它受到视觉线索的影响。这些都提示着对于大小两个数量表征系统的特点还需要更进一步细致的验证。

除非符号数量表征外，我们还对线性数量表征的发展和形成机制进行了考察。结果发现线性数量表征的发展存在个体差异，普通儿童与数困儿童具有不同特点，并揭示了线性数量表征形成的影响因素包括主体的数概念能力、数数能力和外部的实验反馈等。这个结果表明对于线性数量表征形成机制应该从主体和外部环境两方面进行探讨。而其他研究也发现锚定、个体的生活背景、估计策略的选择性和精确性、心理刻度的可变性等因素也会影响线性数量表征形成(Longo & Lourenco， 2007；颜寅龙，刘电芝，张润来，2009)，因此对于线性数量表征形成机制还有待于未来研究做出更全面系统的考察。

在数概念方面，我们对这一领域的三大理论争议进行了初步探索，从理解者水平的角度分析了数概念的发展进程，并基于领域一般性的特点对数概念的影响因素进行了分析，结果表明数概念发展是渐进的、后天习得的，并且受到表面相似性和标签效应的影响。在此基础上，我们进行了相关的干预研究，开发了有效的数概念干预方案，为相关的教育实践提供了新的视角和具体可行的策略。虽然研究结果提示数概念具有领域一般性的特点，但也不能忽视在数概念的形成过程中，存在不同于一般概念的特殊因素，如数数技能对数概念形成具有重要作用(Condry & Spelke， 2008)。因此对于数概念的发展特点和机制还有待更深一步的探讨。

数量表征与数概念是幼儿早期就发展起来的数能力，两者关系密切。我们(徐华，陈英和，2011)发现数数能力和数概念水平与儿童形成线性表征有关。以往也有研究者对两者的关系进行了探讨。Nieder(2005)认为个体通过进行数量表征来理解数概念代表的数量意义，因此数量表征是学习数概念的基础。但同时也有很多研究者认为，数概念反过来也会帮助个体进行更精确的符号数量表征。研究者利用直线数字类棋盘游戏对4岁左右的幼儿进行干预，这种游戏实质反映的是对数概念的练习，结果表明经过干预的幼儿在数字线估计任务上的表现有显著的提高，呈现出线性的数量表征(Ramani & Siegler， 2008; Siegler & Ramani， 2008，2009; Whyte & Bull， 2008)。Laski和Siegler同样发现，通过干预6岁儿童的分类知识可以促进其数字线估计的发展(Laski & Siegler， 2007)。Lipton和Spelke则用数数评定任务将5岁儿童分为熟练数数组和非熟练数数组，并对其数量估计和表征能力进行测查，结果发现熟练数数组能很精确地线性表征，而非熟练数数组的线性表征只存在于其能够正确数数的范围(Lipton & Spelke， 2005)。这些结果表明幼儿数概念能力能促进其数量表征能力的发展，特别是符号数量表征能力。因此，数量表征与数概念可能是相互影响，相互促进的关系。然而对两者的这种交互作用还有待于进一步理清，需要对此提供更丰富的实证研究证据。