引言

在水驱油驱替过程中，通过施加压力，经过一段时间作用，产生渗流，多孔介质含水饱和度上升、含油饱和度下降，同时，采出端采出一定量的油和水。目前，平面单向流理论比较成熟和完整，是相关室内实验、现场实践、项目研究的基础^[1-5]。平面单向流所涉及的物理量都是油田开发中重要的研究对象。

在平面单向流的变量中，注采压差和时间是可控制的量，即使研究者控制流速，实验设备也是通过压力调整实现流速控制。注采压差和时间是主动变化的量，其他变量随着注采压差和时间的变化而变化，有必要从主动变化、被动变化的角度，根据平面单向流基础理论，研究主动变量与被动变量之间的函数关系。

笔者在文献[6-7]中给出了压力、时间与累积注入量、注入倍数之间的函数关系，压力在时间上的积分值参与计算，本文提出以此积分值作为一个新的量，命名为压差时量。

在平面单向流主动变量与被动变量之间关系的研究中，目前渗流理论研究较多的是被动变量之间的关系^[8-14]。例如，Buckley-Leverett方程、Welge方程涉及累积注入量、平均含水饱和度、出口端含水饱和度、某位置含水饱和度等，这些变量都是被动变量，或者在变量关系研究中涉及部分主动变量^[15]，例如在设定流速前提下，利用Buckley-Leverett方程研究时间与出口端含水饱和度之间的关系，笔者在文献[6-7]中给出了全部主动变量注采压差、时间与被动变量累积注入量之间的关系。本文提出的压差时量体现了注采压差和时间的综合作用。

主动变量在给定驱替条件下如何引起被动变量变化，是驱替过程中的因果顺序问题，在这一问题的研究上未见与压差时量相类似的内容。本文在研究主动变量与被动变量之间关系的过程中，总结出平面单向流中的变量具有等价性，各变量都能够反映驱替程度，不同的是物理意义和数值范围。

上述问题的研究未见资料报道，这些问题的提出来自变量关系研究上的需求，而非实际问题解决上的需求。

虽然研究内容不是来自于实际问题需求，但是主动变量与被动变量之间关系的研究能够为实际问题的解决提供新思路。压差时量体现了注采压差和时间的综合作用，产量递减、含水上升、井距配合、层间矛盾、开发效果差异等问题的机理研究，都直接或间接涉及同时性、时序性和变量的等价性。目前，上述实际问题的许多研究是依据拟合模型、数值试算、经验公式^[16-18]，例如，产量递减模型、井距组合数值模拟方案试算、层间矛盾数值模拟方案试算等。从同时性、时序性和变量等价性出发，从渗流原理上对上述实际问题进行机理研究，相关资料不多见，本文内容可为这些实际问题的机理研究提供不同的思路，在这些实际问题的研究上起到促进作用。

本文的研究对象是与压差时量有函数关系的变量，由压差时量无法确定的变量如瞬时流速等不作为研究对象。

1 压差时量的提出

在平面单向流变压力驱替过程中，注采两端压差曲线与时间轴在坐标系中围出曲边梯形，该曲边梯形的面积称为压差时量。压差时量的计算公式为

$ \begin{align} {A_{\rm{r}}} = \int_{{t_0}}^{{t_{\rm{n}}}} {\left[ {{p_{\rm{w}}}\left( t \right) - {p_{\rm{o}}}\left( t \right)} \right]} {\rm{d}}t \end{align} $

(1)

式中：${A_{\rm{r}}}$—压差时量，Pa$\cdot$s；

$t_0$—起始时间，s；

$t_{\rm{n}}$—结束时间，s；

${p_{\rm{w}}}\left(t \right)$—随时间变化的注入端压力，Pa；

${p_{\rm{o}}}\left(t \right)$—随时间变化的采出端压力，Pa；

$t$—时间，s。

在平面单向流中，压力、时间是由研究者控制的量。当研究者控制流速时，实验设备仍是通过压力控制实现流速控制。

在驱替过程中，压力和时间是主动变化的量，其他变量随着压力和时间的变化而变化，由式(1)，压差时量包括压力、时间两个方面，压差时量体现压力和时间的综合作用。根据文献[6-7]有公式

采出端见水前

$ \begin{align} {Q_{{\rm{iq}}}} = \dfrac{{ - {\mu _{\rm{o}}}L\phi + {{\left\{ {{{\left( {{\mu _{\rm{o}}}L\phi } \right)}^2} + 2{A_{{\rm{r1}}}}K\phi \left[ {{\mu _{\rm{w}}}\alpha - {\mu _{\rm{o}}}f{'}\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)} \right]} \right\}}^{0.5}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}\alpha - {\mu _{\rm{o}}}f{'}\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)}}{\rm{}} \end{align} $

(2)

式中：${Q_{{\rm{iq}}}}$—见水前累积注入量，m$^3$；

$\mu _{\rm{o}}$—油的黏度，Pa$\cdot$s；

$L$—注采井距，m；

$\phi$—孔隙度，无因次；

${A_{{\rm{r1}}}}$—以水驱油开始驱替为起始时间至见水前某一时间的压差时量，Pa$\cdot$s；

$K$—渗透率，D；

$\mu _{\rm{w}}$—水的黏度，Pa$\cdot$s；

$\alpha$—常数，无因次，详见文献[6-7]；

$f{'}\left({{S_{{\rm{wf}}}}} \right)$—含水率函数在前缘含水饱和度处的导数，无因次；

$S_{{\rm{wf}}}$—前缘含水饱和度，无因次。

采出端见水后

$ \begin{align} {A_{{\rm{r2}}}} = \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}{L^2}\phi }}{K}\varphi \left( {\dfrac{1}{{f{'}\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)}}} \right){\rm{}} \end{align} $

(3)

式中：${A_{{\rm{r2}}}}$—以见水为起始时间至见水后某一时间的压差时量，Pa$\cdot$s；

$\varphi$—与相对渗透率曲线和油水黏度有关的单调增加函数，详见文献[6-7]；

$S_{{\rm{we}}}$—出口端含水饱和度，无因次；

$f{'}\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right)$—含水率函数在出口端含水饱和度处的导数，无因次；

${\dfrac{1}{{f'\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right)}}}$—累积注水倍数，可计算累积注入量。

式(2)和式(3)给出了压差时量与累积注入量之间的函数关系。

2 平面单向流变量的等价性

油层含水饱和度分布如图 1所示，油层截面积取1~m$^2$。

变量等价性推导过程需要用到以下两个公式

Buckley-Leverett方程

$ \begin{align} x = \dfrac{{f{'}\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)}}{\phi }{Q_{\rm{i}}}{\rm{}} \end{align} $

(4)

式中：$x$—油层位置，m；

$S_{\rm{w}}$— $x$位置处的含水饱和度，无因次；

$f{'}\left({{S_{\rm{w}}}} \right)$—含水率函数的导数，无因次；

$Q_{\rm{i}}$—累积注入量，m$^3$。

Welge方程

$ \begin{align} \overline {{S_{\rm{w}}}} - {S_{{\rm{we}}}} = \dfrac{{1 - f\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)}}{{f'\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)}}{\rm{}} \end{align} $

(5)

式中：

$\overline {{S_{\rm{w}}}}$—平均含水饱和度，无因次；

$f\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right)$—出口端含水率，无因次。

$\overline {{S_{\rm{w}}}}$对$S_{{\rm{we}}}$求导

$ \begin{align} {\overline {{S_{\rm{w}}}} ^{'}} = \dfrac{{f{''}\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)\left[ {f\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right) - 1} \right]}}{{[f{'}{{\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)]}^2}}} \end{align} $

式中：$f{''}\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right)$—含水率函数在出口端含水饱和度处的二阶导数，无因次。

见水后，含水率与出口端含水饱和度关系曲线一般是凸弧，因此，$f{''}\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right) < 0$，可知，${\overline {{S_{\rm{w}}}} ^{'}} > 0$，所以$\overline {{S_{\rm{w}}}} $是出口端含水饱和度$S_{\rm{we}}$的单调增加函数。

2.1 累积注入量、累积采液量与压差时量的函数关系

式(4)中$x$取出口端位置$L$，$S_{\rm{w}}$取前缘含水饱和度$S_{\rm{wf}}$，见水时累积注入量为

$ \begin{align} {Q_{{\rm{ij}}}} = \dfrac{{L\phi }}{{f{'}\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)}}{\rm{}} \end{align} $

(6)

式中：${Q_{{\rm{ij}}}}$—见水时累积注入量，m$^3$。

由式(6)、式(2)，见水时压差时量为

$ \begin{align} {A_{{\rm{rj}}}} = \dfrac{{{L^2}\phi \left[ {{\mu _{\rm{w}}}\alpha + {\mu _{\rm{o}}}f{'}\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)} \right]}}{{2Kf{'}{{\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)}^2}}}{\rm{}} \end{align} $

(7)

式中：${A_{{\rm{rj}}}}$—见水时压差时量，Pa$\cdot$s。

整理式(3)，有

$ \begin{align} \dfrac{1}{{f{'}\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)}} = {\varphi ^{ - 1}} \left({\dfrac{{{A_{r2}}K}}{{{\mu _{\rm{w}}}{L^2}\phi }}}\right) {\rm{}} \end{align} $

(8)

式(4)中，$x$取出口端位置$L$，$S_{\rm{w}}$取出口端含水饱和度$S_{\rm{we}}$，有

$ \begin{align} L = \dfrac{{f{'}\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)}}{\phi }{Q_{{\rm{ih}}}}{\rm{}} \end{align} $

(9)

式中：$Q_{{\rm{ih}}}$—见水后累积注入量，m$^3$。

由式(8)、式(9)，见水后累积注入量为

$ \begin{align} {Q_{{\rm{ih}}}} = L\phi {\varphi ^{ - 1}}\left(\dfrac{{{A_{{\rm{r2}}}}K}}{{{\mu _{\rm{w}}}{L^2}\phi }}\right) \end{align} $

(10)

$\varphi$函数是单调增加函数^[6-7]，$\varphi$函数导数大于0，由反函数求导方法可知，${\varphi ^{ - 1}}$函数导数大于0，${\varphi ^{ - 1}}$函数也是单调增加函数。

若$A_{\rm{r}}$是以水驱油开始驱替为起始时间至任意时间的压差时量，则$A_{\rm{r}}$、$A_{\rm{r1}}$、$A_{\rm{r2}}$之间存在以下关系

见水前，$A_{\rm{r1}}$=$A_{\rm{r}}$，见水后，$A_{\rm{r2}}$=$A_{\rm{r}}-A_{{\rm{r}}j}$。

代入式(2)、式(10)，由式(2)、式(7)、式(10)，累积注入量为

$ \begin{align} F_{Q_{\rm{i}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = \left\{ {\begin{array}{l} {\dfrac{{ - {\mu _{\rm{o}}}L\phi + {{\left\{ {{{\left( {{\mu _{\rm{o}}}L\phi } \right)}^2} + 2{A_{\rm{r}}}K\phi \left[ {{\mu _{\rm{w}}}\alpha - {\mu _{\rm{o}}}f'\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)} \right]} \right\}}^{0.5}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}\alpha - {\mu _{\rm{o}}}f'\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)}}, ~~~~{A_{\rm{r}}} \leqslant {A_{{\rm{rj}}}}}\\[11pt] {L\phi {\varphi ^{ - 1}}\left( {\dfrac{{\left( {{A_{\rm{r}}} - {A_{{\rm{rj}}}}} \right)K}}{{{\mu _{\rm{w}}}{L^2}\phi }}} \right), ~~~~{A_{\rm{r}}} > {A_{{\rm{rj}}}}} \end{array}} \right. \end{align} $

(11)

式中：

$F_{Q_{\rm{i}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$—累积注入量函数。

${{\varphi ^{ - 1}}}$函数是单调增加函数，分析式(11)可知，$F_{Q_{\rm{i}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$是单调增加函数。

在不考虑岩石、流体压缩性情况下，累积注入量与累积采液量相等

$ \begin{align} F_{Q_{\rm{p}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = \left\{ {\begin{array}{l} {\dfrac{{ - {\mu _{\rm{o}}}L\phi + {{\left\{ {{{\left( {{\mu _{\rm{o}}}L\phi } \right)}^2} + 2{A_{\rm{r}}}K\phi \left[ {{\mu _{\rm{w}}}\alpha - {\mu _{\rm{o}}}f{'}\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)} \right]} \right\}}^{0.5}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}\alpha - {\mu _{\rm{o}}}f{'}\left( {{S_{{\rm{wf}}}}} \right)}}, ~~~~{A_{\rm{r}}} \leqslant {A_{{\rm{rj}}}}}\\[11pt] {L\phi {\varphi ^{ - 1}}\left(\dfrac{{\left( {{A_{\rm{r}}} - {A_{{\rm{rj}}}}} \right)K}}{{{\mu _{\rm{w}}}{L^2}\phi }}\right), ~~~~{A_{\rm{r}}} > {A_{{\rm{rj}}}}} \end{array}} \right. \end{align} $

(12)

式中：

$F_{Q_{\rm{p}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$—累积采液量函数，是单调增加函数。

2.2 出口端含水饱和度与压差时量的函数关系

由式(4)、式(11)得含水饱和度分布

$ \begin{align} x = \dfrac{{f{'}\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)}}{\phi }F_{Q_{\rm{i}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) \end{align} $

(13)

式(13)中，$x$取出口端位置$L$，出口端含水饱和度为

$ \begin{align} F_{S_{{\rm{we}}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = {f^{{'} - 1}}\left( {\dfrac{{L\phi }}{{F_{Q_{\rm{i}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}}} \right) \end{align} $

式中：$F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$—出口端含水饱和度函数。

见水后，含水率与出口端含水饱和度关系曲线一般是凸弧，$f{''}\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right) < 0$，所以，$f'\left({{S_{\rm{w}}}} \right)$是单调减小函数，由反函数求导方法可知，${f^{{'} - 1}}$的导数小于0，${f^{{'} - 1}}$是单调减小函数，由复合函数求导法则可知，$F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$导数大于0，$F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$是单调增加函数。

考虑见水前情况

$ \begin{align} F_{S_{{\rm{we}}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = \left\{ {\begin{array}{l} {{S_{{\rm{wc}}}}, ~~~~{A_{\rm{r}}} < {A_{{\rm{rj}}}}}\\ {{f^{{'} - 1}}\left( {\dfrac{{L\phi }}{{F_{Q_{\rm{i}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}}} \right), ~~~~{A_{\rm{r}}} \geqslant {A_{{\rm{rj}}}}} \end{array}} \right. \end{align} $

(14)

式中：$S_{{\rm{wc}}}$—束缚水饱和度，无因次。

见水后，$F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$是单调增加函数。

2.3 含水率与压差时量的函数关系

含水率

$ \begin{align} f\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right) = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)}}{{{K_{{\rm{rw}}}}\left( {{S_{{\rm{we}}}}} \right)}}}} \end{align} $

(15)

式中：

${{K_{{\rm{ro}}}}\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right)}$—油相相对渗透率，无因次；

${{K_{{\rm{rw}}}}\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right)}$—水相相对渗透率，无因次。

式(14)代入式(15)得

$ \begin{align} F_f\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}} {F_{S_{{\rm{we}}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)} }}{{{K_{{\rm{rw}}}} {F_{S_{{\rm{we}}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)} }}}} \end{align} $

式中：$F_f\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$—含水率函数。

${f\left({{S_{{\rm{we}}}}} \right)}$、${F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)}$是单调增加函数，由复合函数求导法则可知，$F_f\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$导数大于0，$F_f\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$函数是单调增加函数。

考虑见水前情况

$ \begin{align} F_f\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = \left\{ {\begin{array}{l} {0, ~~~~{A_{\rm{r}}} < {A_{{\rm{rj}}}}}\\ {\dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}} {F_{S_{{\rm{we}}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}}}{{{K_{{\rm{rw}}}} {F_{S_{{\rm{we}}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)} }}}}, ~~~~{A_{\rm{r}}} \geqslant {A_{{\rm{rj}}}}} \end{array}} \right. \end{align} $

(16)

见水后$F_f\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$函数是单调增加函数。

2.4 累积采油量、采出程度与压差时量的函数关系

式(14)代入式(5)，见水后平均含水饱和度

$ \begin{align} \overline {{S_{\rm{w}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)} = \dfrac{{1 - f\left({F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)} \right)}}{{f{'}\left({F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)} \right)}} + F_{S_{{\rm{we}}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right){\rm{}} \end{align} $

(17)

式中：$\overline {{S_{\rm{w}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)}$—见水后平均含水饱和度函数。

由前述式(5)单调性分析，平均含水饱和度$\overline {{S_{\rm{w}}}} $是含水饱和度${S_{{\rm{we}}}}$的单调增加函数，由前述式(14)单调性分析，${S_{{\rm{we}}}}$是${{A_{\rm{r}}}}$的单调增加函数，由复合函数求导法则可知，式(17)$\overline {{S_{\rm{w}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)} $导数大于0，$\overline {{S_{\rm{w}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)}$是单调增加函数。

累积采油量

$ \begin{align} F_{N_{\rm{p}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = L\phi \left[ {\overline {{S_{\rm{w}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)} - {S_{{\rm{wc}}}}} \right] \end{align} $

式中：

$F_{N_{\rm{p}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$—累积采油量函数。

考虑见水前情况

$ \begin{align} F_{N_{\rm{p}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = \left\{ {\begin{array}{l} {F_{Q_{\rm{i}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right), ~~~~{A_{\rm{r}}} \leqslant {A_{{\rm{rj}}}}}\\[11pt] {L\phi \left[ {\overline {{S_{\rm{w}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)} - {S_{{\rm{wc}}}}} \right], ~~~~{A_{\rm{r}}} > {A_{{\rm{rj}}}}} \end{array}} \right. \end{align} $

(18)

${\overline {{S_{\rm{w}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)} }$是单调增加函数，所以$F_{N_{\rm{p}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$是单调增加函数。

由采出程度定义

$ \begin{align} F_R\left( {{A_{\rm{r}}}} \right) = \dfrac{{F_{N_{\rm{p}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}}{{L\phi \left( {1 - {S_{{\rm{wc}}}}} \right)}} \end{align} $

(19)

式中：

$F_R\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$—采出程度函数。

${F_{N_{\rm{p}}}\left({{A_{\rm{r}}}} \right)}$是单调增加函数，所以$F_R\left({{A_{\rm{r}}}} \right)$是单调增加函数。

2.5 变量之间的等价关系

由式(11)、式(12)、式(14)、式(16)、式(18)和式(19)，可得到以下关系

$ \begin{align} \left\{ {\begin{array}{l} {{A_{\rm{r}}} = {A_{\rm{r}}}}\\ {{Q_{\rm{i}}} = F_{Q_{\rm{i}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}\\ {{Q_{\rm{p}}} = F_{Q_{\rm{p}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}\\ {{S_{{\rm{we}}}} = F_{S_{{\rm{we}}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}\\ {\begin{array}{l} {{f_{}} = F_f\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}\\ {{N_{\rm{p}}} = F_{N_{\rm{p}}}\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)}\\ {R = F_R\left( {{A_{\rm{r}}}} \right)} \end{array}} \end{array}} \right. \end{align} $

(20)

式中：

$Q_{\rm{p}}$—累积产液量，m$^3$；

$N_{\rm{p}}$—累积采油量，m$^3$；

$f$—含水率，无因次；

$R$—采出程度，无因次。

由式(20)可知，平面单向流7项变量中的任意两项变量之间，都存在由参数方程所确定的函数关系，压差时量是参数方程的参数。

由式(11)、式(12)、式(14)、式(16)、式(18)和式(19)单调性，根据参数方程求导方法，见水前，${A_{\rm{r}}}$、${Q_{\rm{i}}}$、${Q_{\rm{p}}}$、${N_{\rm{p}}}$、$R$，5项变量中的任意两项变量之间由参数方程所确定的函数是单调函数，见水前${S_{\rm{we}}}$、${f_{\rm{w}}}$是不变的常量；见水后，${A_{\rm{r}}}$、${Q_{\rm{i}}}$、${Q_{\rm{p}}}$、${S_{\rm{we}}}$、${f_{\rm{w}}}$、${N_{\rm{p}}}$、$R$，7项变量中的任意两项变量之间由参数方程所确定的函数是单调函数。

见水前，选取${A_{\rm{r}}}$、${Q_{\rm{i}}}$、${Q_{\rm{p}}}$、${N_{\rm{p}}}$、$R$中的任意两项变量$c$、$q$。

如果$c$是条件，$q$是结论，由式(20)及上述单调性分析可知，$q$是$c$的单调函数，所以由$c$可以推出$q$，不存在多解。

由式(20)及上述单调性分析可知，$c$是$q$的单调函数，所以由$q$可以推出$c$，不存在多解。

所以，$c$是$q$的充分必要条件。

由等价的定义，$c$和$q$等价。

因此，平面单向流见水前${A_{\rm{r}}}$、${Q_{\rm{i}}}$、${Q_{\rm{p}}}$、${N_{\rm{p}}}$、$R$之间互相等价，这5项变量具有等价性。

同理，平面单向流见水后${A_{\rm{r}}}$、${Q_{\rm{i}}}$、${Q_{\rm{p}}}$、${S_{\rm{we}}}$、${f_{\rm{w}}}$、${N_{\rm{p}}}$、$R$之间互相等价，这7项变量具有等价性。

由以上推导过程可知，$c$和$q$是与压差时量有单调函数关系的变量，压差时量充当参数方程中的参数，因此，在平面单向流中，见水前，与压差时量有单调函数关系的变量在单调区间内与上述5项变量等价，见水后，与压差时量有单调函数关系的变量在单调区间内与上述7项变量等价，与压差时量无单调函数关系的变量没有此结论，例如瞬时流速。

等价性应用举例：见水后，平面单向流含水率和采出程度等价，含水率98%等价于采出程度某一数值，含水率98%不变，对应采出程度某一数值不变，在不考虑岩石、流体压缩性情况下，平面单向流采收率不变。

3 层间矛盾机理研究中的应用

非均质多层油田注水开发后，由于储层物性差异，各层含水率、采出程度、水淹状况等方面产生差异，通常把这种差异概括为层间矛盾。

目前，层间矛盾问题有很多研究^[19-23]，本文应用压差时量概念和变量等价性对层间矛盾机理进行研究。

图 2给出了大庆油田某区块某层系内小层的动用情况，由图可知，各小层采出程度、含水、平均含水饱和度存在较大差异。

由于是一套层系，所以各小层的开发历程相同，注采压差和开发时间差别不大，可以认为各小层的压差时量相同。各小层渗透率、孔隙度、相对渗透率等性质存在不同，所以，各小层的式(20)参数方程中常量和函数曲线形态不同，因此，各小层参数方程的参数(压差时量)虽然相同，但是某一变量在不同小层的函数值却不相同，层间矛盾出现。

根据以上分析，产生层间矛盾的机理是：多个油层同时开发，在压差时量差异不大的情况下，压差时量与关注变量之间的函数关系在不同油层有所不同，导致关注变量在不同油层函数值不同，层间矛盾出现。

分析图 2，第14层与第16层比较，第16层采出程度较低，但是含水率却较高，在不进行油层改造、层内调整的情况下，如果增加第16层采出程度，减小采出程度层间矛盾，根据变量的等价性，采出程度增加等价于含水率增加，使第16层含水率更高，导致含水率层间矛盾增加。第12层、第13层含水率与含水饱和度也存在类似情况。

由以上分析可知，在不进行油层改造、层内调整的情况下，小层之间采出程度、含水率、含水饱和度3项变量不能同时一致，某一变量一致，其他两项变量就会出现不一致，这是驱替过程中变量的等价性和储层物性差异造成的。

通过油层改造、层内调整能够实现多个变量层间矛盾同时减小的效果，例如，第16层可通过实施压裂、补孔、封堵等措施既提高采出程度又控制含水，原理是这些措施改变了储层物性和驱替条件，变量之间函数关系中的常量发生改变，使变量之间不再具有等价性，从而达到多个变量同时均衡的调整效果，实现稳油控水的目的。

4 结论

（1）在平面单向流变压力驱替过程中，注采两端压差曲线与时间轴在坐标系中围出曲边梯形，该曲边梯形的面积称为压差时量。

（2）压差时量、累积注入量、累积采液量、出口端含水饱和度、含水率、累积采油量、采出程度7项变量中的任意两项变量之间，都存在由参数方程所确定的函数关系，压差时量是参数方程的参数。

（3）见水前，压差时量、累积注入量、累积采液量、累积采油量、采出程度5项变量具有等价性；见水后，压差时量、累积注入量、累积采液量、出口端含水饱和度、含水率、累积采油量、采出程度7项变量具有等价性。

（4）不考虑岩石、流体压缩性情况下，平面单向流采收率不变。

（5）在平面单向流中，见水前，与压差时量有单调函数关系的变量在单调区间内与上述5项变量等价；见水后，与压差时量有单调函数关系的变量在单调区间内与上述7项变量等价。

（6）产生层间矛盾的机理：多个油层同时开发，在压差时量差异不大的情况下，压差时量与关注变量之间的函数关系在不同油层有所不同，导致关注变量在不同油层函数值不同，层间矛盾出现。