引言

随着渤海油田勘探程度不断加深，以潜山为代表的裂缝性油气藏日益增多，成为储量的重要组成部分。此类储层受裂缝发育的影响，储层孔隙结构较为复杂，简单的孔隙度模型难以准确表征储层孔隙结构特征，测井曲线响应特征进一步复杂化。因此，裂缝的分布特征及裂缝孔隙度将直接影响储层的品质，准确获取裂缝分布特征及裂缝孔隙度是测井解释的重点，直接影响地质建模^[1]、油藏开发^[2]等油田生产工作。

目前，裂缝评价以定性为主，通常以岩芯描述^[3]为基础，利用常规、电成像测井、阵列声波测井等开展综合评价。电成像测井是裂缝评价较为直观的工具，可以拾取裂缝产状、计算裂缝密度与开度^[4-5]，为储层裂缝有效性评价提供参考依据。李善军等利用双侧向测井响应特征提出裂缝孔隙度计算方法^[6]，在此基础上，王晓畅等通过电成像测井给出裂缝孔隙度的定量计算，较为准确地描述了裂缝孔隙度大小，是电法测井计算裂缝孔隙度较为合理的一种方式^[7]，但未考虑泥浆侵入^[8]的影响。阵列声波测井在储层裂缝评价中具有很大优势，裂缝对岩石力学、声学特征有较大影响，在定性、定量方面均取得较大进展。夏宏泉等基于裂缝产生的各向异性提取横波分裂数据，进而定性检测裂缝发育程度^[9-10]。罗利等通过声波远探测技术识别井眼周围地层宏观裂缝发育特征，对井外地层宏观缝拾取提供一种有效方法，但无法识别尺度较小的裂缝^[11]。岩石的弹性性质依赖于孔隙系统的微观结构，因此利用岩石弹性参数评价裂缝特征是计算裂缝孔隙度的基础。吕洪志^[12]等在Biot相洽理论^[13]基础上不考虑其他因素影响对裂缝孔隙度进行了反演，Tang^[14]等通过对Biot理论^[15]进行改进，引入裂隙参数形成孔-裂隙理论，Chen等对孔-裂隙理论波动方程进行推导，模拟裂缝对弹性参数的影响，为裂缝孔隙度计算奠定基础^[16]。李宏兵等通过引入等效介质理论对多孔隙岩石弹性性质进行描述，给出微分等效介质理论解析解，结合Gassmann方程反演等效孔隙纵横比，半定量描述裂缝发育特征，未给出裂缝分布状态^[17-18]。此外，陆云龙等通过三维莫尔圆定量评价裂缝有效性，对裂缝产液贡献能力进行定量评价，但无法计算裂缝孔隙度大小^[19]。

本文基于等效介质理论的多孔介质模型，提出利用孔隙纵横比谱分布函数定量描述孔隙裂缝分布特征，并将该函数引入到传统等效介质模型当中，建立新的等效介质模型，总结孔隙纵横比谱与岩石体积模量之间的变化规律，根据阵列声波测井资料反演孔隙纵横比谱分布特征，定量计算裂缝孔隙度。

1 基于孔隙纵横比谱分布的多孔介质模型 1.1 微分等效介质模型选取

岩石物理模型是描述地下岩石组分、孔隙、流体等所表现出的宏观弹性、非弹性特征，由于地下岩石复杂多变，通常采用等效介质模型近似表征岩石弹性模量参数变化规律。等效介质模型通常认为，岩石是各向同性、线性、弹性介质，在此基础上，通过孔隙结构特征、孔隙流体性质综合求取岩石等效弹性模量。Kuster等根据长波长一阶散射理论推导了纵波与横波速度的表达式，描述包含$N$种包裹体的岩石等效弹性模量^[20]。Norris在此基础上，通过对固相介质中逐渐添加包含物的方式来模拟双相混合物等效弹性特征，提出了Norris形式的微分等效介质模型^[21-22]，该模型数值解位于Hashin-Shtrikman^[23]边界之间，如式(1)所示

$ \left \{ \begin{array}{l} (1-\phi )\dfrac{{\rm d}{{K}^{*}}(\phi )}{{\rm d}\phi }=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\upsilon }_{i}}[{{K}_{i}}-{{K}^{*}}(\phi )]{{P}^{*i}}} \\ (1-\phi )\dfrac{{\rm d}{{G}^{*}}(\phi )}{{\rm d}\phi }=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\upsilon }_{i}}[{{G}_{i}}-{{G}^{*}}(\phi )]{{Q}^{*i}}} \\ \end{array} \right . $

(1)

式中：$\phi $—孔隙度，%；

${{K}^{*}}(\phi )$，${{G}^{*}}(\phi )$—孔隙度为$\phi $时岩石等效体积模量与剪切模量，GPa；

$i$—孔隙类型序数，无因次；

$K_{i}$，$G_{i}$—第$i$种孔隙类型包裹物体积模量与剪切模量，GPa；

$N$—孔隙类型个数，无因次；

$\upsilon _{i}$—第$i$种孔隙类型所占孔隙体积百分比，无因次；

$P^{*i}$，$Q^{*i}$—第$i$种孔隙类型所对应的孔隙形状因子^[24]，无因次。

对于任意孔隙纵横比所对应的椭球状包裹物的$P^{{\rm *}}$、$Q^{{\rm *}}$形状因子，其公式为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{P}^{*i}}=\dfrac{1\!+\!A[3(f\!+\!\theta )/2\!-\!R(3f/2\!+\!5\theta /2\!-\!4/3]}{{{F}_{1}}} \\[5pt] {{Q}^{*i}}=\dfrac{2}{5{{F}_{2}}}\!+\!\dfrac{1}{5{{F}_{3}}}\!+\!\dfrac{{{F}_{3}}{{F}_{4}}\!+\!{{F}_{5}}{{F}_{6}}-{{F}_{7}}{{F}_{8}}}{{{F}_{1}}{{F}_{3}}} \\ {{F}_{1}}=1+A[1+3(f+\theta )/2+R(3f+5\theta )/2]+\\{\kern 40pt}B(3-4R)+A(A+3B)(3-4R)\\{\kern 40pt}[f+\theta -R(f-\theta +2{{\theta }^{2}})]/2 \\ {{F}_{2}}=1+A[1-(f+3\theta /2)+R(f+\theta )] \\ {{F}_{3}}=1+A[f+3\theta -R(f-\theta )]/4 \\ {{F}_{4}}=A[-f+R(f+\theta -4/3)]+B\theta (3-4R) \\ {{F}_{5}}=1+A[1+f-R(f+\theta )]+\\{\kern 40pt}B(1-\theta )(3-4R) \\ {{F}_{6}}=2+A[3f+9\theta -R(3f+5\theta )]/4+\\{\kern 40pt}B\theta (3-4R) \\ {{F}_{7}}=A[1-2R+f(R-1)/2+\theta (5R-3)/2]+\\{\kern 40pt}B(1-\theta )(3-4R) \\ {{F}_{8}}=A[f(R-1)-R\theta ]+B\theta (3-4R) \\ A={{G}_{i}}/{{G}_{\rm m}}-1 \\ B=({{K}_{i}}/{{K}_{\rm m}}-{{G}_{i}}/{{G}_{\rm m}})/3 \\ R=(1-2{{\nu }_{\rm m}})/(1-{{\nu }_{\rm m}})/2 \\ f={{\alpha }^{2}}/(1-{{\alpha }^{2}})(3\theta -2) \\ \theta =\alpha [\arccos (\alpha )-\alpha {{(1-{{\alpha }^{2}})}^{0.5}}]/{{(1-{{\alpha }^{2}})}^{3/2}} \\ \end{array} \right. $

(2)

式中：

$\alpha $—孔隙纵横比，无因次；

${{\nu }_{\rm m}}$—岩石骨架泊松比，无因次；

${{K}_{\rm m}}$，${{G}_{\rm m}}$—岩石骨架体积模量与剪切模量，GPa。

1.2 孔隙纵横比谱分布及函数确定

储层岩石由颗粒骨架与孔隙两部分组成，其中孔隙由不同类型孔隙形状组成的复杂孔隙结构，因此可以通过一系列简单的几何形状组成的孔隙分布近似描述孔隙特征，如图 1所示。

不同类型储层岩石孔隙结构不同，几何形状及所占百分比差异较大，几何形状可以采用孔隙纵横比进行描述，即孔隙中短轴与长轴的比值所确定的椭球状孔隙，如图 2a(其中，$a$—短轴长度，μm；$c$—长轴长度，μm)所示。

不同孔隙纵横比对应的孔隙类型及所占百分比不同，当储层岩石孔隙结构复杂时，单一等效岩石孔隙纵横比并不能较好地反映孔隙结构特征，此时可以将岩石孔隙结构划分成一系列不同孔隙纵横比及所对应的孔隙分量，形成孔隙纵横比谱分布，如图 2b所示。孔隙纵横比谱分布可较为精确地描述孔隙结构特征，同时将孔隙按照不同孔隙纵横比划分为裂缝带、过渡带和孔隙带3个区间，每个区间按对数刻度，其中，裂缝带孔隙纵横比为[0.001，0.010)；过渡带孔隙纵横比为[0.010，0.100)；孔隙带孔隙纵横比为[0.100，1.000)。

根据孔隙纵横比谱分布的定义及特征，通过式(3)对其进行定量描述

$ {{\upsilon}_{i}}={{H}_{1}}{{\rm e}^{-\frac{{{(\lg {{\alpha }_{i}}+2.4)}^{2}}}{0.18}}}\!+\!{{H}_{2}}{{\rm e}^{-\frac{{{(\lg {{\alpha }_{i}}+1.4)}^{2}}}{0.18}}}\!+\!{{H}_{3}}{{\rm e}^{-\frac{{{(\lg {{\alpha }_{i}}+0.4)}^{2}}}{0.18}}}%\\{\kern 40pt} $

(3)

式中：

$\alpha _{i}$—第$i$种孔隙形状对应的孔隙纵横比，无因次；

$H_{1}$—裂缝带最大孔隙百分含量，%；

$H_{2}$—过渡带最大孔隙百分含量，%；

$H_{3}$—孔隙带最大孔隙百分含量，%。

为方便计算，孔隙纵横比按对数布点，分布在0.001$\sim$1.000，且$\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\upsilon}_{i}}}=1$。

1.3 含孔隙纵横比谱的多孔介质模型正演分析

将式(3)代入式(1)，即可得到含孔隙纵横比谱分布的多孔介质模型，由于模型是耦合的，同时通过迭代的方法，采用四阶龙格-库塔算法求取数值解。当孔隙结构特征发生变化时，不同孔隙纵横比所对应的孔隙体积改变，导致孔隙纵横比谱发生变化，使得式(1)的数值解相应变化。当储层包含裂缝时，裂缝带孔隙所占比例发生变化，进而导致岩石模量发生变化，从而确定裂缝发育情况。

图 3为选取3种不同类型孔隙结构特征的孔隙纵横比谱(分别为孔隙型、孔隙-裂缝型、裂缝型储层)，将式(3)代入式(1)求解模型所得的数值解，从而得到不同孔隙纵横比谱分布下岩石体积模量变化规律，其中，骨架体积模量、剪切模量分别取44和37 GPa，流体模量取0。结果表明，当孔隙流体性质一定时，不同孔隙纵横比谱分布与多孔介质模型计算的岩石体积模量具有一一对应关系，即相同孔隙度条件下，当孔隙不包含裂缝时，岩石体积模量最高，随着裂缝孔隙体积不断增多，岩石体积模量逐渐降低。

2 裂缝孔隙度计算

当孔隙度、流体性质一定时，岩石孔隙纵横比谱分布与体积模量具有较好的对应关系，因此根据测井资料确定的岩石模量值与多孔介质模型数值解建立目标函数，通过反演确定式(3)中函数的参数$H_{1}$、$H_{2}$、$H_{3}$，得到最优孔隙纵横比谱分布形式。目标函数如式(4)所示。

$ E=\dfrac{|K-{{K}^{*}}(\phi ){{|}^{2}}}{{{K}^{2}}}+\dfrac{|G-{{G}^{*}}(\phi ){{|}^{2}}}{{{G}^{2}}} $

(4)

式中：

$E$—目标函数，无因次，取最小值；

$K$，$G$—测井资料计算的体积模量与剪切模量，GPa。

式(4)反演过程中，可根据岩芯分析、铸体薄片、核磁共振、电成像等资料对式(3)中待求参数分布范围进行约束，减小反演计算量与无效解，提升反演精度。反演结果确定的孔隙纵横比谱分布代表储层真实孔隙结构(图 4)。

在反演确定的孔隙纵横比谱分布基础上，通过铸体薄片等资料确定裂缝所对应的最大孔隙纵横比，或根据储层非裂缝发育层段所对应的最小孔隙纵横比确定储层裂缝截止值。裂缝截止值反映储层裂缝所对应的最大孔隙纵横比，小于该值的所有孔隙纵横比所对应的孔隙分量相加即得到裂缝孔隙度，如图 4所示。裂缝孔隙度确定公式为

$ {{\phi }_{\rm f}}=\phi \sum\limits_{i=1}^{m}{{{\upsilon}_{i}}} $

(5)

式中：${{\phi }_{\rm f}}$—裂缝孔隙度，%；

$m$—裂缝截止值对应的孔隙类型序数，无因次。

3 应用效果

锦州25-1S油气田位于渤海辽西低凸起中段^[25]，太古宇潜山发育块状油藏，岩性为区域变质花岗片麻岩，顶部风化较严重，储集空间具有孔洞、缝并存，非均质程度较高的双重孔隙介质特征，裂缝错综复杂，低角度、高角度、网状缝均发育，储层裂缝评价对油田地质认识、油藏开发具有重要意义。

图 5为锦州25-1S油气田2井裂缝评价效果图。

利用式(1)$\sim$式(5)建立的多孔介质模型，结合阵列声波测井纵、横波数据进行反演，得到孔隙纵横比谱分布(第7道)及裂缝孔隙度值(第6道红线)。从图上可以看出，整个井段阵列声波测井计算的裂缝孔隙度与经过生产标定后的电成像测井计算的裂缝孔隙度(第6道蓝线)吻合较好，两者绝对误差不超过0.2%，证实多孔介质模型计算的准确性。同时，根据孔隙纵横比谱分布，可以直观地反映储层孔隙与裂缝的分布状态及所占的孔隙空间百分含量。通过常规测井结合裂缝孔隙度计算结果对该井裂缝段进行划分，对于裂缝段(第3道绿色填充)，深、浅侧向电阻率较低且分开明显(第4道)，密度较低、声波时差较高(第5道)，裂缝孔隙度较高，孔隙纵横比谱中裂缝带孔隙百分比较高；致密段电阻率较高，声波时差低，密度值高，裂缝孔隙度低，显示储层较为致密。裂缝孔隙度计算结果与常规曲线所反映的裂缝特征匹配较好。

图 6统计了渤海不同类型岩性油气藏裂缝孔隙度计算结果与成像测井计算结果的对比效果，包括花岗岩潜山、变质岩潜山、碳酸盐岩潜山等裂缝性油气藏。对比发现，不同类型储层，裂缝孔隙度计算结果与成像测井计算结果吻合较好，两者误差较小，能够满足测井解释精度要求，同时也证实阵列声波测井裂缝孔隙度计算方法适用于不同类型储层，对于渤海复杂岩性储层裂缝孔隙度计算具有较好的推广应用价值。

4 结论

(1) 提出孔隙纵横比谱概念，通过数学表达式对孔隙纵横比谱进行描述，刻画孔隙结构特征。

(2) 将孔隙纵横比谱引入微分等效介质模型中，建立阵列声波多孔介质模型，该模型在孔隙度、流体性质相同条件下与孔隙结构分布具有较好的对应关系。

(3) 基于孔隙纵横比谱的多孔介质模型，结合阵列声波测井资料建立裂缝孔隙度定量反演函数，实现裂缝孔隙度定量计算，应用效果较好。