引言

硫化物应力腐蚀开裂(Sulfide Stress Corrosion Cracking，简称SSCC)和应力腐蚀开裂(Stress Corrosion Cracking，简称SCC)是油气田金属材料腐蚀的一种严重失效形式，是各种腐蚀行为中破坏性最大的一种，常常在没有任何预兆的情况下突然发生，造成灾难性的事故^[1-4]。随着超深、超高压高温井的不断开发，这些苛刻井中的服役环境迫切需要使用高强度耐蚀石油管材，如不锈钢、镍基合金和钛合金完井管柱等。因此，对硫化物应力腐蚀开裂的研究是目前需要解决的课题之一，而C型环正是一种用于测定各种金属应力腐蚀破裂敏感性的用途广泛且经济的试样，适用于多种产品形式，特别适用于石油行业的输送管道和完井管柱的实验。

目前，有不少国内外学者开展了大量的C型环应力腐蚀开裂的实验研究^[3-10]和有限元应力计算的理论研究^[11-14]。Thomson等用增强铁素体不锈钢的C型环试样开展了纵向和横向的应力腐蚀开裂(SCC)的实验研究^[15]。Bandeira等^[16]，按NACE TM0177标准^[17]，加载75%$\sim$95%屈服极限(Yield Strength，简称YS)不同应力水平，开展了油气输送管道C型环试样的硫化物应力腐蚀开裂的实验研究和有限元法的力学研究。除C型环外，也有学者采用慢应变速率拉伸(Slow Strain Rate Test，SSRT)方法^[18-19]以及四点弯曲的实验方法^[20]开展材料的应力腐蚀开裂实验。无论哪种实验方法，首先要根据实际工况确定其加载的应力水平或加载位移，才能得到实际工况下材料的应力腐蚀开裂行为。

在NACE TM 0177^[17]和国标GB/T 15970.5《金属和合金的腐蚀—应力腐蚀实验》中均颁布有关C型环实验应力的加载挠度(位移)的计算公式^[21]，但没有给出加载载荷与应力的计算公式。因此，本文基于材料力学理论，针对管道横向应力腐蚀开裂，对任意C型环试样结构尺寸及其力学关系，建立了C型环内任意截面的力学模型，推导出了其外壁和内壁任意一点环向应力与C型环试样加载位移、加载载荷之间的理论计算公式，同时，建立了其有限元力学模型，用有限元法对本文推导的理论公式进行了对比分析和验证，结果表明，本文推导的理论公式是正确的，为C型环实验加载位移和加载载荷的计算提供了理论公式。

1 C型环内外壁任意点环向应力与加载载荷的理论公式推导

C型环结构及其加载受力示意图如图 1所示，假设在螺栓位置$Z$点固定不动，在螺栓$E$点施加载荷$F_{\rm{y}}$(或位移$U_{\rm{y}}$)，C型环将沿螺栓轴向被压缩，导致C型环外壁受到环向拉伸应力作用，其内壁则受到环向压缩应力作用。假设：(1) C型环发生平面弯曲时符合平面假设，即变形前的横截面在变形后仍然为平面；(2)不考虑材料层间相互作用的正应力，C型环处于单向受拉(压)应力状态。

根据材料力学，曲梁在外载荷作用下，横截面上同时存在弯矩$M$、轴力$N$和剪力$Q$。与剪力Q对应的剪应力一般很小，可以不考虑^[22]。在任意$\theta$角截面$B_1D_1$上的C型环中心受到方向力$N$和弯矩$M$的作用，见图 1所示。根据经典的材料力学理论，其截面$B_1D_1$上法向应力计算公式为

$ \sigma {\rm{ = }}\sigma {}_1 \pm {\sigma _2}{\rm{ = }}\dfrac{N}{A} \pm \dfrac{{My}}{{\rho S}} $

(1)

在任意$\theta$角度$B_1D_1$截面所受内力见图 1中所示，在$E$点施加载荷$F_{\rm{y}}$，该C型环$\theta$角度截面上的力学及其截面尺寸参数为

$ \left\{ \begin{array}{l} N = - {F_{\rm{y}}}\sin \theta {\rm{ }}\\ M = {F_{\rm{y}}}R\sin \theta \\ A = wt, {\rm{ }}S = wt\left( {R - r} \right)\\ R{\rm{ = }}(d - t)/2 \end{array} \right. $

(2)

$ {\rm{ }}{\rho _{{\mathop{\rm o}\nolimits} }} = \dfrac{d}{2}, {\rm{ }}{y_{{\mathop{\rm o}\nolimits} }} = \dfrac{d}{2} - r $

(3)

$ {\rho _{{\mathop{\rm i}\nolimits} }} = \dfrac{d}{2} - t, {\rm{ }}{y_{{\mathop{\rm i}\nolimits} }} = r - \left( {\dfrac{d}{2} - t} \right){\rm{ }} $

(4)

式中：$\sigma$—应力计算点受到的法向应力，Pa；

$\sigma_1$—轴力$N$对应的应力，Pa；

$\sigma_2$—弯矩$M$对应的应力，Pa；

$N$—应力计算点受到的轴力，N；

$A$—截面积，mm$^2$；

$M$—应力计算点受到的弯矩，N$\cdot$mm；

$y$—应力计算点到中性轴的距离，mm；

$\rho$—各点处的曲率半径，mm，$\rho {\rm{ = }}r + y$；

$S$—$A$对中性轴的静矩，mm$^3$，$S = A\left( {R - r} \right)$；

$F_{\rm{y}}$—施加载荷，N；

$\theta$—C型环上任意截面与螺栓轴截面的夹角，(°)；

$R$—轴线曲率半径，mm；

$w$—C型环宽度，mm；

$t$—C型环壁厚，mm；

$r$—中性层的曲率半径，mm；

$d$—C型环加载前外径，mm；

${\rho _{\rm o}}$, ${\rho _{\rm i}}$—C型环外壁和内壁曲率半径，mm；

${y_{\rm o}}$, ${y_{\rm i}}$—C型环外壁和内壁距中性层曲率半径$r$处的距离，mm。

式(3)和式(4)分别为C型环外壁和内壁处的应力计算参数位置。将式(2)$\sim$式(4)的参数分别代入式(1)，可推导出C型环外壁任意点的环向拉应力$\sigma_{\rm{o}}$和内壁任意点的环向压应力$\sigma_{\rm{i}}$

$ {\sigma _{{{\rm o}} }}{\rm{ = }}\dfrac{{{F_{\rm{y}}}\sin \theta }}{w} {\dfrac{{2r}}{{d\left( {d - t - 2r} \right)}}} $

(5)

$ {\sigma _{\rm{i}}}{\rm{ = }} - \dfrac{{{F_{\rm{y}}}\sin \theta }}{{wt}}\left[ {\dfrac{{\left( {d - t} \right)\left( {2r - d + 2t} \right)}}{{(d - 2t)\left( {d - t - 2r} \right)}} + 1} \right] $

(6)

该C型环为矩形截面，其中，性层曲率半径$r$的公式为^[22]

$ {{r = }}\dfrac{t}{{\ln {\dfrac{d}{{d - 2t}}} }} $

(7)

式(5)和式(6)中，当$\theta$=90°时，$\sigma_{\rm{o}}$=$\sigma_{\rm{B}}$和$\sigma_{\rm{i}}$=$\sigma_{\rm{D}}$分别为图 1中$B$点和$D$点处的最大环向拉应力$\sigma_{\rm{B}}$和最大环向压应力$\sigma_{\rm{D}}$，而C型环实验中主要关心的是$B$点处的最大环向拉应力$\sigma_{\rm{B}}$。

2 最大应力$\sigma_{\rm{B}}$、位移$U_{\rm{y}}$与载荷$F_{\rm{y}}$之间的关系推导

在图 1中$E$点施加载荷$F_{\rm{y}}$，则C型环在$E$点必然产生沿螺栓轴向的位移$U_{\rm{y}}$，如果忽略曲率的影响，采用能量法计算变形量与作用力之间的关系，在只计弯曲变形时^[4]，可得C型环沿螺栓轴向的加载位移$U_{\rm{y}}$与施加的载荷$F_{\rm{y}}$的变化关系为式(8)。C型环轴向的加载位移$U_{\rm{y}}$与$B$点的最大环向拉应力$\sigma_{\rm{B}}$的计算公式由NACE TM 0177中^[15]给出，见式(9)。

$ {U_{\rm{y}}} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{{\rm{\pi }} {F_{\rm{y}}}{{\left( {d - t} \right)}^3}}}{{Ew{t^3}}} $

(8)

$ {U_{\rm{y}}} = \dfrac{{{\rm{\pi }} d\left( {d - t} \right)}}{{4tE}}{\sigma _{\rm{B}}} $

(9)

式中：$U_{\rm{y}}$—C型环轴向的加载位移，mm；

$E$—弹性模量，Pa。

标准NACE TM 0177中对C型环试样给出了要求，宽度与厚度比$w/t$应在2$\sim$10，直径与厚度比$d/t$应在10$\sim$100，这与变形量计算过程中忽略轴向变形和剪切变形以及应力计算过程采用直梁公式近似计算的条件基本相符，不过，这一公式限制了使用范围，当C型环的宽度、厚度、直径不在其范围内时不能采用该方法进行实验。

由式(8)可得C型环加载载荷与加载处的位移变化关系式为式(10)。当$\theta$=90°时，由式(5)可得图 1中$B$点的最大环向拉应力，即$\sigma_{\rm{o}}$=$\sigma_{\rm{B}}$，再将式(9)代入式(5)可推导出C型环加载载荷与加载处的位移变化关系式为式(11)。

$ {F_{\rm{y}}} = \dfrac{{4wE}}{{3{\rm{\pi }} {{\left( {\dfrac{d}{t} - 1} \right)}^3}}}{U_{\rm{y}}} $

(10)

$ {F_{\rm{y}}} = \dfrac{{2tEwd(d - t - 2r)}}{{{\rm{\pi }} dr(d - t)}}{U_{\rm{y}}} $

(11)

将式(9)代入式(10)和式(11)，可推导出C型环外壁$B$点处最大环向拉应力$\sigma_{\rm{B}}$与加载载荷$F_{\rm{y}}$的关系式

$ {F_{\rm{y}}} = \dfrac{{dw}}{{3{{\left( {\dfrac{d}{t} - 1} \right)}^2}}}{\sigma _{\rm{B}}} $

(12)

$ {F_{\rm{y}}} = \dfrac{{{w}d\left( {d - t - 2r} \right)}}{{2r}}{\sigma _{\rm{B}}} $

(13)

3 C型环试样有限元力学模型建立

前面推导的理论公式(5)$\sim$式(13)只适合于计算弹性范围内$E$点的位移或载荷、外壁任意位置环向拉应力以及内壁任意位置压应力计算，不适用于C型环内发生塑性变形的计算，同时，不能计算C型环内部任一点的应力和位移，为了解决这一问题，采用弹塑性有限元方法进行计算，有限元法可得到弹塑性工况下C型环内任一点的应力及其应力场分布，为C型环试样结构设计、C型环应力腐蚀开裂实验提供更完整的应力场数据。

根据C型环试样结构可知，属于平面应力带厚度的力学问题，本研究将开展外径为88.9 mm的13Cr-110油管结构的C型环应力分析研究，该油管有3种壁厚的结构尺寸，如表 1所示，其宽度按NACE TM 0177标准^[17]取5倍的壁厚尺寸。根据图 1中C型环的标准结构，可建立其有限元力学模型，如图 2所示。在C型环的$ZG$边界固定约束，在$EF$边界$X$方向约束，$E$点作用一个向下的力$F_{\rm{y}}$或位移$U_{\rm{y}}$，将在C型环外壁$ZBE$上产生环向拉应力$\sigma_{\rm{o}}$，其环向拉应力的最大值发生在C型环外壁的$B$点，可用式(5)计算出。其环向最大压应力值发生在C型环内壁的$D$点，可用式(6)计算出。

C型环13Cr-110油管材料的弹性模量为2.1$\times$10$^5$ MPa，泊松比0.3，材料的屈服极限YS为758 MPa，其应力-应变曲线见图 3所示。

加载过程：首先，在图 2中$E$点施加一个很小的位移$U_{\rm{y}}$，然后，逐渐增加$U_{\rm{y}}$的数值，在该加载过程中，B的环向拉应力也逐渐增大，直到其$B$点的环向拉应力为650 MPa(85.76%YS)时，即求解出对应的加载位移$U_{\rm{y}}$。如果继续加载到$B$点的环向拉应力为该材料屈服强度758 MPa时，即可计算出$B$点屈服时的加载位移$U_{\rm{y}}$。

4 理论计算与有限元计算对比分析 4.1 最大环向应力与位移、载荷分析

图 4为理论公式计算和有限元计算的加载载荷$F_{\rm{y}}$与最大环向拉应力$\sigma_{\rm{B}}$的变化关系曲线，油管外径为88.9 mm，壁厚为6.45 mm。从图 4中可知，理论式(12)和式(13)的结果曲线几乎重合，而且，在弹性范围内与有限元计算的结果曲线非常吻合。

从图 4可知，理论式(12)$\sim$式(13)的加载载荷与最大环向拉应力为线性变化关系。当最大环向拉应力超过758 MPa后，材料进入塑性变形，因此有限元计算结果为非线性变化关系。理论公式只适用于弹性范围内，不适合于材料的塑性范围。

从图 4中有限元计算结果可知，当$B$点处最大环向拉应力为其屈服极限758 MPa时，需要在图 2中$E$点施加4.387 kN的载荷。在实验过程中，需要在$B$点产生最大环向拉应力载荷为650 MPa(85.76%YS)时，则需要在图 2中$E$点施加2.798 mm的位移，或者在该处施加3.734 kN的载荷，分别如表 2和表 3所示。

图 5为3种壁厚C型环的最大环向拉应力随加载位移变化关系的有限元法和理论公式(9)的计算结果对比曲线，从图 5中的曲线可知，在弹性范围内，理论公式的曲线结果与有限元法的计算结果非常吻合，即在弹性范围内可直接使用理论公式(9)计算$B$点的最大环向拉应力，但超出弹性范围时，理论公式不再适用，只能用有限元计算出$B$点的最大环向应力。另外理论解只适用于标准的、无缺陷的C型环，如果C型环内外表面带有缺陷，则仅有有限元法作为解决该问题的有效方法。

图 5中可知，对于3种不同的壁厚，要在$B$点获得同样650 MPa的拉应力，其施加的位移分别为1.839，2.436，2.798 mm，壁厚越厚，施加的位移越小。

最大环向应力$\sigma_{\rm{B}}$=650 MPa时，其加载位移、加载载荷的理论计算结果与有限元计算结果的对比分析见表 2和表 3。从表 2可知，理论式(9)与有限元法计算出的加载位移的误差为1.25%$\sim$2.01%，非常吻合。

从表 3中可知，3种壁厚加载载荷的理论公式计算结果相对于有限元法的计算结果比较，其误差的绝对值：理论公式(12)误差1.0%$\sim$1.82% < 式(13)误差1.9%$\sim$2.2%。

4.2 内外壁环向应力变化分析

根据本文建立的C型环试样的有限元计算模型，首先在力学模型图 2中$E$点从0逐渐施加$U_{\rm{y}}$，在该位移加载过程中，$B$的环向拉应力也逐渐增大，直到其$B$点的环向拉应力$\sigma_{\rm{B}}$=650 MPa时，即求解出对应的加载位移$U_{\rm{y}}$=2.798 mm，对应的加载载荷$F_{\rm{y}}$=3.734 kN。此时，$D$点的最大环向压应力$\sigma_{\rm{D}}$=756.6 MPa，其环向应力等值线云图如图 6所示，表 4为$B$点环向拉应力式(5)和$D$点压应力式(6)以及有限元法的计算结果对比。

从表 4中可知，C型环外壁拉应力理论公式(5)和其内壁压应力理论公式计算结果与有限元法的计算结果误差分别为2.14%和1.65%，即理论公式的结果和有限元结果较吻合，误差较小，说明理论公式的推导是正确的。

从图 6中可见，C型环试样内部存在明显的中性层，即应力为0的位置，中性层以上为环向拉应力，中性层以下为环向压应力，从图 6可知其拉应力为0$\sim$650 MPa，压应力为-756.6$\sim$0 MPa，最大拉应力和最大压应力分别发生在图 6中$B$点和$D$点位置。为了进一步分析其内外壁应力变化，将提取图 6中C型环试样外壁$BE$和内壁$DF$的环向应力数据，见图 7。

图 7为有限元法和理论公式计算出的C型环内外壁环向应力沿$\beta$角度路径的变化关系，图 7中将内壁的压应力乘以-1使其变为正的数值，主要目的是便于在分析。从图 7中的结果可知，本文推导的理论公式的计算结果与有限元法的计算结果非常吻合，说明理论公式的推导是正确的。

从图 7中可知，其内外壁的环向应力沿$\beta$角度路径逐渐减小，且为非线性分布，在$B$点和$D$点为最大值数值，在$E$点和$F$点变为零。从图 7中可知，C型环内壁最大压应力的绝对值756.6 MPa比外壁最大环向拉应力650 MPa高156.6 MPa，因此如果试样内要发生塑性变形，首先发生在C型环试样内壁，因此在确定外壁最大环向拉应力时，建议用式(6)计算其内壁的最大环向压应力，并判断其是否超过该材料的屈服应力。

5 结论

(1) 根据C型环试样结构及其受力关系，推导出了其外壁和内壁任意一点环向应力与试样加载位移、加载载荷之间的理论计算公式，式(5)、式(12)及式(13)为C型环硫化氢应力开裂和应力腐蚀开裂实验加载参数确定提供了简便的计算方法。

(2) 当C型环试样最大环向拉应力为650 MPa时，用有限元法计算出需要施加的载荷3.734 kN，用本文式(12)和式(13)计算出施加的载荷分别为3.802和3.816 kN，其相对有限元法的误差分别为-1.82%和-2.2%，说明推导的理论公式可靠。

(3) C型环内壁最大压应力的绝对值始终比外壁最大环向拉应力高，因此在确定外壁最大环向拉应力的应力腐蚀开裂实验前时，建议用式(6)计算其内壁的最大环向压应力，并判断其是否超过该材料的屈服应力，为合理确定外壁最大环向拉应力提供理论数据。