引言

纵、横波速比($\gamma$)是多分量地震技术中的一个重要参数，在转换波共转换点道集抽取、速度分析、静校正、纵横波联合反演及解释中起着重要的作用。1985年，Behle于提出了一种用纵波和转换横波联合速度分析来求取$\gamma$的方法^[1]，利用测量的纵波时间和正常时差速度以及包含有$\gamma$的转换波时间和正常时差速度可以计算出两者的互相关系数，这时与转换波相对应的$\gamma$就通过时窗计算出来。但这个方法应用到炮集记录上时只能产生稀疏模糊的互相关系数峰值。1990年，McCormack提出建立径向偏振的SV波和横向偏振的SH波叠加数据之间的关系来计算$\gamma$^[2]，也可以用在纵横波数据上来计算每个采样点的$\gamma$，此方法不需要变换纵横波数据道，但需要振幅比例因子来使纵波高频子波和转换波低频子波相匹配。

基于Sinc插值算法的$\gamma$扫描方法可以快速有效地对整个数据或目标层位的$\gamma$进行扫描，计算出整个数据的长波长$\gamma$或目标层位的固定$\gamma$，为短波长的$\gamma$计算及多分量地震资料的进一步解释奠定了基础。

1 纵、横波速比与时间比的关系

由于转换横波速度低于纵波速度，因此，同一反射层在转换波剖面和纵波剖面上的到达时间是不一致的。对于某一深度为$h$的地层，假设自激自收速度为$v_{\rm{P0}}$，横波自激自收速度为$v_{\rm{S0}}$，而在P-P波CMP叠加剖面上的垂直双程时间为$t_{\rm{PP0}}$，在P-SV波ACCP叠加剖面上的垂直时间为$t_{\rm{PS0}}$，则

$ \frac{h}{{{v_{{\rm{P0}}}}}} + \frac{h}{{{v_{{\rm{S0}}}}}} = {t_{{\rm{PS0}}}} $

(1)

$ \frac{{2h}}{{{v_{{\rm{P0}}}}}} = {t_{{\rm{PP0}}}} $

(2)

式中：

$h$——地层深度，m；

$v_{\rm{P0}}$——纵波自激自收速度，m/s；

$v_{\rm{S0}}$——横波自激自收速度，m/s；

$t_{\rm{PS0}}$——P-SV波在ACCP叠加剖面上的双程旅行时间，s；

$t_{\rm{PP0}}$——P-P波在CMP叠加剖面上的双程旅行时间，s。

由式(1)、式(2)可以得到

$ {t_{{\rm{PS0}}}} = \dfrac{{1 + \dfrac{{{v_{{\rm{P0}}}}}}{{{v_{{\rm{S0}}}}}}}}{2}{t_{{\rm{PP0}}}} $

(3)

令${\gamma _0} = \dfrac{{{v_{{\rm{P0}}}}}}{{{v_{{\rm{S0}}}}}}$，则

$ {t_{{\rm{PS0}}}} = \dfrac{{1 + {\gamma _0}}}{2}{t_{{\rm{PP0}}}} $

(4)

式中：

$\gamma$——纵横波速度比，无因次。

式(4)为将纵、横波速度比转化为时间比的公式。

如果给定一个$\gamma$，就可以将纵波地震道反射时间拉伸变换到对应的转换波地震道反射时间。纵波时间乘以$(1 + {\gamma _0})/2$后所得地震道的采样间隔亦变成了纵波采样间隔的$(1 + {\gamma _0})/2$倍，因此，必须对拉伸后的纵波地震道进行重采样，使拉伸后的纵波样点数也是按照转换波的采样间隔进行取值。这里采用Sinc插值算法对拉伸后的纵波地震道进行重采样处理。

2 Sinc插值算法

设有函数$f(x)$，采样定理表明，在满足以下两个条件时，就可以从$f(x)$的等间隔离散样本中无失真的重建原始信号：(1)信号是带限的, 即信号的最高频率有界；(2)采样频率满足奈奎斯特采样率。当满足以上条件时，其重建方程为

$ f(x) = \sum\limits_i {{f_{\rm{d}}}(i) * \sin c(x - i)} $

(5)

式(5)可以看成是$f_{\rm{d}}(i)$与$\sin c(x - i)$的卷积，其卷积核$\sin c(i) = \sin (i)/i$，$f_{\rm{d}}(i)$为$f(x)$在$x_i$时的值。

Sinc插值方法得到的插值结果是无偏的^[2]，而且比起较为精确的拉格朗日插值方法而言在相同阶数的情况下其计算量要小。因此，从计算量和插值精度来说，Sinc插值方法是一种进行信号插值的良好方法。

图 1为采样间隔2 ms、21个采样点、主频30 Hz的雷克子波，对该子波进行1.5倍拉伸后采样间隔变为3 ms。用Sinc插值算法插值后子波为32个采样点，采样间隔还原为2 ms。从图 1可以看出，Sinc插值算法可以在保持原始波形不变的情况下，很好地对拉伸或压缩后地震道数据的采样间隔进行还原。

3 纵、横波速比扫描方法

在地球物理模型建立和反演中有许多共轭运算符，如：褶积和反褶积、拉伸和压缩、绕射模型和偏移。在纵、横波速比扫描方法中，共轭运算符为拉伸纵波到转换波时间及压缩转换波到纵波时间^[4]。首先，选取第$j$道纵波作为模型道$b_i$，将该道拉伸变换后的地震道定义为$b_i^{'}$，则有

$ b_i^{'} = \Gamma {b_i} $

(6)

式中：

$\Gamma$——拉伸运算符，由常量${\gamma _{{\rm{avg}}}}$(平均$\gamma$)定义。

因此，式(6)可写为

$ \mathop {b_i^{'}}\limits^{} ({\gamma _{{\rm{avg}}}}) = \Gamma ({\gamma _{{\rm{avg}}}})b_i $

(7)

用一系列的$\gamma _{{\rm{avg}}}$对纵波地震道拉伸，自上而下开时窗与对应的转换波地震道$a_i$作相关，得到一系列相关系数$c_k$

$ {c_k}({\gamma _{{\rm{avg}}}}) = \sum\limits_{i = k - l/2}^{k + l/2} {{a_i}b_i^{'}({\gamma _{{\rm{avg}}}})} $

(8)

式中：

$k$——时窗的中点；

$l$——时窗的长度，样点数。

当用正确的$\gamma _{{\rm{avg}}}$来拉伸纵波层位与转换波层位匹配最好时，互相关系数达到最大值，即得到的该转换波时间点的$\gamma _{{\rm{avg}}}$。

4 理论模型试验

为验证基于Sinc插值算法的纵横波速比值扫描方法的有效性，采用数值模拟方法构建了一个P波CMP叠加剖面和一个PS波CCP叠加剖面进行计算。P波的CMP叠加剖面数据时长1 s，采样率为2 ms，在0.1~0.9 s处有反射层位，反射系数在奇数层位为正，偶数层位为负。地震子波为35 Hz的雷克子波，子波时长60 ms(图 2a)。

PS波的CCP叠加剖面数据时长1 s，采样率为2 ms，在0.2~0.9 s处有反射层位，反射系数在偶数层位为正，奇数层位为负。地震子波为20 Hz的雷克子波，子波时长60 ms，如图 2b所示。两者的振幅值都做了衰减处理以模拟真实的情况。

图 3是用基于Sinc插值算法的$\gamma$扫描方法对图 2的理论模型进行扫描后得到的互相关系数谱，根据该互相关系数谱可以得到如表 1所示的$\gamma$。

从表 1可以看出，扫描得到的$\gamma$和理论$\gamma$一致(理论$\gamma$由式(3)计算得到)。由此可以证明，该方法可以扫描得到准确的$\gamma$。

5 实际资料处理

为验证该方法的实用性，针对川西地区转换波地震勘探资料用该方法进行$\gamma$扫描。选取该工区资料某条线的P波CMP叠加剖面(图 4)，及PS波ACCP叠加剖面(图 5)，针对红线框内的目标层位，运用基于Sinc插值算法的$\gamma$扫描方法进行处理。扫描时窗大小为100 ms，时间步长增量为20 ms，$\gamma$扫描范围为1.80~2.00，增量为0.01。

图 6a是扫描得到的互相关系数谱，得到转换波时间3.50~4.35 s的$\gamma$变化趋势，该趋势满足$\gamma$由浅到深逐步减小的特点。为验证该方法在实际资料处理中的准确性，进一步针对转换波时间3.77~3.97 s进行扫描，所用参数保持不变，扫描得到的互相关系数谱如图 6b所示。在该时间范围内有3个层位，3个层位的纵波时间及转换波时间，理论$\gamma$和实际扫描的$\gamma$如表 2所示，表明该方法在对实际资料进行$\gamma$扫描时仍然能得到较为准确的结果。

6 结语

基于Sinc插值的纵、横波速比值扫描方法从纵、横波速比与时间比的关系入手，利用Sinc插值算法对拉伸后的纵波地震道进行重采样，从扫描出的互相关系数谱中得到纵、横波速比。理论模型试验和实际资料处理证明，该方法能得到较为准确的纵、横波速比，是一种有效的、实用的纵横波速比扫描方法。