引言

喷射器是利用工作流体来传递能量和质量的真空获得装置，它是采用有一定压力的工作气体经过工作喷嘴时，速度急剧增大，使得喷嘴出口区域的压力极大降低，造成真空从而抽吸流体。其主要优点是不消耗机械能，结构简单，没有运动部件，不易损坏^[1-2]，在石油天然气开采、化工、轻工、制冷等工业技术领域获得了越来越广泛的应用^[3-8]，尤其一些特殊生产工艺，如真空蒸馏、真空干燥和真空结晶等，应用前景广阔^{[3, 5]}。

喷射器的研究历史很长，喷射器的理论在长达一个世纪的研究周期内日趋完善。19世纪80年代，德国学者Zeuner和Rankin的著作打开了喷射器理论的先河^[9]，但是该理论也存在缺陷，就是不能解决喷射器的设计问题，直到20世纪30年代流体力学和空气动力学科的飞速发展，才使得喷射器的应用与研究工作有了质的飞跃。早期学者对喷射器的研究为之后理论发展提供了有力的基础^[10-15]。索科洛夫在前人的基础上，通过大量实验，逐步建立起适用于不同领域和工况范围的喷射器理论，索科洛夫在其著作中对喷射器的设计方法有着详尽的阐述，在喷射器动量守恒、质量守恒和能量守恒的基础上，通过引入气体动力学函数来建立与热力学参数之间的联系，分别推导了适合不同类型喷射器特点的基本方程^[16]。索科洛夫的气体动力函数法于20世纪60年代传入中国，给中国的喷射器设计带来了很好的规范，并对中国喷射器的理论研究及发展产生了深远影响^{[3, 17-22]}。

由于喷射器内实际流动情况的复杂性，在建立喷射器数学模型时为简化推导过程，都会做一些假设。索科洛夫在其设计方法中的一个重点假定就是气体介质为理想气体，气体动力学函数理论式和基本方程的推导都是基于这个假定进行的。众所周知，喷射器的很多工业应用中，操作压力范围涉及低压到高压全范围，在低压情况下，这个假定没有任何问题，但是在压力较大的情况下，比如在石油、天然气的喷射举升过程中，天然气进口压力非常大，甚至高达数十兆帕，这么大的压力，理想气体状态方程已经不再适用，此时索科洛夫设计理论所设计的喷射器将与实际存在偏差。为此，本文对索科洛夫的气体动力函数法从真实气体角度进行了修正，提出真实气体的气体动力学函数理论式，鉴于很多学者已在中压缩比与大压缩比的喷射器研究中考虑了真实气体并得出相关结论^[23-29]，本文研究侧重点放在小压缩比的喷射器(气体喷射器与气力输送喷射器)，对设计计算中常用到的特性曲线方程、最佳面积比方程和喷射系数方程以真实气体的气体动力学函数理论式为基础重新进行了推导，并与索科洛夫设计方法进行对比研究，基于真实气体的修正弥补了索科洛夫设计方法的局限，可适用于全压范围的喷射器设计。

1 真实气体的气体动力学函数推导

气体动力学函数理论式是整个喷射器理论的关键，在索科洛夫设计方法中，所给出的气体动力函数理论式全部以理想气体关系式为推导前提，那么，推导出基于真实气体的气体动力学函数理论式显得尤为重要。

若取温度和压力为独立变量，焓可以表示为温度和压力的函数

$ h=f( T, p ) $

(1)

式中：$h$—焓，kJ/kg；

$T$—温度，K；

$p$—压力，Pa。

由式(1)进行热力学偏导数变换时，存在如下全微分关系式

$ {\rm d}h={{\left( \dfrac{\partial h}{\partial T} \right)}_{{\rm p}}}{\rm d}T+{{\left( \dfrac{\partial h}{\partial p} \right)}_{{\rm T}}}{\rm d}p $

(2)

式中：下标p—等压过程；

下标T—等温过程。

同时焓$h$、熵$s$之间又存在如下关系

$ {\rm d}h=T{\rm d}s+v{\rm d}p $

(3)

式中：$s$—熵，kJ/(kg$\cdot$K)；

$v$—比容，m$^3$/kg。

联立式(2)，式(3)，可得

$ {{\left( \dfrac{\partial h}{\partial p} \right)}_{{\rm T}}}=T{{\left( \dfrac{\partial s}{\partial p} \right)}_{{\rm T}}}+v $

(4)

根据Maxwell关系式和定压比热容$c_{{\rm p}}$的定义可知

$ {{\left( \dfrac{\partial s}{\partial p} \right)}_{{\rm T}}}=-{{\left( \dfrac{\partial v}{\partial T} \right)}_{{\rm p}}} $

(5)

$ {{c}_{{\rm p}}}={{\left( \dfrac{\partial h}{\partial p} \right)}_{{\rm T}}} $

(6)

式中：$c_{\rm p}$—定压比热容，kJ/(kg$\cdot$K)。

将式(4)~式(6)代入式(2)，可得

$ {\rm d}h={{c}_{{\rm p}}}{\rm d}T+\left[ v-T{{\left( \dfrac{\partial v}{\partial T} \right)}_{{\rm p}}} \right]{\rm d}p $

(7)

按等熵过程将式(7)两边除以d$T$，整理，可得

$ {{\left( \dfrac{\partial h}{\partial T} \right)}_{\rm s}}={{c}_{\rm p}}+\left[ v-T{{\left( \dfrac{\partial v}{\partial T} \right)}_{\rm p}} \right]{{\left( \dfrac{\partial p}{\partial T} \right)}_{\rm s}} $

(8)

式中：下标s—等熵过程。

将式(8)右边的偏导数部分通过推证法求得^[30]

$ {{\left( \dfrac{\partial p}{\partial T} \right)}_{{\rm s}}}=\dfrac{{{c}_{{\rm p}}}}{{{\alpha }_{{\rm p}}}vT} $

(9)

$ {{\left( \dfrac{\partial v}{\partial T} \right)}_{{\rm p}}}={{\alpha }_{{\rm p}}}v $

(10)

式中：${{\alpha }_{{\rm p}}}$—定压膨胀系数，无因次。

将式(6)，式(9)及式(10)代入式(8)，有

$ {{\left( \dfrac{\partial h}{\partial T} \right)}_{{\rm s}}}=\dfrac{{{c}_{\rm p}}}{{{\alpha }_{\rm p}}T} $

(11)

真实气体在等熵过程中，温度、压力及比容的变化满足以下两个关系式^[31]

$ p{{v}^{{{k}_{{\rm v}}}}}=\rm const $

(12)

$ T{{p}^{-\frac{{{k}_{{\rm T}}}-1}{{{k}_{{\rm T}}}}}}=\rm const $

(13)

式中：$k_{{\rm v}}$—容积绝热指数，无因次；

$k_{{\rm T}}$—温度绝热指数，无因次。

$k_{{\rm v}}$和$k_{{\rm T}}$值可采用RKS方程进行计算^[32]。

由热力学微分关系，$c_{{\rm p}}$可表示为^[31]

$ {{c}_{{\rm p}}}=\dfrac{{{k}_{{\rm T}}}}{{{k}_{{\rm T}}}-1}R{{Z}_{{\rm T}}} $

(14)

式中：R—普适气体常数，R=8.314 J/(K$\cdot$mol)；

$Z_{{\rm T}}$—导数压缩因子，无因次。

导数压缩因子$Z_{\rm T}$与热力学偏导数存在如下关系式

$ {{Z}_{{\rm T}}}=\dfrac{p}{R}{{\left( \dfrac{\partial v}{\partial T} \right)}_{{\rm p}}} $

(15)

将式(10)，式(15)代入式(14)，有

$ {{c}_{{\rm p}}}=\dfrac{{{k}_{\rm T}}}{{{k}_{\rm T}}-1}{{\alpha }_{{\rm p}}}pv $

(16)

将式(16)代入式(11)，可得

$ {{\left( \dfrac{\partial h}{\partial T} \right)}_{\rm s}}=\dfrac{{{k}_{\rm T}}}{{{k}_{\rm T}}-1}\dfrac{pv}{T}=\dfrac{{{k}_{\rm T}}}{{{k}_{\rm T}}-1}ZR $

(17)

将式(17)按等熵过程积分，有

$ {h_0} - h = \int_T^{{T_0}} {\frac{{{k_{\rm{T}}}}}{{{k_{\rm{T}}} - 1}}ZR} $

(18)

式中：$h_0$—滞止状态下的焓，kJ/kg；

$T_0$—滞止温度，K；

$Z$—滞止状态压缩因子，无因次。

假设滞止状态压缩因子在温度改变过程中呈线性变化，则给定状态与临界状态时的压缩因子可用相应的系数来修正

$ \left \{ \begin{array}{l} Z_{{\rm 1}}=mZ \\ Z_{{\rm {\ast}}}=nZ \end{array} \right . $

(19)

式中：$Z_{{\rm 1}}$—给定状态下的压缩因子，无因次；

$Z_{{\rm {\ast}}}$—临界状态下的压缩因子，无因次；

$m$，$n$—系数，无因次。

等熵过程中，气体一维稳定流动的能量方程微分式

$ {\rm d}h+{\rm d}\left( \dfrac{{{\omega }^{2}}}{2} \right)=0 $

(20)

式中：${\omega }$—等熵速度，m/s。

声速传播是一个绝热过程，则真实气体声速可表示为

$ a={{\sqrt{\left( \dfrac{\partial p}{\partial \rho } \right)}}_{\rm s}}=\sqrt{{{k}_{\rm v}}pv} $

(21)

式中：$a$—声速，m/s。

将式(18)，式(21)代入式(20)，并做相应的变换，可得

$ \dfrac{{{T}_{0}}}{T}=m\left[ 1+\dfrac{{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)}{2{{k}_{\rm T}}}M_{\rm a}^{2} \right] $

(22)

式中：$M_{\rm a}$—马赫数，无因次。

由于气体动力学函数把气体等熵速度与热力学参数联系起来，引入折算等熵速度$\lambda$，它的定义为气体等熵速度与临界速度之比，再结合马赫数定义，可推导出真实气体在给定截面上等熵流动的气体动力学函数：相对温度(式(23))、相对压力(式(24))和相对密度(式(25))

$ \tau \left( \lambda \right)=\dfrac{1}{m}\left[ 1-\dfrac{{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)}{2{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)}{{\lambda }^{2}} \right] $

(23)

$ \varPi \left( \lambda \right)=\tau \left( \lambda \right)^{\frac{{{k}_{\rm T}}}{{{k}_{\rm T}}-1}} $

(24)

$ \varepsilon \left( \lambda \right)=\tau \left( \lambda \right)^{\frac{{{k}_{\rm T}}}{{{k}_{\rm T}}-1}\frac{1}{{{k}_{\rm v}}}} $

(25)

式中：$\lambda$—折算等熵速度，无因次；

$\tau $—相对温度，无因次；

$\varPi$—相对压力，无因次；

$\varepsilon$—相对密度，无因次。

当气体等熵流动速度等于临界速度$(\lambda=1)$时，临界点气体动力学函数可表示为

$ {{\tau }_{{\ast}}}\left( \lambda \right)=\dfrac{1}{n}\dfrac{2{{k}_{\rm T}}}{2{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)} $

(26)

$ {{\varPi }_{{\ast}}}\left( \lambda \right)= {{\tau }_{{\ast}}}\left( \lambda \right)^{\frac{{{k}_{\rm T}}}{{{k}_{\rm T}}-1}} $

(27)

$ {{\varepsilon }_{{\ast}}}\left( \lambda \right)= {{\tau }_{{\ast}}}\left( \lambda \right)^{\frac{{{k}_{\rm T}}}{{{k}_{\rm T}}-1}\frac{1}{{{k}_{\rm v}}}} $

(28)

式中：$\tau_{\ast} $—临界点相对温度，无因次；

$\varPi_{\ast}$—临界点相对压力，无因次；

$\varepsilon_{\ast}$—临界点相对密度，无因次。

把将式(26)，式(27)代入式(21)，真实气体的临界速度方程为

$ {{a}_{{\ast}}}=\sqrt{\dfrac{2{{k}_{\rm v}}{{k}_{\rm T}}{{p}_{0}}{{v}_{0}}}{2{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)}} $

(29)

式中：${{a}_{{\ast}}}$—真实气体的临界速度，m/s；

$p_{0}$—滞止压力，Pa；

$v_{0}$—滞止状态比容，m$^3$/kg。

2 数学模型建立

喷射器数学模型涉及的基本方程包括特性曲线、最佳面积比和喷射系数方程。小压缩比的(压缩比小于1.2)气体喷射器在拟定基本方程时，因为引射介质与混合介质的压缩比很小，可将它们视为非弹性介质，因此与气力输送输送喷射器(气力输送液体或固体颗粒)原则上方程可以通用，重点区别在于气力输送喷射器的工作气体与引射介质相态不同。

2.1 特性曲线方程

特性曲线方程的形式取决于工作气体的膨胀比和喷射器是否带扩散器。当工作气体为超临界膨胀比时，工作喷嘴要采用拉瓦尔喷嘴，而当工作气体为亚临界膨胀比时，工作喷嘴需采用锥形喷嘴^[16]。文中以研究带扩散器的超临界膨胀比喷射器为主，对于工作气体为亚临界膨胀比的情况，所有推导结果可通过用折算质量速度与喷嘴出口截面面积乘积代替喷嘴临界截面面积并做相应变换之后得到，因此不再赘述。

2.1.1 数学模型建立的假设条件

为简化推导过程，在建立喷射器数学模型时做如下假设。

(1) 喷射器内为一维稳态流动。

(2) 工作气体通过喷射器时与外界的热交换忽略不计。

(3) 将工作喷嘴、引射入口、混合室和扩散器内的介质流动过程近似为等熵过程，不可逆因素由速度系数修正。

(4) 工作气体和引射介质在工作喷嘴出口(1-1截面)与混合室入口(2-2截面)之间段上不相混合(图 1)。

如图 1所示，在2-2和3-3截面之间的圆柱形混合室部分建立动量方程

$ {{\phi }_{2}}\left( {{G}_{\rm P}}{{\omega }_{\rm P2}}+{{G}_{\rm H}}{{\omega }_{\rm H2}} \right)+{{p}_{\rm P2}}{{A}_{\rm P2}}+{{p}_{\rm H2}}{{A}_{\rm H2}} = \\ {\kern 20pt}\left( {{G}_{\rm P}}+{{G}_{\rm H}} \right){{\omega }_{3}}+{{p}_{3}}{{A}_{3}} $

(30)

式中：${{\phi }_{2}}$—混合室速度系数，无因次；

${{G}_{\rm P}}$—工作气体质量流量，kg/s；

${\omega }_{\rm P2}$—混合室入口截面处工作气体的速度，m/s；

${{G}_{\rm H}}$—引射介质质量流量，kg/s；

${\omega }_{\rm H2}$—混合室入口截面处引射介质的速度，m/s；

${p }_{\rm P2}$—混合室入口截面处工作气体的静压力，Pa；

${A }_{\rm P2}$—混合室入口截面处工作气体的流动截面积，m$^2$；

${p }_{\rm H2}$—混合室入口截面处引射介质的静压力，Pa；

${A }_{\rm H2}$—混合室入口截面处引射介质的流动截面积，m$^2$；

$\omega_3$—混合室出口截面处混合介质的速度，m/s；

$p_3$—混合室出口截面处的静压力，Pa；

$A_3$—混合室出口截面积，m$^2$。

工作气体和引射介质在输入管道中的初速度以及喷射器出口处混合介质的速度与它们在混合室中的速度相比很小，可认为喷射器的工作气体、引射介质入口与混合介质出口为滞止状态。

2.1.2 工作气体参数的确定

在混合室入口截面处工作气体速度可用式(31)表示^[16]

$ {{\omega }_{\rm P2}}={{\phi }_{1}}{{a}_{\rm P{\ast}}}{{\lambda }_{\rm P2}} $

(31)

式中：${{\phi }_{1}}$—工作喷嘴速度系数，无因次；

${{a}_{\rm P{\ast}}}$—工作气体临界速度，m/s；

${{\lambda }_{\rm P2}}$—混合室入口截面处工作气体的折算等熵速度，无因次。

工作气体质量流量，由连续性方程直接以临界状态的热力学参数代入定义式来确定

$ {{G}_{\rm P}}=\dfrac{{{A}_{\rm P{\ast}}}{{a}_{\rm P{\ast}}}}{{{v}_{\rm P{\ast}}}} $

(32)

式中：${{A}_{\rm P{\ast}}}$—工作气体临界截面面积，m$^2$；

${{v}_{\rm P{\ast}}}$—工作气体临界比容，m$^3$/kg；

将式(27)~式(29)代入式(32)，工作气体质量流量$G_{{\rm P}}$可表示成

$ \left \{ \begin{array}{l} {{G}_{\rm P}}=\dfrac{K{{p}_{\rm P}}\varPi _{\rm P{\ast}}^{\prime }{{A}_{\rm P{\ast}}}}{{{a}_{\rm P{\ast}}}} \\ K=n{{k}_{\rm v}} \\ \varPi _{\rm P{\ast}}^{\prime }={{ {{\varPi }_{\rm P{\ast}}} }^{\frac{{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)}{{{k}_{\rm T}}{{k}_{\rm v}}}}} \end{array} \right . $

(33)

式中：$p_{\rm P}$—工作气体的压力，Pa；

$K$—系数，无因次；

$\varPi _{\rm P{\ast}}^{\prime }—$工作气体的真实气体临界点相对压力，无因次。

根据质量守恒和喷射系数定义，有

$ {{G}_{\rm c}}={{G}_{\rm P}}+{{G}_{\rm H}}={{G}_{\rm P}}\left( 1+u \right) $

(34)

式中：${{G}_{\rm c}}$—扩散器后混合介质的质量流量，kg/s；

$u$—喷射系数，无因次。

在推导特性曲线方程时，常用到气体动力学函数中的折算质量速度，根据定义，折算质量速度为在给定截面上等熵流动流体的质量速度与在临界截面上这种流体的质量速度之比^[16]

$ q=\dfrac{\omega {{v}_{{\ast}}}}{v{{a}_{{\ast}}}} $

(35)

式中：$q$—折算质量速度，无因次；

$v_{\ast}$—临界比容，m$^3$/kg。

并且根据介质的质量守恒条件，折算质量速度也等于流体的临界截面与给定截面的面积之比^[16]

$ q=\dfrac{{{A}_{{\ast}}}}{A} $

(36)

式中：${{A}_{{\ast}}}$—临界截面面积，m$^2$；

$A$—给定截面面积，m$^2$。

2.1.3 引射介质与混合介质参数的确定

超临界膨胀比时气体的弹性特性应该予以考虑，气体喷射器在小压缩比的情况下，在拟定基本方程时，因为引射气体和混合气体的压缩比很小，可以把它们都视为非弹性介质，在等熵过程中，气体在非弹性条件下的气体动力学函数计算式可引申用于气力输送喷射器中引射介质(液体或固体颗粒)和混合介质(气液或气固混合物)的计算^[16]。

非弹性介质在理想状态下，等熵过程比容与压力的关系式^[16]

$ {{p}^{\frac{1}{k}}}v= \rm const $

(37)

式中：$k$—绝热指数，无因次。

等熵改变压力的过程，根据式(37)，绝热指数$k=\infty$时符合介质的非弹性条件，此时主要气体动力函数为^[16]

临界速度$a_{{\rm {\ast}}}$

$ {{a}_{{\ast}}}=\sqrt{2{{p}_{0}}{{v}_{0}}} $

(38)

折算等熵速度λ

$ \lambda =\dfrac{\omega }{{{a}_{{\ast}}}}=\sqrt{1-\dfrac{p}{{{p}_{0}}}} $

(39)

折算质量速度

$ q=\dfrac{\omega {{v}_{{\ast}}}}{v{{a}_{{\ast}}}}=\lambda $

(40)

相对压力

$ \varPi =\dfrac{p}{{{p}_{0}}}=1-{{\lambda }^{2}}=1-\dfrac{{{p}_{0}}-p}{{{p}_{0}}} $

(41)

由于混合室入口截面处工作气体与引射介质的静压力$p_{{\rm P2}}$和$p_{{\rm H2}}$以及出口截面上混合介质的静压力$p_{{\rm 3}}$无法直接确定，可借助于相对压力的形式用滞止状态的压力来表示^[16]

$ {{p}_{\rm P2}}={{\varPi }_{\rm P2}}{{p}_{\rm P}} $

(42)

$ {{p}_{\rm H2}}={{\varPi }_{\rm H2}}{{p}_{\rm H}} $

(43)

$ {{p}_{3}}={{\varPi }_{\rm c3}}{{p}_{\rm c}} $

(44)

式中：${{\varPi }_{\rm P2}}$—混合室入口截面上工作气体的相对压力，无因次；

${{\varPi }_{\rm H2}}$—混合室入口截面上引射介质的相对压力，无因次；

${{\varPi }_{\rm c3}}$—混合室出口截面上混合介质的相对压力，无因次；

$p_{\rm c}$—喷射器出口混合介质的压力，Pa。

根据式(36)，式(37)~(40)，引射介质在混合室入口截面与混合介质在混合室出口截面上的真实气体折算等熵速度与折算质量速度为

$ {\lambda _{\rm H2}} = {q_{\rm H2}} = K\dfrac{{{A_{\rm P{\ast}}}}}{{{A_{\rm H2}}}}\dfrac{{\varPi _{\rm P{\ast}}^\prime }}{2} \sqrt {\dfrac{{{p_{\rm P}}{v_{\rm H}}}}{{{p_{\rm H}}{v_{\rm P}}}}} \cdot \\{\kern 20pt}\sqrt {\dfrac{{2{k_{\rm T}} + {k_{\rm v}}\left( {{k_{\rm T}} - 1} \right)}}{{{k_{\rm T}}{k_{\rm v}}}}}{\kern 1pt} u $

(45)

$ {\lambda _{\rm c3}} = {q_{\rm c3}} = K\dfrac{{{A_{\rm P{\ast}}}}}{{{A_{\rm H2}}}}\dfrac{{\varPi _{\rm P{\ast}}^\prime }}{2} \sqrt {\dfrac{{{p_{\rm P}}{v_{\rm c}}}}{{{p_{\rm c}}{v_{\rm P}}}}} {\kern 1pt} \left( {1 + u} \right)\cdot \\ {\kern 20pt} \sqrt {\dfrac{{2{k_{\rm T}} + {k_{\rm v}}\left( {{k_{\rm T}} - 1} \right)}}{{{k_{\rm T}}{k_{\rm v}}}}} $

(46)

式中：${\lambda _{\rm H2}}$，${q_{\rm H2}}$—混合室入口截面上引射介质的折算等熵速度和折算质量速度，无因次；

${\lambda _{\rm c3}}$，${q_{\rm c3}}$—混合室出口截面上混合介质的折算等熵速度和折算质量速度，无因次；

${v _{\rm H}}$—引射介质的比容，m$^3$/kg；

$p_{\rm H}$—引射介质的压力，Pa；

$v_{\rm P}$—工作气体的比容，m$^3$/kg；

${v _{\rm c}}$—混合介质的比容，m$^3$/kg。

根据式(41)、式(45)及式(46)，则可确定出式式(43)和式(44)中引射介质在混合室入口截面与混合介质在混合室出口截面处的相对压力

$ {{\varPi }_{\rm H2}}=\dfrac{{{p}_{\rm H2}}}{{{p}_{\rm H}}}=1-\lambda _{\rm H2}^{2}=1-q_{\rm H2}^{2} $

(47)

$ {{\varPi }_{\rm c3}}=\dfrac{{{p}_{3}}}{{{p}_{\rm c}}}=1-\lambda _{\rm c3}^{2}=1-q_{\rm c3}^{2} $

(48)

根据式(38)及式(39)，可推出用于计算引射介质在混合室入口截面与混合介质在混合室出口截面的等熵速度

$ {{\omega }_{\rm H2}}={{\phi }_{4}}{{a}_{\rm H{\ast}}}{{\lambda }_{\rm H2}} $

(49)

$ {{\omega }_{3}}=\dfrac{{{a}_{\rm c{\ast}}}}{{{\phi }_{3}}}{{\lambda }_{\rm c3}} $

(50)

式中：$\phi _4$—混合室入口段速度系数，无因次；

${{a}_{\rm H{\ast}}}$—引射介质临界速度，m/s；

${{a}_{\rm c{\ast}}}$—混合介质临界速度，m/s；

$\phi _3$—扩散器速度系数，无因次。

在喷射器的设计中，速度系数$\phi _{{\rm 2}}$主要用来修正混合室中因为摩擦引起的动量损失，速度系数$\phi _{{\rm 1}}$，$\phi _{{\rm 3}}$，$\phi _{{\rm 4}}$则主要用来修正非绝热的膨胀与压缩过程，取值参考文献[16]。

确定引射介质和混合介质的比容是计算不同相喷射器的独有特点。如果气力输送喷射器引射介质是液体或固体和气体的混合物，那么，引射介质的比容为

$ {{v}_{\rm H}}={{v}_{\rm H\Gamma }}\dfrac{{{u}_{\Gamma }}}{{{u}_{\Gamma }}+{{u}_{\rm t}}}+{{v}_{\rm t}}\dfrac{{{u}_{\rm t}}}{{{u}_{\Gamma }}+{{u}_{\rm t}}} $

(51)

式中：${{v}_{\rm H\Gamma }}$—引射介质中气体的比容，m$^3$/kg；

${{u}_{\Gamma}}$—按引射气体计的喷射系数，无因次；

${{u}_{\rm t}}$—按引射液体或固体计的喷射系数，无因次；

${{v}_{\rm t}}$—引射介质中的液体或固体比容，m$^3$/kg；

喷射器出口处混合介质的比容则可用工作气体和引射介质的质量分数来表示

$ {{v}_{\rm c}}={{v}_{\rm c\Gamma }}\dfrac{1}{1+u}+{{v}_{\rm H}}\dfrac{u}{1+u} $

(52)

式中：${{v}_{\rm c\Gamma }}$—混合介质中气体的比容，m$^3$/kg。

式(51)中，气力输送喷射器总喷射系数要充分考虑引射介质的组成

$ u={{u}_{\Gamma }}+{{u}_{\rm t}} $

(53)

把工作气体、引射介质和混合介质参数全部代入动量方程式(式(30))，考虑到非弹性介质条件下压缩比对结果精度的影响，引入引射介质相对压降${\Delta p_{{\rm c}}}/{p_{\rm H}}$，化简，可分别得到基于真实气体的气体喷射器和气力输送喷射器的特性曲线方程

$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{{\Delta {p_{\rm c}}}}{{{p_{\rm H}}}} = \dfrac{{{A_{\rm P {\ast}}}}}{{{A_3}}}\dfrac{{{p_{\rm P}}}}{{{p_{\rm H}}}}\left[ {{\phi _1}{\phi _2}K\varPi _{\rm P {\ast}}^\prime {\lambda _{\rm PH}} + \dfrac{{{A_{\rm P {\ast}}}}}{{{A_{\rm H2}}}}\gamma \varPi {{_{\rm P {\ast}}^\prime }^2} \left( {{\phi _2}{\phi _4} - 0.5} \right)\dfrac{{{v_{\rm H}}}}{{{v_{\rm P}}}}{u^2}{\kern 1pt} -\\ \dfrac{{{A_{\rm P {\ast}}}}}{{{A_3}}}\gamma {{ {\varPi _{\rm P {\ast}}^\prime } }^2}\left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\dfrac{{{v_{\rm c}}}}{{{v_{\rm P}}}}{{\left( {1 + u} \right)}^2}} \right] \\[3pt] \gamma ={{K}^{2}}\dfrac{2{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)}{2{{k}_{\rm T}}{{k}_{\rm v}}} \end{array} \right . $

(54)

$ \dfrac{{\Delta {p_{\rm c}}}}{{{p_{\rm H}}}}\dfrac{{{A_3}}}{{{A_{\rm P {\ast}}}}}\dfrac{{{p_{\rm H}}}}{{{p_{\rm P}}}} = {\phi _1}{\phi _2}K\varPi _{\rm P {\ast}}^\prime {\lambda _{\rm PH}} + \dfrac{{{A_{\rm P {\ast}}}}}{{{A_{\rm H2}}}}\gamma {\left( {\varPi _{\rm P {\ast}}^\prime } \right)^2}\left( {{\phi _2}{\phi _4} - 0.5} \right)\\ \left( {\dfrac{{{v_{\rm H\Gamma }}}}{{{v_{\rm P}}}}{u_\Gamma } + \dfrac{{{v_{\rm t}}}}{{{v_{\rm P}}}}{u_{\rm t}}} \right)\left( {{u_\Gamma } + {u_{\rm t}}} \right){\kern 1pt} - \\[1pt] {\kern 20pt}\dfrac{{{A_{\rm P {\ast}}}}}{{{A_3}}}\gamma {\left( {\varPi _{\rm P {\ast}}^\prime } \right)^2}\left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\left( {1 + {u_\Gamma } + {u_{\rm t}}} \right)\left[ {\dfrac{{{v_{c.\Gamma }}}}{{{v_{\rm P}}}}\left( {1 + {u_\Gamma }} \right) + \dfrac{{{v_{\rm t}}}}{{{v_{\rm P}}}}{u_{\rm t}}} \right] $

(55)

式中：

$\Delta p_{{\rm c}}$—引射介质压降(喷射器出口与引射入口之间的压力差)，Pa；

${\lambda _{\rm PH}}$—工作气体在喷嘴出口处的折算等熵速度，无因次。

2.2 最佳面积比方程 2.2.1 最佳面积比方程的两种情况

在索科洛夫设计理论中，小压缩比的气体喷射器与气力输送喷射器，混合室形状为圆柱形，面积比(${{A_3}}/{A_{\rm P*}}$)是圆柱形混合室横截面积与工作喷嘴临界截面积之比，对于工作气体和引射介质参数以及喷射系数给定的情况下，最佳面积比方程可根据式(54)和式(55)用${{\rm d} \Delta p_{{\rm c}}}$/${{\rm d}\left( {A_{{\rm 3}}}/{A_{{\rm P{\ast}}}}\right )}=0$求极值条件来进行推导。

$ {\left( {\dfrac{{{A_3}}}{{{A_{\rm P*}}}}} \right)_{{\rm{OP{\rm T}}}}}{\left( {\dfrac{{2\gamma \varPi _{\rm P*}^\prime }}{{{\phi _1}{\phi _2}K{\lambda _{{\rm{PH}}}}}}} \right)^{ - 1}} \!= \! \left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\dfrac{{{v_{\rm{c}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{\left( {1 + u} \right)^2} - \\ \left( {{\phi _2}{\phi _4} - 0.5} \right)\dfrac{{{A_{\rm{3}}}}}{{{A_{{\rm{H2}}}}}}\dfrac{{{v_{\rm{H}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u^2} $

(56)

$ {\left( {\dfrac{{{A_3}}}{{{A_{{\rm{P}}*}}}}} \right)_{{\rm{OP{\rm T}}}}}{\left( {\dfrac{{2\gamma \varPi _{P*}^\prime }}{{{\phi _1}{\phi _2}K{\lambda _{{\rm{PH}}}}}}} \right)^{ - 1}} = \left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\left[ {\dfrac{{{v_{{\rm{c\Gamma }}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}\left( {1 + {u_{\rm{\Gamma }}}} \right) + \dfrac{{{v_t}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u_{\rm{t}}}} \right]\\ \left( {1 + u} \right) - \dfrac{{{A_3}}}{{{A_{{\rm{H2}}}}}}\left( {{\phi _2}{\phi _4} - 0.5} \right)\left( {\dfrac{{{v_{{\rm{H\Gamma }}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u_{\rm{\Gamma }}} + \dfrac{{{v_{\rm{t}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u_{\rm{t}}}} \right)u $

(57)

式中：${\left( {\dfrac{{{A_3}}}{{{A_{\rm P*}}}}} \right)_{{\rm{OP{\rm T}}}}}$—最佳面积比，无因次。

式(56)，式(57)中，$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm H2}}$是由圆柱型混合室的各介质之间的面积关系求得^[16]

$ \dfrac{{{A}_{3}}}{{{A}_{\rm H2}}}=\dfrac{\dfrac{{{A}_{3}}}{{{A}_{\rm P{\ast}}}}}{\dfrac{{{A}_{3}}}{{{A}_{P{\ast}}}}-\dfrac{1}{{{q}_{\rm PH}}}} $

(58)

式中：${{q}_{\rm PH}}$—工作气体在喷嘴出口处的折算质量速度，无因次。

计算中，$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm H2}}$值可预先给定，最后根据求得的面积比$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm P{\ast}}}$进行循环修正。式(58)中，工作气体在喷嘴出口截面的真实气体折算质量速度为

$ {q_{{\rm{PH}}}} = {\lambda _{{\rm{PH}}}}{\left[ {\dfrac{n}{m}\dfrac{{2{k_{\rm T}} + {k_{\rm v}}\left( {{k_{\rm T}} - 1} \right)}}{{2{k_{\rm T}}}}} \right]^{\frac{{{k_{\rm T}}}}{{{k_{\rm T}} - 1}}\frac{1}{{{k_{\rm v}}}}}}\cdot \\[5pt]{\kern 20pt}{\left( {1 - \dfrac{{{k_{\rm v}}{k_{\rm T}} - {k_{\rm v}}}}{{2{k_{\rm T}} + {k_{\rm v}}{k_{\rm T}} - {k_{\rm v}}}}\lambda _{{\rm{PH}}}^2} \right)^{\frac{{{k_{\rm T}}}}{{{k_{\rm T}} - 1}}\frac{1}{{{k_{\rm v}}}}}} $

(59)

工作气体在喷嘴出口处的真实气体折算等熵速度λ$_{{\rm PH}}$可由式(22)、式(23)联立得到

$ {{\lambda }_{\rm PH}}={{M}_{\rm a1}}\sqrt{\dfrac{2{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)}{2{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)M_{\rm a1}^{2}}} $

(60)

式中：$M_{a{\rm 1}}$—喷嘴出口气体马赫数，无因次。

喷嘴出口气体马赫数$M_{a{\rm 1}}$可由式(13)，式(22)联立得到

$ {{M}_{a1}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{{{p}_{0}}}{p} \right)}^{\frac{{{k}_{\rm T}}-1}{{{k}_{\rm T}}}}}\dfrac{2{{k}_{\rm T}}}{m\left[2{{k}_{\rm T}}+{{k}_{\rm v}}\left( {{k}_{\rm T}}-1 \right)\right ]}} $

(61)

式(54)、式(55)在计算喷射器引射介质可达到的相对压降Δ$p_{{\rm c}}/p_{\rm H}$时，需预知面积比$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm P{\ast}}}$，若先把最佳面积比方程代入到特性曲线方程消去$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm P{\ast}}}$，得到的关系式再与最佳面积比方程联立可直接得到面积比$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm P{\ast}}}$与压降Δ$p_{{\rm c}}$联系在一起的方程(式(62))。对于压降Δ$p_{{\rm c}}$已知而喷射系数$u$是所求值时是最佳面积比的情况，式(62)在未知喷射系数$u$的情况下可直接求得喷射器的最佳面积比。

$ {\left( {\dfrac{{{A_3}}}{{{A_{\rm P{\ast}}}}}} \right)_{\rm OPT}} = \dfrac{{K\varPi _{\rm P{\ast}}^\prime }}{2}\dfrac{{{p_{\rm P}}{\phi _1}{\phi _2}{\lambda _{\rm PH}}}}{{\Delta {p_{\rm c}}}} $

(62)

2.2.2 气力输送喷射器的极限状态

对于气力输送液体或固体颗粒时，当液体或固体颗粒中不掺有气体的情况下，由于工作气体与引射介质混合过程中不会凝结，再加上气体体积远远大于液体或固体颗粒的体积，那么，喷射器混合室内将被气体流所占据，按照这样的考虑气力输送喷射器则可能会出现第三极限状态，而极限状态下的性能主要取决于面积比^[16]，此种情况下按式(62)计算出的面积比$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm P{\ast}}}$是否最佳，需进一步判断。

第三极限状态下喷射系数方程为

$ {{\left( {{u}_{\Gamma }} \right)}_{\rm \Pi P_3}}=\dfrac{{{K}_{\rm c}}}{{{K}_{\rm P}}}\dfrac{{{p}_{\rm c}}}{{{p}_{\rm P}}}\dfrac{\varPi _{\rm c{\ast}}^{\prime }}{\varPi _{\rm P{\ast}}^{\prime }}\dfrac{{{a}_{\rm P{\ast}}}}{{{a}_{c{\ast}}}}\dfrac{{{A}_{3}}}{{{A}_{\rm P{\ast}}}}-1 $

(63)

式中：${{\left( {{u}_{\Gamma }} \right)}_{\rm \Pi P_3}}$—第三极限状态下喷射系数，无因次。

$K_{{\rm P}}$，$K_{{\rm c}}$—系数，无因次。

${\varPi _{\rm c{\ast}}^{\prime }}$—混合介质的真实气体临界点相对压力，无因次；

下标${\rm \Pi P_3}$—第三极限状态。

相应于第三极限状态下，混合介质的速度达到临界速度，引射介质中按气体计的极限喷射系数为零时(即引射介质中不掺有气体)，式(63)可变成

$ {{\left( {{p}_{\rm c}} \right)}_{\rm \Pi P_3}}={{p}_{\rm P}}\dfrac{{{A}_{\rm P{\ast}}}}{{{A}_{3}}} $

(64)

式中：${{\left( {{p}_{\rm c}} \right)}_{\rm \Pi P_3}}$—喷射器的极限出口压力，Pa。

将式(62)计算出的最佳面积比$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm P{\ast}}}$先代入式(64)，得出的气力输送喷射器的极限出口压力应与给定的出口压力值进行比较，如果$(p_{{\rm c}})_{{\rm P_3}}\geqslant p_{{\rm c}}$，喷射器将会在极限状态下工作，这是因为最佳面积比方程(62)没有考虑到喷射器极限的工况。为获得最佳喷射系数，这时应选取$(p_{{\rm c}})_{{\rm P_3}} = p_{{\rm c}}$并代入式(64)重新计算最佳面积比$A_{{\rm 3}}/A_{{\rm P{\ast}}}$。

2.3 喷射系数方程

要解决真实气体下的喷射器喷射系数的计算，需要建立喷射系数方程。通过联立特性曲线和最佳面积比方程可求得气体喷射器与气力输送输送喷射器的喷射系数方程

$ \left[ {\left( {{\phi _2}{\phi _4} - 0.5} \right)\dfrac{{{A_3}}}{{{A_{{\rm{H2}}}}}}\dfrac{{{v_{\rm{H}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}} - \left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\dfrac{{{v_{\rm{c}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}} \right]\dfrac{{2\gamma \Delta {p_{\rm{c}}}\Pi _{{\rm{P*}}}^\prime }}{{{p_{\rm{P}}}K{\phi _1}{\phi _2}{\lambda _{{\rm{PH}}}}}}{u^2} \\ + \left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\dfrac{{4{\gamma _c}\Pi _{{\rm{P*}}}^\prime }}{{{p_{\rm{P}}}K{\phi _1}{\phi _2}{\lambda _{{\rm{PH}}}}}}\dfrac{{{v_{\rm{c}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}u + \dfrac{{K\Pi _{{\rm{P*}}}^\prime {\phi _1}{\phi _2}{\lambda _{{\rm{pH}}}}}}{2} - \\[5pt]{\kern 25pt}\left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\dfrac{{{v_{\rm{c}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}\dfrac{{2\gamma \Delta {p_{\rm{c}}}\Pi _{{\rm{P*}}}^\prime }}{{{p_{\rm{P}}}K{\phi _1}{\phi _2}{\lambda _{{\rm{PH}}}}}}=0 $

(65)

$ u = \\ \dfrac{{\left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\left[ {\dfrac{{{v_{{\rm{c\Gamma }}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}\left( {1 + {u_{\rm{\Gamma }}}} \right) + \dfrac{{{v_{\rm{t}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u_{\rm{t}}}} \right]\gamma \dfrac{{\Delta {p_{\rm{c}}}}}{{{p_{\rm{P}}}}} - \dfrac{{{{\left( {{\phi _1}{\phi _2}K{\lambda _{{\rm{PH}}}}} \right)}^2}}}{4}}}{{\gamma \dfrac{{\Delta {p_{\rm{c}}}}}{{{p_{\rm{P}}}}}\dfrac{{{A_3}}}{{{A_{{\rm{H2}}}}}}\left( {\dfrac{{{v_{{\rm{H\Gamma }}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u_{\rm{\Gamma }}} + \dfrac{{{v_{\rm{t}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u_{\rm{t}}}} \right)\left( {{\phi _2}{\phi _4} - 0.5} \right) - \gamma \dfrac{{\Delta {p_{\rm{c}}}}}{{{p_{\rm{P}}}}}\left( {\dfrac{1}{{{\phi _3}}} - 0.5} \right)\left[ {\dfrac{{{v_{{\rm{c\Gamma }}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}\left( {1 + {u_{\rm{\Gamma }}}} \right) + \dfrac{{{v_{\rm{t}}}}}{{{v_{\rm{P}}}}}{u_{\rm{t}}}} \right]}} $

(66)

气体喷射器喷射系数方程(式(65))是一元二次方程，计算时应取正根。实际工作中气力输送喷射器引射介质中有可能不掺有气体，即$u_{\Gamma}=0$，加之引射液体或固体比容与工作气体经过工作喷嘴膨胀后比容相比非常小，那么，体积流量满足不等式$v_{{\rm t}}{\cdot}u_{{\rm t}} \ll v_{{\rm c\Gamma}}$，忽略$v_{{\rm H}}{\cdot}u_{\rm t}$对结果不会产生太大影响，此时，式(66)可简化为

$ u=\dfrac{\phi _{1}^{2}\phi _{2}^{2}{{K}^{2}}\lambda _{\rm PH}^{2}{{p}_{\rm P}}}{4\left( \dfrac{1}{{{\phi }_{3}}}-0.5 \right)\gamma \Delta {{p}_{\rm c}}}\dfrac{{{v}_{\rm P}}}{{{v}_{\rm c\Gamma }}}-1 $

(67)

气体比容可用真实气体状态方程进行计算。计算喷射器出口处气体比容时，混合介质温度可根据热平衡方程求得

$ {T_{\rm{c}}} = \dfrac{{{T_{\rm{P}}}{c_{{{\rm{p}}_{\rm{P}}}}} + {T_{\rm{H}}}u{c_{{{\rm{p}}_{\rm{H}}}}}}}{{{c_{{{\rm{p}}_{\rm{P}}}}} + u{c_{{{\rm{p}}_{\rm{H}}}}}}} $

(68)

式中：

${T_{\rm{c}}}$—混合介质温度，K；

$T_{\rm P}$—工作气体温度，K；

${c_{{{\rm{p}}_{\rm{P}}}}}$—工作气体定压比热容，kJ/(kg$\cdot$K)；

$T_{\rm H}$—引射介质温度，K；

${c_{{{\rm{p}}_{\rm{H}}}}}$—引射介质定压比热容，kJ/(kg$\cdot$K)。

求解式(68)时，如果喷射器的喷射系数是未知量，可以先给定初值从而确定混合介质温度初值，通过迭代直到满足精度要求，所得结果即为所需的混合介质温度。

3 计算结果对比分析

为了验证不同工作气体压力下重新推导的基于真实气体的修正方法和索科洛夫设计方法的差异，以设计空气引射水的喷射器为例，给定喷射器的出口压力0.6 MPa，压缩比取1.5，在1~15 MPa内给定工作气体一系列设计压力，计算该压力范围内所对应的喷射系数值，计算结果如图 2所示。

从索科洛夫设计方法和真实气体修正方法所得的喷射系数与工作气体压力的关系曲线(图 2)可见，当工作气体压力不大于5 MPa时，基于真实气体的修正方法与索科洛设计方法所得喷射系数结果非常吻合，说明本文推导结果是准确的；但是在压力超过5 MPa后，基于真实气体的修正方法与索科洛夫设计方法所得喷射系数结果差异开始明显，导致差异的主要原因在于，高压条件下气体$p-v-T$关系已经偏离理想气体状态，气体分子间的作用应予以考虑，而基于真实气体的修正方法正是考虑到此问题，所以无论低压还是高压都不会造成设计结果与实际情况偏离太远。

为进一步说明情况，对工作气体在1~15 MPa范围内所对应的最佳面积比值进行了计算，计算结果如图 3所示。

计算结果表明，在工作气体压力不大于5 MPa工况下，基于真实气体修正方法最佳面积比结果与索科洛设计方法结果吻合，再次验证了本文推导结果的准确性；但是在压力超过5 MPa后，基于真实气体修正方法与索科洛夫设计方法最佳面积比结果差异随着压力的升高逐渐变大，从另一个角度印证了压力工况对设计结果有显著的影响，再次说明了基于真实气体修正的必要性。

4 结论

(1) 从真实气体角度出发，采用气体热力学方法，根据焓和定压比热容的定义，引入真实气体等熵温度绝热指数和等熵容积绝热指数，结合能量方程并运用热力学函数偏微商推证法，推导出真实气体的相对温度、相对压力、相对密度和临界速度等气体动力学函数理论式。

(2) 以真实气体的气体动力学函数理论式为基础，依据动量守恒和质量守恒定律，重点针对小压缩比喷射器的气体动力函数法进行修正，推导出了基于真实气体的气体喷射器与气力输送喷射器的特性曲线、最佳面积比和喷射系数等基本方程，构建了真实气体修正方法。

(3) 低压工况下，基于真实气体的修正方法与索科洛夫设计方法计算结果吻合，说明修正的设计方法覆盖了索科洛夫设计方法；但在高压工况下，两种设计设计方法的结果差异明显，基于真实气体的修正弥补了索科洛夫设计方法的局限，可适用于从低压到高压全压范围的喷射器设计。