引言

随着油田注水开发技术的日益发展和完善，如何准确计算不同注采方式内部流场分布，探明不同注采方式内部等势线和流线分布规律对于完善注采井网、合理部署加密井位具有重要意义^[1-4]。前人关于注采井网的理论研究主要集中在产能计算和井网形式优化方面^[5-9]。本文以工程实际需求为导向，基于直井水平井一注一采、水平井一注一采、水平井两注一采3种注采方式，采用保角变换和镜像反映方法，建立并求解不同注采方式流场数学模型，通过绘制不同注采方式等势线和流线分布图明确各注采方式内部流场分布规律。以此为基础，通过开展不同注采方式下水驱油物理模拟实验研究，观测不同平板模型注采井间流场分布形态特征，并与不同注采方式流场计算模型计算结果进行相互验证。

1 不同注采方式流场计算模型 1.1 直井水平井一注一采注采方式流场计算模型

如图 1所示，$z$平面内有一口直井注入井和一口水平生产井，水平井长度为2L，根据复变函数理论^[10]，选取保角变换($z=L{\rm ch}~w$)，则有

$ \left\{ \begin{array}{l} x=L{\rm ch}~\xi \cos\eta \\ y=L{\rm sh}~\xi \sin\eta \end{array} \right. $

将$z$平面的流动变为$w$平面的已知流动，对应于$w$平面上的是宽度为$\pi $的半无限长带状地层，排油坑道位于纵轴上，长度为$\pi $，在(${{\xi }_{0}}, {{\eta }_{0}}$)处有一口注入直井。

根据镜像反映原理，将$\xi -\eta $平面中的两口井通过镜像反映，映射为一列无限生产井排和一列无限注入井排^[11]。

镜像反映所得到的井点坐标为：$\left( {{\xi }_{0}}, n\pi +{{\eta }_{0}} \right)$和$\left( -{{\xi }_{0}}, n\pi +{{\eta }_{0}} \right)$，根据复势叠加原理，得到复势函数为

$ {{\varPhi }_{1}}={{q}_1}({{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}})+{{\rm C}_{1}} $

(1)

$ {{A}_{1}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\ln \left[\left( \xi +{{\xi }_{0}} \right)+{\rm i}\left( \eta +{{\eta }_{0}} \right)-{\rm i}n\pi \right]}+\\ {\kern 40pt } \sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\ln \left[\left( \xi +{{\xi }_{0}} \right)+{\rm i}\left( \eta-{{\eta }_{0}} \right)+{\rm i}n\pi \right]} $

(2)

$ {{A}_{2}}=\ln \left[\left( \xi +{{\xi }_{0}} \right)+{\rm i}\left( \eta-{{\eta }_{0}} \right) \right]- \\ {\kern 40pt } \sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\ln \left[\left( \xi-{{\xi }_{0}} \right)+{\rm i}\left( \eta +{{\eta }_{0}} \right)-{\rm i}n\pi \right]} $

(3)

$ {{A}_{3}}=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\ln \left[\left( \xi-{{\xi }_{0}} \right)+{\rm i}\left( \eta-{{\eta }_{0}} \right)+{\rm i}n\pi \right]}-\\ {\kern 40pt } \sum\limits_{n=1}^{+\infty } {\ln \left[\left( \xi +{{\xi }_{0}} \right)+{\rm i}\left( \eta-{{\eta }_{0}} \right) \right]} $

(4)

式中：${{\varPhi }_{1}}$——复势函数；

$q_1$——注入量，m${^3}$/d；

${\rm C}_1$——常数。

根据势函数与复势函数的关系，得到势函数的表达式

$ {\phi _1}{\rm{ = }}\frac{{{q_1}}}{2}\ln \frac{{{\rm{ch}}\;{\rm{2}}\left( {\xi + {\xi _0}} \right)-\cos \;2\left( {\eta + {\eta _0}} \right)}}{{{\rm{ch}}\;{\rm{2}}\left( {\xi-{\xi _0}} \right)-\cos \;2\left( {\eta + {\eta _0}} \right)}}+{{\rm{C}}_2}$

(5)

式中：${{\phi }_{1}}$——势函数；

C₂——常数。

根据式(2)，绘制直井水平井一注一采井网等势线分布图(图 2)。

根据流函数与势函数的关系

$ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial {{\phi }_{1}}}{\partial \xi }=\dfrac{\partial {{\varphi }_{1}}}{\partial \eta } \\ \dfrac{\partial {{\varphi }_{1}}}{\partial \xi }=-\dfrac{\partial {{\phi }_{1}}}{\partial \eta } \end{array} \right. $

(6)

得到流函数表达式

$ {{\varphi }_{1}}={{q}} \operatorname{arctan}\dfrac{\operatorname{sh}(\mathop{\xi }_{1}+\xi )\operatorname{tan}\eta }{\mathop{\operatorname{{\rm ch}}(\mathop{\xi }_{1}+\xi )}^{{}}}-\\{\kern 40pt}{{q}}\operatorname{arctan}\dfrac{\left| \operatorname{sh}(\mathop{\xi }_{1}-\xi )\operatorname{tan}\eta \right|}{\mathop{\operatorname{{\rm ch}}(\mathop{\xi }_{1}-\xi )}^{{}}} +{\rm C} $

(7)

式中：${\varphi _1}$——流函数；

C——常数。

根据式(4)绘制直井水平井一注一采流线分布图见图 3。流线在直井与水平井中心连线区域较为密集，该区域驱替效果相对较好。

1.2 水平井一注一采注采方式流场计算模型

由于水平注入井(水平生产井)可以看作是有一系列均匀分布的点源(汇)所组成的线源(汇)^[12]，因此，其势函数分布和流函数分布可以通过对直井的势函数和流函数进行积分得到。图 4为水平井一注一采井网分布图，注入井和生产井平行正对，两井中心位置在一条直线上，其中心坐标分别为$({{x}_{\rm w1}}, {{y}_{\rm w1}})$和$({{x}_{\rm w2}}, {{y}_{\rm w2}})$，两水平井长度相同，均为2L。

根据叠加原理，水平井一注一采注采方式势函数为

$ {{\phi }_{2}}=\dfrac{1}{4\pi L} \sum\limits_{i=1}^{2}{q_{i}{'}}({{A}_{4}}+{{A}_{5}}+{{A}_{6}}) $

(8)

$ {{A}_{4}}=\left[{\rm arccot} \dfrac{x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}+L \right)}{ y-{{y}_{{\rm w}i}} }-{\rm arccot} \dfrac{x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}-L \right)}{ y-{{y}_{{\rm w}i}} } \right]\cdot \\ {\kern 40pt} \dfrac{y-{{y}_{{\rm w}i}}}{L} $

(9)

$ {{A}_{5}}= \dfrac{x-{{x}_{{\rm w}i}}}{2L} \ln \dfrac{{{\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}-L \right) \right]}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{{\rm w}i}} \right)}^{2}}}{{{\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}+L \right) \right]}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{{\rm w}i}} \right)}^{2}}} $

(10)

$ {A_6} = \dfrac{1}{2}\ln \left[{{{\left( {x-{x_{{\rm{w}}i}}{\rm{ + }}L} \right)}^2} + {{\left( {y-{y_{{\rm{w}}i}}} \right)}^2}} \right] +\\ {\kern 40pt} \dfrac{1}{2}\ln \left[{{{\left( {x-{x_{{\rm{w}}i}}-L} \right)}^2} + {{\left( {y-{y_{{\rm{w}}i}}} \right)}^2}} \right] $

(11)

式中：$q_{i}{'}$水平井一注一采方式中，第$i$口井的注入(产液)量，m³/d；

下标$i$——井编号。

利用流函数与势函数的关系，可以得到水平井的流函数

$ {{\varphi }_{2}}=\dfrac{1}{2\pi L} \sum\limits_{i=1}^{2}{{{q}_{i}{'}}}({{B}_{1}}+{{B}_{2}}+{{B}_{3}}) $

(12)

$ {{B}_{1}}=\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}+L \right) \right]{\rm arccot} \dfrac{\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}+L \right) \right]}{y-{{y}_{{\rm w}i}}} $

(13)

$ {{B}_{2}}=-\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}-L \right) \right]{\rm arccot} \dfrac{\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}-L \right) \right]}{y-{{y}_{{\rm w}i}}} $

(14)

$ {{B}_{3}}=\dfrac{ y-{{y}_{{\rm w}i}} }{2}\ln \dfrac{{{\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}+L \right) \right]}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{{\rm w}i}} \right)}^{2}}}{\left[x-\left( {{x}_{{\rm w}i}}-L \right) \right]+{{\left( y-{{y}_{{\rm w}i}} \right)}^{2}}} $

(15)

根据式(5)和式(8)分别绘制水平井一注一采注采方式内部等势线和流线分布图(图 5，图 6)。

与直井注水平井采注采方式的流线分布特征对比发现，水平井注采方式流线在水平注采井间密集分布，水驱波及效率明显高于直井注水平井采。

1.3 水平井两注一采注采方式流场计算模型

水平井两注一采井网分布如图 7所示，注入井和生产井平行，两注入井井中心位置在一条直线上，且水平井长度相同，均为2L，中心坐标分别为$({{x}_{\rm w1}}, {{y}_{\rm w1}})$和$({{x}_{\rm w2}}, {{y}_{\rm w2}})$，生产井的中心位置与两注入井的中间位置垂直正对，井身长度为4L，中心坐标为$({{x}_{\rm w3}}, {{y}_{\rm w3}})$。

采用与水平井一注一采注采方式相同的方法，得到水平井两注一采注采方式的势函数和流函数

$ {{\phi }_{3}}=\dfrac{1}{4\pi L}\times \sum\limits_{i=1}^{3}{{q_{i}{''}}}({{A}_{4}}+{{A}_{5}}+{{A}_{6}}) $

(16)

$ {{\varphi }_{3}}=\dfrac{1}{2\pi L}\times \sum\limits_{i=1}^{3}{{q_{i}{''}}}({{B}_{1}}+{{B}_{2}}+{{B}_{3}}) $

(17)

式中：$q_i{''}$两注一采方式中，第$i$口井的注入(产液)量，m$^3$/d。

基于式(11)和式(12)，得到水平井两注一采情况下的等势线(图 8)和流线(图 9)分布图。

水平井两注一采内部流线集中分布在水平生产井跟端和趾端与两口注入井正对区域。在两口注入井中间区域流线分布稀疏，注入水难以波及该区域，容易形成滞油区。

2 不同注采方式流场计算模型物理模拟验证

为验证不同注采方式流场计算模型的可靠性，开展了不同注采方式流场平板模型物理模拟实验，直观反映不同注采方式内部流场分布特征。

2.1 三维平板模型实验方法

针对直井水平井一注一采、水平井一注一采、水平井两注一采3种注采方式分别制备相应的平板模型，三维平板模型尺寸为40 cm×40 cm×3 cm，均质填砂(渗透率3 000 mD)，实验前将模型抽真空，并将模型充分饱和模拟地层水后饱和模拟油^[13-15]，实验过程中控制注入端注入速度1 mL/min，当模型含水率达到90%时，驱替结束，观察不同注采系统内部流场分布规律。实验流程见图 10。

2.2 实验结果及分析

不同注采方式平板模型物理模拟流场分布特征与基于计算模型绘制的各流场分布特征具有很好的一致性(图 11)。

物理模拟流场分布特征与基于计算模型绘制的各流场分布特征均表现出以下共性特征：直井水平井一注一采内部流场表现出一定的线性流，水驱波及面积较常规直井注采方式有所增大。水平井一注一采内部注采井间流线呈线性流，与直井水平井一注一采相比，流线控制的面积进一步增大，驱替效果更好。水平井两注一采内部水平生产井跟端和趾端附近流线较为密集，水平生产井中部位置附近流线相对稀疏易形成滞油区。直井注水平井采、水平井一注一采、水平井两注一采3种注采方式在含水达到90%时的水驱波及系数分别为46%、65%和73%，水平井两注一采水驱效果好于水平井一注一采注采方式，直井注水平井采波及效率相对较低。

3 结论

(1) 基于保角变换和镜像反映原理，建立并求解了不同注采方式流场计算数学模型，绘制了不同注采方式内部等势线和流线分布图。

(2) 不同注采方式内部流场平板模型物理模拟实验，直观反映了不同注采方式内部流场分布形态，此验证了流场计算模型的正确性。

(3) 直井水平井一注一采内部流场表现出一定的线性流，水驱波及面积较常规直井注采方式有所增大。水平井一注一采内部注采井间流线呈线性流，与直井水平井一注一采相比，流线控制的面积进一步增大，驱替效果更好。水平井两注一采内部水平生产井跟端和趾端附近流线较为密集，水平生产井中部位置附近流线相对稀疏易形成滞油区。