引 言

随着油田开发进入中后期，储层原始压力逐渐下降、产量逐渐降低，为了提高原油采收率，大多数油田均会采用驱油效率高、易控制、好调整、经济效益高的注水开采、增产增注技术^[1]。目前的多层注水、分阶段逐步综合调整非常适合于中国陆相油田非均质严重、层系多的特点^[2]。

分注管柱是保证注水、增产、增注工作顺利进行的重要工具，受到充满井液的狭长井眼约束，在定向井中承受着拉、压、弯、扭、流体压力等多种载荷作用，再加上封隔器、配水或配注器等井下工具的约束，使得分注管柱的受力、变形及运动状态十分复杂。如在二层的分注中就需要3 个封隔器、2个配水或配注器共5 个工具组成的分注管柱串。随着多层细分注工艺技术的实施^[3-4]，分注的层数在逐渐增加，如进行五层分注，至少需要10 个工具组成的分注管柱串进行施工。因此多层分注管柱串的通过性分析，是施工过程中确保油井安全、防止管柱失效的主要问题，也严重影响到井下分注工艺的成功实施。目前的分注管柱通过性分析集中在3 层以内，而且假设管柱是刚性^[5-13]；而对于超过4 层、5 层及以上的分注，由于井眼轨迹、卡距密封性、分注有效期、测调效率、测试资料误差等各种因素的影响，还没有切实可行、成熟的多层分注管柱串通过性分析理论。

1 通过性分析的理论基础

定向井井眼轨迹主要是由3 段式或5 段式钻井方式完成，如图 1 所示。通常由直井段、造斜段（增斜或降斜段），稳斜段（包括水平段）组成。

在直井段，多层分注管柱串受重力作用，可以顺利下入和起出。当管柱到达造斜段时，由于井眼轨迹的弯曲，多层分注管柱串与井壁大面积接触，使得管柱串受到较大的摩阻力。同时，随着井眼的弯曲，管柱串也产生弯曲，从而会出现直井段中不可能遇到的一些问题。

（1）随着井斜角的增大，管柱串与井壁接触面积不断增大，产生的摩阻力不断增加，管柱串下入过程受阻而无法顺利下到指定位置。同时，在弯曲段随着井眼的弯曲，管柱串承受弯曲应力作用。弯曲应力随井眼曲率半径的减小而增加，如超过管柱串钢材的强度极限，则引起管柱串破坏。

（2）当管柱串进入稳斜段后，井眼的井斜角近似不变，管柱串可能会完全贴在井壁上，地层对管柱串的摩擦阻力相当大，可能使得管柱串下入受阻。同时，当管柱串刚性很大时，有可能在井眼曲率半径较小的弯曲段，尤其是五段式的井眼轨迹中，管柱串卡在井眼中，无法继续下入。

（3）多层分注管柱串是由多个封隔器和多个配水或配注器，通过油管联接而成。通常封隔器和配水、配注器的刚度远高于油管，当管柱串的弯曲应力未超过材料的屈服极限时，可能由于联接的油管丧失稳定性而发生变形，形成椭圆状管柱截面，使得后续生产所用到的工具无法下入；当管柱串弯曲程度严重时，也有可能产生屈曲变形。

在定向井或水平井中，井眼的曲率半径越小，上述问题越严重。针对以上问题，国内外学者对通过性分析进行了一定的研究。国外学者侧重于管柱力学的解决方案^[14-16]。Lunbinki A 等重点研究了油管内外液体压力对螺旋屈曲的影响，提出了油管屈曲的“虚构力”概念随后，又用能量法建立了封隔器管柱螺旋屈曲后的螺距与轴向力之间的关系^[17-18]。Hammerlindi D J 和Dawson R 等人对多级封隔器组合管柱的受力、应力和变形的计算做了许多研究分析，丰富和完善了Lubinski A 理论的使用条件和范围^[19-20]，理论上是当管柱不发生螺旋屈曲时，管柱串就能下入（式（1））。

${F_{{\rm{cr}}}} = 2.85{\left( {\dfrac{{EIq}}{r}} \right)^{0.5}}{\left( {\dfrac{{EI}}{q}} \right)^{0.004}}{\left( {\dfrac{1}{r}} \right)^{0.011}}$

(1)

中国在管柱串通过性研究方面的工作起步较晚，在理论和实验研究方面都存在一定差距。目前是利用在下入过程中的管柱摩擦阻力的大小为依据，判断管柱及工具是否能下入，解决了套管、完井工具、二层的分注井工具的通过性分析，分析中通常假设工具是不能变形的刚性物体^{[6-7, 21]}。赵俊平、苏义脑在刚性通过性基础上提出了几何法分析通过性的一般模式，并用纵横弯矩法分析下入钻井工具临界长度的柔性通过性计算方法^[5]，该方法考虑了工具的变形，使得计算结果与实际结果较为接近。而研究多个封隔器和多个配水或配注器的管柱串的整体通过性没有报道，采用结构力学的力法和位移法原理，充分考虑井眼轨迹、地层摩阻、自重等因素的影响，建立了一种分析管柱串是否能整体通过的分析方法，可用于分析在起下过程中多层分注管柱串是否能安全通过，指导现场工作。

2 卡点位置分析

点位置就是多层分注管柱串最难通过的位置，并不是“狗腿度”最大的位置，通常是三维井眼轨迹的最大曲率处。曲率越大，井眼轨迹的曲率半径越小，管柱串的通过能力越小；反之，曲率越小，管柱串的通过能力越大。为了确定管柱串的卡点位置，就需要计算出井眼轨迹的最小曲率半径所在的位置。井眼轨迹是一条三维的空间曲线，见图 2。

图 2 中，Os 位于井眼轨迹线上的任意一点（曲线矢量为r(s)），T 指向该点的切线方向，N 指向该点的主法线方向，B 指向该点的副法向方向。由微分几何，可得到

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\textbf{e}_{\rm t} = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}s}}\textbf{x} + \dfrac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}s}}\textbf{y} + \dfrac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}s}}\textbf{z} }\\[6pt] {\textbf{e}_{\rm n} = \dfrac{1}{K}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{s^2}}}\textbf{x} + \dfrac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{s^2}}}\textbf{y} + \dfrac{{{{\rm{d}}^2}z}}{{{\rm{d}}{s^2}}}\textbf{z} } \right)}\\[6pt] {{{\textbf{e} }_{\rm b}} = {{\textbf{e} }_{\rm t}} \times {{\textbf{e} }_{\rm n}} = {b_x}\textbf{x} + {b_y}\textbf{y} + {b_z}\textbf{z} } \end{array}} \right.$

(2)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}s}} = {\rm{ - }}\sin \alpha \cos \phi }\\[6pt] {\dfrac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}s}} = {\rm{ - }}\sin \alpha \sin \phi }\\[6pt] {\dfrac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}s}} = {\rm{ - }}\cos \alpha } \end{array}} \right.$

(3)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{s^2}}} = {K_\alpha }\cos \alpha \cos \phi {\rm{ - }}{K_\phi }\sin \alpha \sin \phi }\\[6pt] {\dfrac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{s^2}}} = {K_\alpha }\cos \alpha \sin \phi + {K_\phi }\sin \alpha \cos \phi }\\[6pt] {\dfrac{{{{\rm{d}}^2}z}}{{{\rm{d}}{s^2}}} = {\rm{ - }}{K_\alpha }\sin \alpha } \end{array}} \right.$

(4)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{b_x} = {\rm{ - }}\left( {{K_\alpha }\sin \phi {\rm{ - }}{K_\phi }\sin \alpha \cos \alpha \cos \phi } \right){\rm{/}}K}\\ {{b_y} = \left( {{K_\alpha }\cos \phi {\rm{ - }}{K_\phi }\sin \alpha \cos \alpha \sin \phi } \right){\rm{/}}K}\\ {{b_z} = \left( {{K_\phi }{{\sin }^2}\alpha } \right){\rm{/}}K} \end{array}} \right.$

(5)

可设Z方向的单位矢量为%$\textbf{z}$，则有 $\textbf{e}_{\rm g}$，%=\textbf{z}$，则有

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\textbf{e} }_{\rm g}} \cdot {{\textbf{e} }_{\rm t}} = {\rm{ - }}\cos \alpha }\\[6pt] {{{\textbf{e} }_{\rm g}} \cdot {{\textbf{e} }_{\rm n}} = {\rm{ - }}\dfrac{{{K_\alpha }}}{K}\sin \alpha }\\[6pt] {{{\textbf{e} }_{\rm g}} \cdot {{\textbf{e} }_{\rm b}} = {\rm{ - }}\dfrac{{{K_\phi }}}{K}{{\sin }^2}\alpha } \end{array}} \right.$

(6)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {K = \left| {\dfrac{{{{\rm{d}}^2}{{r}}}}{{{\rm{d}}{s^2}}}} \right| = \sqrt {K_\alpha ^2 + K_\phi ^2{{\sin }^2}\alpha } }\\[6pt] {{K_\alpha } = \dfrac{{{\rm{d}}\alpha }}{{{\rm{d}}s}}}\\[6pt] {{K_\phi } = \dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}s}}} \end{array}} \right.$

(7)

代入井眼轨迹参数，可计算出每个测点曲率半径，通过比较可获得井眼轨迹中曲率半径最小的位置，即卡点位置。

3 管柱串通过性分析

在下入过程中，多层分注管柱串在通过造斜段和稳斜段时会产生摩擦阻力，若下入管柱串的轴向分力大于其产生的摩擦阻力，即管柱串能产生一个向下的轴向作用力，则认为分注管柱串可以通过。由于油管与套管的摩擦系数远小于分注工具（封隔器、配水器等）与套管的摩擦系数，而且油管直径小于封隔器和配水器直径，因此整个管柱串的通过能力取决于装有多个封隔器和配水器的下部管柱段，如图 3 所示。

3.1 多层分注管柱串整体通过性分析方法

假设：（1）封隔器和配水器与套管为刚性接触，通过比较分隔的层间间距，可以将封隔器和配水器与套管看成是点接触；（2）封隔器和配水器为弹性体，容许有一定变形，但确保在下入指定位置时可正常工作；（3）多层分注管柱串的轴线与井眼轨迹的轴线一致。

下入过程中，多层分注管柱串在造斜和稳斜段的受力可以简化为：（1）管柱串沿着井眼轨迹变形所产生的附加力；（2）上端油管传递给管柱串的轴向力；（3）管柱串自身重力；（4）管柱串向下运动产生的摩擦阻力；如图 4 所示。如果轴向合力${F_{\rm{r}}} ＜ 0$时，管柱串就可以通过，反之则不能通过。

3.2 井眼轨迹对管柱串产生的附加作用力

井眼轨迹对管柱串产生的附加作用力是指管柱串在卡点位置处，沿最小曲率半径的弦高（$\Delta _i$）为变形量时的套管对管柱串的支反力，如图 4 中的$N_1 \sim N_n$所示，管柱串中对应的封隔器和配水器处的变形量分别为$\Delta _1$，$\Delta _2$，$\Delta_i \sim \Delta_n$，如图 5 所示。

多层分注管柱串是由多个封隔器和配水器通过油管联接而成，通常封隔器和配水器的长度远小于工具之间的长度，由此可将各封隔器和配水器与套管内壁看成是点接触，所以可以将整个管柱串看成是一个多点支撑的超静定梁，则建立的附加作用力方程为

$\textbf{N} = \dfrac{\textbf{Δ}}{\textbf{δ}}$

(8)

管柱串的柔度矩阵为

$\textbf{δ} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\delta _{{\rm{11}}}}}&{{\delta _{{\rm{12}}}}} & \cdots &{{\delta _{{\rm{1j}}}}} & \cdots &{{\delta _{1n}}}\\ {{\delta _{21}}}&{{\delta _{22}}} & \cdots &{{\delta _{2j}}} & \cdots &{{\delta _{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\delta _{i1}}}&{{\delta _{i2}}} & \cdots &{{\delta _{ij}}} & \cdots &{{\delta _{in}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\delta _{n1}}}&{{\delta _{n2}}} & \cdots &{{\delta _{nj}}} & \cdots &{{\delta _{nn}}} \end{array}} \right]$

(9)

（1）柔度系数

柔度系数是由单位作用力Ni = 1 引起的在第j个封隔器或配水器沿其力方向上的位移，如图 6 所示，由文献^[22]的挠曲方程，可得

$\left\{ \begin{array}{l} {\delta _{ij}} \!=\! M{x_j}\left[ {{L^2} \!-\! {x_{\rm{j}}}^2 \!-\! {{\left( {L \!-\! {x_i}} \right)}^2}} \right]{\kern 3pt} \left( {0 \leqslant {x_{\rm{j}}} \leqslant {x_i}} \right)\\[6pt] {\delta _{ij}} \!=\! \dfrac{{LM}}{{L - {x_i}}}{\left( {{x_j}{\rm{ - }}{x_{\rm{i}}}} \right)^3} - M{x_j}^3 + \\[2pt] {\kern 21pt} M\left[ {{L^2}{\rm{ - }}{{\left( {L{\rm{ - }}{x_i}} \right)}^2}} \right]{x_j} {\kern 22pt} \left( {{x_i} \leqslant {x_j} \leqslant L} \right)\\[6pt] M \!=\! - \dfrac{{L - {{x}_{\rm{i}}}}}{{6EIL}} \end{array} \right.$

(10)

（2）分注工具沿井眼轨迹的变形量

分注工具在通过直井段时，由于不受井眼轨迹的影响，可认为多层分注管柱串在直井段不发生变形；在通过弯曲段时，特别是通过卡点位置时，由于井眼轨迹的影响，分注工具与井壁接触，使得多层分注管柱串沿井眼轨迹发生变形，弯曲段井眼轨迹可近似为一段圆弧，可认为多层分注管柱串变形后轴线为一段圆弧^[23]，圆弧半径为井眼轨迹的曲率半径。设井眼轨迹的最小曲率半径为$R_{\min}$，由多层分注管柱串的变形协调条件可以得出各多层分注工具的变形量$\Delta _i$，变形条件和平面直角坐标系如图 7 所示。设管柱串中各工具的横坐标为$x_i$，管柱串的最大间距为L，则可求得各分注工具沿井眼轨迹的变形量$\Delta _i$

$\left\{ \begin{array}{l} {\Delta _i} = \sqrt {{R_{{\rm{min}}}}^2 - {{\left( {x - {x_{\rm{r}}}} \right)}^2}} - {y_{\rm{r}}} \\[4pt] {x_{\rm{r}}} = \dfrac{L}{2}\\[4pt] {y_{\rm{r}}} = R \cos \dfrac{\theta }{2} \\[4pt] \theta = {\rm{2}}\arcsin \dfrac{L}{{2{R_{{\rm{min}}}}}} \end{array} \right .$

(11)

由式（9）~ 式（10）可求得附加作用力在多层分注管柱串上产生的摩擦阻力

${{\textbf{F}}_\mu } = \mu {\textbf{N}}$

(12)

3.3 多层分注管柱串轴向合力计算

多层分注管柱串除了承受井眼轨迹对管柱串产生的附加作用力，还承受套管对管柱串摩擦力、上部载荷及自身浮重的综合作用。如图 4 所示，把每个封隔器和配水器之间的部分看作是一个连续梁单元，则整个分注管柱串可以划分为$n-1$ 个单元，利用矩阵位移法建立整个多层分注管柱串的刚度方程

$\textbf{K} \textbf{ξ} = \textbf{F }$

(13)

其中：$\textbf{K} = \sum {\left[ {{{{\textbf{k}}}^{\rm{e}}}} \right]} $；

$\textbf{ξ} = \sum {\left[ {{{\textbf{ξ} }^{\rm{e}}}} \right]} $；

$\textbf{F} = \sum {\left[ {{{\textbf{F}}^{\rm{e}}}} \right]} $。

3.3.1 整体坐标系下单元刚度矩阵

整体坐标$xoy$与局部坐标$x'oy'$的关系如 图 8所示，局部坐标下的单元刚度矩阵为

${ {\overline {\textbf{k}} ^{\rm e}} } %^\varepsilon = \\{\kern 21pt} \left[ {\begin{array}{*{10}{c}} {\dfrac{{EA}}{U}}&0&0&{\dfrac{{ - EA}}{U}}&0&0\\[4pt] 0&{\dfrac{{12EI}}{{{U^3}}}}&{\dfrac{{6EI}}{{{U^2}}}}&0&{\dfrac{{ - 12EI}}{{{U^3}}}}&{\dfrac{{6EI}}{{{U^2}}}}\\[4pt] 0&{\dfrac{{6EI}}{{{U^2}}}}&{\dfrac{{4EI}}{U}}&0&{\dfrac{{ - 6EI}}{{{U^2}}}}&{\dfrac{{2EI}}{U}}\\[4pt] {\dfrac{{ - EI}}{U}}&0&0&{\dfrac{{EA}}{U}}&0&0\\[4pt] 0&{\dfrac{{ - 12EI}}{{{U^3}}}}&{\dfrac{{ - 6EI}}{{{U^2}}}}&0&{\dfrac{{12EI}}{{{U^3}}}}&{\dfrac{{ - 6EI}}{{{U^2}}}}\\[4pt] 0&{\dfrac{{6EI}}{{{U^2}}}}&{\dfrac{{2EI}}{U}}&0&{\dfrac{{ - 6EI}}{{{U^2}}}}&{\dfrac{{4EI}}{U}} \end{array}} \right]$

(14)

局部坐标系$x'oy'$向整体坐标系$xoy$转换的单元坐标转换矩阵为

$\textbf{T }= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\gamma } & {\sin \gamma } & 0 & 0 & 0 & 0\\ {{\rm{ - }}\sin \gamma } & {\cos \gamma } & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & {\cos \gamma } & {\sin \gamma } & 0\\ 0 & 0 & 0 & {{\rm{ - }}\sin \gamma } & {\cos \gamma } & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]$

(15)

${\textbf{k}^{\rm e}} = {\textbf{T}^{\rm T}}{\overline {\textbf{k}} ^{\rm e}}\textbf{T}$

(16)

3.3.2 整体坐标系下单元荷载列阵

在局部坐标$x'oy'$下，局部单元荷载列阵 由井眼轨迹对管柱串产生的附加作用力、套管对管柱串摩擦力、上部载荷和自身浮重4部分组成

${\overline {\textbf{F}} ^{\rm e}} = {\left[ {{{\overline F }_{{X^{\prime}}i}},{{\overline F }_{{Y^{\prime}}i}},{{\overline M }_{\rm{i}}},{{\overline F }_{{X^{\prime}}(i + 1)}},{{\overline F }_{{Y^{\prime}}(i + 1)}},{{\overline M }_{i + 1}}} \right]^{\rm T}}$

(17)

由单元坐标转换矩阵将局部单元荷载列阵转换整体坐标系下单元载荷列阵为

${\textbf{F}^{\rm e}}{\rm{ = }}{\textbf{T}^{\rm T}}{\overline {\textbf{F}} ^{\rm e}}$

(18)

3.3.3 整体坐标系下单元位移

在局部坐标$x'oy'$下单元位移列阵${\overline {{\textbf{ξ} _{\rm{e}}}} ^{\rm{e}}}$为

${\overline {{\textbf{ξ} _{\rm e}}} ^{\rm{e}}} = {\left[ {{{\overline u }_i},{{\overline v }_i},{{\overline u }_{i + 1}},{{\overline v }_{i + 1}},{{\overline \theta }_{i + 1}}} \right]^{\rm T}}$

(19)

整体坐标系下单元位移

${\overline {\textbf{ξ}} ^{\rm e}} = {\textbf{T}^{\rm T}}{\overline {{\textbf{ξ} _{\rm e}}} ^{\rm{e}}}$

(20)

由式(14)~(20)可得出管柱串中各工具的结构位移，并计算出各个封隔器、配水器处的作用力及轴向合力$F_{\rm{r}}$，依据多层分注管柱串整体通过性分析方法，就可以判断整个管柱是否可安全下入，完成通过性分析。

4 计算实例

已知某井要对6 层进行分注施工，多层分注管柱串是由6 个封隔器和6 个配水器间隔组成，间距分别为20,20，2,4，2,3，10,10，13,10，10 m。封隔器的外径均为114 mm，长为1 470 mm，配水器外径均为114 mm，长为640 mm。根据所给的井眼轨迹参数，求得其最小曲率半径为191.508 4 m，在测点1 450 m 处，部分井眼轨迹参数如表 1 所示。

（1）附加作用力计算

由式（8）~ 式（11），可以分别求得：$N_1=-366.199~1$~N；$N_2=101.8884$~N；$N_3=524.655~6$~N；$N_4=-137.875~3$~N；$N_5=106.049~9$~N；$N_6=121.075~9$~N； $N_7=-216.567~1$~N；$N_8=98.924~6$~N；$N_9=-46.947~1$~N；$N_{10}=109.939~5$~N；$N_{11}=-394.018~6$~N；$N_{12}=99.073~3$~N。

其中附加作用力为正，表示封隔器或配水器与套管下壁接触，如$N_2$、$N_3$、$N_5$、$N_6$、$N_8$、$N_{10}$和$N_{12}$，为负则与套管上壁接触，如$N_1$、$N_4$、$N_7$、$N_9$和$N_{11}$。

（2）油管的强度校核通过计算各封隔器和配水器处的作用力，由叠加原理计算多层分注管柱串各段弯矩和轴力，弯矩如图 9 所示。

为了校核多层分注管柱串的最大应力，本文采用三维软件进行了实体建模，并采用结构有限元模块对模型进行了分析。依据管柱结构尺寸，建立模型，并在各分注工具上加载计算出的附加作用力、套管对管柱串摩擦力、上部载荷和自身浮重，在管柱两端添加约束，解得在此变形条件下，分注管柱的最大应力为382 MPa，位于第四和第五个分注工具上，小于材料的屈服极限620 MPa，多层分注管柱串不会因变形而失效。

（3）管柱串通过性计算通过强度校核可知多层分注管柱串下入时不会因为变形而失效，将计算所得附加作用力$N_1{\sim}N_{12}$代入式(13)~(20)中，解得 ${F_{\rm{r}}} = {\rm{ - }}5 213.743~6~{\rm{N}} ＜ {\rm{0}}$，由此可判断，所设计的多层分注管柱串可通过该井的卡点位置。

5 结论

（1）建立了多封隔器注水管柱串的力学模型，并提出了判断分注管柱串通过性的计算依据。

（2）结合位移叠加原理和变形协调条件，由力法求出了套管对各封隔器和配水器的附加作用力，从而求出附加摩阻。

（3）综合考虑了井眼轨迹、上端轴力、自身浮重和摩擦力对多层分注管柱串的影响，利用矩阵位移法建立了多层分注管柱串整体通过性模型。

（4）验证表明，现场50 口井分注管柱串的进计算与仿真结果与实际数据非常吻合，对多层分注管柱串的结构与现场设计具有重要的指导意义。

（5）以管柱串整体变形为分析对象，分析管柱串与套管内壁之间的作用关系，建立的多层管柱串通过性模型，不仅可适用定向井至水平井的各类井型，还可用于钻井和开发过程中的多工具串的通过性分析。

符号说明

${F_{{\rm{cr}}}}$—管柱螺旋屈曲临界载荷， N；

E—管柱弹性模量，GPa；

I—截面矩， m⁴；

q—管柱单位长度重力，kgf(1 kgf = 9.8 N)；

$\textbf{r}$—曲线单位矢量；

$\textbf{e}_{\rm t}$—切向单位向量；

$\textbf{e}_{\rm n}$—法向单位向量；

$\textbf{e}_{\rm b}$—副法向单位向量；

s—井深，m；

K—井眼曲率，rad/m；

$b_x$，$b_y$，$b_z$—副法向单位向量在x，y，z轴方向的分量；

$\alpha$—井斜角，rad；

$\phi$—方位角，rad；

$K_{\alpha}$—井斜变化率，rad/m；

$K_{\phi}$—方位变化率，rad/m；

$F_{\rm r}$—轴向合力，N；

$F_{\rm f}$—管柱自身浮重，N；

$\textbf{N}$—附加作用力矩阵，N；

$\textbf{Δ}$—工具变形量矩阵；

$N_1$，$N_2$，$\cdots$，$N_n$—井眼轨迹使管柱串变形而产生在管柱串上的附加作用力，N；

n—工具按顺序的编号；

$\textbf{δ}$—柔度矩阵；

L—管柱串总长，m；

$x_i$—第i个工具的x轴坐标，m；

$x_j$—第j个工具的x轴坐标，m；

$R_{\rm min}$—井眼轨迹的最小曲率半径，m；

$x_{\rm r}$—变形后管柱串轴线圆心x轴坐标，m；

$y_{\rm r}$—变形后管柱串轴线圆心y轴坐标，m；

$\theta$—变形后管柱串轴线对应的圆心角，rad；

$\mu$—摩擦系数，无因次；

${{\textbf{F}}_\mu }$—摩擦力矩阵，N；

$\textbf{ξ}$—位移矩阵；

$\textbf{K}$—刚度矩阵；

$\textbf{k}^{\rm e}$—单元刚度矩阵；

$\textbf{F}^{\rm e}$—单元载荷列阵；

$\overline {\textbf{k}}^{\rm e}$—局部坐标下的单元刚度矩阵；

A—梁的横截面积，m²；

U—梁的长度，m；

${\theta_{i}，\theta_{i+1}}$—第i，$i+1$个节点处管柱串轴线对应的圆心角，m；

${\theta _i}$，${\theta _{i+1}}$—局部坐标系下第i，$i+1$个节点处位移方向变化角，rad；

${\textbf{U}_i}$，${\textbf{U}_{i+1}}$—第i，$i+1$个节点处力法向位移矢量，m；

${\textbf{V}_i}$，${\textbf{V}_{i+1}}$—第i，$i+1$个节点处力切向位移矢量，m；

${\textbf{F}_{X'i}}$，${\textbf{F}_{X'(i+1)}}$—第i，$i+1$个节点处力的x轴分量，N；

${\textbf{F}_{Y'i}}$，${\textbf{F}_{Y'(i+1)}}$—第i，$i+1$个节点处力的y轴分量，N；

${\textbf{M}_i}$,${\textbf{M}_{i+1}}$—第i，$i+1$个节点处的力矩，N·m；

$\overline {\textbf{F}}^{\rm e}$—局部单元载荷列阵；

${\overline F_{X'i}}$—局部坐标下第i个节点处力的x轴分量，N；

${\overline F_{Y'i}}$—局部坐标下第i个节点处力的y轴分量，N；

${\overline M_i}$—局部坐标下第i个节点处力矩，N·m；

$\gamma $—局部坐标与整体坐标系夹角，rad；

$\textbf{T}$—单元转换矩阵；

$\overline {{\textbf{ξ} _{\rm e}}}$—局部坐标系下单元位移列阵；

${\textbf{ξ}}_{\rm e}$—整体坐标系下单元位移列阵；

${\overline u_i}$—局部坐标系下第i个节点处力法向位移，m；

${\overline v_i}$—局部坐标系下第i个节点处力切向位移，m。