引 言

钻井工程是油气田开发项目的基础工作，也是投资最大的工程之一。特别是国际大型油气田开发项目，需要动迁大量钻机，钻机服务费（包括动迁费和作业年费）在投资中占相当大的比例^[1]。因此，优化钻机动迁方案对于改善项目的总体经济效益有着重要意义。以往对钻井成本的优化主要集中在单井设计方案，通过改进设备、工具和工艺流程提高钻井效率和效果^[2-5]，或者在油田开发过程中以各个油藏为优化对象^[6-11]，实现生产效率最大化。本文立足于经济角度，结合伊拉克哈法亚油田的开发实例，以实现油田开发方案对钻井数量的要求为前提，通过宏观地优化年度钻机数量（即开发期内的钻机动迁方案）降低钻机服务费，从而实现经济效益的最大化。

1 钻机动迁方案优化模型 1.1 背景介绍及假设

伊拉克哈法亚油田是以中国石油为作业者，法国道达尔和马来西亚国家石油公司共同参与的油田开发项目。油田位于伊拉克巴士拉以北180 km，巴格达西南400 km，合同区域面积288 km²。石油地质储量约160×10⁸ bbl（1 bbl=159 L），可采储量约40×10⁸ bbl。根据合同要求，中国石油将在7 a 内把哈法亚油田建成日产53.5×10⁴ bbl 的油田，并稳产13 a。该项目一期10 ×10⁴ bbl/d 的产能已经在2012年6 月顺利投产，共钻井35 口。预计到2016 年底实现合同要求的高峰产量需钻井约230 口，20 a 合同期内预计累计钻井约760 口。目前，哈法亚项目的钻井服务均采用日费制承包方式^[12]，即钻井承包商负责提供钻机和井队，油公司负责组织和协调钻井液、套管、钻头及井口装置等，同时派遣现场监督监控钻井参数。根据国际惯例，钻井服务合同期以年度为单位，考虑钻机日费在作业、待命和搬迁等情况下变化较大，故采用年费估计更为合理准确。

钻机操作费会受到一系列因素的影响，包括石油公司与承包商的管理水平、经济环境（包括油价）、当地的基础设施及价格水平、承包商在当地的施工经验、地质条件的复杂程度、钻井设计、泥浆设计、评价手段和完井方法等。影响国际钻井成本的因素集中体现于钻井周期、服务费用和材料价格^[13]。为保证钻井效率和便于管理，哈法亚项目将钻井工程中的钻机、泥浆和固井服务独立分包，其中钻机的服务费是影响钻井成本的主要因素^[14]。结合油田的实际情况，做出以下假设：

假设1：不同功率钻机动迁费一致，但年费与钻机功率有关。受国际标准和伊拉克政治、经济环境等不确定因素的影响，钻机的动迁费和作业费均远高于国内。为此，从经济角度考虑，钻机动迁后应尽可能满负荷运行，避免资源闲置。钻机动迁费与设备重量、体积，运输距离、方式，及装卸复杂程度有关，除了重型钻机（如3 000 hp 钻机，（1 hp=735 W）），常用钻机动迁费接近。目前在伊拉克哈法亚油田运行的钻机有1 500 hp 和2 000 hp两种不同功率，假设该类常用功率的钻机动迁费一致。钻机动迁后全年候运行，其年费和功率正相关，钻机功率越大，年费越高。

假设2：年度钻井工作量来自开发方案。钻井周期与井型，井深有关，钻井井深对钻机功率有要求，深井需用大功率钻机，大功率钻机可替代小功率钻机钻井。

假设3：所有钻井工作在同年开始，于同年结束。考虑到本年度既有前一年未完钻的井，又有本年度开钻下一年度完钻的井，近似认为每年的计划钻井数都在当年内完成。特别是在钻井数量多，钻机台数多的情况下，该假设符合实际情况。

1.2 数学建模

开发期内的总钻机服务成本主要由两部分构成：即钻机动迁费和钻机作业年费。假设某油田共有w 个目的油藏，开发期为n 年，根据钻井井深的要求，需要动迁m 种不同功率的钻机。

决策变量为$m\times n$矩阵：$\textbf{X} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1,1} } & \cdots & {x_{n,1} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {x_{1,m} } & \cdots & {x_{n,m} } \\\end{array}} \right]$，其中，项$x_{i，j}$代表第i年需要j型号功率的钻机数量，满足(1 $\leqslant i \leqslant n$，$1\leqslant j\leqslant m$)。

目标函数的数学表达式为

$\min \left[ {f(\textbf{X})} \right] = \\\min \left[ {c_0 \mathop \sum \limits_{j = 1}^m \left( {x_{1,j} + x_{n,j} } \right) + \mathop \sum \limits_{j = 1}^m \left( {c_j \mathop \sum \limits_{i = 1}^{n - 1} x_{i,j} } \right) + \mathop \sum \limits_{j = 1}^m \left( {c_0 \mathop \sum \limits_{i = 1}^{n - 1} \left| {x_{i + 1,j} - x_{i,j} } \right|} \right)} \right]$

(1)

式中：

$c_0$-单台钻机动迁费；

$c_j$-j型号(功率)钻机年费。

目标函数式（1）中：第一项为钻机起止动迁费，即各种功率钻机在开发期第一年及最后一年的总动迁费；第二项为各种功率钻机在开发期内运行的总年费；第三项为开发期内钻机数量年度间变化产生的总动迁费，由于相同功率的钻机在年度间的变化可能增加，也可能减少，因此取差值的绝对值。

约束条件为

$ 365x_{i，j} \geqslant t_p n_{i,p}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\满足1\leqslant p\leqslant w，d_p > D_k，1\leqslant j=k+1\leqslant m，1\leqslant i\leqslant n$

(2)

$ 365\mathop \sum \limits_{j = 1}^m x_{i,j} \geqslant \mathop \sum \limits_{p = 1}^w t_p n_{i,p} ~~~~~~~~~~~~~~\\满足1\leqslant p\leqslant w，1\leqslant j\leqslant m，1\leqslant i\leqslant n$

(3)

$ x_{i,j} 非负整数 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\满足1\leqslant j\leqslant m，1\leqslant i\leqslant n$

(4)

式中：

$t_p$-目的油藏p的钻井周期，d，$1\leqslant p\leqslant w$；

$d_p$-目的油藏p的钻井深度，m，$1\leqslant p\leqslant w$；

$D_k$-基准井深，m，$1\leqslant k\leqslant j-1$；当$d_p > D_k $时，需要使用钻机型号为k+1的钻机；

$n_{i,p}$-第i年油藏p的井数。

约束条件一，式(2)： 第i年，当目的油藏p的井深$d_p$超过基准井深$D_k$时，需要$x_{1,j}$台型号为$j=k+1$的钻机，其年工时须大于等于钻$n_{i,p}$口到目的油藏p所需的工时；

约束条件二，式(3)：第i年所有钻机的总工时必须大于等于同年所有钻井所需的工时；

约束条件三，式(4)：钻机台数为非负整数；主要约束条件的数量为$\left( {k + 1} \right)n$，变量约束条件的数量为$mn$。

1.3 模型求解

标准的线性规划模型为

目标函数为${\rm{min}}f\left[ X \right]$

约束条件$A\left[ X \right] \geqslant b$，$x\geqslant 0$

求解规则的混合整数线性规划已经非常成熟，可以很容易地通过标准方法求得最优解^[15-16]。但是本模型中包括绝对值，使得模型变为非线性规划^[17-18]。因此，需要引入虚假变量（Dummy Variables）来消除绝对值。例如，功率为1 型号的钻机第二年和第一年的数量变化为$|x_{2,1} - x_{1,1} |$，相应的动迁费则为$c_0 |x_{2,1} - x_{1,1} |$ ，可以通过如下数学变化去掉绝对值。

(1) 引入虚假变量$s_1 ^ + $和$s_1 ^ -$，其中

当$x_{2,1} > x_{1,1} $时，即钻机数量增加时，$s_1 ^ + = x_{2,1} - x_{1,1} $，

当$x_{2,1} ＜ x_{1,1} $时，即钻机数量减少时，$s_1 ^ - = x_{1,1} - x_{2,1} $；

(2) 将目标函数中$c_0 |x_{2,1} - x_{1,1} |$变为$c_0 \left( {s_1 ^ + + s_1 ^ - } \right)$；

(3) 增加虚假变量约束条件：$x_{2,1} - x_{1,1} = s_1 ^ + - s_1 ^ - $。

通过上述数学变换后，共引入$2\left( {n - 1} \right)m$个虚假变量和$\left( {n - 1} \right)m$个相应的约束条件，模型变为线性规划求解，可采用标准的求解方式轻易获得最优解。

由于参数估计存在不确定性，比如，钻机年费和市场条件及投标商的竞标策略有关；动迁费和运输距离及方式有关；钻井周期受完井和钻机井间移动时间影响等。因此通过数学模型求得最优解后，还需要根据具体钻井计划实施时进行微调并最终确定。

2 数值试验

为了更好地阐述该数学模型如何优化钻机动迁方案及成本，不失一般性，举例说明模型应用如下。

根据开发方案要求，开发期前3 年（2011年2013 年），需要在6 个目的油藏钻井。各个油藏的井深和钻井周期，以及3 年内的钻井数如表 1 所示。

假设基准井深为4 000 m($D_k = D_1 = 4 000~{\rm{m}}$)，当目的油藏p井深超过4 000 m时，即$d_p > D_1 $时，需使用功率为2 000 hp的钻机钻井，当目的油藏p井深小于4 000 m时，即$d_p ＜ D_1 $时，可以使用1 500 hp或者2 000 hp的钻机作业。因此，为完成年度计划钻井数，需要使用两种不同功率的钻机，分别为1 500 hp和2 000 hp，目的油藏5和6的钻井作业只能使用2 000 hp钻机，其他目的油藏的钻井作业可以使用1 500 hp或者2 000 hp钻机。

$c_0 $：动迁费，考虑海运，清关和内陆运输，假设为200万美元/次；

$c_1$：1 500 hp钻机年费，假设为1000万美元/a；

$c_2$：2 000 hp钻机年费，假设为1100万美元/a；决策变量：$\textbf{X} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_{1,1} } & {x_{2,1} } & {x_{3,1} } \\ {x_{1,2} } & {x_{2,2} } & {x_{3,2} } \\\end{array}} \right]$

$x_{1,1}$：2011年需要1 500 hp钻机台数；$x_{1,2}$：2011年需要2 000 hp钻机台数；

$x_{2,1}$：2012年需要1 500 hp钻机台数；$x_{2,2}$：2012年需要2 000 hp钻机台数；

$x_{3,1}$：2013年需要1 500 hp钻机台数；$x_{3,2}$：2013年需要2 000 hp钻机台数。

根据上述假设，分别利用年度钻井计划和混合整数线性规划求解，结果如下

由表 2 可见，按年度钻井工作量动迁钻机（方案1），在3 年的开发期内，需动用1 500 hp 钻机13台次，总年费为13 000 万美元，动迁费为2 800 万美元，需动用2 000 hp 钻机6 台次，总年费为6 600万美元，动迁费为1 200 万美元；而根据优化模型解（方案2），需动用1 500 hp 钻机12 台次，总年费为12 000 万美元，较方案1 下降1 000 万美元，动迁费为2 400 万美元，较方案1 下降400 万美元，需动用2 000 hp 钻机7 台次，总年费为7 700 万美元，较方案1 上升1 100 万美元，动迁费为1 200 万美元，和方案1 相同。

通过两组结果对比可见，优化模型综合考虑开发期的整体规划和钻机动迁费等因素，尽管在2012年多使用一台年费更高的2 000 hp 钻机，但由于动迁次数减少，使得总投资节省300 万美元。实例中仅对开发期的前三年进行了优化，随着优化期的增加，如延长到合同期甚至整个开发期，会涉及更多的目的油藏和钻机类型，年度钻井计划制定会变得十分复杂。但通过上述优化模型计算，可以在很短的时间内获得最优解，不但提高了工作效率还保证了钻井总成本最低，从而取得更好的经济效益。

3 结语

（1）线性规划作为运筹学中的一个重要工具，被广泛应用于军事、经济、管理和工程等各个领域。它利用有限的资源，通过合理的数学建模，做出最优决策。通过线性规划模型优化油气田开发期内的钻机动迁方案，是以降低钻机服务费（包括动迁费和作业年费）为目标函数，以开发期内的钻井工作量为约束条件，求得开发期内每年需要各种型号钻机的台数。模型本身为非线性规划，需要进行适当的数学变换后，才能通过Matlab 或者MS Excel 等线性求解工具求解。与每年根据年度钻井工作量孤立地动迁钻机不同，混合整数线性规划着眼于整个油气田开发期内的钻井工作量和年度间工作量的关联，统筹考虑各种井深和钻机型号，平衡钻机年费和动迁费，从而得出开发期内最优的钻机动迁方案。通过模型可以发现，随着动迁费对钻机年费比例的增加，最优解趋于减少年度间钻机动迁次数，这也符合常识。

（2） 在国际油气田开发项目，钻机往往都是跨国动迁，需要经过拆卸，陆运，海运，清关，组装等过程，因此，钻机动迁成本较高，在部署钻机动迁方案时，需要考虑钻机动迁费的影响。结合伊拉克哈法亚油田的工作实践，对钻机服务费用进行了合理简化，试探性地将运筹学方法应用到优化钻机动迁方案中，优化结果和目前油田实施的方案基本吻合，取得了比较好的效果，可推广应用到项目公司年度工作量计划与预算的工作中。油气田开发是一项复杂的系统工程，除了钻井工程，还涉及到地质、油藏工程，地面工程和管道建设等，如何将运筹学更广泛地应用于油气田开发项目还有待深入研究。