引言

王德民、夏惠芬等^[1-7] 开展了天然岩芯、人工岩 芯和刻蚀的二维玻璃岩芯室内聚合物驱油实验，认识 到多数聚合物溶液不仅具有较高的黏度，可以改善宏 观波及体积，还具有显著的弹性，能够提高各类残余 油的微观驱油效率，弹性作用对驱油效率的贡献率达 到40%。岩芯驱替过程中表现出弹性效应的这些聚 合物统称作黏弹性聚合物，其在多孔介质中的渗流规 律还需进一步认识^[8-11]。与此同时，依赖于相关渗流 理论的试井分析工作需要重新评价。当前聚合物驱 油藏试井分析未考虑弹性的影响^[12-18]，不能真实反 映聚合物溶液在地层中流动的压力响应特征，其对试 井曲线形态的影响有待探讨。

本文通过实验测定了不同浓度下高分子聚丙烯 酰胺溶液在流变仪和多孔介质中的流变规律，以此 为基础，笔者采用基于变截面孔喉模型建立的黏弹 性本构方程表征聚合物溶液有效黏度，建立了黏弹 性聚合物驱油藏不稳定渗流数学模型，利用有限差 分方法求得数值解，研制出了相应的无因次试井图 版，并分析了弹性对试井曲线形态的影响。

1 聚合物溶液非牛顿渗流规律实验 1.1 聚合物溶液在岩芯中的渗流实验 1.1.1 实验药品

本实验采用大庆油田生产的高分子量聚丙烯酰 胺（HPAM) ，其各项物化性质见表 1。

配制聚合物溶液采用的是大庆油田高台子地层 标准盐水，其矿化度为918 mg/L，其中各组分含量 见表 2。天然岩芯取自大庆油田高台子地层。

1.1.2 实验设备

驱替实验装置如图 1 所示。主要包括驱替系 统（平流泵1 台、中间容器2 套和高压管线) 、环压系 统（手摇泵和岩芯夹持器) 、计量及测压系统（量筒、 秒表、压力表等) 。

1.1.3 实验步骤

(1) 将岩芯抽空并饱和地层水，测量饱和水的 体积，计算岩芯的孔隙度。

(2) 用压力传感器监测岩芯两端压差，测定岩 芯的水测渗透率。

(3) 计算设定流速和水测渗透率下的压差 Δp₁。

(4) 以某一流速向岩芯注入聚合物溶液，当压 力稳定时记录岩芯两端压差Δp2，计算阻力系数 Δp₂/Δp₁。

(5) 以相同的流速向岩芯中注入地层水，当压 力稳定时记录岩芯两端压差Δp₃，计算残余阻力系 数Δp₃/Δp₁。

(6) 由低到高改变流速，重复步骤3、4、5、6，求 取不同流速时阻力系数、残余阻力系数。以上各个 驱替过程中，总注入量均超过5 倍的孔隙体积，以 达到稳定驱替状态。

1.1.4 实验方案设计

用模拟地层水配制聚合物浓度为1 500 mg/L 的溶液，测定流速分别为0.1，0.2，0.3，0.5，1.0，2.0， 3.0，5.0 mL/min 时的阻力系数和残余阻力系数。

1.1.5 实验结果与分析

采用文献[19]中公式计算有效黏度和剪切速 率，并绘制出有效黏度随剪切速率变化曲线。

如图 2 所示，随着剪切速率的增加，聚合物溶 液有效黏度先减小后增大，表现出剪切变稀和剪切 增稠的双重特性，证实本实验所用的高分子聚丙烯 酰胺属于黏弹性聚合物。

1.2 聚合物溶液在流变仪中的流变性实验 1.2.1 实验药品

本实验采用与实验1 完全相同的聚合物和地 层水。

1.2.2 实验仪器设备

德国HAAKE 公司的RV20 旋转黏度计，用于测 量聚合物溶液的流变性。电子天平，精度为0.001 g， 用于化学试剂的定量测量。磁力搅拌器、电动搅拌 器：用于聚合物溶液的配制。

1.2.3 实验步骤

由于流变性研究中所用的溶液体积较小，为了 取得准确的测量数据，避免容积法配制溶液时由于 温度变化引起的误差，溶液的配制采用称重法。

具体操作步骤如下：（1) 配好所需的地层水， 用电子天平称取一定量的聚合物。（2) 用磁力搅 拌器将烧杯中的溶剂搅起打成漩涡状，把称好的 聚合物在1 min 内均匀分散在充分搅起的漩涡中， 投放位置应在漩涡中心到器壁的2/3 处。（3) 将转 速降至80~100 r/min，避免因过高转速造成的聚合物降解。

1.2.4 实验方案

用模拟地层水配制聚合物溶液，地层水矿化 度为918 mg/L 保持不变，聚合物浓度依次为800， 1 200，1 500，1 800，2 000，2 200，2 500 mg/L，旋转黏 度计设定剪切速率依次为：0.5，1.0，2.0，5.0，10.0， 20.0，50.0，100.0，200.0，500.0 s⁻¹，测定各剪切速率 下聚合物溶液的黏度。

1.2.5 实验结果与分析

原始流变曲线如图 3 所示，实验中未出现第一 牛顿区，这是由于RV20 旋转黏度计的精度不高， 不能精确测量剪切速率小于0.1 s⁻¹ 时的黏度所致； 而在剪切速率大于100 s⁻¹ 时，没有出现第二牛顿 区，却出现了剪切增稠的趋势，这是因为远在剪切 速率达到极限剪切速率之前，体系就已出现不稳 定流动和黏性发热现象，造成实验结果不可信，视 为无效数据。

如图 4 所示，筛选实验有效数据并进行线性回 归（拟合参数见表 3) ，发现聚合物溶液表观黏度与 剪切速率在双对数图上呈现很好的线性关系，证实矿场常用浓度范围（800~2 500 mg/L) 下聚合物溶液 在中等剪切速率范围内（0.1~100.0 s⁻¹) 符合非牛顿 幂律模式$\mu =H{{\dot{\gamma }}^{n-1}}$（μ-表观黏度，mPa·s；H-稠 度系数，mPa·sⁿ) 。

2 渗流数学模型的建立与求解 2.1 基本假设

均质、等厚、各向同性、定压边界油藏；平面径 向流动，并符合广义达西定律；流体压缩系数很小 且为常数；忽略重力效应；聚合物溶液在渗流过程 中的剪切黏度服从幂律模式，弹性黏度用变截面孔 喉模型的弹性大小w 表征^[20]；考虑井筒储集与表皮 效应的影响。

2.2 有效黏度

聚合物溶液在多孔介质中流动时，存在剪切流 动与弹性拉伸，前者表现为剪切黏度μ_v，后者表现 为弹性黏度μ_e，有效黏度μ_eff 为二者之和，综合考 虑多孔介质结构（简化为变截面孔喉模型) 和聚合物 溶液性质建立的黏弹性本构方程^[20] 为

${{\mu }_{\text{eff}}}={{\mu }_{\text{v}}}+{{\mu }_{\text{e}}}=\left( 1+w \right){{\mu }_{\text{v}}}$

(1)

式中：μ_v-剪切黏度，mPa·s；

μ_e-弹性黏度，mPa·s

w-弹性黏度与黏性黏度之比，

$\omega =\frac{\frac{12n}{3n+1}\dot{\gamma }{{\theta }_{\text{f}}}\left( 1-\frac{1}{\lambda _{1}^{6}} \right)-\frac{{{\left( {{E}^{4}}-1 \right)}^{1/2}}}{\left( 1+\beta \right){\alpha }'}\left( 1-\frac{1}{\lambda _{3}^{3}} \right)}{\frac{1}{\alpha }\left( 1-\frac{1}{\lambda _{1}^{3}} \right)+6\xi +\frac{1}{{{\alpha }'}}\left( 1-\frac{1}{\lambda _{3}^{3}} \right)}$

μ_eff-有效黏度，mPa·s；

n-幂律指数；

${\dot{\gamma }}$-剪切速率，s⁻¹；

θ_f 特征时间，s；

λ₁-进入孔喉阶段孔喉比；

λ₃-挤出孔喉阶段孔喉比；

ξ-孔隙因子；

α-收敛系数；

${{\alpha }'}$-扩散系数；

E-胀大比；

β-待定系数。

2.3 渗流数学模型

根据连续性方程和状态方程推导出渗流控制方程

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{K}{{{\mu }_{\text{eff}}}}\frac{\partial p}{\partial r} \right)=\phi {{C}_{\text{t}}}\frac{\partial p}{\partial t}$

(2)

初始条件

$p\left( r,0 \right)={{p}_{\text{i}}}$

(3)

内边界条件

井储条件

${{\left. q=\frac{C}{B}\frac{\text{d}{{\text{p}}_{\text{wf}}}}{\text{d}t}-\frac{2\pi hK}{{{\mu }_{\text{eff}}}}\left( r\frac{\partial p}{\partial r} \right) \right|}_{r={{r}_{\text{w}}}}}$

(4)

表皮条件

${{\left. {{\text{p}}_{\text{wf}}}=p\left( {{r}_{\text{w}}},t \right)-S\cdot \left( r\frac{\partial p}{\partial r} \right) \right|}_{r={{r}_{\text{w}}}}}$

(5)

定产条件

${{\left. -\frac{K}{{{\mu }_{\text{eff}}}}\frac{\partial p}{\partial r} \right|}_{r={{r}_{\text{w}}}}}=\frac{q}{2\pi {{r}_{w}}h}$

(6)

外边界条件

定压边界

$p\left( {{r}_{\text{e}}},t \right)={{p}_{\text{i}}}$

(7)

式中：p-t 时刻距井筒径向距离为r 对应的地层压 力，×10⁻¹ MPa；

p_i-原始地层压力，×10⁻¹ MPa；

p_wf-井底流压，×10⁻¹ MPa；

t-时间，s；

C_t-综合压缩系数，（×10⁻¹ MPa) ⁻¹；

r-径向距离，cm；

r_w-井半径，cm；

r_e-外边界距离，cm

h-有效厚度，cm；

K-渗透率，mD；

ϕ-孔隙度，无因次；

q-流量，cm³/s；

C-井筒储集系数，cm³/（×10⁻¹ MPa) ；

B-体积系数，无因次；

S-表皮系数，无因次。

2.4 模型的差分求解

由于在一维径向流的情况下，地层压力呈漏 斗状，因而采用了不均匀的对数网格。引入变换：$x=\ln \frac{r}{{{r}_{\text{w}}}}$，并对方程在空间上采用中心差分格式、在 时间上采用向后差分格式，得到相应的差分方程

渗流方程

${{a}_{i}}p_{i-1}^{n+1}+{{b}_{i}}p_{i}^{n+1}+{{c}_{i}}p_{i+1}^{n+1}={{d}_{i}}\left( i=1,2,3,\cdots ,N-1 \right)$

(8)

其中$\begin{align} & {{a}_{i}}={{T}_{i-\frac{1}{2}}} \\ & {{b}_{i}}=-{{T}_{i+\frac{1}{2}}}+{{T}_{i-\frac{1}{2}}}+r_{i}^{2}\phi {{C}_{\text{t}}}\frac{\Delta {{x}_{i}}}{\Delta t} \\ & {{c}_{i}}={{T}_{i+\frac{1}{2}}} \\ & {{d}_{i}}=-r_{i}^{2}\phi {{C}_{\text{t}}}\frac{\Delta {{x}_{i}}}{\Delta t}p_{i}^{n} \\ \end{align}$

联立井储与表皮方程差分得到

${{a}_{0}}p_{0}^{n+1}+{{b}_{0}}p_{1}^{n+1}={{d}_{0}}$

(9)

其中

$\begin{align} & {{a}_{0}}=-\frac{B}{C}\frac{2\pi hK}{{{\mu }_{\text{eff}}}}\Delta t-\Delta x-S \\ & {{b}_{0}}=\frac{B}{C}\frac{2\pi hK}{{{\mu }_{\text{eff}}}}\Delta t+S \\ & {{d}_{0}}=S\left( p_{1}^{n}-p_{0}^{n} \right)-\Delta xp_{0}^{n}-\frac{qB}{C}\Delta x\Delta t \\ \end{align}$

对于无限大或定压边界

${{a}_{N-1}}p_{N-2}^{j+1}+{{b}_{N-1}}p_{N-1}^{j+1}={{d}_{N-1}}$

(10)

其中

${{d}_{N-1}}={{{{d}'}}_{N-1}}-{{c}_{N-1}}{{p}_{\text{e}}}$

上述差分方程（8) ~（10) 形成如下三对角矩阵 方程组，由于该方程组是非线性的，因此采用追赶 法迭代求解。求解过程为：选定时间步长，将前一 时刻的值代入，求得后一时刻的解，循环迭代，求取 不同位置处的地层压力值（近井区地层压力分布) 和 不同时刻的井底压力值（类似于开井压降数据) 。

$\left[ \begin{matrix} {{a}_{0}} & {{b}_{0}} & & & & \\ {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} & & & \\ & {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} & & \\ & & \cdots & \cdots & \cdots & \\ & & & {{a}_{N-2}} & {{b}_{N-2}} & {{c}_{N-2}} \\ & & & & {{a}_{N-1}} & {{b}_{N-1}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{p}_{\text{wf}}} \\ {{p}_{1}} \\ {{p}_{2}} \\ \cdots \\ {{p}_{N-2}} \\ {{p}_{N-1}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{d}_{0}} \\ {{d}_{1}} \\ {{d}_{2}} \\ \cdots \\ {{d}_{N-2}} \\ {{d}_{N-1}} \\ \end{matrix} \right]$

2.5 试井变量的无因次化方法

为了分析不同因素对试井曲线形态的影响，需 要求取无因次试井模型的一般解，引入以下无因次量定义

$\left\{ \begin{align} & {{p}_{\text{D}}}\text{=}\frac{2\pi Kh}{qB{{\mu }_{\text{eff}}}}\left( p-{{p}_{\text{i}}} \right) \\ & {{t}_{\text{D}}}=\frac{{{K}_{t}}}{n\cdot \phi {{\mu }_{\text{eff}}}{{C}_{t}}r_{\text{w}}^{2}} \\ & {{C}_{\text{D}}}=\frac{C}{n\cdot 2\pi h{{C}_{\text{t}}}r_{\text{w}}^{2}} \\ & {{r}_{\text{D}}}=\frac{r}{{{r}_{\text{w}}}} \\ \end{align} \right.$

(11)

3 弹性对聚合物驱油藏压力动态与试井曲线形态的影响

选取大庆油田某聚合物驱区块一口注聚井 测试资料。其井筒半径r_w 为0.1 m，油层厚度h 为3.3 m，孔隙度ϕ 为0.24，综合压缩系数C_t 为 3.864×10⁻⁴ MPa⁻1，体积系数B 为1.12，测试前平 均地层压力p 为10.2 MPa，关井前流动时间t 为 72.25 h，注聚速度q 为20 m³/d。室内聚合物溶液 与岩芯分析实验确定了与弹性有关的参数：特征 时间θ_f 为0.5 s，孔隙因子ξ 为0.125，孔喉比λ 为 8，胀大比E 为1.2，待定系数β 为1.4。

3.1 非牛顿幂律试井模型解释分析

观察实测试井曲线特征，选用不考虑弹性因素 的无限大边界试井模型进行解释求参，令w = 0， r_e=1 000。调整幂律指数生成试井曲线图版，并对 实测压力及导数曲线进行拟合，从而进一步求取其 他解释参数。经多次尝试，实现如图 5 所示的较好 拟合效果，并求取了多个解释参数：井筒储集系数 C 为0.04 m³/MPa，表皮系数S 为−2.6，幂律指数n 为0.68，渗透率K 为0.058 6 mD。

3.2 弹性对地层压力动态与试井曲线形态的影响

设定定压边界距离r_e 为100 m，注聚时间t为100 d，依据基础数据和试井解释参数计算“幂 律”、“弹性+ 幂律”两种模式下不同径向距离处的 地层压力，并绘制相应的地层压力分布曲线，如图 6 所示。考虑弹性影响后地层压力整体上升，特别是 井底压力上升幅度最大，说明聚合物溶液的弹性作 用主要影响近井地带，是造成注入压力升高的原因 之一，并会直接影响试井测压过程。

依据已知参数和试井解释参数，绘制考虑弹性 因素的试井图版，并与实测试井曲线作拟合，如图 7所示。对比图 5、图 7，发现两类试井理论图版均 与实测试井曲线的拟合效果较好、拟合图相似，表 明弹性作用虽然增大了注入压力，但几乎不改变试 井曲线形态。因此，在黏弹性聚合物驱油藏的试井 分析中，可以忽略弹性的影响，采用基于非牛顿幂 律流体建立的试井模型进行有效解释，获取幂律指 数、井筒储集系数、表皮系数、渗透率、平均压力等 流体、井筒和地层参数。

4 结论

(1) 实验测定了矿场常用浓度范 围（800~2 500 mg/L) 下高分子聚丙烯酰胺聚合物 溶液在岩芯和流变仪中的流变性，证实了其在多孔 介质中渗流时存在“弹性”，且在中等剪切速率范围 内（0.1~100.0 s⁻¹) 符合非牛顿幂律渗流模式。

(2) 在实验认识的基础上，利用基于变截面孔 喉模型建立的黏弹性本构方程表征聚合物溶液有效 黏度，建立了黏弹性聚合物驱油藏不稳定渗流数学 模型，用有限差分方法求得了数值解，并研制了无 因次试井曲线图版。

(3) 利用非牛顿幂律试井模型求取的解释参 数，重新计算并绘制了考虑弹性因素的理论试井曲 线图版，与实测压力及导数曲线合成拟合图，仍然 实现了较好拟合，且与不考虑弹性因素的非牛顿幂 律试井模型拟合效果相近，表明弹性作用虽然会大 幅增加注入压力，但几乎不改变试井曲线形态。因 而，在黏弹性聚合物驱油藏的试井分析中，可以忽 略弹性的影响，利用基于非牛顿幂律流体建立的试 井模型进行解释求参。