引言

双水平井组合蒸汽辅助重力泄油^[1-5](Steam assisted gravity drainage/SAGD) 开采稠油油藏一般分为两个阶段：地层预热阶段和重力泄油阶段^[6-8]，预热效果的好坏直接影响SAGD开发的整体效果。常见的预热方式^[9]有蒸汽循环预热和电预热两种方式。蒸汽循环预热井下管柱结构简单，是目前主要的预热方式；但是蒸汽循环预热造成沿水平段加热不均匀，不利于充分发挥水平井的作用。电预热能够解决蒸汽循环预热过程中出现的问题，电预热过程不需要向地层注入蒸汽，沿程加热比较均匀并且不受储层渗透率非均质性的影响。

电加热^[10-11]很早就应用在于稠油油藏开发。1966年，Lucas R N提出利用化学剂辅助电加热方法解决稠油生产中油水破乳问题^[12]。据Mcqueen G等人的报道，美国加利福尼亚Bakersfield地区自2006年起对多口井安装了电加热设备，利用电加热^[13]稠油技术代替蒸汽吞吐技术取得了很大的成功。加拿大石油公司对电加热开发稠油资源的前景进行了评估，结果表明该开发方式的采收率可达到30%~60%，具有良好的应用前景。随着电加热方法逐渐应用于稠油油藏的开发中^[14-18]，电加热开发稠油资源的理论研究也逐渐增多^[19-23]。2013年，Moini B等人^[5] 对SAGD 生产前期电加热预热地层进行了分析，建立了单井加热模型，该模型未考虑两口水平井之间的干扰作用。

因此，本文在考虑井间干扰效应和变功率加热^[9]的基础上，建立了较为完善的电加热预热模型，对该技术的进一步发展具有指导意义。

1 稠油油藏SAGD生产介绍

稠油油藏SAGD生产是以蒸汽作为热源，依靠重力作用开采稠油。蒸汽辅助重力泄油的理论由罗杰$\cdot$巴特勒博士首次提出，最初的概念是基于注水采盐的原理。其基本原理为：通过向油藏中注入蒸汽加热地层原油，增加了原油的流动性；同时，由于蒸汽的密度远远小于原油的密度，在重力差异的作用下被加热的原油和冷凝的液态水向下运移，蒸汽向上运移填补原来的空间。

目前，SAGD的布井方式主要有两种，如图 1、图 2所示。第一种是双水平井组合，在靠近油藏的底部钻一对相互平行的水平井，上部的水平井为注汽井，下部的水平井为生产井。第二种布井方式为直井—水平井组合，即在靠近油藏底部钻一口水平井，在水平井的正上方或者斜上方钻几口直井，直井为注汽井，水平井为生产井。其中，由于水平井增大了井眼与地层的接触范围，增加了地层的加热范围和动用范围，双水平井SAGD技术在“稠油大国”加拿大得到了广泛的研究和现场试验。

和常规蒸汽循环预热方法的管柱结构相比，电预热的管柱结构更复杂，需要在注汽井和采油井的井筒内安装闭环电缆，用来传递地面发电机的能量。

2 SAGD生产电预热的数学模型 2.1 模型基本假设

由于双水平井是SAGD最常见的布井方式，本文主要对该布井方式下的电预热过程进行分析。一般的，生产井位于靠近油层底部约2 m，注汽井与生产井相互平行且在同一垂直平面上，注汽井到生产井的距离为5 m左右。在实际的钻进过程中，两口水平井的轨迹并不是完全平行的。为了快速方便地计算和分析，对电预热模型进行以下假设：

(1) 两口水平井的轨迹是相互平行的；

(2) 地层是均质的，即地层中各点的热物理参数处处相等；

(3) 地层足够大，相对于地层来说井的半径可以忽略；

(4) 井壁的厚度忽略不计，即井壁的热阻为0；

(5) 电加热预热阶段地层中的流体未发生运动，即地层中不存在对流传热。

2.2 无限大地层中线源解

均匀无限大地层中一口水平井，通过井筒向周围地层传递热量，径向坐标系中热传导方程可以表示为

$\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial t}$

(1)

式中：T-温度，℃ ；

r-距离井筒中心的距离，m；

t-时间，d；

$\alpha$-地层的热扩散系数，m²/d。

式(1)中，地层的热扩散系数$\alpha$可以表示为

$\alpha = \dfrac{\lambda }{{\rho c}}$

(2)

式中：$\lambda$-地层的导热系数，J/(m$\cdot$℃$\cdot$d)；

$\rho$-地层的密度，kg/m³；

c-地层的比热容，J/(℃$\cdot$kg)。

原始条件下地层温度处处相等，即

$\left. T \right|_{t = 0} = T_{\rm{r}}$

(3)

式中：$T_{\rm{r}}$-原始地层温度，℃。

对于无限大地层，无穷远处温度保持不变，表示为

$\left. T \right|_{r \to \infty } = T_{\rm{r}}$

(4)

在井筒内边界，恒定功率向地层中注入热量，则内边界条件为

${{\left( r\frac{\partial T}{\partial r} \right)}_{r\to 0}}=\frac{q}{2\pi \lambda }$

(5)

式中：q-单位时间单位井身长度向地层中注入的热量，J/(d$\cdot$m)。

令$\xi = \dfrac{{r^2 }}{{4\alpha t}}$，对式(1)进行玻尔兹曼变换，得到无限大地层线源解为

$T = T_{\rm{r}} - \dfrac{q}{{4\pi \lambda }}\left[{ - Ei\left( { - \xi } \right)} \right]$

(6)

其中$Ei\left( \cdot \right)$为幂积分函数，可以表示为

$ - Ei\left( { - \xi } \right){\rm{ = }}\int_\xi ^{ + \infty } {\dfrac{{{\rm{e}}^{ - y} }}{y}} {\rm{d}}y$

(7)

2.3 多井干扰和叠加原理

上面得到了无限大地层中非稳态热传导地层各点温度大小。在SAGD开发过程中，一般是平行布置两口水平井，利用叠加原理可以解决地层中存在多个热源同时工作且相互影响的问题。

叠加原理就是两口井同时向地层中提供能量时，地层中任意一点的温度增加值等于每口井单独工作时在该点产生的温度增加值的代数和，用数学形式可以表示为

$\begin{align} & \Delta T={{T}_{\text{r}}}-T=\sum\limits_{i=1}^{2}{\Delta {{T}_{i}}=} \\ & \frac{{{q}_{1}}}{4\pi \lambda }\left[-Ei\left( -{{\xi }_{1}} \right) \right]\text{+}\frac{{{q}_{2}}}{4\pi \lambda }\left[-Ei\left( -{{\xi }_{2}} \right) \right] \\ \end{align}$

(8)

式中：$q_1$，$q_2$-两口井的热功率，J/d；

$\xi _1$，$\xi _2$-两口井的幂积分函数变量，无因次。

2.4 变功率注热问题

在某些情况下，井筒向地层输出热量的功率是不断变化的，如图 3所示。根据叠加原理，可以把这种情况看成是多井干扰问题，并且几口井的位置相同，投产的时间不同。

当其中一口井以功率$q_1$从$t_0$时刻生产到t时刻，其产生的温度增值为$\Delta T_1$；第二口井以功率($q_2-q_1$)从$t_1$时刻生产至t时刻产生的温度增值为$\Delta T_2$；依次类推，第n口井在以功率($q_n-q_{n-1}$)从$t_{n-1}$时刻生产至t时刻产生的温度增值为$\Delta T_n$。因此，地层中变功率条件下产生的温度增值可以表示为

$\begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & \Delta T=\Delta {{T}_{1}}+\Delta {{T}_{2}}+\cdots +\Delta {{T}_{n}}= \\ & \frac{{{q}_{1}}}{4\pi \lambda }\left[-Ei\left( -\frac{{{r}^{2}}}{4\alpha \left( t-{{t}_{0}} \right)} \right) \right]+ \\ & \frac{\left( {{q}_{2}}-{{q}_{1}} \right)}{4\pi \lambda }\left[-Ei\left( -\frac{{{r}^{2}}}{4\alpha \left( t-{{t}_{1}} \right)} \right) \right]+\cdots + \\ \end{align} \\ [10pt]\frac{\left( {{q}_{n}}-{{q}_{n-1}} \right)}{4\pi \lambda }\left[-Ei\left( -\frac{{{r}^{2}}}{4\alpha \left( t-{{t}_{n-1}} \right)} \right) \right] \\ \end{array}$

(9)

3 当量水蒸汽折算

假设水平段长度为L，则单位时间内向水平段提供的热量可以表示为

$q_{\rm{L}} = q \cdot L$

(10)

为了保证两口水平井之间的地层形成热连通，地层流体能够发生流动，SAGD电加热预热在时间t内向地层中提供的热量为

$Q_{\rm{L}} = \int_0^t {q_{\rm{L}} } (\tau) {\rm{d}}\tau$

(11)

式中：$q_{\rm{L}}$-单井单位时间内向地层中提供的热量，J/d；$Q_{\rm{L}}$-电加热阶段所需要的总热量，J。

SAGD生产前期蒸汽循环预热阶段为了保证水平井沿程温度不发生变化，要保证蒸汽在井筒内的干度恒大于0。此时，传入地层中的能量全部由蒸汽的汽化潜热提供。蒸汽携带的汽化潜热与温度、压力以及干度有关。假定某一条件下，注入地层的蒸汽干度为x，向地层提供$Q_{\rm{L}}$的热量需要注入水蒸汽的质量为

$Q_{\rm{w}} = \dfrac{{Q_{\rm{L}} }}{{x \cdot H_{\rm{v}} }}$

(12)

式中：L-水平段长度，m；

$Q_{\rm{w}}$-预热阶段所需要当量水蒸汽的质量，kg；

x-水蒸汽的干度，无因次；

$H_{\rm{v}}$-水蒸汽的汽化潜热，J/kg。

4 计算结果分析

将以上的方法用于实际油藏计算，假设油藏为均质模型，在正式转为SAGD生产之前分别对两口水平井进行电预热。储层骨架以及储层流体的热物理参数如表 1所示。油藏初始地层温度为30 ℃，两口井之间的距离为5 m。

含油水地层的综合体积热容为2.56$\times$10⁶ J/(℃$\cdot {{m}^{3}}$)，地层的综合导热系数为1.94$\times$10⁵ J/(℃$\cdot {{m}^{3}}\cdot d$)。

4.1 不同时刻两口井中间地层的温度场分布

两口井同时加热，并且加热功率均为1 000 W/m，图 4给出了不同时刻两口井中间地层的温度场分布。两口水平井分别位于±2.5 m的位置。由于热源在井筒内部，所以越靠近井筒位置温度越高，两口井连线中点位置处温度最低。假设原油在温度>100 ℃时，可获得较高的流动性，则至少要加热50 d才可以投入SAGD正式生产阶段；当原油自由流动的温度提高到150 ℃时，则预热时间需要延长至100 d。

4.2 不同功率两口井中间地层的温度场分布

由图 4可以看出，两口井同时等功率加热时，中点处的温度最低，图 5对比了不同功率条件下不同时间两口井中点处的温度。相同时间内，注热的功率越高，地层的温度越高。同一功率下，随着加热时间的增加，地层温度逐渐增加，但是增加的幅度逐渐变缓。根据图 5可以选定合适的加热功率。假定原油在地层温度>100 ℃时能够自由流动，为了尽快投入生产一般要求预热的时间不超过100 d，按照此要求两口井热源的功率应该大于800 W/m。

4.3 累积注入能量与地层温度的关系

采用蒸汽循环进行预热时，进入地层的热量一般是由汽化潜热提供的，该过程需要大量的水蒸汽。电加热可以减少对水的需求以及废水的处理费用。假设水平段长度为800 m，注入蒸汽饱和压力下对应的温度为300 ℃，由图 6可知，两口水平井之间地层的温度加热到100 ℃时每口井大约需要3.5$\times$10⁹ kJ的热量，折合需要2 000 t水；若采用蒸汽循环预热的方式加热地层到100 ℃，两口井共需4 000 t的水蒸汽，而电加热预热地层的方式不需要水，节约了SAGD生产过程的用水量。

4.4 两口井非等功率注入

两口井等功率注入时，两口井之间的地层温度关于中点对称。图 7中方案1上部水平井的功率为600 W/m，下部水平井的功率为400 W/m；方案2上部水平井和下部水平井的功率均为500 W/m；方案3上部水平井的功率为400 W/m，下部水平井的功率为600 W/m。加热50 d后，3种情况的地层温度分布如图 7所示。可以看到，总的加热功率不变时，相同时刻两口井中点处温度相同。鉴于SAGD生产的特征，上部的原油向下运移可以传递一定的热量。因此，建议在预热过程中，上部水平井的功率稍微大于下部水平井的功率。

4.5 变功率注入问题

一定时间内向地层注入相同的热量，通过调整注入过程可以改变地层内部热量的分布。表 2给出了3种注热方案，3种情况下加热时间均为100 d，向地层注入的总热量一定。

图 8给出了3种方案下两口井中间的地层温度场分布图，可以看出：采用方案2(即加热过程中功率逐渐增大的方式)两口井中间温度比其他方案高；采用方案3(即加热过程中功率逐渐减小的方式)两口井中间的温度比其他方案低；全程采用均一方式注入时，效果介于中间。这是因为注入过程的不同改变了地层中的温度分布，热功率逐渐增大的方式使得更多的热量留在两口井之间，远离两口井的地层获得的热量较少。双水平井SAGD生产预热的目的是为了加热两口井周围的地层使之获得较高的流动能力。因此，在总的注入热量保持不变的情况下，预热过程中逐步增加热功率可以获得最佳的预热效果。

5 结论

（1）利用电加热预热模型可以求得任意时刻地层中各点温度分布。

（2）在实际生产应用中，给定加热功率和原油被加热的温度可以确定预热的时间。

（3）在总热量保持不变的情况下，预热过程中逐步增加热功率可以获得最佳的预热效果。