引言

随着近年来水平井钻井技术及大型水力压裂技术的不断发展，低渗透非常规油气资源成为新一轮开发热点^[1-4]。Mayerhofer M 等指出^[5]，压裂改造体积是影响低渗透储层增产效果至关重要的一项参数。对于低渗透非常规油气藏，为了追求更大的压裂改造体积，压裂段、簇数近年来明显增加，井网也在不断加密以获得更高产量。然而，这些措施同时也加剧了缝间干扰、井间干扰问题^[6]。缝间干扰有助于形成复杂裂缝网络以提高储层导流能力。但是缝间干扰也可能造成裂缝起裂延伸困难，甚至形成砂堵，从而影响施工效果。随着水平井分段多簇压裂施工日益增多，国外学者不断研究其缝间干扰问题。Cipolla C等^[7]进行理论研究指出，当压裂主裂缝导流能力达到一定程度后，继续增加射孔簇数或者减小簇间距对最终增产效果影响甚微，因此应当适当控制射孔簇数。Olson J^[8]采用位移不连续法(DDM)分析多簇裂缝应力场，研究缝间干扰以优化簇间距。Ajani A^[9]等统计上百口水平压裂井进行分析，系统研究了页岩压裂中存在的干扰问题。本文通过建立分析多簇裂缝诱导应力的数学模型，研究了缝间干扰对水平井分段多簇压裂施工的影响，对优化分段多簇压裂设计具有指导意义。

1 起裂过程应力干扰分析

进行水平井分段多簇压裂时，压裂液注入使得射孔憋压起裂。由于地层岩石存在非均质性，压裂段内各簇裂缝很难同时起裂。部分射孔簇起裂较晚，会受到先破裂延伸裂缝的诱导应力干扰，导致破裂压力升高而加大破裂难度(图 1)。

忽略多簇压裂造成的影响可能会低估破裂压力，而错误的预估可能造成压裂施工失败。因此，需要修正应力干扰下的破裂压力计算模型进行预测。假设已破裂裂缝面垂直，其缝高为2$ c$，缝内净压力为$p_{\rm{net}}$，处于均质弹性地层中，根据图 2所示，建立垂直裂缝周围应力场模型。

假定压应力为正，拉应力为负。通过傅里叶变换可以求解平面应变假设下垂直裂缝周围应力场分布解。但由于破裂初期缝长较短，考虑平面应变假设误差较大。因此借鉴修正因子方法进行修正，近似获得有限缝长的诱导应力

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \Delta {{\sigma }_{x}}=-{{p}_{net}}\left\{ \frac{r}{\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}}\cos \left( \theta -\frac{{{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}}}{2} \right)+\frac{{{c}^{2}}r}{\sqrt{{{\left( {{r}_{1}}{{r}_{2}} \right)}^{3}}}}\sin \theta \sin \left[\frac{3}{2}\left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right) \right]-1 \right\} \\ \ \Delta {{\sigma }_{x}}^{\prime }=-\Delta {{\sigma }_{z}}\left\{ \frac{{{r}'}}{\sqrt{{{r}_{1}}^{\prime }{{r}_{2}}^{\prime }}}\cos \left( \omega -\frac{{{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}}{2} \right)+\frac{{{l}^{2}}{r}'}{\sqrt{{{\left( {{r}_{1}}^{\prime }{{r}_{2}}^{\prime } \right)}^{3}}}}\sin \omega \sin \left[\frac{3}{2}\left( {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}} \right) \right]-1 \right\} \\ \Delta {{\sigma }_{y}}=-{{p}_{net}}\left\{ \frac{r}{\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}}\cos \left( \theta -\frac{{{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}}}{2} \right)-\frac{{{c}^{2}}r}{\sqrt{{{\left( {{r}_{1}}{{r}_{2}} \right)}^{3}}}}\sin \theta \sin \left[\frac{3}{2}\left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right) \right]-1 \right\} \\ \Delta {{\sigma }_{y}}^{\prime }=-\Delta {{\sigma }_{y}}\left\{ \frac{{{r}'}}{\sqrt{{{r}_{1}}^{\prime }{{r}_{2}}^{\prime }}}\cos \left( \omega -\frac{{{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}}{2} \right)-\frac{{{l}^{2}}{r}'}{\sqrt{{{\left( {{r}_{1}}{{r}_{2}} \right)}^{3}}}}\sin \omega \sin \left[\frac{3}{2}\left( {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}} \right) \right]-1 \right\} \\ \begin{align} & \Delta {{\sigma }_{z}}=\upsilon \left( \Delta {{\sigma }_{x}}+\Delta {{\sigma }_{y}} \right) \\ & \Delta {{\sigma }_{z}}^{\prime }=\Delta {{\sigma }_{z}}\upsilon (\Delta {{\sigma }_{x}}^{\prime }+\Delta {{\sigma }_{y}}^{\prime }) \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$

(1)

其中：

$\begin{align} & r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}\text{;}{{r}_{1}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( z+c \right)}^{2}}}\text{;} \\ & {{r}_{2}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}};{r}'=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\text{;} \\ & {{r}_{1}}^{\prime }=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+l \right)}^{2}}}\text{;}{{r}_{2}}^{\prime }=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-l \right)}^{2}}}\text{;} \\ & \theta ={{\tan }^{-1}}\left( -x/z \right)\text{;}{{\theta }_{1}}={{\tan }^{-1}}\left( -x/z-c \right); \\ & {{\theta }_{2}}={{\tan }^{-1}}\left( -x/+c \right)\text{;}\omega ={{\tan }^{-1}}\left( -x/y \right)\text{;} \\ & {{\omega }_{1}}={{\tan }^{-1}}\left( -x/y-l \right)\text{;}{{\omega }_{2}}={{\tan }^{-1}}\left( -x/y+l \right). \\ \end{align}$

(1)

为了计算已破裂延伸裂缝的诱导应力，需要先计算其裂缝半长l。在此采用二维延伸模型计算其裂缝长度。裂缝延伸半长计算公式为^[10]

$l={\left( {\dfrac{{625}}{{512{\pi ^3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}}{\left[{\dfrac{{{q_i^3}E}}{{16\mu {c^4}\left( {1 - {\upsilon ^2}} \right)}}} \right]^{\frac{1}{5}}}{t^{4/5}}$

(2)

为求得时间t下裂缝i内的压裂液流量$q_i$，需要求解裂缝缝口净压力

${p_{{\rm{net}}}} = {\left( {\dfrac{{80}}{{{\pi ^2}}}} \right)^{1/4}}{\left[{\dfrac{{{E^4}\mu {q_i^2}}}{{{{(1 - {\upsilon ^2})}^4}{{\left( {2c} \right)}^6}}}} \right]^{1/5}}{t^{1/5}}$

(3)

根据物质平衡，总流量等于流入每簇的压裂液流量之和

$Q = \sum\limits_{i = 1}^N {{q_i}}$

(4)

基于式(2)~式(4)采用牛顿-拉夫逊迭代算法进行求解，获得起裂后延伸t时刻的裂缝半长l并代入式(1)。将已先破裂延伸的裂缝诱导应力场作用到未起裂处原应力场上，获得尚未起裂点处局部地应力场

$\left\{ \begin{array}{l} {\sigma _x}' = {\sigma _x} + \Delta {\sigma _{x1}}' + {\sigma _{x2}}' + \cdots + \Delta {\sigma _{xN}}'\\ {\sigma _y}' = {\sigma _y} + \Delta {\sigma _{y1}}' + \Delta {\sigma _{y2}}' + \cdots + \Delta {\sigma _{yN}}'\\ {\sigma _z}' = {\sigma _z} + \Delta {\sigma _{z1}}' + \Delta {\sigma _{z2}}' + \cdots + \Delta {\sigma _{zN}}' \end{array} \right.$

(5)

修正后的局部应力分布式可计算诱导应力干扰下的破裂压力，分析应力干扰对起裂过程的影响。

2 延伸过程应力干扰分析

裂缝延伸过程中，充满压裂液的水力裂缝在周围局部区域产生压应力，附近其他裂缝延伸受到抑制并且宽度下降。这个现象被称为应力阴影，已被实验研究所证实^[10-11]。裂缝宽度是水力压裂施工最重要的参数之一。只有形成足够的裂缝宽度，才能在施工过程中确保足够的支撑剂进入到储层深处，同时避免发生砂堵事故。由于近年来压裂段、簇数提高，忽视应力阴影而对每条裂缝单独进行压裂设计容易高估部分裂缝宽度，导致优化设计失效。

实施水平井分段多簇压裂时，裂缝形态一方面受到储层岩石性质、地应力分布等地质因素影响，另一方面受到射孔簇设置，压裂液性质及排量等工程因素影响。因此，模拟分析裂缝延伸过程，需要同时解决裂缝延伸过程中的弹性力学问题以及压裂液在缝内流动的流体润滑问题。

对于多簇裂缝延伸中的力学问题，采用解析式求解变得过于困难。选用边界元法中的位移不连续法^[12-13]，将裂缝离散成单元，数值求解多裂纹力学问题。位移不连续法将裂缝作为边界单元，把边界条件(裂缝面所受流体压力)代入控制方程，求出边界上的位移不连续量(缝宽及裂缝面滑移量)，最后获得整个压裂区域的应力场与位移场。这种方法不但具有边界元的降维优势，同时能简单通过增加边界单元模拟裂纹扩展，在水力裂缝延伸模拟中具有极大优势。

裂缝周围区域的应力场可以通过位移不连续量$D_x$、$D_y$表示为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\sigma }_{xx}}=\frac{E}{1\text{+}\upsilon }{{D}_{x}}(2{{f}_{,xy}}+y{{f}_{,xxy}})+ \\ \frac{E}{1\text{+}\upsilon }{{D}_{y}}({{f}_{,yy}}+y{{f}_{,yyy}}) \\ {{\sigma }_{yy}}=\frac{E}{1\text{+}\upsilon }\left[{{D}_{x}}(-y{{f}_{,xyy}})+{{D}_{y}}({{f}_{,yy}}-y{{f}_{,yyy}}) \right] \\ {{\sigma }_{xy}}=\frac{E}{1\text{+}\upsilon }\left[{{D}_{x}}({{f}_{,yy}}+y{{f}_{,yyy}})+{{D}_{y}}(-y{{f}_{,xyy}}) \right] \\ \end{array} \right.$

(6)

函数$f(x,y)$为

$f(x,y) = \dfrac{{ - 1}}{{4\pi (1 - \upsilon)}}\int_{ - a}^a {\ln {{[{{(x - \xi )}^2} + {y^2}]}^{0.5}}} {\rm{d}}\xi$

(7)

位移不连续法基于二维平面应变假设，适合于缝高远远大于缝长的情况。然而，实际压裂裂缝缝高有限且通常小于缝长。因此采用式(6)求解误差较大。Olosn J E^[14]提出三维因子用于修正平面应变假设带来的误差。三维因子$G_{\rm{f}}$可由式(8)得到

${G_{\rm{f}}}{\rm{ = 1}} - \dfrac{{{d^{2.3}}}}{{{{\left[{d^2} + {{(2c)}^2}\right]}^{1.15}}}}$

(8)

因而，修正后的式(6)变为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\sigma }_{xx}}=\frac{E{{G}_{\text{f}}}}{1\text{+}\upsilon }{{D}_{x}}\left( 2{{f}_{,xy}}+y{{f}_{,xxy}} \right)+ \\ \frac{E{{G}_{\text{f}}}}{1\text{+}\upsilon }{{D}_{y}}\left( {{f}_{,yy}}+y{{f}_{,yyy}} \right) \\ {{\sigma }_{yy}}=\frac{E{{G}_{\text{f}}}}{1\text{+}\upsilon }\left[-{{D}_{x}}y{{f}_{,xyy}}+{{D}_{y}}\left( {{f}_{,yy}}-y{{f}_{,yyy}} \right) \right] \\ {{\sigma }_{xy}}=\frac{E{{G}_{\text{f}}}}{1\text{+}\upsilon }\left[{{D}_{x}}\left( {{f}_{,yy}}+y{{f}_{,yyy}} \right)-{{D}_{y}}y{{f}_{,xyy}} \right] \\ \end{array} \right.$

(9)

由于受到诱导应力干扰，裂缝延伸时路径会发生偏转。复合裂纹断裂理论主要用于研究裂纹的延伸方向及延伸条件。其中应用最广泛的方法是最大正应力理论及能量密度因子理论。本文选用最大正应力理论计算裂缝的延伸方向及条件，其理由在于大量实验证明最大正应力理论在脆性材料上判断裂缝延伸方向上准确，其理论的假设要点是：

(1) 裂纹扩展方向：周向正应力最大的方向为裂纹延伸方向。

(2) 裂缝扩展条件：应力强度因子超过Ⅰ型临界值。

根据最大正应力理论，要使得周向正应力最大，水力裂缝扩展方向${\theta _{\rm{c}}}$应当满足

${{\left. \cos \frac{\theta }{2}\left[{{K}_{I}}\sin \theta +{{K}_{II}}\left( 3\cos \theta -1 \right) \right] \right|}_{\theta ={{\theta }_{\text{c}}}}}=0$

(10)

$\begin{align} & {{\left. 2{{K}_{I}}\cos \frac{\theta }{2}\left( 3\cos \theta -1 \right) \right|}_{\theta ={{\theta }_{\text{c}}}}}- \\ & {{\left. {{K}_{\text{II}}}\sin \frac{\theta }{2}\left( 9\cos \theta +5 \right) \right|}_{\theta ={{\theta }_{\text{c}}}}}>0 \\ \end{align}$

(11)

裂缝尖端Ⅰ型、Ⅱ型应力强度因子${K_{\rmⅠ}}$、${K_{\rmⅡ}}$可以根据线弹性力学用尖端单元的$D_x$、$D_y$计算获取

$\left\{ \begin{array}{l} {K_{\rmⅠ}} = \dfrac{{{\rm{C}}E\sqrt \pi }}{{4(1 - {\upsilon ^2})\sqrt {2r} }}{D_y}\\ {K_{\rmⅡ}}= \dfrac{{{\rm{C}}E\sqrt \pi }}{{4(1 - {\upsilon ^2})\sqrt {2r} }}{D_x} \end{array} \right.$

(12)

由于常单元位移不连续法中假设一个单元内的位移不连续量即缝宽为常数，导致数值求解的缝宽略大于解析解值，尤其在裂缝宽度下降梯度较大的尖端区域误差较大。因此为降低应力强度因子计算误差，式(12)中经验常数C取值0.806。

假设裂缝延伸过程中，压裂液完全充满裂缝。实施分段多簇压裂作业时，压裂液泵入压裂段中，段内各簇裂缝流入压裂液流量之和等于压裂液总排量

$Q(t) = \sum\limits_{i = 1}^N {{q_i}(t)}$

(13)

假定压裂液不可压缩，其在裂缝内的流动满足泊肃叶公式

$q=-\frac{{{w}^{3}}c}{6\mu }\frac{\partial {{p}_{\text{net}}}}{\partial s}$

(14)

当压裂液表现为幂律流体特性时，黏度$\mu$可以由式(15)计算

$\mu =\frac{2n+1}{6n}{{\left( 2K \right)}^{\frac{1}{n}}}{{w}^{\frac{n-1}{n}}}{{\left\| \frac{\partial {{p}_{\text{net}}}}{\partial s} \right\|}^{\frac{n-1}{n}}}$

(15)

压裂过程中压裂液满足物质平衡式

$\frac{\partial q}{\partial s}+\frac{2\partial wc}{\partial }+\frac{4{{C}_{\text{l}}}c}{\sqrt{t-{{t}_{0}}(x)}}={{Q}_{0}}$

(16)

式(8)~(9)组成延伸过程的力学方程组，式(13)~(16)组成延伸过程的压裂液流动方程组。针对这个非线性方程组问题，通过假设一组初始缝宽和净压力，迭代求解，最终获得收敛的一组数值解。

3 实例计算分析

采用某油田的低渗透油藏区块，计算分析缝间干扰对水平井分段多簇压裂所造成的影响，油藏区域基本参数见表 1。

图 3显示了水平井中单条破裂裂缝的诱导应力。

图 3中横坐标为远离裂缝的距离与裂缝高度之比，纵坐标为裂缝产生的诱导应力与裂缝本身净压力之比。蓝色、绿色、红色曲线分别对应x、y、z方向的诱导应力。裂缝诱导应力随距离增大其迅速减小。距离裂缝0.5倍缝高以内位置(d＜c)受到诱导应力作用明显，而远离裂缝达裂缝缝高2倍以上时(d＞4c)，其诱导应力几乎为零。诱导应力作用范围受到裂缝高度所控制。

裂缝延伸早期，由于裂缝缝长较短，此时缝长对诱导应力作用影响同样显著。图 3中同时对比了不同半缝长情况下的诱导应力。如图中箭头方向所示，随裂缝半长l从c/3增长到8c，诱导应力逐渐增大。这说明当某簇裂缝先行破裂延伸后，随着裂缝缝长增加，其他未破裂簇所受诱导应力干扰将会加剧。但是，随着裂缝长度的增长，诱导应力增长趋势减缓，最终趋于平面应变假设下的情况。

假设邻簇裂缝已经破裂延伸(破裂时间设定为0)，尚未起裂处所需破裂压力会随时间变化，针对诱导应力对起裂压力的影响，采用最大张应力破裂准则对区块数据(表 1)进行计算分析(图 4)。分析显示，随着时间增加，所需破裂压力会短时间陡升，之后缓慢上升。破裂压力的这种上升趋势由两方面因素所影响：一方面随着已破裂缝缝长快速增加，诱导应力会迅速上升并趋于稳定；另一方面已破裂裂缝净压力也缓慢上升，从而缓慢增大应力干扰。同样，图 4显示簇间距对裂缝起裂压力影响也很明显。较低的簇间距会使得破裂压力显著提升；而随着簇间距增大，起裂受到的干扰逐渐下降，所需破裂压力趋近于单簇压裂时的情况。

综上所述，在低簇间距下未能快速起裂的射孔簇，随着时间增加可能会更加难以起裂，最终导致压裂簇失效。这种簇间距较小时部分射孔簇未能压开的现象，也在一些现场施工也得到了证实。因此，在通过设置较小簇间距增大改造效果时，也必须综合考虑其带来的负面影响。

同样采用表 1数据，以目标区块段内压3簇为例，限制缝高为储层高度，采用建立的模型模拟裂缝延伸时簇间距对缝间干扰的影响，结果见图 5。随着簇间距减小，一方面，应力干扰使得裂缝倾向于扭曲延伸；另一方面，裂缝延伸时受到邻缝压应力影响而变得更为窄小。

为了定量分析多簇裂缝缝间干扰对裂缝宽度的影响。可以粗略采用式(17)计算裂缝所受干扰^[15-16]，分析结果见图 6。

$\Delta {\sigma _{\rm{f}}} = {p_{{\rm{net}}}} - {p_{{\rm{net}}}}{\left[{1 + {{\left( {\dfrac{c}{d}} \right)}^2}} \right]^{ - \frac{3}{2}}}$

(17)

图 6中横坐标为簇间距与裂缝高度之比，纵坐标为裂缝平均宽度与其未受应力干扰的宽度之比。当簇间距减少到缝高的0.5倍时，裂缝宽度减少明显。随着段内簇数N增加，缝间干扰影响增大，缝宽也在逐渐下降，但下降的趋势逐渐减缓。当簇间距大于两倍裂缝高度时，诱导应力对裂缝宽度的影响较小，此时可以根据油气分布实际情况进一步减少簇间距或者增加簇数以提高储层改造体积。

图 7显示不同簇位置下应力干扰对缝宽的影响。裂缝随着簇间距缩小而宽度变窄时，外边缘簇裂缝明显宽于中部簇裂缝。显然，这是因为中部裂缝由于位置原因受到更强的诱导应力所致。随压裂时间推进，中部裂缝所受抑制将会更加明显。因此进行多簇压裂施工时，应当重点保证中部簇有效破裂及延伸，防止砂堵。

压裂液黏度同样显著影响裂缝形态，图 8模拟了裂缝延伸时压裂液黏度对裂缝尺寸以及缝间干扰的影响。液体黏度减小使得流体在缝内所受阻力下降，高黏度压裂液能够形成宽裂缝，相比之下低黏度流体使得流体波及更远范围，形成长而窄的裂缝。此外，压裂液黏度增大虽然使得裂缝净压力增大，导致诱导压应力增大，但对裂缝的抑制程度却影响不大。影响裂缝抑制程度的主控因素是裂缝高度及簇间距。

4 结语

(1) 进行多簇压裂时，由于段内各簇裂缝难以同时起裂，先破裂裂缝会造成邻近起裂簇所需起裂压力上升。在低簇间距下未能快速起裂的射孔簇，将会随着时间增加更加难以起裂，影响压裂施工。对此，必须充分重视应力干扰对起裂压力所造成的影响。

(2) 随着簇间距缩小，裂缝受到应力干扰更为严重。一方面，裂缝倾向于扭曲延伸；另一方面，裂缝受到邻缝压应力而变窄小。随着簇间距缩小，其裂缝缝宽不断减小；段内簇数增加，缝间干扰影响也逐渐增大，同样导致缝宽下降。施工时，应当控制簇间距避免缝宽降低过多造成裂缝延伸困难甚至砂堵事故。

(3) 进行分段多簇压裂施工时，中部簇缝宽严重受到压抑。施工设计时应当加大排量保证中部簇有效破裂延伸，防止砂堵。

(4) 压裂液黏度显著影响裂缝形态，但不会明显影响应力阴影现象对裂缝的压抑程度。影响应力阴影较大的因素为裂缝高度及簇间距。

(5) 水平井分段多簇压裂近年来使用广泛，应力阴影的影响非常明显。对此，不能忽视裂缝被压抑的负面效果，而需要有效控制缝间干扰影响程度，提高改造体积。

符号说明

c—半缝高，m；

$p_{\rm{net}}$—缝内净压力，MPa；

$\theta$—观察点与裂缝中点连线与裂缝的夹角，(°)；

$\theta_1$—观察点与裂缝下顶点连线与裂缝的夹角，(°)；

$\theta_2$—观察点与裂缝上顶点连线与裂缝的夹角，(°)；

l—裂缝半长，m；

r—观察点到裂缝中点的距离，m；

$r_1$—观察点到裂缝下顶点的距离，m；

$r_2$—观察点到裂缝上顶点的距离，m；

${\sigma}$—应力，MPa；

N—裂缝数；

$\Delta {\sigma}'$—诱导应力，MPa；

E—杨氏模量，MPa；

$\upsilon$—泊松比，无因次；

q—压裂液流量，m³/s；

t—时间，s；

$\mu$—压裂液黏度，mPa$\cdot$s；

Q—压裂液总排量，m³/s；

${\sigma}'$—局部地应力，MPa；

${\tau}'$—局部剪切应力，MPa；

${\tau}$—剪切应力，MPa；

$G_{\rm{f}}$—三维因子，无因次；

D—位移不连续量，m；

d—裂缝单元间距，m；

$\theta_{\rm{c}}$—水力裂缝扩展角，(°)；

${K_{\rmⅠ}}$— Ⅰ 型应力强度因子，MPa$\cdot m ^{0.5}$；

${K_{\rmⅡ}}$— Ⅱ型应力强度因子，MPa$\cdot m ^{0.5}$；

w—裂缝宽度，m；

s—裂缝路径长度，m；

n—压裂液幂律指数；

K—压裂液稠度指数，mPa$\cdot s ^n$；

$C_1$—Carter滤失系数，m/s$^{0.5}$；

$t_0$—裂缝滤失起始时间，s；

$Q_0$—裂缝滤失起始排量，m³/s；

${{r}_{{{1}'}}}\text{,}{{r}_{{{2}'}}}\text{,}{{r}_{{{3}'}}}\text{,}{{\omega }_{1}}\text{,}{{\omega }_{2}}\text{,}{{\omega }_{3}}\text{,}\xi $—中间变量；

下标i—裂缝编号；

下标x，y、z—x，y、z向。