引 言

目前，预测油田产量的方法主要有递减曲线法、增长曲线法和水驱曲线法等^[1-7]，但是上述方法都是针对有很长井史的老井而言，且为单变量，对于勘探开发初期油井产量预测明显不合时宜。如何建立一个勘探时期有效的试油层产量预测模型，指导油田勘探试油迫在眉睫。

邢明海等^[8]研究了产量预测的多元线性回归模型，综合考虑各种地质因素及人为因素对油产量的影响，并与神经网络模型进行了对比分析，但仅考虑了各影响因素与产量的线性关系。刘秀婷等^[9]应用多元线性混合回归模型建立新老区产量综合预测的模型。常规的多变量预测模型^[10-15]不足之处在于，仅考虑产量与各影响因素的线性关系，而大部分影响因素存在着非线性关系，因此用线性代替非线性务必会存在较大的偏差，且波动较大，适用性差。本文通过对与有产量相关的多个变量进行综合回归分析，选出影响油井产量的重要因素并建立多元非线性回归产量预测模型，应用于实际勘探时期的产量预测。

1 非线性产量预测模型 1.1 一元非线性回归模型

油田开发是一个极其复杂的多参数变量非线性动力学系统，因此，试油层产量与各影响因素也应该为非线性关系。令试油层产量为因变量Y，各个与产量有关的参数(如：孔隙度、渗透率、厚度等)为自变量x，且自变量一共有p个。首先，根据因变量Y与p个自变量的关系，分别建立Y对各${x_i}\left( {i = 1, 2, \cdots, p} \right)$的最佳一元回归模型。

一般先建立如下7种常用的初等函数，然后对建立的7种初等函数进行比较检验(检验参数常见有：标准误差，相关系数，残差序列随机性检验统计量等)，最后每个自变量得到一个与因变量相关的最佳一元回归模型

$ {Y_i} = {f_i}\left( {{x_i}} \right) $

(1)

常用的初等函数有：

(1) 线性函数$Y = a + bx$；

(2) 指数函数$Y = a{\rm{e}}^{bx}$；

(3) 分式指数函数$Y = a{{\rm{e}}^{\frac{b}{x}}}$；

(4) 幂函数$Y = a{x^b}$；

(5) 对数函数$Y = a + b\lg \left( x \right)$；

(6) 双曲线函数$\dfrac{1}{Y} = a + \dfrac{b}{x}$；

(7) 高阶函数$Y = {b_0} + {b_1}x + {b_2}{x^2} + \cdots + {b_n}{x^n} {\kern 6pt} \left( {n = 0, 1, 2, \cdots, n} \right)$。

1.2 多元线性回归模型

多元线性回归是一种数理统计方法，其基本思想是用多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量。

令试油层产量为因变量Y，并将前面建立的最佳一元回归模型${Y_i} = {f_i}\left( {{x_i}} \right)$整体作为多元线性回归的变量，记为：${X_1}, {X_2}, \cdots, {X_p}$，即${X_1} = {f_1}\left( {{x_1}} \right), {{X_2} = {f_2}\left( {{x_2}} \right)}, \cdots{{X_p} = {f_p}\left( {{x_p}} \right)}$。

设随机误差为$\xi$，因变量Y与自变量($X_1，X_2，\dots，X_p$)的线性回归模型可表示为

$ Y = {\beta _0} + {\beta _1}{X_1} + {\beta _2}{X_2} + {\beta _3}{X_3}.........{\beta _p}{X_p} + \xi $

(2)

对于试油层产量预测问题，如果获得n组观测数据(${X_{i1}}，{X_{i2}}，\cdots，{X_{ip；{y_i}}})，(i=1，2，\cdots，n$)。则式(2)可表示为

$ {Y_i} \!=\! {\beta _0} \!+\! {\beta _1}{X_{i1}} \!+\! {\beta _2}{X_{i2}} \!+\! {\beta _3}{X_{i3}} \cdots \!+\! {\beta _p}{X_{ip}} \!+\! {\xi _i} $

(3)

其矩阵形式为

$ {\boldsymbol{Y}} = {\boldsymbol{X}} {\boldsymbol{β}} + {\boldsymbol{ξ}} $

(4)

式中：

${\boldsymbol{Y}}$-因变量观测值向量，${\boldsymbol{Y}}=[Y_0, Y_1, \cdots, Y_n]^{\rm{T}}$；

${\boldsymbol{X}}$-自变量矩阵，

${\boldsymbol{X}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {{X_{11}}} & {{X_{12}}} & {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & {{X_{1p}}} \end{array}}\\ 1 & {{X_{21}}} & {{X_{22}}} & {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & {{X_{2p}}} \end{array}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \vdots }\\ 1 & {{X_{n1}}} & {{X_{n2}}} & {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & {{X_{np}}} \end{array}} \end{array}} \right]$；

${\boldsymbol{β}}$-回归系数向量，${\boldsymbol{β}}=[\beta_0, \beta_1, \cdots, \beta_p]^{\rm{T}}$；

${\boldsymbol{ξ}}$-随机误差向量，${\boldsymbol{β}}=[\xi_0, \xi_1, \cdots, \xi_p]^{\rm{T}}$。

采用最小二乘估计法拟合，最小二乘估计法是使估计值$\hat{y}$与观测值y之间的残差在所有样本点上达到最小，从而得到回归系数向量$\beta$

$ Q = \sum\limits_1^{\rm{n}} {{\boldsymbol{e}}_i^2} = {\boldsymbol{e}}{\rm{'}}{\boldsymbol {e}} =\sum(y - {x^\beta }){\rm{'(}}y{\rm{ - }}{x^\beta }) $

(5)

式中：

Q-二乘法值；${e_i} = {y_i} - {\hat y_i}；{\boldsymbol {e}} = [{e_1}, {e_2}, ...., {e_n}]$。

要使Q达到最小，根据极值原理，需满足式(6)和式(7)；联合式(6)和式(7)共p+1方程构成正规方程组，解此正规方程组可得到参数的最小二乘估计值。

$\dfrac{{\partial Q}}{{\partial {\beta _i}}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} & {} \end{array}(i = 0, 1, 2, \cdots, p) $

(6)

$ \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{i = 1}^n {2{e_i}( - 1) = } \\{\kern 12pt} \!-\! 1\sum\limits_{i = 1}^n {\left[{{y_i} \!-\! \left( {{{\hat \beta }_0} \!+\! {{\hat \beta }_1}{x_{i1}} \!+\! \cdots + {{\hat \beta }_0}{x_{ip}}} \right)} \right] = 0} \\ \sum\limits_{i = 1}^n {2{e_i}( - {x_{i1}}) = } \\{\kern 12pt} \!-\! 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left[{{y_i}{x_{i1}} \!-\! \left( {{{\hat \beta }_0} \!+\! {{\hat \beta }_1}{x_{i1}} \!+\! \cdots \!+\! {{\hat \beta }_0}{x_{ip}}} \right)} \right] = 0} \\ {\kern 80pt}\vdots \\ \sum\limits_{i = 1}^n {2{e_i}( - {x_{ip}}) = } \\{\kern 12pt} \!-\! 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left[{{y_i}{x_{ip}} \!-\! \left( {{{\hat \beta }_0} \!+\! {{\hat \beta }_1}{x_{i1}} \!+\! \cdots \!+\! {{\hat \beta }_0}{x_{ip}}} \right)} \right] = 0} \end{array} \right. $

(7)

式(7)可用正规方程组矩阵表示为

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}} }\\ {\sum\limits_{i = 1}^n {{X_{i1}}{e_i}} }\\ \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {{X_{ip}}{e_i}} } \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & \cdots & 1\\ {{X_{11}}} & {{X_{21}}} & \cdots & {{X_{n1}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{X_{1p}}} & {{X_{2p}}} & \cdots & {{X_{np}}} \end{array}} \right) = {\boldsymbol{X}}'{\boldsymbol{e}} = 0 $

(8)

由样本回归模型$Y = \widehat x\beta + e$两边同时乘X'，得

$ {\boldsymbol{X}}'{\boldsymbol{Y}} = {\boldsymbol{X}}'\hat{{\boldsymbol{X}}}{\boldsymbol{β}} + {\boldsymbol{X}}'{\boldsymbol{β}} $

(9)

极值条件得正规方程组

$ {\boldsymbol{X}}'{\boldsymbol{Y}} = {\boldsymbol{X}}'{{\boldsymbol{X}}}\hat{{\boldsymbol{β}}} $

(10)

当$({\boldsymbol{X}}'{\boldsymbol{X}})^{-1}$存在时，即得到参数向量$\beta$的最小二乘估计

$ \hat {{\boldsymbol{β}}} = {\left( {{\boldsymbol{X}}'{\boldsymbol{X}}} \right)^{ - 1}}{\boldsymbol{X}}'{\boldsymbol{Y}} $

(11)

根据回归系数的最小二乘估计式(11)，便可以得到检验回归效果的5项参数：残差平方和q、回归平方和$\mu$、F值统计量F、相关系数r和t值统计量$\mbox{t_j}$

$ q = \sum\limits_{i = 1}^n {({y_i} - {{\hat y}_i}} {)^2} $

(12)

$ \mu = \sum\limits_{i = 1}^{\rm{n}} {({{\hat y}_i}} - \overline {{y}} {)^2} $

(13)

$ F = \dfrac{{\mu /p}}{{q/(n - p - 1)}} $

(14)

$ r = \sqrt {\mu /(\mu + q)} $

(15)

$ {t_j} = \dfrac{{{{\hat \beta }_j}}}{{\sqrt {{C_{ij}}\left[{q/(n-p-1} \right]} }} $

(16)

$ {C_{ij}} = {\left( {X'X} \right)^{ - 1}} {\kern 6pt}i, j = 0, 1, 2, \cdots, p $

(17)

式中：${\hat y_i}$-第i个样本点(${X_{i1}}，{X_{i2}}，\cdots，{X_{ip}}$)上的回归值；$\overline y-y$的样本平均值。

F统计量表示了多元线性回归方程的显著性，该值服从F分布。它们必须满足一定的显著性检验要求。相关系数r表示回归方程对原始数据拟合程度的好坏，越接近1说明回归效果越好。在回归效果较差的情况下，根据$t_j$的大小，依次剔除不显著的自变量，然后利用剩余的显著性因素再次进行回归分析。如此反复，直到筛选出影响因变量变化的重要自变量，最终确定其回归模型中的回归系数$({\beta _0}, {\beta _1}, {\beta _2}, \cdots, {\beta _p})$。确定回归系数后，得到的最终产量预测模型为

$ Y = {\beta _0} + {\beta _1}{f_1}({x_1}) + {\beta _2}{f_2}({x_2}) + {\beta _3}{f_3}({x_3})+\\[6pt]{\kern 42pt}\cdots+{\beta _p}{f_p}({x_p}) + \xi $

(18)

1.3 试油层产量预测步骤

根据本文的多元非线性回归方法，结合勘探开发初期已有的井的资料及信息，对即将要开发的井进行产量预测，降低其试油经济风险。利用多元非线性回归预测措施产量的步骤如下：

(1) 确定准备参数

根据勘探区块已开发井的资料及信息，综合静态地质资料(钻井、测井、录井、岩芯、地震等)和动态资料(试井测试、试油、措施等)，确定与产量密切相关的静、动态参数。

(2) 建立最佳一元回归模型

以开发井的产量为因变量，步骤(1)中确定的各静、动态参数作为自变量，建立其产量—各参数的最佳一元回归模型。若某些参数与产量建立的一元回归模型相关性较差，则直接删除该参数。

(3) 构建回归模型

利用已开发井的资料数据作为回归样本，根据多元非线性回归方法，结合已建立的产量与各参数的最佳一元回归方程，再利用多元线性回归原理，最终构建一个以产量为因变量，各参数为自变量的多元非线性回归模型。

(4) 验证回归模型

为了验证建立的多元非线性回归模型的准确性，将回归样本的数据回代入已经建立的多元非线性产量预测模型中，计算预测产量与原产量的相对误差，是否满足其预测精度，若不满足则需返回步骤(3)，剔除线性回归时相关性差的参数。

(5) 预测

将所选取的预测井的各参数代入已经建立的回归模型中，计算预测的产量。

2 实例预测

某勘探区块，属低孔、低渗的差储层，非均质性强，大大地增加了试油层产量预测的难度。统计该区块已开发井的静、动态资料，研究其各井产量与之对应的静、态参数的相关性，最后选取了4个静态参数(厚度、气测全烃增量、孔隙度和含油饱和度)和2个动态参数(试井渗透率和10 h压力恢复速率)作为产量预测模型的自变量x，其勘探区块已开发井优选参数数据见表 1(h-厚度，m；$\Delta M$-气测全烃增量，%；$\phi$-孔隙度，%；$S_{\rm{o}}$-含油饱和度，%；K-试井渗透率，mD；$v_{\rm{p}}$-10 h压力恢复速率，%；$q_{\rm{o}}$-试油层日产量，t/d)。

根据产量预测的步骤，首先建立6个静、动态参数与试油层产量的一元回归模型为

$ \left\{ \begin{array}{l} {X_1} = h\\ {X_2} = {\rm{e}}^{ \left(0.0444\Delta M \right)}\\ {X_3} = \ln \left(0.0022\phi + 1.0599\right)\\ {X_4} = {S_{\rm{o}}}\\ {X_5} = \lg (K)\\ {X_6} = \ln \left( {0.0036{v_{\rm{p}}} + 1.1308} \right) \end{array} \right. $

(19)

根据式(19)，一元回归模型的因变量变为新的自变量(表 2)，日产量作为因变量Y，构建多元线性回归模型(式(20))，其该回归模型复相关系数为0.997，因此该模型精度高，可以用来进行试油层产量预测。

$ Y = - 6.6773 - 0.0033{X_1} + 0.3228{X_2} - 36.0132{X_3} + \\{\kern 42pt}0.0229{X_4} + 1.6152{X_5} + 71.5182{X_6} $

(20)

利用建立的产量预测模型(式(20))回代验证，预测产量与原产量的相对误差最小为0.09%，最大为-11.08%，符合现场精度要求(<30%)。

3 模型对比研究

利用表 1中的数据，建立试油层产量与6个静、动态参数的多元线性回归预测模型，该回归模型复相关系数为0.983，结果为

$ Y = - 13.4268 + 0.0544h + 1.1304\Delta M - 17.0740\phi +\\{\kern 42pt} 0.0503{S_{\rm{o}}} + 0.8437K + 84.4718{v_{\rm{p}}} $

(21)

利用建立的多元非线性(式(20))和线性(式(21))产量预测模型回代验证，其试油层产量预测结果见表 3和图 1，可以看出非线性预测模型相对误差波动范围为-11.08%~7.09%，而线性模型范围为-52.93%~50.15%，因此非线性预测模型误差波动范围小，参数适应性强，预测结果更为准确。

4 结 论

(1) 通过研究多元线性回归和多元非线性回归原理，结合勘探开发实际情况，获得了利用多元非线性回归模型来预测试油层产量的方法。

(2) 研究的试油层多元非线性产量预测模型，综合考虑了产量与其影响参数的非线性关系，与常规模型对比，非线性模型适用性比线性模型更强，精度更高，模型回代验证相对误差最小为0.09%，最大为-11.08%。

(3) 将建立的多元非线性产量预测模型，应用于该勘探区块17口新井试油层产量预测，预测结果符合率为72.73%，误差小于30%。研究成果可为试油层措施改造提供科学依据，有效降低投资风险，提高勘探试油效益。