引 言

低渗透油藏由于渗透率很低、油气水赖以流动的通道很微细、渗流的阻力很大、液固界面及液液界面的相互作用力显著，在开发过程中表现出许多与中高渗油藏不同的生产特性，导致油井产能较低^[1-6]。低渗透油藏一般需要对油井进行压裂增产措施，以提高油层的渗透能力，增加单井产量。目前，水力压裂已成为低渗透油藏普遍采用的增产措施，几乎所有的油井都要进行压裂。对于低渗透油藏考虑压裂的注采井间压力分布及合理注采井距研究，许多学者提出了不同的计算公式。王端平等^[7]根据渗流理论结合实验模型和现场资料提出了技术极限井距的计算方法；谷维成等^[8]从低渗透油藏渗流机理和经济效益两方面出发，提出了确定低渗油藏的合理注采井距优化方法；何贤科等^[9]推导了不等产量的注水井和生产井之间驱替压力梯度的分布表达式，分析了建立有效驱替的极限注采井距；唐伏平、燕良东等^[10-11]对存在启动压力梯度时的合理注采井距进行了研究；李松泉等^[12]基于修正后非线性稳定渗流数学模型和叠加原理提出求解特低渗透油藏合理注采井距的新方法；张枫等^[13]对低渗透油藏极限注采井距进行了理论推导，计算了在不同注采压差和渗透率条件下的极限注采井距；李爱芬等^[14]以非线性渗流连续模型及实验数据为基础，利用逐步稳态替换法确定低渗透油藏的合理井距；卢丽、王胜华等^[15-16]运用达西径向渗流模型、一维条带状渗流模型和拟线性渗流模型相结合的方法，分析了低渗透油藏压裂后注采井间的渗流特点、压力及压力梯度变化规律。本文基于点源点汇渗流理论，推导了低渗透油藏考虑压裂措施的注采井间压力梯度分布方程，提出了合理注采井距计算方法，并结合低渗透油藏实例，进行了注采井间压力梯度影响因素分析，得到了合理注采井距理论图版。

1 注采井间压力梯度公式推导

假设无限大地层中有一口压裂油井$W_{\rm{p}}$和一口注水井$W_{\rm{inj}}$，井距为$R$，如图 1所示。压裂油井以单位厚度产出量$+q$稳定生产，注水井单位厚度产量(注水量)为$-q$。$M$为地层中任意一点，压裂油井在$M$点处引起的渗流速度矢量为$\nu _1$，注水井在$M$点处引起的渗流速度矢量为$\nu _2$，$M$点处的渗流速度矢量为$\nu $。

为了计算$M$点处的渗流速度，首先分析地层中只有一口压裂油井时$M$点处的渗流情况(图 2)。

假设油井压裂裂缝半长为$x_{\rm{f}}$，将油井压裂裂缝分成$2n$等份，每一份可以看成一个点汇。裂缝上第$i$个点汇的坐标为($x_{1, i}$，0)，用第$i$小段的中心坐标来表示，有，$x_{1, i} = - {x_{\rm{f}}} + \dfrac{{{x_{\rm{f}}}}}{{2n}} \cdot (2i - 1) $其中$i =1$，2，$\cdots$，$2n$。

裂缝上第$i$个点汇在平面上$M(x, y)$点处产生的速度大小为

$|{{\nu _{1, i}}} | = \dfrac{q}{{4n\pi {r_{1, i}}}}$

(1)

由压裂油井在$M$点处产生的渗流速度为

${{\nu _1}} = \sum\limits_{i = 1}^{2n} { {{\nu _{1, i}}} } % = ( {{\nu _{1, 1}}} + {\nu _{1, {2n}}} ) + \cdots ( {{\nu _{1, n}}} + {\nu _{1, {n+1}}})$

(2)

应用数学三角形相似原理及余弦定理，可得到地层中只有一口压裂油井时$M$点处产生的渗流速度大小为

$|{{\nu _1}} | = \dfrac{q}{{2n}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{\sqrt {2\left(r_{1, i}^2 + r_{ 1, {2n + 1 - i}}^2\right) - {{\left(2{x_{\rm{f}}}\right)}^2}} }}{{2\pi {r_{1, i}}{r_{1, {2n + 1 - i}}}}}}$

(3)

其方向由$M$点指向油井井筒。

同理，若同时考虑地层中有一口压裂油井和一口水井时，$M$点处产生的渗流速度大小为

$|{{\nu }} | = \dfrac{Rq}{{2nr_2}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{\sqrt {2\left(r_{1, i}^2 + r_{ 1, {2n + 1 - i}}^2\right) - {{\left(2{x_{\rm{f}}}\right)}^2}} }}{{2\pi {r_{1, i}}{r_{1, {2n + 1 - i}}}}}}$

(4)

根据达西定律，速度${{\nu }}$的矢量方向应是该点最大压力梯度矢量方向，有

$\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} = -\nu \dfrac{\mu }{K}$

(5)

将式(4)代入式(5)，得到计算当两井同时工作时地层中任一点$M$处的最大压力梯度公式

$\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}}\!=\!\dfrac{{q\mu }}{{2nK}} \cdot \dfrac{R}{{{r_2}}}\cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{\sqrt {2\left(r_{1, i}^2 \!+\! r_{ 1, {2n + 1 - i}}^2\right) \!-\! {{\left(2{x_{\rm{f}}}\right)}^2}} }}{{2\pi {r_{1, i}}{r_{1, {2n + 1 - i}}}}}}$

(6)

由式(6)可以看出，当油藏参数及单井产量一定时，可得到等最大压力梯度方程为

$\dfrac{R}{{{r_2}}}\cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{\sqrt {2\left(r_{1, i}^2 \!+\! r_{ 1, {2n + 1 - i}}^2\right) \!-\! {{\left(2{x_{\rm{f}}}\right)}^2}} }}{{2\pi {r_{1, i}}{r_{1, {2n + 1 - i}}}}}}={\rm{C}}$

(7)

若用直角坐标表示，则

$r_{1, i}^2 = {\left\{ {x - \left[{-{x_{\rm{f}}} + \dfrac{{{x_{\rm{f}}}}}{{2n}} \cdot (2i-1)} \right]} \right\}^2} + {y^2}$

(8)

$r_2^2 = {(x - R)^2} + {y^2}$

(9)

将上述式(8)、式(9)代入式(7)，得到以直角坐标表示的最大压力梯度线方程，进而可以计算得到注采井间流线分布曲线(图 3)和等压线分布曲线(图 4)。

2 合理注采井距确定

根据渗流理论，在等产量一源一汇稳定渗流水动力场中，主流线上的渗流速度最大，且源或汇附近形成的驱替压力梯度最大。实际油藏的主流线指注采井之间的连线，开发过程中渗流速度最小的地方处在主流线上^[17-21]。也就是说，注采井间的最小驱替压力梯度点处在主流线上，且同时离油井和水井较远。

为求得合理注采井距，在给定油藏参数及单井产量的条件下，注采井间的最小驱替压力梯度必须不低于油层的启动压力梯度。研究$M(x, y)$点在主流线上的情况，即$R>x>0$，$y=0$。将此条件代入式(6)，得到注采井主流线上的压力梯度计算方程

$\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} \!=\! \dfrac{{q\mu }}{{2\pi K}}\left[{\dfrac{1}{{R \!-\! x}} + \dfrac{1}{{2n}}\sum\limits_{i = 1}^{2n} {\dfrac{1}{{x \!+\! {x_{\rm{f}}} \!-\! \dfrac{{{x_{\rm{f}}}}}{{2n}}(2i \!-\! 1)}}} } \right]$

(10)

由于实际低渗透油藏启动压力梯度$\lambda$与渗透率$K$关系式满足关系式

$\lambda = a{K^{ - b}}$

(11)

因此，合理注采井距应满足

$\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} \geqslant \lambda$

(12)

根据等效原理

$q = \dfrac{{\pi K({p_{\rm{j}}} - {p_{\rm{w}}})}}{{\mu \ln \dfrac{R}{{\sqrt {{x_{\rm{f}}} \cdot {r_{\rm{w}}}} }}}}$

(13)

联合式(10)~式(13)得到合理注采井距应满足的关系式(式(14))，该式表明，低渗透油藏开发过程中，只有保持地层中任一点处的压力梯度高于启动压力梯度时，才能建立起有效的驱替压力系统。也就是说，对于特定的低渗透油藏，在合理的井距范围内，才能建立起有效的驱替压力系统。

$\begin{array}{l} \left[ {\frac{1}{{R - x}} + \frac{1}{{2n}}\sum\limits_{i = 1}^{2n} {\frac{1}{{x + {x_{\rm{f}}} - \frac{{{x_{\rm{f}}}}}{{2n}}(2i - 1)}}} } \right].\\ \;\;\;\;\;\frac{{{p_{\rm{j}}} - {p_{\rm{w}}}}}{{\ln \frac{{{R^2}}}{{{x_{\rm{f}}} \cdot {r_{\rm{w}}}}}}}a{K^{ - b}} \end{array}$

(14)

3 实例分析

以鄂尔多斯盆地某低渗透油藏为例，油藏参数如下：平均渗透率2.5 mD，启动压力梯度满足$\lambda = 0.056{K^{ - 0.893}}$，注采压差28.5 MPa，实际平均注采井距400 m，压裂裂缝半长为60 m。

3.1 注采井间压力梯度影响因素分析

根据考虑压裂的合理注采井距计算公式(14)可以看出，注采井间压力梯度与注采井距、注采压差及压裂裂缝长度有关。分别设计不同注采井距：200，300，400，500，600 m，不同注采压差：13.5，18.5，23.5，28.5，33.5 MPa，不同裂缝半长：0(不压裂)，60，120，180，240 m。把上述参数分别代入公式(14)，计算可得到不同注采井距、不同注采压差和不同压裂裂缝半长下注采井间压力梯度分布曲线。

图 5为不同井距下注采井间压力梯度分布曲线，当注采压差和压裂裂缝半长相同时，随着注采井距的增大，相同位置的地层压力梯度变小，说明井距越大，克服启动压力梯度越困难。

从不同压差下注采井间压力梯度分布曲线(图 6)可见，压裂裂缝半长和注采井距相同时，注采压差越大，相同位置的地层压力梯度越大，越有利于建立起有效的驱替压力系统。

当注采井距和注采压差相同时，随着压裂裂缝半长的增大，相同位置的地层压力梯度变大(图 7)，说明压裂裂缝越长，注采井间越容易建立起有效驱替压力系统。

注采井间压力梯度影响因素分析表明，注采井距越小、注采压差越大、压裂缝越长，越有利于建立起有效驱替压力系统。但减小井距、增大压差和增长裂缝，势必带来投资成本的增加，影响经济效益。不利于经济合理开发低渗油藏。因此，对低渗透油藏来说，在渗透率、压差和裂缝半长一定的情况下，存在最优的注采井距。

3.2 合理注采井距分析

根据合理井距满足的关系式(14)，利用迭代法计算可得到不同渗透率和裂缝半长下的合理井距图版(图 8)以及不同渗透率和注采压差下的合理井距图版(图 9)。

计算得到实例油藏合理井距为398 m，与实际注采井距400 m基本一致。

从图 8和图 9可以看出，合理注采井距随渗透率、注采压差和裂缝半长的增加而增大；与不压裂时相比，压裂措施有效提升了驱替压力梯度，明显增大了合理注采井距界限；由于地层破裂压力及设备限制，仅靠提高注采压差来增大的合理井距极为有限。因此，对实际低渗透油藏而言，采取压裂等增产措施，不仅降低了油层渗流阻力、增加地层渗透率，还能较大幅度提高合理井距。

4 结论

(1) 提出了低渗透油藏考虑压裂措施的合理注采井距计算方法，并结合低渗透油藏实例，验证了该方法的可靠性。

(2)注采井间压力梯度影响因素分析表明，在渗透率、压差和裂缝半长一定的情况下，存在最优的注采井距。

(3)合理注采井距随渗透率、注采压差和裂缝半长的增加而增大；采取压裂等增产措施，有利于建立起有效的驱替压力系统，能较大幅度地提高低渗透油藏合理注采井距。

符号说明

$W_{\rm{p}}$，$W_{\rm{inj}}$-油井和注水井；

$R$-井距，m；

$q$-单位厚度产出量，m²/s；

$\nu _1$，$\nu _2$-油井、注水井分别作用下的在地层中任一点$M$处的渗流速度，m/s；

$\nu $-油井、注水井共同作用下的在地层中任一点$M$处的渗流速度，m/s；

$r_1$，$r_2$-$M$点到油井、水井的距离，m。

$x_{\rm{f}}$-裂缝半长，m；

$n$-等分数；

$x_{1, i}$-裂缝上第$i$个点汇的横坐标，m；

$x$，$y$-直角坐标，m；

${{\nu _{1, i}}}$-第$i$个点汇在$M$点的速度，m/s；

${r_{1i}}$-$M$点距压裂裂缝第$i$小段中心位置的长度，m；

$p$-压力，MPa；

$\mu$-黏度，Pa$\cdot$s；

$K$-渗透率，mm²；

C-常数，无因次；

$\lambda$-启动压力梯度，MPa/m；

$a$，$b$-拟合系数，无因次；

$p_{\rm{j}}$-注水井井底压力，MPa；

$p_{\rm{w}}$-油井井底压力，MPa；

$r_{\rm{w}}$-井眼直径，m。