引 言

20世纪80年代以来，随着油田区域含水率的上升，为了进一步提高采收率，化学驱油技术有了很大的发展。但含有化学剂的驱油机理不同于水驱，人们利用对流扩散方法描述化学剂在地层中的运移^[1]。

文献[2-8]报道了在孔隙介质中互溶流体的弥散问题的研究。传统的对流扩散方程没有考虑化学剂的吸附、反应、离子交换等作用，故不能准确描述化学剂在地层中的运用过程。葛家理提出了添加吸附项之后的对流扩散方程，但其是一个二阶变系数的非线性偏微分方程，不容易求解^[9]。文献[10-12]结合质量守恒定律，综合考虑了油水两相，包含吸附、相变等复杂物理化学机理，提出了适应于多种化学驱的数学模型以及数值模拟方法。但其方程过于复杂，参数的准确性和求解的收敛性难以保证。Peaceman D W得到了一维对流扩散方程在给定的边界条件和初始条件下的解析解^[13]。黄延章等在前人研究的基础上，考虑了化学剂运移滞后和滞后差，提出了较为全面的对流弥散方程，该方程在一维情况下的解析解与实验结果一致性良好^[14-15]。王健针对对流弥散方程提出了实验确定弥散系数的方法，指出其与速度有关^[16]。孙灵辉基于该方程，结合有限差分方法，研究了碱在一维情况下的传输机理^[17]。但一维情况下的解析解已知，针对一维情况的数值模拟意义不大。

针对较为常用的化学剂在二维地层中的运移规律，对流扩散方程很难得到解析解。本文利用有限差分方法，得到了化学剂在平面分布的数值解，并研究了不同参数下，化学剂在二维地层中的运移分布规律。

1 模型的建立

化学剂在地层中的运移过程中，其传输受到许多因素的影响，主要的物理作用包括对流、扩散、弥散、吸附，主要的化学作用有化学反应和离子交换。其中，吸附、化学反应和离子交换可以归纳为综合吸附损耗，用运移滞后系数表示；而化学剂的扩散和弥散可以用综合弥散系数表示。

1.1 模型假设

本文的目的在于研究化学剂在平面地层中的运移，由于不考虑高度的变化，可以认为流体是等温流动。同时认为，达西定律适应用含有化学剂的流体渗流描述。另外，由于考虑的是平面，所以忽略重力的影响。

本文模型认为，化学剂溶解于水中，但驱油用化学剂的浓度非常低，故可以忽略化学剂对水相渗透率和密度的影响。

综上，模型的基本假设为：

(1) 考虑等温流动；

(2) 流体流动符合达西渗流定律；

(3) 不考虑重力的影响；

(4) 化学剂不影响水相渗透率；

(5) 忽略化学剂对流体密度的影响；

(6) 稳态渗流，孔隙度和密度不随时间变化。

1.2 数学模型

化学剂在地层中的运移包括流体的渗流和化学剂的对流弥散两个过程。这两个过程要分别用达西定律和对流扩散方程描述。

1.2.1 液相系统的达西渗流

达西定律的表达式为

$ \nu = - \dfrac{K}{\mu }\left( {\nabla p + \rho \textrm{g}\nabla z} \right) $

(1)

式中：

$\nu$-流体速度，m/s；

$\mu$-流体黏度，mPa·s；

K-地层渗透率，mD；

p-地层压力，MPa；

$\rho$-流体密度，g·cm^-3；

$\textrm{g}$-重力加速度常数，g=9.8 m/s²；

z-高程坐标，m。

稳态渗流中，连续性方程为

$ \nabla \cdot \nu = q $

(2)

式中：

q-源项，1/s。

忽略式(1)中的重力项，代入式(2)，有

$ \nabla \cdot \left( { - \dfrac{K}{\mu }\nabla p} \right) = q $

(3)

记${K}/{\mu } = \lambda $，则式(3)为

$ - \nabla \cdot \left( {\lambda \nabla p} \right) = q $

(4)

1.2.2 化学剂的对流扩散

化学剂在地层中的运移扩散使用对流扩散方程描述

$ \theta \dfrac{{tial c}}{{tial t}} + \nabla \cdot \left( {\nu c} \right) - \nabla \cdot \left( {{\boldsymbol{D}}\nabla c} \right) = q c $

(5)

式中：

$\theta$-运移滞后系数，无因次；

c-化学剂浓度，g/cm³；

D-扩散系数张量，cm²/s。

$\theta$和D可以通过实验测定。

1.3 物化参数

流体的黏度有可能和化学剂浓度有关系，也有可能没有关系。比如，聚合物对流体的密度影响很大，而表面活性剂对黏度影响就很小。

$ \mu = \mu \left( c \right) $

(6)

2 模型求解

要求解上述数学方程，分为两个步骤。首先，根据1.1求解得到压力场和速度场，得到速度场后，求解1.2中的模型可得到化学剂浓度场，如果该化学剂对流体黏度的影响不可忽略，则需要根据1.3求得新的黏度场，继而继续求解下一个时刻的压力场和速度场。

2.1 压力场和速度场求解

第i，j个网格处的中心差分格式离散方程(7)为

$ - {\lambda _{i, j}}\left( {\dfrac{{{p_{i + 1, j}} - 2 p_{i, j} + {p_{i - 1, j}}}}{{\Delta {x^2}}} + \dfrac{{{p_{i, j + 1}} - 2 p_{i, j} + {p_{i, j - 1}}}}{{\Delta {y^2}}}} \right) = {q_{i, j}} $

(7)

整理式(7)，有

$ - {\lambda _{i, j}}\left[{\dfrac{1}{{\Delta {x^2}}}{p_{i + 1, j}} + \dfrac{1}{{\Delta {y^2}}}{p_{i, j + 1}}-2\left( {\dfrac{1}{{\Delta {x^2}}} + \dfrac{1}{{\Delta {y^2}}}} \right){p_{i, j}}} \right.\left. { + \dfrac{1}{{\Delta {y^2}}}{p_{i, j-1}} + \dfrac{1}{{\Delta {x^2}}}{p_{i-1, j}}} \right] = {q_{i, j}} $

(8)

将式(8)形成的系数矩阵记为A，则上式可写为

$ {\boldsymbol {A}}p = {\boldsymbol {Q}} $

(9)

根据式(9)，可求解得到压力场p，得到压力场后，速度场$\nu$可由下式求得

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {v_{x;i, j}} = - {\lambda _{i, j}}\dfrac{{{p_{i + 1, j}} - {p_{i - 1, j}}}}{{2{\rm{\Delta }}x}}\\ {v_{y;i, j}} = - {\lambda _{i, j}}\dfrac{{{p_{i, j + 1}} - {p_{i, j - 1}}}}{{2{\rm{\Delta }}y}} \end{array} \right. \end{equation} $

(10)

2.2 浓度场求解

式(5)中，扩散项$ - \nabla \cdot \left( {{{\boldsymbol{D}}}\nabla c} \right)$和源项的离散qc的离散同2.1，对流项采用迎风格式离散为

$ \begin{equation} k = \left\{ \begin{array}{ll} i\mbox{或}j\mbox{，}　&　{v_{x;i, j}}\geqslant 0\mbox{或}{v_{y;i, j}} \geqslant 0\\ i - 1\mbox{或}j - 1\mbox{，}　&　{v_{x;i, j}}<0 \mbox{或}{v_{y;i, j}} < 0 \end{array} \right. \end{equation} $

(11)

时间项的离散为

$ \theta \dfrac{{tial c}}{{tial t}} = {\theta _{i, j}}\dfrac{{c_{i, j}^{m + 1} - c_{i, j}^m}}{{\Delta t}} $

(12)

记$\delta _{i, j}^t = \theta _{i, j} / \rm{\Delta }t$，结合式(7)、式(11)和式(12)，则式(5)的离散格式为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {c_{i,j}^{n + 1} = } & {c_{i,j}^n + \delta _{i,j}^t\left\{ { - {D_{i,j}}\left[ {\frac{1}{{\Delta {x^2}}}{c_{i + 1,j}} + \frac{1}{{\Delta {y^2}}}{c_{i,j + 1}} - 2\left( {\frac{1}{{\Delta {x^2}}} + \frac{1}{{\Delta {y^2}}}} \right){c_{i,j}} + \frac{1}{{\Delta {y^2}}}{c_{i,j - 1}} + } \right.} \right.}\\ {} & {\left. {\left. {\frac{1}{{\Delta {x^2}}}{c_{i - 1,j}}} \right] + {v_{x;i,j}}\frac{{{c_{k + 1,j}} - {c_{k,j}}}}{{\Delta x}} + {v_{y;i,j}}\frac{{{c_{i,k + 1}} - {c_{i,k}}}}{{\Delta y}} + c_{i,j}^m{Q^ - } + c_{{\rm{in}}}^m{Q^ + }} \right\}} \end{array} $

(13)

式中：

$Q^{-}$-注入端流量，cm³/s；

$Q^{+}$-采出端流量，cm³/s；

${c_{\textrm{in}}}$-注入端浓度，g/cm³。

当m=n+1时，式(13)为隐式格式，无条件稳定。记由式(13)形成的系数矩阵为B，则式(13)形成的方程为

$ {c^{n + 1}} = {c^n} + {\rm{\delta }}_{}^{\rm{t}}\left( {{\boldsymbol{B}}{c^{n + 1}} + c_{\textrm{in}}^m{Q^ + }} \right) $

(14)

对式(14)变形，得到

$ \left( {\dfrac{1}{{{\rm{\delta }}_{\rm{x}}^{\rm{t}}}} - {\boldsymbol{B}}} \right){c^{n + 1}} = \dfrac{{{c^n}}}{{{\rm{\delta }}_{\rm{x}}^{\rm{t}}}} + c_{\textrm{in}}^m{Q^ + } $

(15)

求解式(15)即可得到浓度场c。

2.3 两场耦合求解步骤

当化学剂的浓度影响流体的黏度时，求解压力场时的参数$\lambda$与黏度有关系，此时，压力场和浓度场形成了一个耦合问题。本文给出的求解步骤为：

(1) 设${t^{n + 1}}$时浓度场预估值$c_{\rm{*}}^{n + 1} = {c^n}$，求得黏度；

(2) 根据黏度，求得$\lambda$值，根据式(8)、式(10)求得压力场和速度场；

(3) 由式(10)求得${t^{n + 1}}$时浓度场的校正值$c_p^{n + 1}$；

(4) 计算${t^{n + 1}}$时刻浓度场预估值$c_{\rm{*}}^{n + 1}$和校正值$c_p^{n + 1}$的误差的范数${e^{n + 1}} = c_p^{n + 1} - c_{\rm{*}}^{n + 1}$，如果${e^{n + 1}}$满足计算要求，则得到${t^{n + 1}}$时刻的浓度场${c^{n + 1}} = c_p^{n + 1}$；否则，令$c_{\rm{*}}^{n + 1} = c_p^{n + 1}$，直到满足误差为止。

3 二维油藏模拟实例

实验室通常采用1注1采的平板模型去模拟五点法井网。如图 1所示，平板长20 cm，宽20 cm，厚度0.3 cm，均匀填充沙。孔隙度0.2，渗透率300 mD。注入速度0.1 mL/min，化学剂滞后系数0.8，综合扩散系数0.000 1 cm²/s。注入0.3 PV的表面活性剂后用水驱，记表面活性剂的相对浓度为1。

通过数值模拟计算，得到化学剂注入过程中的浓度平面分布图(图 2)，0.3 PV的化学剂被后续注入的水驱替到出口端，并在此期间运移扩散至整个地层。

图 3为出口端和地层平均的表面活性剂浓度，从图 3可以看出：(1)出口端浓度在注水累计1 PV时达到最大，随后二者随注入量的增加，浓度缓慢下降。(2)二者的最大浓度仅为注入浓度的7%。这说明地层中的表面活性剂浓度与配方中的原始浓度差异巨大。

4 影响参数分析

不同的化学剂在多孔介质渗流中，其综合弥散系数和运移滞后系数是不同的，同时，化学剂浓度的分布还受到注入PV数的影响。

4.1 运移滞后系数的影响

保持其他参数同上文，分别取D= 1.0×10^-4 cm²/s，$\theta$=0.8，1.0，1.2，1.5，数值模拟结果如图 4所示。

从图中可以看出，运移滞后系数对化学剂浓度的影响体现在3个方面：

(1) 4种情况下化学剂到达出口端的时间不同。运移滞后系数越小，化学剂越早到达出口端。

(2) 最大化学剂浓度不同。运移滞后系数越大，出口端浓度的最大值越小。

(3) 化学剂完全流出的时间不同。运移滞后系数越大，其采出周期越短。

产生以上3点影响的原因在于运移滞后系数在对流弥散方程的时间项中，其值越小，每个步长化学剂浓度的变化就越大，也就越早到达出口端，也最先被驱替出。

4.2 综合弥散系数的影响

保持其他参数同上文，为避免运移滞后系数的影响，取$\theta$=1，D= 1.0×10^-4，1.0×10^-3，1.0×10^-2，1.0×10^-1 cm²/s，数值模拟给出的出口端化学剂浓度如图 5所示。

分析图 5，综合弥散系数对化学剂运移的影响有两个方面：

(1) 化学剂到底出口端的时间不同，弥散系数越大，化学剂越早到达出口段。

(2) 最大化学剂浓度不同。弥散系数越小，出口端的化学剂最高浓度越大。

弥散系数在方程的扩散项上，其值越大，意味着扩散作用越强，在相同的对流作用下，扩散作用越强，化学剂越早、越均匀地分布至地层。理论分析与数值模拟的结果是相符合的。

4.3 化学剂注入量的影响

其他参数不变，取$\theta$=1，D= 1.0×10^-4 cm²/s，化学剂注入量0.3，0.5，1.3 PV，模拟结果如图 6所示。由图 6可以看出，注入0.3 PV的化学剂，出口端的最高化学剂浓度仅为注入浓度的10%，注入0.5 PV，达到18%，注入1.0 PV，可达到33%，注入3.0 PV时，才能达到74%。同时，注入量越大，化学剂的最高浓度就越大，在地层中保留的时间也越长。

原始平板中充满水，注入化学剂后，化学剂被大量稀疏，浓度逐渐上升，如果注入量不足够大，在化学剂浓度还未达到最佳浓度时，后续水驱又会开始降低化学剂的浓度，使其整个周期内无法达到设计浓度。

5 结 论

(1) 二维化学剂浓度分布与一维有显著的区别。主要表现在，同样的参数条件下，一是出口端最高浓度远小于注入浓度，二化学剂完全采出周期非常长。

(2) 运移滞后对化学剂在地层中的浓度分布的影响体现在一利一弊两个方面。较大的运移滞后系数，可以延长化学剂在地层中的滞留时间，使得化学剂发挥作用的周期增加；不利的一面在于运移滞后造成了化学剂浓度的降低，不能最大发挥化学剂的效果。数值模拟的结果显示，运移滞后系数增加50%，化学剂浓度降低30%。

(3) 弥散现象对化学剂在地层中的影响有两个方面。一是促进了化学剂在地层中的分布，使其分布更加均匀，弥散作用可以式化学剂分布到通过对流作用无法到达的区域；另一方面，扩散现象同样降低了化学剂的有效浓度，弥散系数从1.0×10^-4 cm²/s增加到1.0×10^-1 cm²/s时，化学剂浓度降低了40%，并呈现负指数趋势。

(4) 相比较运移滞后和弥散，化学剂的注入量对化学剂浓度的影响是巨大的。注入量从0.3 PV提高到3.0 PV，化学剂浓度上升了7.5倍。