引 言

裂缝性储层钻井完井过程中，钻井完井液固相及其滤液极易在井筒正压差下沿裂缝发生漏失，从而在近井眼周围形成一个漏失损害带，导致储层渗透率下降，严重影响油气井产能^[1-2]。图 1为九龙山气田不同裂缝发育情况下钻井完井液漏失量与气井产能关系曲线。由图 1可知，当储层裂缝发育，发生严重漏失时，由于储层自身物性好，部分井产气量受漏失影响严重，另一部分井漏失后仍具较高产量；储层裂缝较发育-欠发育时，产气量受漏失影响程度高，一旦发生严重漏失，产气量急剧降低，产微气甚至不产气。因此，为了尽量解除钻井完井液漏失对油气层的损害，恢复或提高油气井产能，需在油气井投产之前，进行酸化等解堵作业，然而要使这些解堵措施取得良好效果，就必须对钻井完井液漏失损害带的分布区域有较为准确的预测，此外，开展钻井完井液漏失损害带的研究对测井解释矫正、射孔参数优化以及产能评价等也有一定的指导意义。

目前，室内可通过扫描电镜、X射线、CT扫描以及岩相学分析的方法来评价钻井完井液的侵入深度^[3]，但室内实验仅能获得岩芯柱塞尺度上的侵入深度结果，而实际钻井完井过程中，裂缝性储层的钻井完井液体漏失深度可达几米到几十米，如此大尺度的实验模拟难以在室内开展，主要通过数值模拟的方法进行研究。Donaldson E C、Civan F和Engler T、Parn-anurak S、Windarto等^[4-8]基于物质的对流-扩散方程，对孔隙性储层的钻井液侵入深度进行了数值模拟研究。范翔宇等^[9]采用体积模型法和数理统计法，建立了不同裂缝系统的钻井液侵入深度定量计算模型；叶艳等^[10]基于达西方程建立了钻井液在单一裂缝中的漏失数学模型，并通过模型求解，对钻井液在碳酸盐岩裂缝性储层中的侵入深度进行了预测；Pordel Shahri等^[11]基于物质的对流-扩散方程，提出了钻井液在单条垂直裂缝的侵入预测模型，并通过沿裂缝不同位置的钻井液浓度分布剖面确定了钻井液的侵入深度。实际钻井过程中钻遇的裂缝多以裂缝网络的形式出现，本文以九龙山构造珍珠冲组致密砾岩储层为研究对象，基于物质的对流-扩散方程，对钻井完井液在裂缝网络中的漏失损害带分布情况进行了研究。

1 工程地质特征

四川盆地川西北地区九龙山构造下侏罗统珍珠冲组为块状致密砾岩储层。埋深通常大于3 000 m，厚度130~210 m，压力系数为1.59~1.74，平均地温梯度为2.21 ℃/(100 m)。珍珠冲组储层以砾(粒)间(内)溶孔、溶洞、早期裂缝剩余孔、砾(粒)间原生孔、裂缝、沿裂缝溶蚀的孔、洞为主，属于典型的裂缝-孔隙型储层。该区珍珠冲组致密砾岩储层裂缝发育，基块物性差，非均质性强，基块平均孔隙度为0.97%，裂缝平均孔隙度为0.62%，与裂缝伴生的溶蚀孔洞的平均孔隙度为1.64%，裂缝的渗透率主要分布在20.0~160.0 mD，比储层基块的渗透率高2~5个数量级，裂缝的面密度主要分布在0.15~0.60 cm/cm²，平均为0.31 cm/cm²，裂缝的平均间距为3.2 cm，恢复到地层围压条件下，溶蚀以后的裂缝开度为120.00~300.00 μm，平均为221.28 μm^[12-13]。储层黏土矿物以高岭石、伊利石和伊/蒙间层为主，储层敏感性强，主要的损害类型为水敏、速敏和应力敏感^[14]。

2 钻井完井液侵入数学模型

根据野外露头、岩芯及测井资料综合分析，九龙山构造珍珠冲组致密砾岩储层高低角度缝十分发育，并且相互交织在一起形成复杂的裂缝网络，裂缝发育程度高，裂缝连通性好^[13]。本文基于双重连续介质模型^[15]开展钻井完井液在裂缝网络内的侵入预测研究。

2.1 模型的假设条件

模型的假设条件为：

(1) 钻井完井液类型为水基且漏失为单相流；

(2) 钻井完井液驱替地层流体为非混相驱；

(3) 井底压力和钻井完井液漏失速率保持不变；

(4) 钻井完井液中的固相颗粒粒径小于裂缝宽度；

(5) 钻井完井液侵入过程中地层孔隙结构保持不变；

(6) 基块部分为致密各向同性介质；

(7) 裂缝面存在滤失且考虑裂缝面的滤饼效应。

2.2 数学模型

由于基块的渗透性极差，故仅考虑钻井完井液在裂缝内的溶质运移情况。在径向漏失条件下，钻井完井液在裂缝网络内侵入情况可由式(1)所示的质量守恒方程表示。

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{n_{\rm{f}}}\frac{{\partial {C_{\rm{f}}}}}{{\partial t}} = {D_{\rm{f}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{C_{\rm{f}}}}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {C_{\rm{f}}}}}{{\partial r}}} \right)-v\frac{{\partial {C_{\rm{f}}}}}{{\partial r}}\frac{{q + \bar q}}{w}}\\ {{r_{\rm{w}}} \le r \le {r_{\rm{e}}}, \;t > 0} \end{array}} \right.$

(1)

${D_{\rm{f}}}$包含两个部分：对流扩散系数$D_{\rm{e}}$和分子扩散系数$D^*$(式(2))，然而在钻井完井液漏失过程中，对流项起主导作用，分子扩散系数$D^*$可忽略不计，对流扩散系数$D_{\rm{e}}$可表示为关于$v$的经验关系式(式(3))。

${D_{\rm{f}}} = {D_{\rm{e}}} + {D^ * }$

(2)

${D_{\rm{e}}} = \alpha \cdot v$

(3)

$v = \frac{Q}{{2{\rm{\pi }}rh}}$

(4)

裂缝与基块间分子扩散交换量$q$计算方法为

$q =-{D_{\rm{m}}} \cdot {n_{\rm{m}}} \cdot {\phi _{\rm{m}}} \cdot {\left( {\frac{{\partial {C_{\rm{f}}}}}{{\partial z}}} \right)_i}$

(5)

${n_{\rm{m}}} = 1 - {n_{\rm{f}}}$

(6)

${D_{\rm{m}}} = \tau {D^*}$

(7)

${\tau ^{ - 1}} = 1.61{\phi _{\rm{m}}}^{1.15}$

(8)

${\left( {\dfrac{{\partial {C_{\rm{f}}}}}{{\partial z}}} \right)_i} = {A_{{\rm{CF}}}} \cdot C{}_{\rm{f}} \cdot {{\rm{e}}^{ - {B_{{\rm{CF}}}} \cdot t}}$

(9)

裂缝与基块间由对流作用引起的交换量为

$\overline q = {V_{{\rm{f - m}}}}{C_{\rm{f}}}$

(10)

${V_{{\rm{f - m}}}} = \dfrac{{{K_{\rm{m}}} \cdot {n_{\rm{m}}} \cdot {\phi _{\rm{m}}}}}{\mu }{\left( {\dfrac{{\partial p}}{{\partial z}}} \right)_i}$

(11)

${\left( {\dfrac{{\partial p}}{{\partial z}}} \right)_i} = {A_{{\rm{PF}}}} \cdot \left( {\overline p_{\rm{f}} - {p_{\rm{i}}}} \right) \cdot {{\rm{e}}^{ - {B_{{\rm{PF}}}} \cdot t}}$

(12)

钻井完井液无因次浓度为

${C_{{\rm{Df}}}} = \dfrac{{{C_{\rm{f}}}}}{{{C_{\rm{o}}}}}$

(13)

联立式(1)~(12)，化简，得到数学模型

$\begin{array}{l} - \frac{Q}{{2{\rm{\pi }}rh}}\frac{{\partial {C_{{\rm{Df}}}}}}{{\partial r}} + \frac{{{D_{\rm{m}}}{n_{\rm{m}}}{\phi _{\rm{m}}}}}{w}{A_{{\rm{CF}}}}{C_{{\rm{Df}}}}{{\rm{e}}^{ - {B_{{\rm{CF}}}}t}} - \\ \frac{{{K_{\rm{m}}}{n_{\rm{m}}}{\phi _{\rm{m}}}}}{{\mu w}}{A_{{\rm{PF}}}}\left( {\overline {{p_{\rm{f}}}} - {p_{\rm{i}}}} \right){{\rm{e}}^{ - {B_{{\rm{PF}}}}t}}{C_{{\rm{Df}}}} + \\ \frac{{\alpha Q}}{{2{\rm{\pi }}rh}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{C_{{\rm{Df}}}}}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {C_{{\rm{Df}}}}}}{{\partial r}}} \right) = {n_{\rm{f}}}\frac{{\partial {C_{{\rm{Df}}}}}}{{\partial t}} \end{array}$

(14)

初始条件为

${C_{{\rm{Df}}}} = 0, {r_{\rm{w}}} < r < {r_{\rm{e}}}, t = 0$

(15)

边界条件为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_{{\rm{Df}}}} = 1, r = {r_{\rm{w}}}, t > 0}\\ {\frac{{\partial {C_{{\rm{Df}}}}}}{{\partial r}} = 0, r = {r_{\rm{e}}}, t > 0} \end{array}} \right.$

(16)

钻井完井液的侵入深度可由钻井完井液无因次浓度分布剖面来确定，并提出如下估算标准

${d_{\rm{p}}} = \max \left\{ {r:{C_{\rm{Df}}}(r, t) > {{10}^{ - 3}}} \right\}$

(17)

2.3 数值模拟计算

采用块中心网格系统，应用有限差分法对式(14)进行差分离散，位置r进行中心差分，时间t进行向前差分，全隐式离散形式为

${a_i} \cdot {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_{i - 1}}}}^{j + 1} + {b_i} \cdot {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_i}}}^{j + 1} + {c_i} \cdot {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_i}_{ + 1}}}^{j+1} = {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_i}}}^j$

(18)

其中：${a_i} = - \frac{Q}{{2{\rm{\pi }}{r_i}h}}\left[{\frac{{\Delta t}}{{2\pi r}} + \alpha \left( {\frac{{\Delta t}}{{\Delta {r^2}}}-\frac{1}{{{r_i}}} \cdot \frac{{\Delta t}}{{2\Delta r}}} \right)} \right]$；$\begin{array}{l} {b_i} = 1 + \alpha \frac{Q}{{{\rm{\pi }}{r_i}h}}\frac{{\Delta t}}{{\Delta {r^2}}} - \frac{{{D_{\rm{m}}}{n_{\rm{m}}}{\phi _{\rm{m}}}\Delta t}}{w}{A_{{\rm{CF}}}}{{\rm{e}}^{ - {B_{{\rm{CF}}}} \cdot {t_{j + 1}}}} + \\ \frac{{{K_{\rm{m}}}{n_{\rm{m}}}{\phi _{\rm{m}}}\Delta t}}{{\mu w}}{A_{{\rm{PF}}}}\left( {\overline {{p_{\rm{f}}}} - {p_i}} \right){{\rm{e}}^{ - {B_{{\rm{PF}}}}{t_{j + 1}}}} \end{array}$；${c_i} = \frac{Q}{{2{\rm{\pi }}{r_i}h}}\left[{\frac{{\Delta t}}{{2\Delta r}}-\alpha \left( {\frac{{\Delta t}}{{\Delta {r^2}}} + \frac{1}{{{r_i}}} \cdot \frac{{\Delta t}}{{2\Delta r}}} \right)} \right]$。

对边界条件进行差分得

${C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_0}}} = 1;{C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_n}}} = {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_{n-1}}}} = 0$

(19)

对初始条件进行差分得

$\left\{ \begin{array}{l} {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_i}}} = 1\;\;\;\; (i = 0) \\ {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_i}}} = 0\;\;\;\;(i = 1, 2, \cdots, n) \end{array} \right.$

(20)

结合式(18)~(20)便构成了求解近井地带钻井完井液浓度随径向距离变化的矩阵方程组($j = 0, 1, \cdots, m$)

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}}&{}&{}&{}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}&{}&{}\\ {}& \ddots & \ddots & \ddots &{}\\ {}&{}&{{a_{n-1}}}&{{b_{n-1}}}&{{c_{n-1}}}\\ {}&{}&{}&{{a_n}}&{{b_n}} \end{array}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_1}}^{j + 1}}\\ {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_2}}^{j + 1}}\\ \vdots \\ {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_{n-1}}}^{j + 1}}\\ {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_n}}^{j + 1}} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_1}}^j-{a_1}C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_0}}^{j + 1}}\\ {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_2}}^j}\\ \vdots \\ {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_{n-1}}}^j}\\ {C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_n}}^j-{c_n}C_{{\rm{D}}{{\rm{f}}_n}}^{j + 1}} \end{array}} \right]$

(21)

3 现场实例分析 3.1 基础数据

龙002-9-1井3 266.00~3 308.40 m井段储层厚度42.4 m，井眼半径0.215 9 m，该井段共漏失钻井完井液967.9 m³，平均漏失速率10.8 m³/h。其中，钻井过程中漏失钾聚磺钻井液948.9 m³，试油过程中漏失钾聚磺压井液19.0 m³，钻井完井液密度为1.62 g/cm³、漏斗黏度为50 s、氯根浓度为15 174 mg/L。该井段岩性为石英砾岩，硅质胶结，孔隙裂缝较发育，孔隙度分布在2.6%~3.3%，含水饱和度为18.0%~65.0%，残余气和束缚水饱和度均分布在3.0%~10.0%，地层压力梯度为1.014 MPa/(100 m)。测井资料显示，该井段水平缝、低角度和高角度裂缝发育，相互交织在一起形成复杂的裂缝网络(图 2)。

3.2 模型参数赋值

根据九龙山珍珠冲组致密砾岩储层工程地质特征，以及龙002-9-1井3 266.00~3 308.40 m井段井漏数据和测井解释结果，经验常数$A_{\rm{CF}}$、$B_{\rm{CF}}$、$A_{\rm{PE}}$、$A_{\rm{PE}}$均取值为0.5，模型的其他参数赋值如表 1所示。

3.3 数值模拟结果

龙002-9-1井3 266.00~3 308.40 m井段井漏累计发生时间约为100 h，其中最后2 h为压井液的漏失。由数值模拟结果(图 3)可知，钻井完井液的侵入深度随井漏时间的增加而增加，压井液的漏失使漏入地层的钻井液进一步向地层深部推进，当井漏累计发生100 h时，钻井完井液的漏失损害带半径约为17 m。

3.4 钻井完井液漏失损害定量评价

裂缝性致密砂岩气藏具有低孔低渗、高毛管力、裂缝发育、水湿性以及超低含水饱和度等地质特征，极易发生水相圈闭损害^[16-20]。

由致密砂岩气藏水相圈闭损害模式(图 4)可知^[16]，钻井完井液的侵入会使近井地带含水饱和度上升，尤其是储层微裂缝发育带，钻井完井液极易在正压差作用下侵入地层深部，导致气层初始含水饱和度重新分布，气相有效渗透率急剧下降，气井产能大幅度降低，即使在后期返排、生产过程中，水相圈闭损害也不能有效解除，其具体损害程度可通过表皮系数进行定量表征。

钻井完井液侵入裂缝网络后，裂缝网络内除了包含钻井完井液的滤液外，还应包含未参与流动的束缚水和残余气，设定束缚水和残余气的饱和度均为10%，漏失损害带内的钻井完井液浓度与含水饱和度的关系为

$\frac{C}{{{C_{\rm{o}}}}} = \frac{{{S_{\rm{w}}} - {S_{{\rm{wir}}}}}}{{1 - {S_{{\rm{wir}}}} - {S_{{\rm{gr}}}}}}$

(22)

对式(22)两端进行标准化处理，有

${C_{\rm{Df}}} = \dfrac{C}{{{C_{\rm{o}}}}}$

(23)

${S^{*} } = \dfrac{{{S_{\rm{w}}} - {S_{{\rm{wir}}}}}}{{1 - {S_{{\rm{wir}}}} - {S_{{\rm{gr}}}}}}$

(24)

可见，进行标准化处理后，无因次钻井完井液浓度与标准化含水饱和度相同。

Wyllie M R J等^[21]提出气相的相对渗透率与标准化含水饱和度的关系为

${K_{{\rm{rg}}}}({S^ * }) = \left( {1 - {S^{ * 2}}} \right)\left( {1 - {S^ * }} \right)$

(25)

漏失损害带内的气相渗透率

${K_{\rm{s}}}(r) = K \cdot {K_{{\rm{rg}}}}({S^ * }(r))$

(26)

由式(26)可知，损害带内的气相渗透率随与井筒距离的变化而变化。

损害带内的平均气相渗透率为

$\overline {{K_{\rm{s}}}} = \frac{K}{{{d_{\rm{p}}} - {r_{\rm{w}}}}}\int_{{r_w}}^{d{\rm{p}}} {\left( {1 - {S^{*2}}} \right)} {\left( {1 - {S^*}} \right)^2}{\rm{d}}r$

(27)

钻井完井液的等效侵入半径为

${r_{{\rm{s, eq}}}} = \mathop {\max }\limits_{{r_{\rm{w}}} \leqslant r \leqslant {d_{\rm{p}}}} \left\{ {r:{K_{\rm{s}}}(r) \leqslant \overline {{K_{\rm{s}}}} } \right\}$

(28)

损害带内的等效表皮系数

$s = \left( {\dfrac{K}{{\overline {{K_{\rm{s}}}} }} - 1} \right)\ln \dfrac{{{r_{{\rm{s, eq}}}}}}{{{r_{\rm{w}}}}}$

(29)

综合式(23)~(29)，代入各参数，可得漏失损害带内的等效表皮系数为7.50。

4 模型验证 4.1 压力恢复试井分析验证

如图 5所示，将气藏系统分割成同心的3个区，井位于系统中心，井半径为$r_{\rm{w}}$，从内到外，3个区分别记为：1、2、3，其供给半径分别为$R_{\rm{e1}}$、$R_{\rm{e2}}$、$R_{\rm{e3}}$；渗透率分别为$K_1$，$K_2$，$K_3$。漏失过程中，漏失损害程度由1区到3区逐渐减弱：1区通过酸化解堵等作业，储层损害得到了一定程度的缓解；2区为酸化措施不能有效解除的损害区域，存在严重的储层损害；3区距离井筒有一定的距离，为未受漏失影响的原状地层。采用3区复合模型对龙002-9-1井进行了压力恢复试井解释，由压力恢复试井解释成果(表 2)可知，该井酸化作业的有效半径为5.0 m，钻井完井液的漏失损害带半径为15.8 m，与模拟结果的相对误差为7.05%，证明了模型的可靠性。

利用压力恢复试井曲线确定的表皮系数，是一个既包括钻井完井液漏失损害的影响，又包括打开程度不完善、射孔密度、井斜以及高速湍流影响的综合表皮系数。根据陈元千^[22]提出的气井表皮系数分解法，表皮系数分解结果如下：

打开程度不完善拟表皮系数：2.04；

射孔拟表皮系数：5.16；

井斜拟表皮系数：-0.24；

高速湍流拟表皮系数：6.21；

钻井完井液损害拟表皮系数：8.23

综合表皮系数：21.4。

根据分解结果，钻井完井液损害拟表皮系数为8.23，与模拟结果(7.50)的相对误差为9.73%，表明模型可靠，准确。

4.2 钻井完井液动态损害评价验证

由式(28)，计算钻井完井液漏失损害带内的平均渗透率为27.78 mD，返排恢复率为35.74%。根据钻井完井液的动态损害评价实验结果(表 3)，得到岩芯损害后的平均返排恢复率为32.56%，与模拟结果的相对误差为8.91%，验证了模型的正确性。

(1) 基于双重连续介质模型，提出了钻井完井液在裂缝网络中的溶质运移数学模型，通过有限差分法求解确定了钻井完井液无因次浓度的时空分布剖面，定量评价了钻井液的漏失损害程度。

(2)钻井完井液的侵入深度随井漏时间的增加而增加，压井液的漏失使漏入地层的钻井液进一步向地层深部推进，当漏失发生100 h时，钻井完井液的漏失损害带半径约为17 m。

(3)压力恢复试井解释及钻井完井液动态损害评价实验结果与数值模拟结果的相对误差均小于10%，表明模型正确可靠，有较高精度。

符号说明

$n_{\rm{f}}$-裂缝体积分数，%；

$C_{\rm{f}}$-裂缝网络内钻井完井液浓度，g/L；

$t$-漏失时间，h；

$D_{\rm{f}}$-裂缝内扩散系数，m²/s；

$r$-径向距离，m；

$v$-钻井完井液渗流速度，m/s；

$q$-裂缝与基块间分子扩散交换量，g/(L·s)；

$\overline q$-裂缝与基块间由对流作用引起的交换量，g/(L·s)；

$w$-裂缝半缝宽，m；

$r_{\rm{w}}$-井筒半径，m；

$r_{\rm{e}}$-供给半径，m；

${D_{\rm{e}}}$-对流扩散系数，m²/s；

${D^ * }$-分子扩散系数，m²/s；

$\alpha$-弥散度，m；

$Q$-钻井完井液漏失速率，m³/h；

$h$-储层有效厚度，m；

$n_{\rm{m}}$-基块体积分数，%；

$\tau$-迂曲度，无因次；

$\phi _{\rm{m}}$-基块孔隙度，%；

$V_{\rm{f-m}}$-裂缝与基块接触面处的速度，m/s；

$K _{\rm{m}}$-基块渗透率，mD；

$\mu$-钻井完井液黏度，mPa·s；

$p$-压力，MPa；

$\overline p_{\rm{f}}$-裂缝网络内平均压力，MPa；

$p_{\rm{i}}$-原始地层压力，MPa；

$C_{\rm{Df}}$-钻井完井液无因次浓度，无因次；

%$C_{\rm{o}}$-井筒内钻井完井液浓度，g/L；

$d_{\rm{p}}$-钻井完井液侵入深度，m；

$n$，$m$-空间步和时间步；%，$m$和时间步

$a$，$b$，$c$-系数；

$A_{\rm{CF}}$、$B_{\rm{CF}}$、$A_{\rm{PF}}$、$B_{\rm{PF}}$-经验系数，无因次；

$C$-钻井完井液浓度，g/L；

$C_{\rm{o}}$-钻井完井液初始浓度，g/L；

$S_{\rm{w}}$-含水饱和度，%；

$S_{\rm{wir}}$-束缚水饱和度，%；

$S_{\rm{gr}}$-残余气饱和度，%；

$S^{*}$-标准化含水饱和度，%；

$K_{\rm{rg}}$-气相相对渗透率，%；

$K_{\rm{s}}$-损害带内的气相渗透率，mD；

$\overline K_{\rm{s}}$-损害带内的平均气相渗透率，mD；

$K$-渗透率，mD；

$r_{\rm{s, eq}}$-等效侵入半径，m；

$s$-表皮系数，无因次；

$j$-第$j$个时间步；

下标$i$-径向第$i$个网格。