引 言

水下作业的海洋立管，是整个海油集输通道，其工作环境复杂，经常受到洋流、波流、激荡振动等动态载荷的影响，引起立管的振动甚至引起立管的共振。立管的振动不仅影响到立管的工作稳定性还影响到立管疲劳寿命，因此了解结构的固有频率与振型，可为防止结构共振破坏、振动疲劳^[1]以及评价结构的动态特性和优化结构设计提供一定的依据。所谓模态分析就是为了求特征值和特征向量，特征值也即结构振动的振型对应的频率。通常进行的模态分析都是在空气中进行的，由于空气密度小，对计算结果影响小，在计算时通常忽略了空气的作用，默认为在真空条件进行分析计算的。对于受到液体作用的结构，由于液体密度相对空气密度大，在进行模态分析要考虑液体与固体之间的耦合作用。将默认的真空条件下进行的模态分析称为干模态分析，考虑了液固耦合作用模态计算的称为湿模态分析^[2]。很多文章在研究水下结构动态响应时，通常忽略了液体对结构的影响，直接采用干模态分析，得出结果与实际情况不相符。本文为进一步研究水结构的动态响应，采用了Workbench Acoustic Extension分析模块对海洋立管进行水下模态分析，得到结构的前12阶固有频率与振型。通过振型的研究，对结构进行了优化，得出优化结果。

1 模态分析理论

由经典力学理论可知，物体的动力学通用方程为

${\boldsymbol{{M}}} {{\boldsymbol{{x}}} ''} + {\boldsymbol{{C}}} {{\boldsymbol{{x}}} '} + {\boldsymbol{{K}}} {\boldsymbol{{x}}} = {{\boldsymbol{{F(t)}}} } ^{\left[{2-11} \right]}$

(1)

式中：

${\boldsymbol{{M}}}$—质量矩阵；

${\boldsymbol{{C}}}$—阻尼矩阵；

${\boldsymbol{{K}}}$—刚度矩阵；

${\boldsymbol{{x}}}$—位移，mm；

${\boldsymbol{{F(t)}}}$—力矢量，N；

${\boldsymbol{{x}}}$'—速度矢量，m/s；

${\boldsymbol{{x}}}$"—加速度矢量，m/s²。

无阻尼模态分析是经典的特征值问题，动力问题的运动方程如下

${\boldsymbol{{M}}}{\boldsymbol{{x}}}" + {\boldsymbol{{K}}}{\boldsymbol{{x}}} = 0$

(2)

本文分析对象为水下作业的海洋立管，由于其结构阻尼较小，在忽略其对固有频率和振型的同时还考虑液体对结果的耦合作用，其计算方程为

${{\boldsymbol{{M}}} + {\boldsymbol{{M}}}_{\rm{w}}} {{\boldsymbol{{x}}}''} + {{\boldsymbol{{K}}} + {\boldsymbol{{K}}}_{\rm{w}}} {\boldsymbol{{x}}} = 0$

(3)

式中：

${\boldsymbol{{M}}}_{\rm{w}}$—液体附加质量矩阵；

${\boldsymbol{{K}}}_{\rm{w}}$—液体附加刚度矩阵。

式(3)也即所谓的虚拟质量法^[4]求解模态的方程式。$K_{\rm{w}}$的值本身非常小，计算可以忽略。结合Laplace方程与Helmholtz^[12]方程，得速度势及压力场，进而求得虚拟质量矩阵，最后求得结构固有频率。

2 有限元模拟与结果分析 2.1 建立几何模型

在Workbench Design Molder中建立三维几何模型。所建模型由海水、立管和原油3部分组成。立管内腔由原油填充，外壁由海水包裹。立管的材料为API5LX52，外径为325.85 mm，壁厚10.30 mm，受计算机计算能力的限制，取立管长度为15 000 mm。采用Enclo-sure命令所建立海水模型为3 000 mm×3 000 mm×24 000 mm的立方体。用Fill 命令建立油系模型为直径305.25 mm，长15 000 mm的圆柱体。完成水系和油系模型建立后，再将模型合并成一新体，其目的是在划分网格时使两者公共面处节点位置重合^[5]，避免网格划分过程中出现网格干涉问题。图 1为几何模型。

2.2 划分网格

Workbench中提供了平面和立体两类网格划分类型。平面模型提供了两种单元(三角形单元和四边形单元)，4种方法：自动划分、三角形、均匀四边形与三角形和均匀四边形。立体模型提供了4种类型(四面体，棱锥，棱柱，六面体)和6种方法：Automatic(自动划分)、Hex Dominant(六面体优)、Sweep(扫掠)、MultiZone(多区域)、Tetrahedrons(四面体)和Cartesion(笛卡尔)。立管和原油均采用六面体网格(图 2)和液体模型采用面印射网格。其中立管重点分析，网格需加密，设置立管网格尺寸为0.08 m，液体网格尺寸为0.30 m，细化液体与固体耦合处网格。图 3为立管、原油和海水的有限元模型。

2.3 计算过程 2.3.1 定义材料属性

建立API5LX52、原油以及海水材料属性。API5LX52最小屈服强度为358 MPa，抗拉强度为455 MPa，密度$\rho_1$=7 850 kg/m$^3$，弹性模量$E_1$=2.06×10$^5$ MPa，泊松比$\mu_1$=0.3；原油密度$\rho_2$=900 kg/m$^3$，泊松比$\mu_2$=0，弹性模量$E_2$=0；海水密度$\rho_3$=1 000 kg/m$^3$，弹性模量$E_3$=0，泊松比$\mu_3$=0。材料属性建立完成后，将属性赋给相应的模型。

2.3.2 参数设置

立管底端为固定约束，顶端为铰链约束。海水模型与原油模型定义为Acoustic-Body。分别定义声速为1 500 000 mm/s和1 350 000 mm/s。定义算法为：Coupled with sym-metry。立管内壁施压：3.0 MPa(原油采集过程对立管内壁的最大压力)。定义重力加速度：9.8 m/s²；定义立管流固耦合面；设定求解阶数：12。定义完成后开始湿模态分析。湿模态分析完成后，将海水和原油模型抑制掉，然后进行干模态分析[13-20]。

2.4 计算结果

按照湿模态与干模态计算顺序，分别建立两种状态下的计算结果。表 1与表 2分别为湿模态和干模态计算的12阶固有频率与各阶频率对应的最大振幅和相应振型。图 4~图 9为截取的立管湿模态第2、4、6、8、10、12阶固有频率对应的振型云图，图 10~图 15为截取干模态第2、4、6、8、10、12阶固有频率对应的振型云图。

2.5 结果分析

通过采用虚拟质量法，综合考虑流体与固体之间的耦合作用，得出湿模态分析结果。表 1与表 2中的频率数据均按由小到大的顺序排列。比较两表中的数据可以看出，湿模态各阶固有频率比干模态各级阶固有频率小很多，干模态的第1阶固有频率是湿模态第1阶固有频率的562.0倍，干模态第12阶固有频率是湿模态第12阶固有频率的4.6倍。表 1湿模态的固有频率数据说明在液体环境中，低频载荷也会使得结构发生共振，但是这类共振对结构不会产生破坏。表 2说明干模态结构发生共振时，载荷频率要比湿模态结构高很多，相比之下湿模态结构更易发生振动。随着计算固有频率阶数的增长，两者固有频率的差值逐渐减小。

湿模态振型相对简单，同阶振幅比干模态小。湿模态振型图中第2阶振型最大变形靠近立管中部，在低频振动下符合杆状结构的振动规律；第4阶振动频率高于第2阶，立管三次弯振附加轻微的扭振，振型较第2阶复杂，弯振强度由底端向顶端减弱；由于第6阶固有频率与第4阶接近，所以立管振型基本一致；第8、10、12阶都是弯振，随着振动频率增加，振幅变大，振型变得也越来越复杂。干模态振型也是以弯振为主，振型较单一，在第2、4、6、8、10阶频率作用下共振立管弯振依次增加，随固有频率的增大，振幅逐渐变大。由湿模态与干模态振型云图可知，共振频率决定振型特性。随着各自固有频率的增大，立管的振幅在整体上有增长的趋势，振型以弯振为主，弯振次数也越来越多。在低频激励作用下，结构有轻微的扭动倾向，但振幅非常小，弯振对结构稳定性起决定作用。

3 优化设计

通过分析结果得知立管结构在低频振动下发生不同程度的多处变形，其中弯振较多。当立管的刚度一定时，在不改变结构条件下，可以通过添加阻尼器避免一定频率范围的共振。本文通过在立管外壁增焊强环圈，优化立管结构，来避免立管高频共振的大变形现象。加强圈厚8 mm，宽400 mm。每段加强圈焊接位置相隔3 000 mm，将立管均分为5段，从左往右依次为第1段、第2段、第3段、第4段、第5段。图 16为优化后的立管模型。表 3为优化后计算结果。

从计算结果可看出，频率数据按照由小到大的顺序排列，随着频率的增大，振型变得也越来越复杂。立管优化后各阶振动频率变得很小，各阶频率之间的差值减小，最大频率为第12阶的2.405 8 Hz，为优化前第12阶立管振动频率的1/35.5。通过观察振型可看出，各阶立管的整体变形非常小，最大变形为0.632 8 mm，比优化前的数值要小，并且发生较大变形的管段均避开了加强部位。立管的振型与优化前相比弯振减少，扭振和径向胀缩振型增多，但立管整体变形相对均匀，振型变得简单，振幅也相对减小，从而说明了结构整体刚度较好，加强圈起到了提高整体刚度的作用，改进后的结构确实对结构的抗振性能起到优化作用，进而说明了模态分析为实现结构的优化设计提供了一定的依据。

4 结 论

笔者采用Workbench自带模块Design Molder准确地建立三维模型，实现模型与模态分析模块的无缝连接，提高了计算的精度，使得计算结果也更加形象直观。通过对模态的分析计算以及优化设计，对模态的概念有了更深层的理解。

(1)文中以海洋立管湿模态分析为例，介绍了湿模态建模方法与技巧，采用Workbench Acoustic-Body模块对立管进行了湿模态分析，避免了命令流编程求解模态的不便。

(2)通过湿模态与干模态分析对比，说明湿模态在模态计算中的不可替代性。由计算结果可看出，随着模态计算的深度，振动频率越来越大，振型越来越复杂，湿模态与干模态的差异也越来来越明显。高频振动要比低频振动对立管振动的影响大，固有频率越高其振动越剧烈，对结构影响就越明显，因此高阶振型对立管的动态特性起着关键作用。故应尽量避开外界载荷频率过高对结构产生共振破坏。

(3)根据计算结果，可采取一定预防措施来避免或减小共振。如在共振区薄弱部位将结构加强或增装阻尼器或避开与结构产生共振的载荷等。

(4)结构优化后避开共振区域，证明了优化可行性，对工程具有较好的参考价值。

(5)由于受计算机计算能力限制，进行湿模态分析截取立管长度为15 000 mm，分析海洋立管工况是在全浸段，即管段全部沉浸于海水中，不包括立管的海底土壤区、全浸区、潮差区、浪溅区以及海洋大气区。虽然计算结果不能完全反映立管整体的真实动态响应，但对海洋立管系的动态特性研究具有一定的参考作用。