引言

随着低渗透油藏和稠油油藏的进一步开发，注气提高采收率技术得到了迅速发展^[1-3]。CO₂在原油中溶解度高，能够明显降低原油界面张力和黏度，与水驱相比平均可提高采收率16.38%^[4]，CO₂驱已在美国阿拉斯加Kuparuk River油田、阿曼Safah油田、挪威的Ruth油田、加拿大Brazeau River Nisku油田等国外油田和国内的大庆、胜利、辽河等油田得到了应用^{[5, 6]}。中国大多数油田纵向发育油层较多，各油层有效厚度、渗透率、原油黏度、原油密度差异大，合注CO₂时层间干扰现象严重，生产测试表明中低渗透层基本得不到动用，开发效果较差。分层配注CO₂是解决油田开发层间矛盾，实现高、中、低渗透地层都有效注CO₂，保持地层能量，维持油田长期稳产高产，提高气驱动用储量和采收率的重要手段。本文旨在建立描述多个储层吸气动态-配水器嘴损-井筒压力的分层配注井模型，提出相应的数值求解方法，为分层注CO₂提供了重要的理论依据。

1 数学模型

图 1为分层注气示意图。CO₂从井筒经配气嘴注入各油层，配气嘴控制流量实现分层注气。该过程中CO₂经历了井筒流动、配气嘴限流和注入油层3个阶段，因此分层注气模型应包括描述上述3个过程压力的数学模型。

1.1 注CO₂井筒温度压力耦合模型

CO₂注入过程中常存在相态变化：一般情况下近井口为液态，随着井深增加，温度逐渐增大，CO₂转变为超临界态。注CO₂井筒必须考虑温度对压力的影响^[7-9]。基于动量守恒、质量守恒、能量守恒，建立了注CO₂井筒压力温度耦合数学模型^{[10, 11]}

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{d}}{T_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}Z}} = \dfrac{{2\pi {r_{{\rm{to}}}}{U_{{\rm{to}}}}{\lambda _{\rm{e}}}\left( {{T_{\rm{f}}} - {G_{{\rm{DC}}}}Z - {T_{{\rm{sur}}}}} \right)}}{{W{C_{{\rm{pm}}}}\left[{{\lambda _{\rm{e}}} + {r_{{\rm{to}}}}{U_{{\rm{to}}}}f({\tau _{\rm{D}}})} \right]}}\\ \dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}Z}} = \dfrac{{\rho {\rm{g}}\sin \theta {\rm{ - }}f\dfrac{{\rho {v^2}}}{{2{d_{{\rm{ti}}}}}}}}{{1 - \rho \dfrac{{{v^2}}}{p}}} \end{array} \right.$

(1)

式中：${T_{\rm{f}}}$——注入流体温度，℃；

Z——井深，m；

${r_{{\rm{to}}}}$——油管外半径，m；

${U_{{\rm{to}}}}$——总传热系数，kJ/(m$^2\cdot$h$\cdot$℃)；

${\lambda _{\rm{e}}}$——地层导热系数，kJ/(m$\cdot$h$\cdot$℃)；

${G_{{\rm{DC}}}}$——地温梯度，℃/m；

${T_{{\rm{sur}}}}$——地表温度，℃；

W——注入流量，kg/h；

$C_{{\rm{pm}}}$——注入定压流体比热容，kJ/(kg$\cdot$℃)；

$f({\tau _{\rm{D}}})$——无因次时间函数；

p——压力，Pa；

$\rho$——流体密度，kg/m³；

g——重力加速度，g=9.8 m/s²；

$\theta$——井筒倾角，(°)；

f——摩阻系数，无因次；

v——流速，m/s；

${d_{{\rm{ti}}}}$——油管内直径，m。

式(1)可采用四阶龙格库塔法求解，求解时需要知道CO₂的物性参数黏度、比热容和总传热系数。其中，(1) 黏度：由文献[12]中的方法计算；(2) 比热容：该参数在相变时变化较大，采用计算模型时误差较大，采用查表法得到其不同温度压力下的比热容值，然后进行插值；(3) 总传热系数$U_{\rm{to}}$：井筒总传热系数不仅与井筒结构有关，还受注入CO₂温度影响。由文献[13]计算

${U_{{\rm{to}}}}{\rm{ = }}{\left[{\dfrac{{{r_{{\rm{to}}}}}}{{{r_{{\rm{ti}}}}({h_{\rm{c}}} + {h_{\rm{r}}})}} + \dfrac{{{r_{{\rm{to}}}}}}{{{\lambda _{{\rm{cas}}}}}}\ln \dfrac{{{r_{{\rm{co}}}}}}{{{r_{{\rm{ci}}}}}} + \dfrac{{{r_{{\rm{to}}}}}}{{{\lambda _{{\rm{cem}}}}}}\ln \dfrac{{{r_{\rm{h}}}}}{{{r_{{\rm{co}}}}}}} \right]^{{\rm{ - }}1}}$

(2)

式中：${r_{{\rm{ti}}}}$——油管内半径，m；

${h_{\rm{c}}}$——环空流体的对流传热系数，W/(m$^2\cdot$℃)；

${h_{\rm{r}}}$——环空流体的辐射系数，W/(m$^2\cdot$℃)；

${r_{\rm{co}}}$——套管外半径，m；

${r_{\rm{ci}}}$——套管内半径，m；

${r_{\rm{h}}}$——水泥环半径，m；

${\lambda_{\rm{cas}}}$——套管导热系数，W/(m$\cdot$℃)；

${\lambda_{\rm{cem}}}$——水泥环导热系数，W/(m$\cdot$℃)。

1.2 气嘴压降模型

通过配气嘴实现流量控制是分层注气的关键。CO₂通过配气嘴时所产生的压降一部分转化为速度损失，另一部为不可逆转的涡流损失。根据气体稳定流动及热力学相关理论，可导出嘴流方程

${q_{{\rm{sc}}}} = \dfrac{{{\rm{\pi }}d_2^2}}{4}\dfrac{{{C_{\rm{d}}}}}{{{\rho _{{\rm{sc}}}}}}\sqrt {2{p_1}{\rho _1}} \cdot \\{\kern 42pt} \sqrt {\left( {\dfrac{k}{{k - 1}}} \right)\left[{\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^{\frac{2}{k}}}-{{\left( {\dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{k + 1}}{k}}}}}{{1-{{\left( {\dfrac{{{d_2}}}{{{d_1}}}} \right)}^4} \cdot {{\left( {\dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)}^{\frac{2}{k}}}}}} \right]}$

(3)

式中：

${q_{{\rm{sc}}}}$——标准状态下的体积流量，m³/d；

$d_{\rm{2}}$——气嘴直径，m；

$C_{\rm{d}}$——流量系数，无因次；

$\rho_{\rm{sc}}$——标准状态下流体的密度，kg/m³；

$p_{\rm{1}}$——气嘴入口端面上的压力，Pa；

$\rho_{\rm{1}}$——在气嘴入口状态下流体的密度，kg/m³；

k——气体的绝热指数，无因次；

$d_{\rm{1}}$——嘴前直径，m；

$p_{\rm{2}}$——气嘴出口端面上的压力，Pa。

1.3 地层吸气模型

吸气方程是确定地层注气量的依据，但描述注气动态的文献却很少^[14]。注气早期，注气量少，注入气在地层中形成压差很小，采用径向非达西模型来描述吸气能力

${\psi _{{\rm{wf}}}} - {\psi _{\rm{e}}} = \dfrac{{12.91{q_{{\rm{sc}}}}T}}{{K{K_{{\rm{rg}}}}h}}\left( {\ln \dfrac{{{r_{\rm{e}}}}}{{{r_{\rm{w}}}}} + S + D{q_{{\rm{sc}}}}} \right) $

(4)

式中：${\psi _{{\rm{wf}}}}$——井底拟压力，MPa²/(mPa$\cdot$s)；

${\psi _{{\rm{e}}}}$——气藏拟压力，MPa²/(mPa$\cdot$s)；

T——地层温度，℃；

K——岩石绝对渗透率，$\times$10$^{-3}$ mD；

$K_{\rm{rg}}$——岩石相对渗透率，%；

h——油层厚度，m；

$r_{\rm{e}}$——泄油半径，m；

$r_{\rm{w}}$——井筒半径，m；

S——表皮系数，无因次；

D——惯性(紊流)系数，d/m³。

注气中后期，注入气在地层已经形成相当体积的气体带，此时气体渗流规律已不能再忽略，采用文献[15]中的注气方程

${\psi _{{\rm{wf}}}} - {\psi _{\rm{e}}} = Aq_{{\rm{sc}}}^2 + B{q_{{\rm{sc}}}} $

(5)

式中：A，B——二项式注气系数。

2 模型求解

假设注气温度为$T_0$，注气压力为$p_0$，注入油层数为n，油层i的注入深度为$Z_i$，井筒流压为$p_{{\rm{f}}, i}$，注入量为$q_i$。根据井筒温度压力模型，各层井底压力是关于井深和注入量的函数。那么注气最顶层井筒流压为

${p_{{\rm{f, 1}}}} = {F_{{\rm{f, }}1}}({Z_{\rm{1}}}, \sum\limits_{i = 1}^n {{q_i}} ) $

(6)

第i层($i\geqslant2$)井筒流压是关于注气油层高度差与剩余流量的函数

${p_{{\rm{f, }}i}} = {p_{{\rm{f, }}i{\rm{ - 1}}}} + {F_{{\rm{f, }}i}}({Z_i} - {Z_{i{\rm{ - 1}}}}, \sum\limits_{i = 1}^n {{q_i} - } \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{q_j}} ) $

(7)

将节流气嘴安装在井底各油层，则各油层井底压力即为通过气嘴的嘴前压力，假设油层i的气嘴嘴径为$d_i$，嘴后压力为${p_{{\rm{inj, }}i}}$，有

${d_i} = {F_{\rm{v}}}({p_{{\rm{f, }}i}}, {q_i}, {p_{{\rm{inj, }}i}}) $

(8)

各层的注入压力是关于各层注气量的函数，即

${p_{{\rm{inj, }}i}} = {F_{\rm{e}}}({q_i}) $

(9)

在方程组(6)$\sim$(9)中，共有方程$3n$个，每个油层需要确定${p_{{\rm{f, }}i}}$、$d_i$、${p_{{\rm{inj, }}i}}$，共$3n$个参数，因此能够确定各注气油层所需气嘴嘴径。根据井筒数据和各层注气量迭代可求得各注气层的井筒压力，各层注气量和地层数据可求得气嘴嘴后压力，然后用不同嘴径进行试算可得不同注气层气嘴尺寸。

3 模拟计算分析

吉林油田某井地层平均压力为24.2 MPa，地层温度为98.9 ℃，地温梯度为3.97 ℃/(100 m)，油管内径为62.0 mm，套管内径为161.7 mm，油套管导热系数为56.5 W/(m$\cdot$℃)，水泥环导热系数为14.0 W/(m$\cdot$℃)，采用双管对两目的层进行分层注气，井口注气压力12.0 MPa，注气量3.5$\times$10⁴ m³/d，分层数据见表 1。根据配注量按照本文建立的分层配注CO₂井模型求解，结果为分别采用1.96 mm和3.00 mm油嘴可实现分注，大幅简化了工艺流程。

固定总注气量3.5$\times$10⁴ m³/d，考虑不同注气压力和气量分配的嘴径见表 2(表中比值为油层1与油层2分配的注气量比)。

由表 2可见，当注气压力为8 MPa时，油层1与油层2注气量比大于3：4时不能实现有效配注。主要是由于油层1注气量增加，注气压差增大，导致配气嘴后压力增加，已大于该井口压力下配气嘴上游压力。因此要提高较差的注气能力油层的配注量，井口注气压力需要达到一临界值。同时，在相同的注气量下，增加井口注气压力气嘴直径减小，但减幅有限。

4 结语

(1) 基于井筒温度压力耦合数学模型、嘴损动态模型和地层吸气模型，建立了分层配注CO₂井模型，提出相应的数值求解方法，为实现分层注CO₂提供了理论支持。

(2) 模拟计算表明，要提高较差的注气能力油层的配注量，井口注气压力需要达到一个临界值，因此合理选择井口注气压力以及气嘴直径是实现分层配注的关键。