引言

在随钻测井仪器出现之前，井下地层的信息是依靠电缆测井获得，其中感应类电阻率测井仪器是最常用的测井仪器之一^[1-3]。这类仪器的频率基本在20 kHz左右，收发天线具有多种不同的间距，对应着不同的探测深度，因此测量到的视电阻率曲线中包含着不同探测深度处的电阻率信息。基于几何因子理论，利用软件聚焦技术^[4]可以获得固定探测深度处的电阻率值，这对地质解释人员更好地认识地层的侵入特性以及是否存在低阻环带有很大的帮助。随着勘探和开发技术的进步，出现了随钻测井^[5-6]，随钻电磁波电阻率仪器^[7-11]在地层评价中开始发挥越来越大的作用。这类仪器多采用几百千赫兹到几兆赫兹的频率，并且具有多个收发源距，测量的信息中同样包含着多个探测深度处的电阻率信息。由于其与感应类仪器的原理不同，几何因子理论不再适用，且原始的测量曲线探测深度关系不确定，不能与阵列感应曲线直接比较，但工程上常需要在几个月甚至几年后进行阵列感应的测量，并希望通过对两者的比较，获得储层的侵入特性变化及剩余油气体积信息。为解决上述问题，本文提出了一种合成方法，可以得到具有固定探测深度的随钻电磁波电阻率曲线，方便与阵列感应曲线的对比，这对地质解释人员更方便地评价地层特性具有重要的意义。

本文的合成方法通过下面几个步骤实现：首先对测井曲线进行井眼校正，然后利用迭代反演方法同时对围岩及相对倾角进行校正，实现各条曲线的分辨率匹配，之后进行三参数反演得到侵入半径、侵入带电阻率和原状地层电阻率，最后采用提出的伪源距概念实现固定探测深度处视电阻率值计算。由于随钻过程中很多情况下井眼不需要校正，即便校正，方法也非常简单，这里就不再赘述。

1 相对倾角及围岩同时校正的迭代反演方法

在垂直井和大斜度井中，随钻电磁波传播电阻率测井仪会受围岩的影响，其中大斜度井中仪器还会受仪器与地层相对倾角的影响^[12-16]，去除这些影响的传统方法是图版法。这种方法实现简单，但在多点校正时会因工作量大而不适用，因此本文采用了一种基于正演数值模拟的迭代反演方法，此方法适用于多点反演，可以较大限度地消除相对倾角和围岩的影响，改善仪器的分辨率。

1.1 方法原理

当地层界面已知时，一般的反演方法都能取得较好的效果。但当地层界面未知，需要从测井曲线中提取时，许多反演方法就难以达到理想的效果。随钻电磁波传播电阻率测井仪大多数都具有对称结构，可以将相位差和幅度比曲线的交点定为地层界面，也可以利用曲线求导的方法获得地层界面。然后采用纵向一维的正演模型，利用格林函数方法^{[17- 20]}实现正演计算，反演时本文采用下面的迭代过程

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sigma _j^n = {\alpha ^n}\sigma _j^{n-1} + {\beta ^n}\left( {\sigma _j^{{\rm{mea}}}-f_j^{n-1}} \right){\rm{, }}n = 1}\\ {\sigma _j^n = {\alpha ^n}\sigma _j^{n - 1} + {\beta ^n}\left( {\sigma _j^{{\rm{mea}}} - f_j^{n - 1}} \right)\frac{{\sigma _j^{n - 1} - \sigma _j^{n - 2}}}{{f_j^{n - 1} - f_j^{n - 2}}}{\rm{, }}n > 1} \end{array}} \right. $

(1)

式中：

$\sigma _j^n$，$\sigma _j^{n - 1}$和$\sigma _j^{n - 2}$第j个点经过第n，$n-1$和$n-2$次迭代后的电导率值；

$\sigma _j^{\rm{mea}}$—第j个点实际测量电导率值；

$f_j^{n - 1}$和$f_j^{n - 2}$—利用第n和$n-1$次的迭代结果计算得出的第j个点的模拟测量电导率值；

$\alpha^n$和$\beta^n$—第n次迭代的权重因子，一般情况下分别取1即可有很好的效果。

1.2 数值模拟

在进行围岩及相对倾角校正时，通常选分辨率较高的曲线，本例中选取仪器的频率为2 mHz，源距为0.508 m，两接收线圈间距为0.2032 m，仪器和地层的相对倾角为60°，地层模型选为Oklahoma地层，该地层的层厚和相邻两层的电阻率对比度变化范围较广，是验证算法常用的典型地层。反演中地层边界采用曲线求导的方式获得，模拟结果见图 1。观察发现，大多数地层的反演结果与真值基本吻合，只是在上百欧姆米的高阻层时结果与真值存在很小偏差，这主要是曲线求导获得的边界与真实值存在差异造成的，并不影响该方法的有效性。

2 径向三参数反演

完成围岩校正后，可以近似认为仪器在每层中的响应只受侵入的影响，可以采用径向一维反演获得侵入带电阻率、侵入半径及原状地层电阻率三参数。本文的反演方法采用高斯牛顿梯度下降法。

2.1 高斯牛顿-梯度下降法

在给定反演初始值${\boldsymbol{x} _{\rm{c}}}$的情况下，三参数反演过程可以转化为求解带约束条件的线性最小方差问题

$ \min \left\{ {\left\| {\boldsymbol{b} -\boldsymbol{J} \delta \boldsymbol{} \boldsymbol{x}} \right\|:\left\| {\delta \boldsymbol{x} } \right\| \le \Delta } \right\} $

(2)

式中：

b=f-F(x_c)—函数值的差；

f—实测的响应值；

F(x_c)—模拟计算的响应值；

J—雅可比矩阵；

δx—待求解的参数x的变化量；

Δ—参数变化量的约束值。

根据给定的初始值求解式(2)得到δx值，则更新后x=x_c+δx，这种方法的重点在于如何计算式(2)，首先对雅可比矩阵J进行奇异值分解，如式(3)

$ \boldsymbol{J} = \boldsymbol{Y}\mathit{\pmb{\Lambda}} {\boldsymbol{V}^{\rm{T}}} $

(3)

其中，U和V分别为M×N和N×N阶矩阵，且满足U^TU=V^TV=I，I为单位矩阵，Λ为N×N阶的对角矩阵，包含奇异值

$ {\lambda _1} \ge {\lambda _2} \ge \cdots \ge {\lambda _j} \ge \cdots \ge {\lambda _p} > 0, \\ {\lambda _{p + 1}} = {\lambda _{p + 2}} = \cdots = {\lambda _N} = 0 $

(4)

其中，p为雅可比矩阵J的秩。若不考虑约束条件$\left\| {\delta {\bf{\boldsymbol{x} }}} \right\| \le \Delta $，式(2)的一般解为

$ \delta \boldsymbol{x} = \boldsymbol{V}{\mathit{\pmb{\Lambda}} ^{ - 1}}\boldsymbol{g} $

(5)

其中，g=U^Tb, Λ的元素为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Lambda _{jj}^{-1} = 1/{\lambda _j}{\rm{, }}{\lambda _j} > 0}\\ {\Lambda _{jj}^{-1} = 0{\rm{, 其他}}} \end{array}} \right. $

(6)

实际求解式(2)时，由于非零奇异值有可能很小，容易出现上溢，因此，为了使迭代过程稳定，引进阻尼因子$\mu>0$，将$1/\lambda_j$修正为$\lambda_j/(\lambda_j^2+\mu)$。则式(2)的解可以写成式(7)

$ \delta \boldsymbol{x}\left( \mu \right) = \boldsymbol{V}{\left( {{\mathit{\pmb{\Lambda}} ^2} + \mu \boldsymbol{I}} \right)^{ - 1}}\mathit{\pmb{\Lambda}} \boldsymbol{g} $

(7)

当μ=0，$\left\| {\delta \boldsymbol{x} \left( 0 \right)} \right\| \le \Delta $时，式(2)的解为$\delta \boldsymbol{x} \left( 0 \right)$，否则存在一个唯一的μ使

$ \phi \left( \mu \right) = \left\| {\delta \boldsymbol{x} \left( \mu \right)} \right\|-\Delta = 0 $

(8)

则相应的$\delta \boldsymbol{x} (\mu )$即为方程(2)的解。实际上并不需要非常精确的求解式(8)，只需令$\delta \boldsymbol{x} $满足$0.75\Delta \le \left\| {\delta \boldsymbol{x} \left( \mu \right)} \right\| \le 1.5\Delta $即可。这样通过迭代的方法很容易得到

$ {\mu ^{k + 1}} = {\mu ^k}-\left( {\left\| {\delta {\bf\boldsymbol {x}}\left( {{\mu ^k}} \right)} \right\|/\Delta } \right)\phi \left( {{\mu ^k}} \right)/\phi '\left( {{\mu ^k}} \right) $

(9)

其中

$ \phi '\left( {{\mu ^k}} \right) = \frac{{[\delta \boldsymbol{x} {{\left( {{\mu ^k}} \right)}^{\rm{T}}}\boldsymbol{V} {{\left( {{\mathit{\pmb{\Lambda}} ^2} + {\mu ^k}\boldsymbol{I} } \right)}^{-1}}{\boldsymbol{U} ^{\rm{T}}}\delta x\left( {{\mu ^k}} \right)]}}{{\left\| {\delta {\bf\boldsymbol {x}}\left( {{\mu ^k}} \right)} \right\|}} $

(10)

2.2 数值模拟

选择仪器的频率为2 mHz和400 kHz，源距为0.5080，0.7620，1.1684 m，两个接收线圈间距为0.2032 m。给定侵入电阻率R_xo=1.0Ω·m，原状地层电阻率$R_{\rm{t}}$=100.0Ω·m，侵入半径r=2.032 m，选择频率为2 mHz，源距为0.5080 m幅度比视电阻率、频率为400 kHz，源距为0.7620 m相位差视电阻率、频率为2 mHz，源距为1.1684 m相位差视电阻率作为反演中的实测数据，设定迭代初始值为R_xo=2.0Ω· m，R_t=120.0Ω·m，侵入半径r=0.254 m，迭代结果如表 1，可以看出，迭代4次的结果便能与原始值较好地吻合。

通过其他模拟算例发现，只要不选择与侵入电阻率或真实电阻率值相近的视电阻率曲线，都能反演出满意的结果，并且只需几步迭代即可，说明了该反演方法的有效性和快速性。

3 固定探测深度曲线实现方法

获得地层的侵入带电阻率、侵入半径及原状地层电阻率之后，利用提出的伪源距的概念，对固定探测深度处的视电阻率值进行计算。

3.1 探测深度的定义

随钻电磁波电阻率测井仪的探测深度^[21]常定义为侵入带电导率与原状地层电导率对仪器响应的贡献各占50%时的侵入半径深度。假如选取泥浆电阻率R_m=0.06 Ω·m，侵入电阻率R_xo=0.55 Ω·m，原状地层电阻率R_t=30.0 Ω·m的地层，钻铤直径为0.1778 m，井眼直径为0.2032 m，计算的视电阻率随侵入半径变化的曲线见图 2。图中的横直线代表 50%的响应值，每条曲线与该横线的交点处向下的箭头所指的侵入半径即为该曲线的探测深度。图中的2 MHz 0.5080 m R_p和2 MHz 0.5080 m R_a分别代表频率为2 MHz，源距为0.5080 m的相位差视电阻率值和幅度比视电阻率值，其余曲线标识的含义与之类似。

3.2 伪源距的提出与计算

经过三参数反演得到R_xo和R_t后，按照上节描述的探测深度的计算方法，计算不同频率和不同源距下的探测深度值，曲线见图 3。

观察发现，探测深度与源距的关系基本成一平滑的曲线。将要合成的探测深度值在图 3中进行插值，得到的源距称之为与固定探测深度对应的伪源距。

3.3 固定探测深度处视电阻率计算

利用得到的R_xo、R_t和r，计算不同频率下，仪器在此径向二层地层模型中视电阻率随源距的变化曲线，见图 4。

观察图 4发现，视电阻率与源距的关系也基本呈平滑的曲线，利用上节得到的伪源距在图 4上进行插值，便得到固定探测深度处的视电阻率值。

3.4 数值举例

以三层地层为例，模型1假设围岩电阻率为R_s，目的层厚d=2 m，目的层R_xo=1.0 Ω·m，R_t=10.0Ω·m，r=0.381 m，采用混合法^[14]进行正演模拟，结果见图 5，图中2 MHz 0.5080 m表示频率为2 MHz，源距为0.5080 m时的视电阻率曲线，其余曲线含义与之类似。选取固定探测深度为0.2540，0.5080，0.7620，1.0160和1.5240 m。利用上面介绍的方法和绘制的多个图版，通过两次插值得出固定探测深度处的视电阻率。计算结果如表 2。

在插值计算过程中，发现外插的精度要低于内插的精度，因此，计算探测深度为0.2540及0.5080 m的电阻率时应尽量选取2 MHz的工作频率，而计算0.7620，1.0160和1.524 m时应尽量选取400 kHz的工作频率。在实际中应根据具体情况进行合理地选择，尽量让固定探测深度处的视电阻率由内插值得到。此例中，0.2540 m和0.5080 m选择2 MHz的相位差视电阻率，0.7620 m选择2 MHz的幅度比视电阻率，1.0160 m选择400 kHz的相位差视电阻率，1.5240 m选择400 kHz的幅度比视电阻率。合成后的曲线应该是矩形脉冲形式，为了与常规的测井曲线相比较，将其处理成图 6所示的形式。

观察图 5发现，由于受侵入和围岩的影响，很难利用图 5的正演测井曲线很好地判断目的层的侵入特性，而从图 6可以清楚地看出，随着探测深度的增加，电阻率逐渐增大，是典型的低侵特征。0.2540 m深度处的电阻率反映的是侵入带的电阻率，0.5080 m深度处的电阻率受侵入和原状地层共同的影响介于两者之间，由于侵入半径为0.381 m，因此，0.7620，1.0160和1.5240 m的曲线基本反映的是原状地层的电阻率，且1.524 m的值与原状地层的电阻率值能很好地吻合。

为进一步说明方法的有效性，模型2将上例中的层厚由2.0 m减小到0.6 m，其余参数不变，考察该方法在薄层中的应用。正演曲线和合成后的曲线见图 7、图 8。

从图 7中看出，由于仪器在薄层中受围岩的影响严重，曲线的值明显低于层厚为2.0 m时的值，而且从曲线的形态很难判断出地层参数的径向分布特性。观察图 8，由于层厚较薄，受围岩的影响严重，致使深探测的合成曲线也无法反映地层的真实电阻率，但曲线随探测深度变化的特征完全和层厚2.0 m的一致，能反映地层径向的电参数分布特性，因此，通过上面两个算例，可以说明本文提出的方法是有效的，能够帮助地质解释人员更好地认识地层剖面，实现更准确的地层评价。

4 结论

(1) 合成的具有固定探测深度的曲线相比原始曲线能很好地反映地层在径向上的变化特征，有助于地质解释人员更好地利用该特征进行地层评价，提升了该仪器的应用价值。

(2) 厚层时，合成的深探测视电阻率值能基本反映真实的地层电阻率值，结果比较可靠。

(3) 薄层时，由于受围岩影响严重而无法反映地层的真实电阻率值，但曲线反映的径向特征规律正确，说明该方法在薄层下仍然具有一定的应用价值。