引言

大段合采油井层间干扰情况较为严重。根据油田生产实际，发现大段合采油井的合采层数^[1]、静压、流压、生产压差^[2]、含水率^[3-9]等因素均对层间干扰程度造成影响。为了提高采收率，合理划分开发层系以及实施分层工艺，有必要对层间干扰现象进行分析。在这方面，前人开展了一些相关研究工作。采用的手段包括利用各种生产资料^{[3-4，10-11]}、取芯检查井^[11]、测井解释资料^[11]、精细油藏研究成果^[12-13]，渗流力学^{[1，6-8，14-20]}、物理模拟^{[3，9-10，13，21-22]}、数值模拟方法^{[1-3，9-10，13，23]}等，研究内容涉及层间干扰影响因素^{[5-6，8-10，21，24]}、规律及对策^{[1, 6, 12, 14]}等方面。本文以层间干扰系数作为定量评价层间干扰程度的指标，通过复相关系数法、灰色关联方法和熵权法确定层间干扰主控因素。

1 层间干扰系数

多层合采层间干扰系数定义为油井各小层分别生产的生产指数之和，与这些小层合采的生产指数的差值，再除以各小层分别生产的生产指数之和。

$ \eta = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{J_i}}-J}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{J_i}} }} $

(1)

式中：η-干扰系数，无因次；J_i-分采时，第i小层的采油指数，i=1，2，...，n，m³（MPa·d）；J-n个小层合采时的采油指数，m³/ (MPa·d)。

2 影响因素相关性分析

复相关为一个要素或变量同时与几个要素或变量之间的相关关系。复相关系数是度量复相关程度的指标，复相关系数越大，表明要素或变量之间的线性相关程度越密切。

2.1 复相关性分析原理

研究平均渗透率、渗透率级差、平均孔隙度、层数、总厚度、平均厚度、厚度级差、黏度、平均静压、静压级差、静压系数级差、平均流压、流压级差、合测生产压差、生产压差级差、分测平均含水率、合测含水率和含水率级差对层间干扰的影响，给定各个因素的n组观察数据矩阵

$ \boldsymbol{A} = {\left( {{x_{ij}}} \right)_{n \times m}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{11}}}&{{x_{12}}}& \cdots &{{x_{1m}}}\\ {{x_{21}}}&{{x_{22}}}& \cdots &{{x_{2m}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{x_{n1}}}&{{x_{n2}}}& \cdots &{{x_{nn}}} \end{array}} \right)_{n \times m}} $

(2)

对第k（k=1，2，···，m）项因素，其均值x_k和方差s_kk为

$ {\bar x_k} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {{x_{jk}}}, k = 1, 2, \cdots, m $

(3)

$ {s_{kk}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {{x_{jk}}-{{\bar x}_k}} \right)}^2}}, k = 1, 2, \cdots, m $

(4)

因素x_i与x_j之间的协方差s_ij为

$ {s_{ij}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{x_{ki}}-{{\bar x}_k}} \right)\left( {{x_{kj}}-{{\bar x}_k}} \right)}, 1 \le i \ne j \le m $

(5)

因素体系的相关矩阵为

$ \boldsymbol{R} = {\left( {{r_{ij}}} \right)_{m \times m}} $

(6)

其中：

$ {r_{ij}} = {s_{ij}}/\sqrt {{s_{ii}}{s_{jj}}} $

(7)

对式中因素体系相关矩阵R进行行列初等变换，记初等变换后的矩阵为

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{R_j}}&{{r_j}}\\ {{r_j}^{\rm{T}}}&1 \end{array}} \right) $

(8)

则x_j与其他因素x₁，···，x_j-1，x _j+1，···，x_m间的复相关系数为

$ \rho _j^2 = r_j^{\rm{T}}R_j^{-1}{r_j}{\rm{, }}j = 1{\rm{, }}2{\rm{, }} \cdots {\rm{, }}m $

(9)

通常采用以下两种方法除去复相关系数较大的对应因素。

阈值法：根据一定的准则给定阈值α，如果对某一因素k，有ρ_k² > α，则可将因素x_k从给定的因素体系中删去。

极值法：比较所有的复相关系数，将最大者除去，直至所有因素复相关系数小于α。

2.2 因素体系的相关性分析

利用复相关系数法对影响因素进行初筛选，计算结果见表 1。

综合阈值法与极值法筛选结果，删除总厚度、分测平均含水率两个影响因素。

3 层间干扰主控因素的确定

灰色关联是指事物之间的不确定关联，简称灰关联。灰色关联分析的目的就是指出各要素之间的不确定关联，找出影响最大的因素。该方法计算方便，对样本数量没有严格要求，不需要典型的分布规律。然而，灰色关联将各评价因素对评价结果的影响视为等权，这是不符合实际的。熵权法是依据因素反映的客观信息来反映其相对重要程度，可避免主观性的缺憾。因此，用熵权法来确定灰色关联分析法中的权数，可对被评价对象进行科学、客观、合理的综合评价。

3.1 确定子序列和母序列

母序列：层间干扰系数。

子序列：层数、平均厚度、厚度级差、渗透率、渗透率级差、孔隙度、黏度、平均静压、静压级差、静压系数级差、平均流压、流压级差、合测生产压差、生产压差级差、合测含水率、含水率级差。

3.2 原始数据的无因次处理

令

$ {b_i}\left( j \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{a_{ij}}-\min ({a_{ij}})}}{{\max ({a_{ij}})-\min ({a_{ij}})}}, i \in {I_1}}\\ {\frac{{\max ({a_{ij}})-{a_{ij}}}}{{\max ({a_{ij}}) - \min ({a_{ij}})}}, i \in {I_2}}\\ {\frac{{\min \left\{ {{a_{ij}}, {\rm{mean}}({a_{ij}})} \right\}}}{{\max \left\{ {{a_{ij}}, {\rm{mean}}({a_{ij}})} \right\}}}, i \in {I_3}} \end{array}} \right. $

(10)

式中：I₁，I₂，I₃越大越优型、越小越优型和适中值型的下标集合，mean（a_ij）满足

$ {\rm{mean}}({a_{ij}}) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} $

(11)

在影响因素中，层数、平均厚度、厚度级差、渗透率级差、孔隙度级差、静压级差、静压系数级差、流压级差、生产压差级差、含水率级差为越大越优型因素；渗透率、孔隙度、黏度、平均静压、平均流压、合测生产压差、合测含水率为适中值型因素。

3.3 计算子序列与母序列的绝对差值、确定最大绝对差值和最小绝对差值

绝对差值

$ {\Delta _i}\left( j \right) = \left| {{b_0}\left( j \right)-{b_i}\left( j \right)} \right| $

(12)

最大绝对差值

$ M = \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_j {\Delta _i}\left( j \right) $

(13)

最小绝对差值

$ m = \mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_j {\Delta _i}\left( j \right) $

(14)

3.4 计算关联系数

$ {\xi _i}(j) = \frac{{m + \rho M}}{{{\Delta _i}\left( j \right) + \rho M}} $

(15)

式中：ρ-分辨系数，无因次，且ρ ∈ [0, 1]，用于提高关联度的分辨率。

3.5 熵权法计算权重

根据熵的定义，可以确定评价因素的熵为

$ {E_i} = k\sum\limits_{i = 1}^m {{p_{ij}}\ln {p_{ij}}} $

(16)

式中：${p_{ij}} = \frac{{{b_{ij}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{b_{ij}}} }} $；k > 0，取k=-1/ln m，ln为自然对数；E≥0；假设p_ij=0时，p_ij ln(p_ij)=0。

计算评价因素的熵权ω

$ {\omega _j} = \frac{{1-{E_j}}}{{n-\sum\limits_{j = 1}^n {{E_j}} }} $

(17)

且满足$\sum\limits_{j = 1}^n {{\omega _j}} = 1 $。

3.6 计算关联度

$ {\gamma _j} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\omega _j}{\xi _i}\left( j \right)} $

(18)

与参考序列越接近，该比较序列越优。

3.7 确定主控因素

根据关联序的大小可确定各因素对参考序列的影响程度大小（表 2）：γ_a>γ_b时，则有a优于b；γ_a < γ_b时，则有a劣于b；γ_a=γ_b时，则有a等价b。

假设一个问题有n个因素I₁，I₂，···，I_n，其重要性大小分别是x₁，x₂，···，x_n，这里，x_i都是正数，其值越大，表明相应的因素越重要。从n个因素中筛选出重要的因素，剔除不重要的因素，其方法如下：将${a_j}_{i = 1}^n$按从大到小排列，不妨仍记为x₁，x₂，···，x_n，并记$x = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} $，求最小的m，使得$\frac{{\sum\limits_{i = 1}^m {{x_i}} }}{x} \ge a $（a为小于1的常数，称为重要性常数），x₁，x₂，···，x_m对应的因素I₁，I₂，···，I_m即为重要性因素。a的选取并无定量规定，应视实际情况而定，一般取a≥0.7。经验表明，取a=0.7是合适的，它不仅能保证所选出来的因素是重要的，而且能保证重要的因素都已被选上。通过这种方法确定层间干扰主控因素，结果见表 3。

4 结论

(1) 通过复相关系数法进行影响因素相关性分析，利用阈值法和极值法进行影响因素筛选，最终确定删除的影响因素为总厚度和分测平均含水率。

(2) 利用基于熵权的灰色关联法计算影响因素与层间干扰系数间的关联度。通过关联度排序，权重加和的方法确定层间干扰的主控因素。最终确定层间干扰主控因素为渗透率级差、层数、静压系数级差、合测含水率、生产压差级差和流压级差。