引言

页岩气是产自致密泥页岩储层中的非常规天然气，在世界范围内具有丰富资源量及广阔的开发前景。但由于页岩储层的储集空间以纳米尺度孔隙为主^[1-6]，天然气在其中的储集和运移均不同于常规气藏^{[7, 8]}。

研究表明，页岩气除以游离态赋存于孔隙及微裂缝中外，还以吸附态附着于页岩基质中^{[9, 10]}。由于吸附气形成的吸附层具有类似液体的性质，因此，吸附层将会对气体在纳米孔隙中的流动造成影响^{[9, 10]}。此外，由于甲烷分子平均自由程与纳米孔喉尺寸相当，分子与孔隙壁面发生碰撞对甲烷的传输具有较大影响，使得气体滑脱、Knudsen扩散成为页岩气在纳米孔隙运移的重要机理^{[7-8, 11-13]}。尽管国内外学者开展了大量的实验及理论研究，但对页岩气储集运移机理的研究还不够全面，特别是吸附及吸附相运移对流动影响的研究还较少。为此，本文全面考虑页岩气吸附、吸附相表面扩散、气体在压差作用下的黏性流动、滑脱及Knudsen扩散等机制，建立了页岩气多运移机理流动数学模型，通过模拟揭示了各运移机制对气体流动的影响。

1 物理模型及假设条件

考虑气体在储层孔喉中的运移机制包括黏性流、滑脱效应、Knudsen扩散，并考虑吸附气对流动的影响及吸附气在浓度差作用下发生的表面扩散，建立页岩气在纳米孔喉单元内流动的物理模型，如图 1所示。

为简化计算，页岩气的流动还满足如下假设条件：(1)模拟介质为单组份甲烷；(2)考虑压力变化对甲烷物性的影响；(3)甲烷吸附遵循Langmuir等温吸附定律，并认为解吸是瞬态完成的；(4)假设吸附气与自由气相互独立，吸附相仅通过改变孔喉有效半径来影响自由气的流动；(5)忽略重力及孔隙的可压缩性。

2 流动数学模型 2.1 吸附-解吸

对于页岩气藏，吸附是一种重要的气体赋存机理。一般认为，吸附于孔隙表面的气体会形成高密度的吸附层。当吸附层厚度与页岩孔隙半径在同一量级时，吸附层将减小孔隙的有效半径，从而阻碍自由气在孔隙中的运移。采用Langmuir方程来表征甲烷的吸附，假设吸附相密度一定，吸附层厚度可按下式表示^[14]

$ d = {d_{\max }}\left( \dfrac{p}{p + p^{}_{\rm{L}}} \right) $

(1)

式中：d——甲烷吸附层的厚度，m；$d_{\max}$——压力趋于无穷大时吸附层厚度，m；$p^{}_{\rm{L}}$——Langmuir压力，Pa；p——孔隙压力，Pa。

因此，考虑气体吸附影响的有效孔隙半径可表示为

$ {r_{{\rm{eff}}}} = {r_{{\rm{pore}}}} - d = {r_{{\rm{pore}}}} - {d_{{\rm{max}}}}\left( {\dfrac{p}{{p + {p^{}_{\rm{L}}}}}} \right) $

(2)

式中：

$r_{\rm{pore}}$——孔隙半径，m；

$r_{\rm{eff}}$——有效孔隙半径，m。

2.2 表面扩散

当页岩气吸附于孔隙壁面时，若存在浓度差，吸附相将开始解吸运移，即发生表面扩散。尽管表面扩散的速率要远低于自由气的流动速率，但是由于吸附相浓度远高于孔隙内自由气浓度，因此，当吸附气体积与自由气体积相比不可忽略时，表面扩散将成为重要的气体运移机制。Cunningham R E等^[15]认为，表面扩散可利用Fick定律来进行描述，其表达式如下

$ {J_{\rm{s}}} = M{D_{\rm{s}}}{C_{\max }}\dfrac{{{p^{}_{\rm{L}}}}}{{{{\left( {p + {p^{}_{\rm{L}}}} \right)}^2}}}\nabla p $

(3)

式中：$J_{\rm{s}}$——吸附气表面扩散质量通量，kg/(m$^2\cdot$s)；M——气体摩尔质量，kg/mol；$D_{\rm{s}}$——表面扩散系数，m²/s；$C_{\max }$——压力无限大时孔隙壁面所能吸附的最大气体浓度，mol/m³；$\nabla p$——压力梯度，Pa/m。

2.3 Darcy流动及滑脱效应

根据Hagen-Poiseuille定律，气体流经圆形截面孔隙的Darcy流动质量通量为^[16]

$ {J_{{\rm{Darcy}}}} = \dfrac{{{r_{{\rm{eff}}}}^2{\rho _{{\rm{avg}}}}}}{{8\mu l}}\Delta p $

(4)

式中：${J_{{\rm{Darcy}}}} $——压差$\Delta p$下自由气流经孔隙的Darcy流动质量通量，kg/(m$^2\cdot$s)；$\rho _{{\rm{avg}}}$——孔隙内气体平均密度，kg/m³；$\mu$——气体黏度，Pa$\cdot$s；l——孔隙长度，m；$\Delta p$——孔隙两端的压差，Pa。

对于纳米孔隙，非滑脱边界条件不再满足，因此需要对式(4)进行校正。Brown G P等^[17]通过引入修正因子F来校正气体在管壁发生滑脱对流动的影响，其定义如下

$ F = 1 + {\left( {\dfrac{{8{\pi}{\rm R}T}}{M}} \right )^{0.5}}\dfrac{\mu }{{p{\kern 1pt} {r_{{\rm{eff}}}}}}\left ( {\dfrac{2}{\alpha } -1} \right ) $

(5)

式中：F——气体滑脱效应校正系数，无因次；R——理想气体常数，R=8.314 472 m$^3\cdot$Pa/(K$\cdot$mol)；T——系统温度，K；$\alpha$——孔隙壁面处的切向动量供给系数，无因次，其值与孔隙壁面形态、气体性质及温度和压力有关，通常(0，1]，取1时表示完全滑脱^[18]。

结合式(4)和式(5)，考虑滑脱效应的气体对流质量通量为

$ {J_{{\rm{adv}}}} = F{J_{{\rm{Darcy}}}} = F\dfrac{{{r_{{\rm{eff}}}}^2{\rho _{{\rm{avg}}}}}}{{8\mu }}\nabla p $

(6)

式中：${J_{{\rm{adv}}}}$——考虑滑脱效应影响的自由气对流质量通量，kg/(m$^2\cdot$s)。

2.4 Knudsen扩散

Javadpour F提出的估算Knudsen扩散系数的表达式为^[19]

$ {D_{\rm{K}}} = \dfrac{{2{r_{{\rm{eff}}}}}}{3}\sqrt {\dfrac{{8{\rm R}T}}{{\pi M}}} $

(7)

考虑真实气体的可压缩性，Knudsen扩散通量可用下式表示^{[17, 18]}

$ {J_{\rm{D}}} = {\rho _{{\rm{avg}}}}{D_{\rm{K}}}{c_{\rm{g}}}\nabla p $

(8)

式中：$D_{\rm{K}}$——Knudsen扩散系数，m²/s；Z——气体偏差因子，无因次；$c_{\rm{g}}$——气体压缩系数，Pa$^{-1}$；${J_{\rm{D}}}$——Knudsen扩散质量通量，kg/(m$^2\cdot$s)。

2.5 总通量及表观渗透率

Javadpour F^[20]和Xiong等^[11]认为，流经纳米孔隙的气体总通量可以表示为表面扩散通量、对流通量和Knudsen扩散通量的线性叠加^[21-23]。因此，对于孔径均匀分布的纳米孔隙中气体质量通量为

$ {J_{\rm{t}}} = {J_{\rm{s}}} + {J_{{\rm{adv}}}} + {J_{\rm{D}}} $

(9)

将式(3)、式(6)及式(8)代入式(9)，得到总通量表达式如下

$ {J_{\rm{t}}} = \left[\dfrac{{{M{D_{\rm{s}}}{C_{\max }} p^{}_{\rm{L}}}}}{{{{(p + {p^{}_{\rm{L}}})}^2}}} + \right.\left. {F\dfrac{{{r_{{\rm{eff}}}}^2{\rho _{{\rm{avg}}}}}}{{8\mu }} + {D_{\rm{K}}}{c_{\rm{g}}}{\rho _{{\rm{avg}}}}} \right]\nabla p $

(10)

通常将仅考虑Darcy流动时的渗透率称为绝对渗透率或Darcy渗透率，而综合考虑气体吸附、Darcy流动、滑脱效应和Knudsen扩散时的渗透率称作表观渗透率。对于圆形截面孔隙，其Darcy渗透率为

$ {K_{\rm{D}}} = \dfrac{{{r_{{\rm{eff}}}}^2}}{8} $

(11)

式中：${K_{\rm{D}}}$——Darcy渗透率，mD。

根据Hagen-Poiseuille方程，流经等径圆形截面孔隙的气体质量通量可表示为

$ {J_{\rm{t}}} = \dfrac{{{K_{{\rm{app}}}}{\rho _{{\rm{avg}}}}}}{\mu }\nabla p $

(12)

结合式(10)和式(12)，可得到表观渗透率

$ {K_{{\rm{app}}}} = \dfrac{{M{D_{\rm{s}}}{C_{\max }}\mu }}{{{\rho _{{\rm{avg}}}}}}\dfrac{{{p^{}_{\rm{L}}}}}{{{{(p + {p^{}_{\rm{L}}})}^2}}} + F\dfrac{{r_{{\rm{eff}}}^2}}{8} + {D_{\rm{K}}}{c_{\rm{g}}}\mu $

(13)

式中：${K_{{\rm{app}}}}$——表观渗透率，mD。

3 计算与讨论

根据所建立的流动模型开展计算。模拟时，首先根据孔隙压力确定吸附层厚度及有效孔隙半径，然后分析各运移机制对流动的影响。主要参数如下：气藏压力为50.00 MPa，气藏温度为333 K，页岩Langmuir压力为4.15 MPa，甲烷摩尔质量为16.04$\times 10^{-3}$ kg/mol，表面扩散系数为1.0$\times 10^{-7}$ m²/s，原始吸附层厚度为0.7$\times 10^{-9}$ m，吸附相最大浓度2.5$\times 10^{-7}$ mol/m³。

图 2所示为孔径、压力与$K_{\rm{app}}/K_{\rm{D}}$的关系曲线。当孔径一定时，压力越低，$K_{\rm{app}}/K_{\rm{D}}$越大；而当压力一定时，孔径越小，$K_{\rm{app}}/K_{\rm{D}}$越大。结合表观渗透率定义可知：孔径越小、压力越低，非达西流动的贡献越大，流动的非线性也越强。

吸附层厚度对甲烷流动的影响如图 3所示。可以看出，孔隙压力越高、孔径越小，考虑吸附层影响的$J_{\rm{t}}$与不考虑吸附层影响$J_{\rm{t}}$的比值越大，说明吸附层对流动的阻碍作用也越强。对于$r_{\rm{pore}} < 40$ nm的孔隙，吸附层对甲烷流动的影响超过5%，其影响不可忽略。

图 4所示为表面扩散通量与总通量之比($J_{\rm{s}}/J_{\rm{t}}$)随孔径及压力的变化情况。当孔隙压力为1.00 MPa时，对于2 nm的孔隙，表面扩散通量对流动的贡献接近40%，而对于$r_{\rm{pore}}>40$ nm的孔隙，可忽略表面扩散对流动的影响。因此在低压条件下，表面扩散是重要的运移机理，且孔隙尺寸越小，表面扩散对气体流动的贡献越大。

Darcy流动对气体运移的贡献随压力及孔径的变化情况如图 5所示。Darcy流动通量占总流动通量的比值与压力、孔隙尺寸成正比。压力越低、孔隙尺寸越小，Darcy流动对气体运移的贡献越小。对于孔径大于400 nm的孔隙，当压力高于3.00 MPa时，Darcy流动通量占总通量的比值超过95%。

滑脱效应对气体流动的影响如图 6所示。当压力低于15.00 MPa时，滑脱效应对气体流动的影响随压力增大迅速减小，而当压力高于15.00 MPa时，压力变化对滑脱效应的影响不大。对于$r_{\rm{pore}}>400$ nm的孔隙，当压力高于3.00 MPa时，可基本忽略气体滑脱的影响。

Knudsen扩散对流动的贡献随压力及孔径的变化情况如图 7所示。在低压条件下，Knudsen扩散对气体运移的影响更为明显；而随着压力升高，Knudsen扩散的影响逐渐减弱。对于$r_{\rm{pore}}>400$ nm的孔隙，当压力高于3.00 MPa时，Knudsen扩散对流动的影响可以忽略。

4 结论

(1) 对于页岩储层，吸附、表面扩散、滑脱效应及Knudsen扩散等均是页岩气在纳米尺度孔隙中流动的重要机制。

(2) 对于孔径小于40 nm的孔隙，气体吸附对流动有较大影响，且压力越高、孔径越小，吸附层厚度越大，吸附相对流动的阻碍作用越强。而压力越低，孔隙尺寸越小，吸附相的表面扩散对气体流动的贡献越大。

(3) 滑脱效应及Knudsen扩散对流动的贡献随压力降低而增大，并且在孔隙半径小于400 nm的孔隙中，滑脱效应及Knudsen扩散对流动的影响不可忽略。当孔隙半径大于400 nm、压力高于3.00 MPa时，Darcy流动仍占主导地位。