引言

目前，非常规油气的开发已经成为国内外油气资源开发的热点，致密油藏作为非常规油藏的重要组成部分在未来油气增产中起着越来越重要的作用^[1-6]。多级压裂水平井作为致密油藏开发的重要手段在近年受到广泛的关注，取得了较多的成果。但是，致密油藏流体渗流不符合达西渗流^[7-22]，应用传统的商业软件进行油田方案设计在致密砂岩油藏开发中必定会造成较大误差，开发适用于致密油藏多级压裂水平井开发的新模型十分必要，因此，有必要结合室内实验和矿区实践建立多级压裂水平井的数值模拟技术，更好地指导致密砂岩的现场开发。

本文基于非线性渗流模型开发了多级压裂水平井三维三相数值模拟模型并对模型进行了验证，运用开发的数值模拟方法，对实际区块进行了历史拟合，并对相关参数进行了敏感性分析，为致密油数值模拟提供了理论支持。

1 非线性多级压裂水平井数值模拟模型

致密油藏流体流动呈现非达西特征，根据低速非达西渗流在致密油藏中的渗流规律^[23-24]，把低速非达西渗流引入数值模拟模型，建立了直井低速非达西数值模拟模型。在前期研究基础上，将数值模拟扩展到多级压裂水平井，并生成多级压裂井三维三相的数值模拟模型，以满足目前致密油藏开发的需求。

1.1 模型假设

(1)油藏中每种流体的流动都在等温下进行；(2)油藏的流体可以是油、气、水三相，也可以是其中任意两相，其中油和水的渗流符合低速非达西渗流，而气相符合达西渗流，在水力压裂裂缝中，各相的渗流符合达西渗流模式；(3)油藏中的烃类是以油相和气相组成的，气可以是自由气也可以是溶解气，而油相中存在油组分和气组分，水中存在部分溶解气；(4)不考虑气组分溶解和逸出所需要的时间，即气体在油相中的溶解和逸出是瞬时完成的；(5)油和气不相互溶解；(6)重力、毛管力等因素在模型中全部考虑。

1.2 数学模型 1.2.1 运动方程

(1) 水力裂缝中渗流方程

假设在渗流过程中流体渗流符合达西公式，水力裂缝中的三相运动方程如下

$ v_{\rm{o}} = - \dfrac{{KK_{{\rm{ro}}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}\nabla p_{\rm{o}} $

(1)

$ v_{\rm{w}} = - \dfrac{{KK_{{\rm{rw}}} }}{{\mu _{\rm{w}} }}\nabla p_{\rm{w}} $

(2)

$ v_{\rm{g}} = - \dfrac{{KK_{{\rm{rg}}} }}{{\mu _{\rm{g}} }}\nabla p_{\rm{g}} $

(3)

式中：

$v_{\rm{o}}$，$v_{\rm{w}}$，$v_{\rm{g}}$——油，水，气的流速，cm/s；

$K_{{\rm{ro}}}$，$K_{{\rm{rw}}}$，$K_{{\rm{rg}}}$——油，水，气的相对渗透率，无因次；

$K$——岩石的绝对渗透率，mD；

$\mu _{\rm{o}}$，$\mu _{\rm{w}}$，$\mu _{\rm{g}}$——油，水，气的黏度，mPa$\cdot$s；

$p_{\rm{o}}$，$p_{\rm{w}}$，$p_{\rm{g}}$——油，水，气的压力，$\times$10$^5$ Pa。

(2)基质中渗流方程

假设在渗流过程中流体渗流符合姜瑞忠^[23]公式，考虑低速非达西渗流低渗透油藏储层的三相运动方程如下

$ v_{\rm{o}} = - \dfrac{{KK_{{\rm{ro}}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}\bigg(1 - \dfrac{{\xi _{1{\rm{o}}} }}{{\nabla p_{\rm{o}} - \xi _{2{\rm{o}}} }}\bigg)\nabla p_{\rm{o}} $

(4)

$ v_{\rm{w}} = - \dfrac{{KK_{{\rm{rw}}} }}{{\mu _{\rm{w}} }}\bigg(1 - \dfrac{{\xi _{1{\rm{w}}} }}{{\nabla p_{\rm{w}} - \xi _{2{\rm{w}}} }}\bigg)\nabla p_{\rm{w}} $

(5)

$ v_{\rm{g}} = - \dfrac{{KK_{{\rm{rg}}} }}{{\mu _{\rm{g}} }}\nabla p_{\rm{g}} $

(6)

式中：

$\xi _{1{\rm{o}}}$，$\xi _{2{\rm{o}}}$，$\xi _{1{\rm{w}}}$，$\xi _{2{\rm{w}}}$——油、水两相的非线性参数，MPa/cm。

1.2.2 连续性方程

油组分方程

$ - \nabla \cdot \left( {\rho _{\rm{o}} v_{\rm{o}} } \right) + q_{\rm{o}} = \dfrac{{\partial \left( {\phi \rho _{\rm{o}} S_{\rm{o}} } \right)}}{{\partial t}} $

(7)

水组分方程

$ - \nabla \cdot \left( {\rho _{\rm{w}} v_{\rm{w}} } \right) + q_{\rm{w}} = \dfrac{{\partial \left( {\phi \rho _{\rm{w}} S_{\rm{w}} } \right)}}{{\partial t}} $

(8)

气组分方程

$ - \nabla \cdot \left( {\rho _{{\rm{od}}} v_{\rm{o}} + \rho _{{\rm{wd}}} v_{\rm{w}} + \rho _{\rm{g}} v_{\rm{g}} } \right) + q_{\rm{g}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left[{\phi \left( {\rho _{{\rm{od}}} S_{\rm{o}} + \rho _{{\rm{wd}}} S_{\rm{w}} + \rho _{\rm{g}} S_{\rm{g}} } \right)} \right] $

(9)

式中：

$\rho _{\rm{o}}$，$\rho _{\rm{w}}$，$\rho _{\rm{g}}$——油，水，气三相的密度，g/cm$^3$；

$q_{\rm{o}}$，$q_{\rm{w}}$，$q_{\rm{g}}$——油，水，气单位时间注入或采出的质量，g；

$\phi$——孔隙度，%；

$S_{\rm{o}}$，$S_{\rm{w}}$，$S_{\rm{g}}$——油，水，气三相的饱和度，无因次；

$\rho _{{\rm{od}}}$，$\rho _{{\rm{wd}}}$——溶解气在油相和水相中的密度，g/cm$^3$；

$t$——时间，s。

1.2.3 数学模型

将运动方程代入连续性方程，得到的流动方程和边界条件、初始条件共同组成了完整的数学模型，具体形式如下。

(1) 水力裂缝中渗流方程

油组分方程

$ \nabla \Bigg[{\dfrac{{KK_{{\rm{ro}}} }}{{B_{\rm{o}} \mu _{\rm{o}} }}\nabla \left( {p_{\rm{o}}-\rho _{\rm{o}} {\rm{g}}D} \right){\rm{}}} \Bigg] + q_{{\rm{ov}}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {\dfrac{{\phi S_{\rm{o}} }}{{B_{\rm{o}} }}} \right) $

(10)

水组分方程

$ \nabla \Bigg[{\dfrac{{KK_{{\rm{rw}}} }}{{B_{\rm{w}} \mu _{\rm{w}} }}\nabla \left( {p_{\rm{w}}-\rho _{\rm{w}} {\rm{g}}D} \right){\rm{}}} \Bigg] + q_{{\rm{wv}}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {\dfrac{{\phi S_{\rm{w}} }}{{B_{\rm{w}} }}} \right) $

(11)

气组分方程

$ \nabla \left[{\dfrac{{R_{{\rm{so}}}\!KK_{{\rm{ro}}}}}{{B_{\rm{o}} \mu_{\rm{o}} }}\nabla\left({p_{\rm{o}}-\rho_{\rm{o}}{\rm{g}}D}\right)}\right]+\nabla \left[{\dfrac{{R_{{\rm{sw}}}KK_{{\rm{rw}}}}}{{B_{\rm{w}}\mu_{\rm{w}}}}\nabla\left({p_{\rm{w}}-\rho_{\rm{w}}{\rm{g}}D}\right)}\right]+\\ \nabla\left[{\dfrac{{KK_{{\rm{rg}}} }}{{B_{\rm{g}}\mu_{\rm{g}}}}\nabla\left({p_{\rm{g}}-\rho_{\rm{g}}{\rm{g}}D}\right)} \right]+q_{{\rm{gv}}} =\\ \hspace{10em}\dfrac{\partial}{{\partial t}}\left[{\phi\left({\dfrac{{S_{\rm{g}}}}{{B_{\rm{g}}}}+\dfrac{{R_{{\rm{so}}} S_{\rm{o}}}}{{B_{\rm{o}}}}+\dfrac{{R_{{\rm{sw}}}S_{\rm{w}}}}{{B_{\rm{w}}}}}\right)}\right] $

(12)

(2) 基质中渗流方程

油组分方程

$ \nabla \bigg[{\dfrac{{KK_{{\rm{ro}}} }}{{B_{\rm{o}} \mu _{\rm{o}} }}\bigg(1-\dfrac{{\xi _{{\rm{1o}}} }}{{\nabla p_{\rm{o}}-\xi _{2{\rm{o}}} }}\bigg)\nabla \left( {p_{\rm{o}}-\rho _{\rm{o}} {\rm{g}}D} \right)} \bigg] +\\ \hspace{3em} q_{{\rm{ov}}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {\dfrac{{\phi S_{\rm{o}} }}{{B_{\rm{o}} }}} \right) $

(13)

水组分方程

$ \nabla \bigg[{\dfrac{{KK_{{\rm{rw}}} }}{{B_{\rm{w}} \mu _{\rm{w}} }}\bigg(1-\dfrac{{\xi _{1{\rm{w}}} }}{{\nabla p_{\rm{w}}-\xi _{2{\rm{w}}} }}\bigg)\nabla \left( {p_{\rm{w}}-\rho _{\rm{w}} {\rm{g}}D} \right)} \bigg] + \\ \hspace{3em}q_{{\rm{wv}}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {\dfrac{{\phi S_{\rm{w}} }}{{B_{\rm{w}} }}} \right) $

(14)

气组分方程

$ \nabla \left[{\dfrac{{R_{{\rm{so}}} KK_{{\rm{ro}}} }}{{B_{\rm{o}} \mu _{\rm{o}} }}\bigg(1-\dfrac{{\xi _{1{\rm{o}}} }}{{\nabla p_{\rm{o}}-\xi _{2{\rm{o}}} }}\bigg)\nabla \left( {p_{\rm{o}}-\rho _{\rm{o}} {\rm{g}}D} \right)} \right] + \\ \nabla \left[{\dfrac{{R_{{\rm{sw}}} KK_{{\rm{rw}}} }}{{B_{\rm{w}} \mu _{\rm{w}} }}\bigg(1-\dfrac{{\xi _{1{\rm{w}}} }}{{\nabla p_{\rm{w}}-\xi _{2{\rm{w}}} }}\bigg)\nabla \left( {p_{\rm{w}}-\rho _{\rm{w}} {\rm{g}}D} \right)} \right] +\\ \hspace{10em} \nabla \left[{\dfrac{{KK_{{\rm{rg}}} }}{{B_{\rm{g}} \mu _{\rm{g}} }}\nabla \left( {p_{\rm{g}}-\rho _{\rm{g}} {\rm{g}}D} \right)} \right] + q_{{\rm{gv}}} = \\ \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left[{\phi \left( {\dfrac{{S_{\rm{g}} }}{{B_{\rm{g}} }} + \dfrac{{R_{{\rm{so}}} S_{\rm{o}} }}{{B_{\rm{o}} }} + \dfrac{{R_{{\rm{sw}}} S_{\rm{w}} }}{{B_{\rm{w}} }}} \right)} \right] $

(15)

式中：

$B_{\rm{o}}$，$B_{\rm{w}}$，$B_{\rm{g}}$——油，气，水三相的体积系数，无因次；

g——重力加速度，g/s$^2$；

$D$——油藏深度，cm；

$q_{{\rm{ov}}}$，$q_{{\rm{wv}}}$，$q_{{\rm{gv}}}$——油、水、气三相单位时间注入或采出的体积，cm$^3$；

$R_{{\rm{so}}}$，$R_{{\rm{sw}}}$——溶解气在油相和水相中的溶解气油比，cm$^3$/cm$^3$。

1.2.4 辅助方程

饱和度方程

$ S_{\rm{o}} + S_{\rm{w}} + S_{\rm{g}} = 1 $

(16)

毛管压力方程

$ \left\{ \begin{array}{l} p_{{\rm{cow}}} = p_{\rm{o}} - p_{\rm{w}} \\ p_{{\rm{cog}}} = p_{\rm{g}} - p_{\rm{o}} \\ \end{array} \right. $

(17)

初始条件

$ \left\{ \begin{array}{l} \left. {p_{\rm{w}} } \right|_{{\rm{i}} = 0} = p_{{\rm{wi}}} \left( {x, y, z} \right) \\ \left. {S_{\rm{w}} } \right|_{{\rm{i}} = 0} = S_{{\rm{wi}}} \left( {x, y, z} \right) \\ \left. {S_{\rm{o}} } \right|_{{\rm{i}} = 0} = S_{{\rm{oi}}} \left( {x, y, z} \right) \\ \end{array} \right. $

(18)

外边界条件

封闭边界

$ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{\partial \left( {p_{\rm{o}} - \rho _{\rm{o}} {\rm{g}}D} \right)}}{{\partial n}}\left| {_\varGamma } \right. = 0 \\ \dfrac{{\partial \left( {p_{\rm{w}} - \rho _{\rm{w}} {\rm{g}}D} \right)}}{{\partial n}}\left| {_\varGamma } \right. = 0 \\ \dfrac{{\partial \left( {p_{\rm{g}} - \rho _{\rm{g}} {\rm{g}}D} \right)}}{{\partial n}}\left| {_\varGamma } \right. = 0 \\ \end{array} \right. $

(19)

定压边界

$ \left\{ \begin{array}{l} p_{\rm{o}} \left| {_\varGamma } \right. = {\rm{C}} \\ p_{\rm{w}} \left| {_\varGamma } \right. = {\rm{C}} \\ p_{\rm{g}} \left| {_\varGamma } \right. = {\rm{C}} \\ \end{array} \right. $

(20)

内边界条件

利用Peaceman公式^[25]，假设水平井沿$x$方向

$ q_{{\rm{wwell}}} = \rho _{\rm{w}} \dfrac{{KK_{{\rm{rw}}} }}{{\mu _{\rm{w}} }}\dfrac{{2\pi d_x }}{{\ln (r_{\rm{e}} /r_{\rm{w}} ) + s}}(p_{{\rm{wf}}} - p_{\rm{b}} ) $

(21)

$ q_{{\rm{owell}}} = \rho _{\rm{o}} \dfrac{{KK_{{\rm{ro}}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}\dfrac{{2\pi d_x }}{{\ln (r_{\rm{e}} /r_{\rm{w}} ) + s}}(p_{{\rm{of}}} - p_{\rm{b}} ) $

(22)

$ q_{{\rm{gwell}}} = \rho _{\rm{g}} \dfrac{{KK_{{\rm{rg}}} }}{{\mu _{\rm{g}} }}\dfrac{{2\pi d_x }}{{\ln (r_{\rm{e}} /r_{\rm{w}} ) + s}}(p_{{\rm{gf}}} - p_{\rm{b}} ) $

(23)

$ {r_e}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.208\Delta y}&{\Delta y = \Delta z, Ky = Kz}\\ {0.28\frac{{{{[{{({K_y}/{K_z})}^{1/2}}\Delta {z^2} + {{({K_z}/{K_y})}^{1/2}}\Delta {y^2}]}^{0.5}}}}{{{{({K_y}/{K_z})}^{1/4}} + {{({K_z}/{K_y})}^{1/4}}}}}&{其他} \end{array}} \right. $

(24)

式中：C——给定的常数；$p_{{\rm{cow}}}$，$p_{{\rm{cog}}}$——油水，油气两相的毛管力，$\times$10$^5$ Pa；$q_{{\rm{wwell}}}$，$q_{{\rm{owell}}}$，$q_{{\rm{gwell}}}$——水，油，气在井点的产量或注入量，cm$^3$/s；$r_{\rm{e}}$——网格等效半径，cm；$p_{\rm{b}}$——井底压力，$\times$10$^5$ Pa；$p_{{\rm{wf}}}$，$p_{{\rm{of}}}$，$p_{{\rm{gf}}}$——水，油，气裂缝中的压力，$\times$10$^5$ Pa；$d_x$——水平井长度，cm；$K_x$，$K_y$，$K_z$——$x$，$y$，$z$方向渗透率，mD；$n$——油藏外边界法线方向。

对于多级压裂水平井，不同射孔位置的水，油，气之和等于井的总的水，油，气产量或注入量。

2 模型验证

非线性渗流数值模拟模型是在常规黑油模型基础上开发的，当不考虑非线性渗流规律时，有必要对模型中是否保持了常规黑油模型的完备性进行验证。由非线性渗流模型可知，当$\xi _1 $=0，渗流模型退化为达西方程。选取Eclipse软件进行对比验证，将Eclipse软件中的黑油模型模拟结果、非线性渗流数值模拟模型当非线性渗流参数$\xi _1 $=0的模拟结果进行对比分析，以验证非线性渗流数值模拟模型的可靠性。地质模型如图 1，相关参数如表 1。选取累计产油和含水率两个指标进行对比。从图 2可以看出，致密油非线性渗流数值模拟模型在不考虑非线性参数情况下与Eclipse重合，证明了模型的可靠性。

3 致密砂岩多级压裂水平井开发特征研究 3.1 历史拟合

选取X1井进行研究，该井钻遇砂岩厚度10 m，孔隙度分布范围为0.102$\sim$0.193，平均孔隙度0.146，渗透率分布范围为0.08$\sim$4.00 mD，平均渗透率0.90 mD，初始压力34.6 MPa。该井布置13条裂缝，裂缝间距为100 m，裂缝半长为100 m。图 3为历史拟合结果，通过历史拟合，该区非线性参数为$\xi _1$=0.06，$\xi _2$=-0.05，启动压力梯度为0.01 MPa/m。图 4为不同时刻储层压力分布，可以看出，随着开发的进行，压力波及区域不断增加，从水力裂缝周围逐渐扩展到近井周围，产油量递减。

3.2 参数敏感性分析

为了研究不同参数对致密油开发产量的影响，对相关参数进行敏感性分析，模拟过程中考虑定井底压力为15 MPa，预测10 a，其他参数用3.1中历史拟合的结果。

3.2.1 裂缝导流能力

图 5为不同裂缝导流能力下多级压裂水平井累计产油量图，可以看出，裂缝导流能力越大，生产井初始产量越大，累计产量越大。当裂缝导流能力增加到一定程度，如本文中1 000 mD$\cdot$m，累产增加效果不明显，裂缝导流能力有最优值，如本次研究中为3 000 mD$\cdot$m，无因次导流能力约为30。

3.2.2 改造区域规模

图 6为改造区域示意图，假设改造区域穿透整个储层，对称分布于水力裂缝两侧，改造区域渗透率为10 mD。改造区域宽度分别设置0、10 m、30 m和50 m，图 7为不同改造区域宽度下的累计产油量曲线，可以看出，累计产油和初产随着改造区域宽度的增加而增加，因此，在实际施工造缝过程中，应该尽量提高改造区域的规模。本文选取的研究区块基质渗透率为0.9 mD，如果储层更加致密，基质渗透率更低，致密油生产过程中将长期处于线性流动阶段，改造区域的规模将直接决定初产的大小。

3.2.3 改造区域渗透率

图 8为不同改造区域渗透率下，多级压裂水平井累计产油量图，可以看出，改造区域渗透率越大，生产井初始产量越大，累计产量越大。当改造区域渗透率增加到一定程度，累产增加效果不明显。

3.2.4 非线性系数

图 9为不同非线性系数下，多级压裂水平井累计产油量图，可以看出，非线性渗流程度越大，生产井初始产量越小，累计产量越小。非线性渗流程度增加，流体在地下渗流阻力越大，因此，在相同的产量下会消耗较大的地层能量，对实际开发不利。

3.2.5 初始压力

图 10为不同初始压力下，多级压裂水平井累计产油量图，可以看出，初始压力越大，生产井初始产量越大，累计产量越大。初始压力增加，说明地层能量较大，在相同的流动阻力下，能够获得较高的产量。因此，在生产初期，可以合理地提高注采压差以获得较高的产量。

4 结论

(1)考虑致密油的非线性渗流，建立了多级压裂水平井数值模拟模型，该模型可以有效地对多级压裂水平井的生产动态进行模拟。

(2)在历史拟合的基础上，对裂缝导流能力、改造区域规模、改造区域渗透率、非线性系数、初始压力等参数进行了敏感性分析。为获得较高的产量，可以通过增加裂缝导流能力、改造区域规模和改造区域渗透率等方式来获得。}

(3)地层中的非线性流动是流体流动的阻力，会造成过高的能量损耗，减小初期产量。在较高的初始地层压力下，油的初期产量较高，因此，在产油初期，可以适当地提高生产压差，获得较高的累计产油量。