引言

页岩气储层纳米孔隙特征体现了与其他气藏不同的地质特征和渗流特征^[1-4]，页岩气储层基质孔喉直径约为1~1 000 nm，渗透率$1.0\times 10^{-9}$~$1.0\times 10^{-3}$ mD，即使较发育的天然裂缝的渗透率也低于0.1 mD，因此，含大量有机质及纳米孔隙的页岩气基质储层的渗流除了解吸-吸附作用外，由于孔隙中的天然气分子浓度差异引起的扩散作用也在一定条件下对生产具有较大影响。

针对页岩气储层扩散作用机理，国内外学者做了较多研究^[5-9]。2002年，Civan指出，气体在微孔介质中的流动状态取决于介质本身的岩石物理性质和气体分子平均自由程^{[10, 11]}，并归纳总结了Liepman，Stahl和Kaviany等人研究成果，提出利用克努森数划分气体流动区域；2007年阿尔伯特研究中心的Javadpour F等^[12]首次提出了页岩气藏纳米级孔隙中的流动不能简单地以渗流处理，并对页岩气藏中气体的平均自由程和克努森数进行了测试分析；Thorstenson D C等^[13]开展了关于Fick定律描述多孔介质中的气体扩散的应用研究；田冷等^[14]考虑页岩气解吸、扩散、渗流，建立了页岩气多级压裂水平井产能模型。

基于以上成果，结合考虑解吸{\twodash}吸附的页岩气藏压裂水平井的三线性渗流模型，建立了考虑扩散作用的扩展模型，并进行了解析解的推导，从而定量分析扩散作用对页岩气藏生产的影响程度。

1 页岩气渗流扩散作用界限

随着压力梯度的增加，大量的气体从基岩有机质表面解吸出来而进入纳米孔隙中，极低的渗透率较难形成达西渗流，而以页岩气分子由高浓度区向低浓度区的扩散过程为其主要渗流模式，尤其是当孔隙直径很小和压力较低时，扩散作用更为明显。

从分子运动论的观点来看，气体扩散的本质是气体分子不规则热运动的结果，根据气体在多孔介质中的扩散机理的研究^[15-18]，可以用克努森(Knudsen)数评价扩散作用的大小，克努森数($K_{\rm{n}}$)定义为

$ {K_{\rm{n}}} = \dfrac{\lambda }{d} $

(1)

$ \lambda = \dfrac{k_{\rm{B}}T}{{\sqrt 2 \pi {\delta ^2}p}} \times {10^{21}} $

(2)

若保持压力不变，孔隙直径变大时，$K_{\rm{n}}$变小，扩散作用减弱；若保持孔隙直径不变，压力增大时，$K_{\rm{n}}$变小，扩散作用减弱；若孔隙直径很小、压力较高或者孔隙直径较大、压力较低，扩散作用可能很弱，在渗流中可能仅表现为达西渗流，当$K_{\rm{n}}<0.01$时，达西流明显，因此，设定$K_{\rm{n}}<0.01$为扩散作用的适用范围。

1.1 分子自由程与压力关系

以页岩气中的主要成分甲烷分子为例，计算不同压力下气体分子的自由程(其中：$\delta=0.38$ nm，$T=338$ K(K=20℃+273.16))，如图 1所示。

在常温常压下(20℃，0.10 MPa)，甲烷分子的平均自由程约为63.00 nm。在实际页岩气储层中，甲烷分子的压力远大于常压，所以，实际气藏条件下甲烷分子的平均自由程要小的多(图 1)，整体表现为$\lambda$随压力的增大而减小，但压力在0.50~2.00 MPa时出现明显拐点，继而平均自由程缓慢降低；当大于8.00~MPa后，$\lambda$值小于1.00 nm，并最后稳定于0.50 nm。

1.2 不同孔径下克努森数与压力关系图版

气藏温度一定($T=338$ K)时，绘制了不同孔隙直径下克努森数$K_{\rm{n}}$与压力的关系图，如图 2所示。

由图 2可以看出，由直径小于100.00 nm的孔隙构成的页岩气储层，实际生产中，井底压力一般都会低于10.00~MPa，甚至可达到5.00~MPa，因此，其基质的渗流过程会受扩散作用的影响，且孔隙半径越小，随着井底压力的下降，扩散作用越显著。

2 考虑扩散作用的页岩气藏渗流模型 2.1 考虑扩散作用的流动方程

2007年，Florence F A等^{[19, 20]}通过引入克努森系数，提出了适合致密气和页岩气非达西扩散流动渗透率表达式，该表达式把微观渗流转换为了宏观渗流的形式

$ K = {K_0}\left [\dfrac{{128}}{{15{\pi ^2}}}{\tan ^{-1}}(4{K_{\rm{n}}}^{0.4}){K_{\rm{n}}}\right]\left [1 + \dfrac{{4{K_{\rm{n}}}}}{{1 + {K_{\rm{n}}}}}\right] $

(3)

由于页岩气在储层中的流动一般都在高压下进行(大于5.00 MPa)，分子自由程随压力变化已经很小，因此，克努森系数可认为是一个常数，其运动方程可写为

$ v = - \dfrac{K}{\mu }\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} = \\ \,\,\,\,- \dfrac{{{K_0}\left [\dfrac{{128}}{{15{\pi ^2}}}{{\tan }^{-1}}(4{K_{\rm{n}}}^{0.4}){K_{\rm{n}}}\right]\left [1 + \dfrac{{4{K_{\rm{n}}}}}{{1 + {K_{\rm{n}}}}}\right]}}{\mu }\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} $

(4)

运用该方程可建立考虑扩散作用的页岩气藏压裂水平井三线性渗流模型。

2.2 三线性渗流模型

页岩气藏水平井压裂会形成带有一条主裂缝的裂缝网络，页岩气则通过基岩解吸、扩散和渗流到达裂缝网络中，然后，通过主裂缝流入井内，形成了完整的渗流过程。然而，基岩、裂缝网络和主裂缝的渗流有比较明显的区别。基岩是页岩气的存储空间，其渗流多级模式突出；裂缝网络增加渗流通道，形成基岩与主裂缝的连通桥梁，同时，也有部分游离气参与渗流；主裂缝是主要渗流通道，是井与储层之间的接触桥梁，渗透率很高。以上3种介质中的渗流很复杂，按其关系进行简化。即分成如图 3中的3个部分渗流模式，由于天然气在3个部分的渗流速度较为缓慢，因此，假设3个部分都遵循线性渗流，即定义为三线性渗流。

(1) 基岩渗流：基岩中页岩气通过裂缝面渗入裂缝网络，简化为通过基岩整体以线性渗流模式流入裂缝网络系统，其几何规模为平面上的压裂网络区域的3/4；

(2) 裂缝网络渗流：把页岩气在裂缝网络体系中的渗流简化为由两主裂缝中间分别向各自主裂缝的线性渗流，渗流通道是裂缝网络等效渗透率，其值可等价为天然裂缝渗透率，一般为基质渗透率的100倍；

(3) 主裂缝渗流：将主裂缝内的渗流简化为接受两边裂缝网络窜流的主裂缝空间的线性渗流，其渗透率可达到几百，甚至几千毫达西。

根据建立的模型及压裂缝网的分布，定义图 3中的参数：$x_{\rm{e}}$为体积压裂区域半长，$x_{\rm{F}}$为主裂缝半长，按简化规则$x_{\rm{e}}$\bi$x_{\rm{F}}$=3{\bi}1；$y_{\rm{e}}$为两条主裂缝间距的一半，亦为射孔簇间距$d_{\rm{F}}$的一半；水平段长度为$L$，则$n_{\rm{F}}=L/d_{\rm{F}}+1$为主裂缝的条数，每条主裂缝流入水平井的流量为$q_{\rm{F}}=q/n_{\rm{F}}$，$q$为整个水平井的流量。

则3个部分的渗流数学模型为：

基质渗流方程

$ - \dfrac{\partial }{{\partial x}}\left[{{\rho _{{\rm{gm}}}}{v_{\rm{m}}}} \right] = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {{\phi _{\rm{m}}}{\rho _{{\rm{gm}}}} + {\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{E}}}} \right) $

(5)

裂缝网络渗流方程

$ - \dfrac{\partial }{{\partial y}}\left[{{\rho _{{\rm{gf}}}}{v_f}} \right] + 2{q_{{\rm{mf}}}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {{\phi _{\rm{f}}}{\rho _{{\rm{gf}}}}} \right) $

(6)

主裂缝渗流方程

$ - \dfrac{\partial }{{\partial x}}\left[{{\rho _{{\rm{gF}}}}{v_{\rm{F}}}} \right] + 2{q_{{\rm{fF}}}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {{\phi _{\rm{F}}}{\rho _{{\rm{gF}}}}} \right) $

(7)

其中：

${v_{\rm{m}}} = - \dfrac{{{K_{\rm{m}}} \dfrac{{128}}{{15{\pi ^2}}}{{\tan }^{ - 1}}\left (4{K_{\rm{n}}}^{0.4}\right ){K_{\rm{n}}} \left (1 + \dfrac{{4{K_{\rm{n}}}}}{{1 + {K_{\rm{n}}}}}\right )}}{\mu }\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}}；$

${v_{\rm{f}}} = - \dfrac{{{K_{\rm{f}}}}}{\mu }\dfrac{{\partial {p_{\rm{f}}}}}{{\partial y}}；$

${v_{\rm{F}}} = - \dfrac{{{K_{\rm{F}}}}}{\mu }\dfrac{{\partial {p_{\rm{F}}}}}{{\partial y}}；$

${\rho _{\rm{gm}}} = \dfrac{{{p_{\rm{m}}}M}}{{RTz}}；$

${\rho _{\rm{gf}}} = \dfrac{{{p_{\rm{f}}}M}}{{RTz}}；$

${\rho _{\rm{gF}}} = \dfrac{{{p_{\rm{F}}}M}}{{RTz}}；$

${V_{\rm{E}}} = \dfrac{{{V_{\rm{L}}}{p_{\rm{m}}}}}{{{p_{\rm{L}}} + {p_{\rm{m}}}}}；$

${q_{\rm{mf}}} = {\rho _{\rm{gm}}}{q_{\rm{gf}}} = \dfrac{{{p_{\rm{m}}}}}{z}\dfrac{M}{{RT}}\dfrac{{{{\rm k}_{\rm{m}}}}}{\mu }\dfrac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial x}}\left| {_{x = {x_{\rm{F}}}}} \right.；$

${q_{\rm{fF}}} = {\rho _{\rm{gf}}}{q_{\rm{gf}}} = \dfrac{{{p_{\rm{f}}}}}{z}\dfrac{M}{{RT}}\dfrac{{{k_{\rm{f}}}}}{\mu }\dfrac{{\partial {p_{\rm{f}}}}}{{\partial x}}\left| {_{y = {y_{\rm{e}}}}} \right.。$

经过渗流方程的整理和拉普拉斯的变换，可得到单一主裂缝到井筒的流量公式$q_{\rm{F}}$为

$ \begin{split} {q_{\rm{F}}} = & \dfrac{{6.89 \times {{10}^6}\left( {p_{\rm i}^2 - p_{{\rm{wf}}}^2} \right){K_{\rm{f}}}h{C_{{\rm{FD}}}}{x_{\rm{e}}}{{\left\{ {{K_{\rm{m}}}\left[{\dfrac{{128}}{{15{p_{\rm i} ^2}}}{{\tan }^{-1}}\left( {4{K_{\rm{n}}}^{0.4}} \right){K_{\rm{n}}}} \right]\left[{1 + \dfrac{{4{K_{\rm{n}}}}}{{1 + {K_{\rm{n}}}}}} \right]} \right\}}^2}\left( {{y_{{\rm{eD}}}} - \dfrac{{{W_{\rm{D}}}}}{2}} \right)}}{{\pi {y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}T\mu z}}\cdot\\[6pt] & \left[{2{\eta _{\rm{f}}}\left( {{x_{{\rm{eD}}}}-1} \right) + {C_{{\rm{fD}}}}{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}} + {C_{{\rm{FD}}}}^2{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}} \right]t_{\rm{D}}^{ - 1/4} \end{split} $

(8)

其中：

${C_{\rm{FD}}} = {{K_{\rm{F}}}w}/{K_{\rm{f}}x_{\rm{F}}}；$

${C_{\rm{Fd}}} = {K_{\rm{m}}x_{\rm{F}}}/{K_{\rm{m}}y_{\rm{e}}}；$

${x_{\rm{eD}}} = {{{x_{\rm{e}}}}}/{{{x_{\rm{F}}}}}；$

${y_{\rm{eD}}} = {{{y_{\rm{e}}}}}/{{{x_{\rm{F}}}}}；$

${w_{\rm{D}}} = {w}/{{{x_{\rm{F}}}}}；$

${t_{\rm{D}}} = 1.69 \times {10^{ - 7}}\dfrac{{{K_{\rm{f}}}}}{{{\phi _{\rm{f}}}\mu {C_{\rm{tf}}}{x_{\rm{F}}}^2}}t。$

则水平井总的流量$q$为

$ q = {q_{\rm{F}}}{n_{\rm{F}}} $

(9)

3 算例分析 3.1 孔隙直径对扩散作用的影响

由图 1可以看到，储层压力大于8.00 MPa时，分子自由程随着压力的增加而趋于一个定值(0.5 nm左右)，因此，井底压力大于8.00 MPa时，扩散作用将与分子自由程无关，而只与孔隙直径有关。

将多孔介质抽象为一簇毛细管，假设孔隙度一定，应用Poiseuille公式得到不同孔隙直径对应的渗透率。

$ d = 5.66 \times {10^3}\sqrt {\dfrac{K}{\phi }} $

(10)

假设2000 m深的气藏压力为20.00 MPa，基质孔隙度为0.045，则可计算不同孔隙直径受扩散作用引起的渗透率增大程度，结果如表 1。从表中可以看出，随着孔隙直径的增大，扩散作用引起的渗透率增大值在减小，尤其是孔隙小于10.00 nm时，渗透率的变化非常大，当孔隙达到35.70 nm时，扩散带来的渗透率增加趋于0，达到了扩散的适用阈值，亦即若孔隙直径小于35.70 nm时，渗流要考虑扩散作用，若大于35.70 nm时，扩散作用可以不用考虑。

应用考虑扩散作用的模型解析解分析压裂水平井的产量变化，基础数据如表 2所示。

在扩散作用范围内，不同孔隙大小的页岩气储层所对应的气井产量增加值如图 4所示，初产时期，扩散作用所带来的产量增加值最大可达5 000 m$^3$/d，最小也能达到400 m$^3$/d，后期生产时，扩散作用增加的产量也可达到200~1 000 m$^3$/d。可见，当孔隙较小时，扩散作用带来的影响不容忽视。

若已知孔隙直径，以渗透率增加至趋于0为标准，计算扩散作用下的压力阈值为表 3所示，当生产时的压力低于此值时就需要考虑扩散作用。

3.2 不同储层压力下的扩散作用分析

当孔隙直径($d=10$ nm)不变，定井底压力为5.00 MPa进行生产，不同储层原始地层压力下，扩散作用对气井生产的影响如图 5所示。

由图 5可知，储层压力越低，受扩散作用影响越显著，以生产5 a时的产量增加值为例，最大可达到900 m$^3$/d，最小不到200 m$^3$/d，但对于10.00 nm孔隙的储层而言，页岩气的渗流一般都会受扩散作用影响。

3.3 不同深度储层下的扩散作用

对页岩气藏来说，随着储层深度的增加，气藏的压力、温度都会改变，从而扩散作用对气井生产的影响也不同。设气井垂直井筒流压梯度为0.20 MPa/100 m，井口油压为1.00 MPa，地层压力系数为1；地层温度梯度为3℃/100 m，地面温度为20℃，应用产能公式计算扩散作用影响的最大孔隙直径见表 4。

由表 4可知：随着储层深度的增加，扩散作用影响的最大孔隙直径减小，亦即，对较深储层而言，扩散作用的影响要小于浅层。

4 结论

(1)建立的模型产量公式可应用于页岩气藏压裂水平井的考虑扩散作用的理论预测和因素分析。

(2)储层压力条件下，克努森系数受压力的影响变小，孔隙大小起主要作用。孔隙越小，克努森系数越大，扩散作用越大

(3)克努森系数可以评价扩散的影响程度，但在页岩气藏产量分析时，应考虑渗透率的增加程度来分析扩散影响程度。

(4)给出了不同深度页岩气藏压裂水平井考虑扩散作用时的孔隙直径范围。

(5)可根据渗透率、孔隙度、孔隙直径三者的近似关系综合分析扩散影响的适用范围，下一步需要给出考虑扩散作用的定量化建议。

符号说明

$K_{\rm{n}}$——克努森系数，无因次；

$d$——孔隙平均直径，nm；

$\lambda$——气体分子平均自由程，nm；

${\rm k}_{\rm{B}}$——波尔兹曼常数，$\rm{k}_{\rm{B}}$=1.3805$\times 10^{-23}$ J/K；

$T$——温度，K；

p——压力，MPa；

$\delta$——气体分子直径，nm；

$K_0$—基质初始渗透率，mD；

$K$——各个系统中的渗透率，mD；

$\mu$——页岩气的黏度，mPa$\cdot$s；

$\phi$——孔隙度，小数；

$\rho _{\rm{g}}$——各个系统中气体的密度，g/m$^3$；

$\rho _{\rm{gsc}}$——页岩气标准密度，g/m$^3$；

$v$——各个系统中气体的运动速度，m/s；

$q_{\rm{mf}}$——基质到裂缝网络窜流量，m$^3$/d；

$q_{\rm{fF}}$——裂缝网络到主裂缝窜流量，m$^3$/d；

$V_{\rm{E}}$——吸附气量，m$^3$/t；

$V_{\rm{L}}$——Langmuir体积，m$^3$/t；

$p_{\rm{L}}$——Langmuir压力，MPa；

$R$——摩尔常数；

$Z$——气体偏差因子，小数；

$M$——气体摩尔质量，g/mol；

$C_{\rm{tf}}$——裂缝网络综合压缩系数，MPa$^{-1}$；

$\eta$——导压系数，m$^2$/s；

$h$——储层厚度，m；

$p_{\rm{wf}}$——井底压力，MPa；

$p_{\rm{i}}$——原始地层压力，MPa；

$t$——生产时间，d；

$x_{\rm{e}}$——体积压裂区域半长，m；

$x_{\rm{F}}$——主裂缝半长，m；

$y_{\rm{e}}$——两条主裂缝间距的一半，m；

$L$——水平段长度，m；

$w$——主裂缝宽度，m；

$n_{\rm{F}}$——主裂缝的条数；

$d_{\rm{F}}$——射孔簇间距，m；

$q_{\rm{F}}$——每条主裂缝流入水平井的流量，m$^3$/d；

$q$——整个水平井的产量，m$^3$/d；

m，f，F——基质系统，裂缝网络系统，主裂缝系统。