西南石油大学学报（自然版）  2015, Vol. 37 Issue (3): 17-24
引用本文
桑宇, 杨胜来, 郭小哲, 等 .一种已压裂页岩气水平井的产量预测新方法[J]. 西南石油大学学报（自然版）, 2015, 37(3): 17-24.
Sang Yu, Yang Shenglai, Guo Xiaozhe, et al . A New Productivity Prediction Method for Fractured Horizontal Wells in Shale Gas Reservoirs[J]. Journal of Southwest Petroleum University (Science & Technology Edition), 2015, 37(3): 17-24.
一种已压裂页岩气水平井的产量预测新方法    [PDF全文]
桑宇1,2 , 杨胜来1, 郭小哲1, 陈浩1    
1. 中国石油大学(北京)石油天然气工程学院, 北京 昌平 102249;
2. 中国石油西南油气田分公司采气工程研究院, 四川 广汉 618300
收稿日期: 2014-10-08 ; 网络出版时间: 2015-05-20
基金项目: 国家重点基础发展计划(2013CB228006)。
作者简介: 杨胜来, 1961年生, 男, 汉族, 河北辛集人, 教授, 博士生导师, 主要从事油气田开发工程领域的教学和科研工作。E-mail:yangsl@cup.edu.cn;
郭小哲, 1975年生, 男, 汉族, 河北保定人, 副教授, 博士, 主要从事渗流机理及应用研究。E-mail:mbahgg@163.com;
陈浩, 1985年生, 男, 汉族, 辽宁北票人, 博士研究生, 主要从事油气田开发工程研究。E-mail:chenhaomailbox@163.com。
通信作者: 桑宇, 1975年生, 男, 汉族, 重庆合川人, 高级工程师, 博士研究生, 主要从事低渗透及非常规气藏的增产改造室内研究及现场试验。E-mail:sarro@sina.com
摘要: 水平井加多段压裂已成为页岩气藏的主要开发模式, 针对压裂后的页岩气藏具有人工裂缝、天然裂缝及纳米级孔隙等多种流动空间, 开展了渗流数学模型的建立与求解研究。通过等效简化构建了三线性渗流模型, 考虑了具有解吸-吸附作用的基质空间线性渗流、以等效天然裂缝为主的裂缝网络空间线性渗流、等效主裂缝内的线性渗流。对三重渗流分别建立了极坐标空间和拉普拉斯空间下的数学模型, 并对数学模型进行求解, 得出单井气藏的产能公式和井底压力公式。应用所建立模型, 对实际压裂水平井的产能进行了求解, 与实际产量进行对比, 表明利用文中方法建立的模型及解析解进行产能预测分析是可行的。
关键词: 页岩气     渗流     水平井     产量预测     压裂    
A New Productivity Prediction Method for Fractured Horizontal Wells in Shale Gas Reservoirs
Sang Yu1,2 , Yang Shenglai1, Guo Xiaozhe1, Cheng Hao1    
1. School of Petroleum Engineering, China University of Petroleum(Beijing), Changping, Beijing 102249, China;
2. Gas Production Engineering Institute of Southwest Oil & Gas Field Company, Petrochina, Guanghan, Sichuan 618300, China
Abstract: Horizontal wells with hydraulic fracturing are going to be the main method of shale gas production. Fractured shale gas reservoirs have a variety of seepage patterns due to lots of the natural or artificial fracture and nano-scale pore. Establishment and solution of percolation mathematical model has a strong theoretical and practical value. Equivalent simplified three linear flow model is constructed, which includes matrix space linear seepage with desorption and adsorption, mainly equivalent natural fracture of fracture network space linear seepage, linear seepage within the main fracture. Under the polar coordinate space and the Laplace space, we established mathematical models for triple seepage model, and solved them. Finally, we developed single well productivity formula of gas reservoir and bottom hole pressure formula. By applying the established model and the analytical solution, a fractured horizontal well productivity has be calculated. Compared with the actual production, the result shows that analytical solution based on the model can forecast production capacity.
Key words: shale gas     seepage     horizontal well     productivity prediction     fracturing    
引言

页岩气藏是自生自储式气藏[1]，其赋存方式主要是分散在孔隙和裂缝中的游离态和吸附在干酪根和黏土矿物颗粒上的吸附态两大类[2-5]，游离态气体的存储空间相对于低渗或者超低渗砂岩的存储空间要小得多，基本达到纳米级，单纯依靠天然的孔-缝渗流不可能形成较大规模的产量，因此，为了能够有效开发页岩气藏，水平井压裂成为了必要的手段[6-8]。

水平井分段压裂对提高页岩气流出能力的作用主要表现在两个方面：(1)在储层中形成人造缝与天然缝的有效体积缝网沟通，并进一步扩大天然缝的空间以提高缝中游离气的渗流能力；(2)扩大缝与基岩的接触面积，形成有利于基岩游离气扩散或者渗流到裂缝的能力，进而有利于吸附气解吸补充基岩中的游离气，以形成连续的流动[9-11]。

在压裂水平井的页岩气藏储层中，多孔介质空间有基质孔隙、天然裂缝、水力裂缝，页岩气藏的多重孔隙结构决定了其特殊的渗流方式[12]，孔隙结构的多尺度也决定了渗流方式的多尺度，从分子尺度到宏观尺度都有页岩气渗流发生。

针对页岩气渗流模式的压裂水平井的产能计算相当复杂[13]，综合应用各级渗流模式需要建立复杂的数值模型，并需要提供渗流模式使用的判断依据[14-18]，目前尚没有把所有复杂内容包含在一起的研究[19]。

有些学者提出了一种新型的三线性渗流模型，简化了渗流模式，得到了比较好的结果[20]。但原有的三线性渗流模型未考虑页岩气储层中最重要的机理：解吸-吸附机理，为了更合理地预测储层的生产能力，本文在原有渗流机理中建立了考虑解吸吸附的解析解模型[21]，并进行了产能计算。

1 三线性渗流模型

页岩气藏水平井压裂会形成由多簇裂缝构成的裂缝网络，每一簇裂缝都是由一个主裂缝为主的簇裂缝网络(图 1)，在每簇裂缝网络中，页岩气通过基岩解吸后渗流到裂缝网络中，然后通过主裂缝流入井内。

图1 压裂水平井裂缝网络示意图 Fig. 1 Illustration of fractrue network in fractured horizontal wells

然而，基岩、裂缝网络和主裂缝的渗流有着比较明显的区别，基岩是页岩气的存储空间，其渗流包括解吸-吸附、扩散和低速非线性渗流；裂缝网络增加渗流能力，形成基岩与主裂缝的连通桥梁，同时也有部分游离气参与渗流；主裂缝是主要渗流通道，是井与储层之间的接触，其渗透率很高，渗流多为高速非线性渗流。对基岩、裂缝网络和主裂缝形成的复杂渗流模式进行简化，把各系统中复杂渗流都简化成线性渗流，由此，建立了三线性渗流模式。

每簇裂缝网络内的页岩气渗流可分成3个部分(图 2)。

图2 页岩储层三线性渗流构成 Fig. 2 The shale gas trilinear-flow mode

(1)基岩线性渗流：基岩中页岩气通过裂缝面渗入裂缝网络简化为通过基岩整体，以线性渗流模式流入裂缝网络系统；

(2)裂缝网络线性渗流：把页岩气在裂缝网络体系中的渗流简化为由两主裂缝中间分别向各自主裂缝的线性渗流，渗流通道是裂缝网络等效渗透率，其值可等价为天然裂缝渗透率，假设为基质渗透率的100倍；

(3)主裂缝线性渗流：将主裂缝内的渗流简化为接受两边裂缝网络窜流的主裂缝空间的线性渗流，其渗透率可达到几百到几千毫达西。

根据建立的模型及压裂缝网的分布，定义图 2中的参数：xe为体积压裂区域半长，xF为主裂缝半长，按简化规则xe:xF=4；ye为两条主裂缝间距的一半，取自射孔簇间距的一半为dF；水平段长度为L，则主裂缝的条数为nF=L/dF+1；设整个水平井的产量为q，则每条主裂缝流入水平井的流量为qF=q/nF。

2 考虑解吸-吸附数学模型

在极坐标下建立以球形基质为研究对象的各部分渗流数学模型。

2.1 基岩线性渗流

考虑基岩中的解吸-吸附作用[7]，建立质量守恒方程为

$ - \frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}{\rho _{\rm{g}}}v} \right)=\frac{\partial }{{\partial t}}\left({{\rho _{\rm{g}}}{\phi _{\rm{m}}}+{\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{E}}}} \right) $ (1)

其中：$v=- \frac{{{K_{\rm{m}}}}}{\mu }\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial r}}, {\rho _{\rm{g}}}=\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}\frac{M}{{{\rm{R}}T}}, {V_{\rm{E}}}=\frac{{{V_{\rm{L}}}{p_{\rm{m}}}}}{{{p_{\rm{m}}}+{p_{\rm{L}}}}}$。

守恒方程的左边可化为

$ - \dfrac{1}{{{r^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}{\rho _{\rm{g}}}v} \right)=\dfrac{M}{{{\rm{R}}T}}\dfrac{1}{{{r^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}\dfrac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}\dfrac{{{K_{\rm{m}}}}}{\mu }\dfrac{{\partial {p_{\rm m}}}}{{\partial r}}} \right) $ (2)

守恒方程的右边两项整理过程为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial t}}\left({{\rho _{\rm{g}}}{\phi _{\rm{m}}}} \right)=\frac{\partial }{{\partial t}}\left({{\phi _{\rm{m}}}\frac{{{p_{\rm{m}}}M}}{{{\rm{R}}TZ}}} \right)={\phi _{\rm{m}}}\frac{M}{{{\rm{R}}T}}\frac{\partial }{{\partial t}}\left({\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}} \right)}\\ {={\phi _{\rm{m}}}\frac{M}{{{\rm{R}}T}}\left[{{p_{\rm{m}}}\frac{\partial }{{\partial t}}\left({\frac{1}{Z}} \right)+\frac{1}{Z}\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}}} \right]}\\ {={\phi _{\rm{m}}}\frac{M}{{{\rm{R}}T}}\left({ - \frac{{{p_{\rm{m}}}}}{{{Z^2}}}\frac{{\partial Z}}{{\partial {p_{\rm{m}}}}}\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}}+\frac{1}{Z}\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}}} \right)}\\ \begin{array}{l} ={\phi _{\rm{m}}}\frac{M}{{{\rm{R}}T}}\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}\left({\frac{1}{{{p_{\rm{m}}}}} - \frac{1}{Z}\frac{{\partial Z}}{{\partial {p_{\rm{m}}}}}} \right)\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}}\\ ={\phi _{\rm{m}}}\frac{M}{{{\rm{R}}T}}\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}{C_{{\rm{gm}}}}\frac{{\partial {p_m}}}{{\partial t}} \end{array} \end{array} $ (3)

其中：${C_{{\rm{gm}}}}=\dfrac{1}{{{p_m}}} - \dfrac{1}{Z}\dfrac{{\partial Z}}{{\partial {p_{\rm m}}}}$

$ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial t}}\left({{\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{E}}}} \right)=\frac{\partial }{{\partial t}}\left({{\rho _{{\rm{gsc}}}}\frac{{{V_{\rm{L}}}{p_{\rm{m}}}}}{{{p_{\rm{L}}}+{p_{\rm{m}}}}}} \right)=\\ \;{\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{L}}}\frac{{\left({{p_{\rm{m}}}+{p_{\rm{L}}}} \right)\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}} - {p_{\rm{m}}}\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}}}}{{{{\left({{p_{\rm{m}}}+{p_{\rm{L}}}} \right)}^2}}}=\\ {\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{L}}}\frac{{{p_{\rm{L}}}}}{{{{\left({{p_{\rm{m}}}+{p_{\rm{L}}}} \right)}^2}}}\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}} \end{array} $ (4)

因此，方程右边可化为

$ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial t}}\left({{\rho _{\rm{g}}}{\phi _{\rm{m}}}+{\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{E}}}} \right)=\\ \;\;\;\;{\phi _{\rm{m}}}\frac{M}{{{\rm{R}}T}}\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}\left[{{C_{{\rm{gm}}}}+\frac{{{\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{L}}}{p_{\rm{L}}}}}{{{\phi _{\rm{m}}}{\rho _{\rm{g}}}{{\left({{p_{\rm{m}}}+{p_{\rm{L}}}} \right)}^2}}}} \right]\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}} \end{array} $ (5)

定义考虑解吸-吸附的基质综合压缩系数为

$ {C_{{\rm{tm}}}}={C_{{\rm{gm}}}}+\frac{{{\rho _{{\rm{gsc}}}}{V_{\rm{L}}}{P_{\rm{L}}}}}{{{\phi _{\rm{m}}}{\rho _{\rm{g}}}{{\left({{p_{\rm{m}}}+{p_{\rm{L}}}} \right)}^2}}} $ (6)

由此，基质渗流基本微分方程可写为

$ \frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}\frac{{{K_{\rm{m}}}}}{\mu }\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial r}}} \right)={\phi _{\rm{m}}}{C_{{\rm{tm}}}}\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial t}} $ (7)

分别定义基质拟压力函数及导压系数

$ {m_{\rm{m}}}=2\int_0^{{p_{\rm{m}}}} {\frac{p}{{\mu Z}}{\rm{d}}p} $ (8)
$ {\eta _{\rm{m}}}=2.637 \times {10^{ - 4}}\dfrac{{{K_{\rm{m}}}}}{{{\phi _{\rm{m}}}{C_{{\rm{tm}}}}\mu }} $ (9)

基质渗流方程可进一步化为

$ \dfrac{1}{{{r^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}\dfrac{{\partial {m_{\rm{m}}}}}{{\partial r}}} \right)=\dfrac{1}{{{\eta _{\rm{m}}}}}\dfrac{{\partial {m_{\rm{m}}}}}{{\partial t}} $ (10)

定义裂缝导压系数

$ {\eta _{\rm{f}}}=1.82 \times {10^{ - 6}}\dfrac{{{K_{\rm{f}}}}}{{{\phi _{\rm{f}}}\mu {C_{{\rm{tf}}}}}} $ (11)

定义无因次半径、无因次基质拟压力、无因次基质导压系数、无因次坐标xD、yD和无因次时间分别为：${r_{\rm{D}}}=\dfrac{r}{{{r_{\rm{w}}}}}$；${m_{{\rm{mD}}}}=\dfrac{{{K_{\rm{m}}}{y_{\rm{e}}}}}{{1422{q_{\rm{F}}}T}}\left[{{m_{\rm{m}}}({p_{\rm{i}}})-{m_{\rm{m}}}(p)} \right]$；${\eta _{{\rm{mD}}}}=\dfrac{{{\eta _{\rm{m}}}}}{{{\eta _{\rm{f}}}}}$；${x_{\rm{D}}}=\dfrac{x}{{{x_{\rm{F}}}}}$；${y_{\rm{D}}}=\dfrac{y}{{{x_{\rm{F}}}}}$；${t_{\rm{D}}}=1.69 \times {10^{ - 7}}\dfrac{{{K_{\rm{f}}}}}{{{\phi _{\rm{f}}}\mu {C_{{\rm{tf}}}}{x_{\rm{e}}}^2}}t$，将渗流方程无因次化为

$ \dfrac{1}{{{r_{\rm{D}}}^2}}\dfrac{\partial }{{\partial {r_{\rm{D}}}}}\left({{r_{\rm{D}}}^2\dfrac{{\partial {m_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {r_{\rm{D}}}}}} \right)=\dfrac{1}{{{\eta _{\rm{mD}}}}}\dfrac{{\partial {m_{\rm{mD}}}}}{{\partial {t_{\rm{D}}}}} $ (12)

令${\overline m _{{\rm{mD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, {t_{\rm{D}}}} \right)={r_{\rm{D}}}{m_{{\rm{mD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, {t_{\rm{D}}}} \right)$，对渗流方程进行拉普拉斯变换，有

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {m_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {t_{\rm{D}}}}}=\frac{1}{{{r_{\rm{D}}}}}\frac{{\partial {{\bar m}_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {t_{\rm{D}}}}}=\\ \frac{{s{{\bar m}_{{\rm{mD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, s} \right)- {{\bar m}_{{\rm{mD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, 0} \right)}}{{{r_{\rm{D}}}}}=\frac{{s{{\bar m}_{{\rm{mD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, s} \right)}}{{{r_D}}} \end{array} $ (13)
$ \begin{array}{l} \frac{1}{{r_{\rm{D}}^2}}\frac{\partial }{{\partial {r_{\rm{D}}}}}\left({r_{\rm{D}}^2\frac{{\partial {m_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {r_{\rm{D}}}}}} \right)=\\ \frac{1}{{r_{\rm{D}}^2}}\frac{\partial }{{\partial {r_{\rm{D}}}}}\left[{r_{\rm{D}}^2\frac{\partial }{{\partial {r_{\rm{D}}}}}\left({\frac{{{{\bar m}_{{\rm{mD}}}}}}{{{r_{\rm{D}}}}}} \right)} \right]==\frac{1}{{{r_{\rm{D}}}}}\frac{{{\partial ^2}{{\bar m}_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial r_{\rm{D}}^2}} \end{array} $ (14)

故基岩线性渗流的数学模型为

$ \dfrac{{{\partial ^2}{{\overline m }_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial r_{\rm{D}}^2}} - \dfrac{s}{{{\eta _{{\rm{mD}}}}}}{\overline m _{{\rm{mD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, s} \right)=0 $ (15)

其边界条件为${x_{{\rm{eD}}}}=\dfrac{{{x_{\rm{e}}}}}{{{x_{\rm{F}}}}}$；${\left.{\dfrac{{\partial {{\overline m }_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {x_{\rm{D}}}}}} \right|_{{x_{\rm{D}}}={x_{{\rm{eD}}}}}}=0$；${\left.{{{\overline m }_{{\rm{mD}}}}} \right|_{{x_{\rm{D}}}=1}}={\left.{{{\overline m }_{{\rm{fD}}}}} \right|_{{x_{\rm{D}}}=1}}$。

边界条件下得到渗流方程在拉普拉斯空间下的解为

$ {\overline m _{{\rm{mD}}}}={\left({{{\overline m }_{{\rm{fD}}}}} \right)_{{x_{\rm{D}}}=1}}\dfrac{{\cosh \left[{\sqrt {{\rm{s/}}{\eta _{{\rm{mD}}}}} \left({{x_{{\rm{eD}}}}-{x_{\rm{D}}}} \right)} \right]}}{{\cosh \left[{\sqrt {{\rm{s/}}{\eta _{{\rm{mD}}}}} \left({{x_{{\rm{eD}}}}-1} \right)} \right]}} $ (16)
2.2 裂缝网络线性渗流

裂缝网络内渗流极坐标下的渗流方程为

$ - \dfrac{1}{{{r^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}{\rho _{{\rm{gf}}}}{v_{\rm{f}}}} \right)+2{q_{{\rm{mf}}}}=\dfrac{\partial }{{\partial t}}\left({{\rho _{{\rm{gf}}}}{\phi _{\rm{f}}}} \right) $ (17)

其中：${v_{\rm{f}}}=- \frac{{{K_{\rm{f}}}}}{\mu }\frac{{\partial {p_{\rm{f}}}}}{{\partial r}};{\rho _{{\rm{gf}}}}=\frac{{{p_{\rm{f}}}M}}{{{\rm{R}}TZ}}$。

代入渗流方程，得

$ \begin{array}{l} \frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}\frac{{{p_{\rm{f}}}}}{Z}\frac{{{K_{\rm{f}}}}}{\mu }\frac{{\partial {p_{\rm{f}}}}}{{\partial r}}} \right)+{\left.{\frac{2}{r}\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{Z}\frac{{{K_{\rm{m}}}}}{\mu }\frac{{\partial {p_{\rm{m}}}}}{{\partial r}}} \right|_{r={x_{\rm{F}}}}}=\\ \;\;\;\;{\phi _{\rm{f}}}\frac{\partial }{{\partial t}}\left({\frac{{{p_{\rm{f}}}}}{Z}} \right) \end{array} $ (18)

方程右边可表示为

$ {\phi _{\rm{f}}}\dfrac{\partial }{{\partial t}}\left({\dfrac{{{p_{\rm{f}}}}}{Z}} \right)={\phi _{\rm{f}}}\dfrac{{{p_{\rm{f}}}}}{Z}{C_{{\rm{gf}}}}\dfrac{{\partial {p_{\rm{f}}}}}{{\partial t}} $ (19)

其中：${C_{{\rm{gf}}}}=\dfrac{1}{{{p_{\rm{f}}}}} - \dfrac{1}{Z}\dfrac{{\partial Z}}{{\partial {p_{\rm{f}}}}}$。

定义裂缝系统拟压力函数为

$ {m_{\rm{f}}}=\int_0^{{p_{\rm{f}}}} {\frac{p}{{\mu Z}}{\rm{d}}p} $ (20)

渗流方程变为

$ \begin{array}{l} \frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left({{r^2}\frac{{\partial {m_{\rm{f}}}}}{{\partial r}}} \right)+{\left.{\frac{2}{r}\frac{{{K_{\rm{m}}}}}{{{K_{\rm{f}}}}}\frac{{\partial {m_{\rm{m}}}}}{{\partial r}}} \right|_{r={x_{\rm{F}}}}}=\\ \;\;\;\;\frac{{\phi \mu {C_{{\rm{gf}}}}}}{{{K_{\rm{f}}}}}\frac{{\partial {m_{\rm{f}}}}}{{\partial t}}=\frac{1}{{{\eta _{\rm{f}}}}}\frac{{\partial {m_{\rm{f}}}}}{{\partial t}} \end{array} $ (21)

分别定义无因次裂缝导压系数${\eta _{{\rm{fD}}}}=\dfrac{{{\eta _{\rm{f}}}}}{{{\eta _{\rm{f}}}}}=1$，无因次裂缝拟压力${m_{{\rm{fD}}}}=\dfrac{{{K_{\rm{f}}}{x_{\rm{F}}}}}{{{\rm{1422}}{q_{\rm{F}}}T}}\left[{{m_{\rm{f}}}({p_{\rm{i}}})-{m_{\rm{f}}}(p)} \right]$，则无因次化后的裂缝系统的渗流方程为

$ \begin{array}{l} \frac{1}{{r_{\rm{D}}^2}}\frac{\partial }{{\partial {r_{\rm{D}}}}}\left({r_{\rm{D}}^2\frac{{\partial {m_{fD}}}}{{\partial {r_{\rm{D}}}}}} \right)+\\ \;\;\;2{\left.{\frac{{{x_{\rm{F}}}}}{{{r_{\rm{D}}}}}\frac{{{K_{\rm{m}}}}}{{{K_{\rm{f}}}}}\frac{{\partial {m_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {r_{\rm{D}}}}}} \right|_{{r_{\rm{D}}}=\frac{{{x_{\rm{F}}}}}{{{r_{\rm{w}}}}}}}=\frac{{\partial {m_{{\rm{fD}}}}}}{{\partial {t_{\rm{D}}}}} \end{array} $ (22)

按照前文中基质渗流方程的处理方法，对渗流方程进行拉普拉斯变换，得到渗流方程在拉普拉斯空间的形式为

$ \dfrac{{{\partial ^2}{{\overline m }_{{\rm{fD}}}}}}{{\partial r_{\rm{D}}^2}}+\dfrac{2}{{{r_D}{C_{{\rm{fD}}}}}}{\left.{\dfrac{{\partial {{\overline m }_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {r_{\rm{D}}}}}} \right|_{{r_D}=\dfrac{{{x_{\rm{F}}}}}{{{r_{\rm{w}}}}}}}=s{\overline m _{{\rm{fD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, s} \right) $ (23)

其中：${C_{{\rm{fD}}}}=\dfrac{{{K_{\rm{f}}}{x_{\rm{F}}}}}{{{K_{\rm{m}}}{y_{\rm{e}}}}}$。

考虑一维时的裂缝网络线性渗流方程为

$ \dfrac{{{\partial ^2}{{\overline m}_{{\rm{fD}}}}}}{{\partial y_{\rm{D}}^2}}+\dfrac{2}{{{y_{{\rm{eD}}}}{C_{{\rm{fD}}}}}}{\left.{\dfrac{{\partial {{\overline m}_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {x_{\rm{D}}}}}} \right|_{{x_{\rm{D}}}=1}} - s{\overline m_{{\rm{fD}}}}=0 $ (24)

其中：${y_{{\rm{eD}}}}=\dfrac{{{y_{\rm{e}}}}}{{{x_{\rm{F}}}}}$。

基岩渗流解析解得到

$ \frac{{\partial {{\bar m}_{{\rm{mD}}}}}}{{\partial {x_{\rm{D}}}}}{\left| {_{{x_{\rm{D}}}=1}=- {\beta _0}{{\bar m}_{{\rm{fD}}}}} \right|_{{x_{\rm{D}}}=1}} $ (25)

其中：${\beta _0}=\sqrt {s/{\eta _{{\rm{mD}}}}} \tanh \left[{\sqrt {\dfrac{s}{{{\eta _{{\rm{mD}}}}}}} \left({{x_{{\rm{eD}}}}-1} \right)} \right]$。

因此，渗流方程可写成

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\partial ^2}{{\bar m}_{{\rm{fD}}}}}}{{\partial {y_{\rm{D}}}^2}} - {\alpha _0}{{\bar m}_{{\rm{fD}}}}=0\\ \frac{{\partial {{\bar m}_{{\rm{fD}}}}}}{{\partial {y_{\rm{D}}}}}\left| {_{{y_{\rm{D}}}={y_{{\rm{eD}}}}}} \right.=0\\ {{\bar m}_{{\rm{fD}}}}\left| {_{{y_{\rm{D}}}={w_{\rm{D}}}/2}} \right.={{\bar m}_{{\rm{FD}}}}\left| {_{{y_{\rm{D}}}={w_{\rm{D}}}/2}} \right. \end{array} \right. $ (26)

其中：${\alpha _0}=\frac{{2{\beta _0}}}{{{C_{{\rm{fD}}}}{y_{{\rm{eD}}}}}}+\mu;{w_{\rm{D}}}=\frac{w}{{{x_{\rm{F}}}}}$。

由此得到裂缝网络渗流方程的解为

$ {\overline m _{{\rm{fD}}}}\!=\! \left({{{\left.{{{\overline m }_{{\rm{FD}}}}} \right|}_{{y_{\rm{D}}}={w_{\rm{D}}}/2}}} \right)\dfrac{{\cosh \left[{\sqrt {{\alpha _0}} \left({{y_{{\rm{eD}}}}\!-\!{y_{\rm{D}}}} \right)} \right]}}{{\cosh \left[{\sqrt {{\alpha _0}} \left({{y_{{\rm{eD}}}} \!-\! {w_{\rm{D}}}/2} \right)} \right]}} $ (27)
2.3 主裂缝线性渗流

类似前文的处理方法，可得到主裂缝渗流方程

$ \dfrac{{{\partial ^2}{{\overline m}_{{\rm{FD}}}}}}{{\partial x_{\rm{D}}^2}}+{\left.{\dfrac{4}{{{C_{{\rm{FD}}}}}}\dfrac{{\partial {{\overline m}_{{\rm{FD}}}}}}{{\partial {y_{\rm{D}}}}}} \right|_{{y_{\rm{D}}}={w_{\rm{D}}}/2}} - \dfrac{s}{{{\eta _{{\rm{FD}}}}}}{\overline m_{{\rm{FD}}}}=0 $ (28)

其中：

$ \begin{array}{l} {\eta _{{\rm{FD}}}}=\frac{{{\eta _{\rm{F}}}}}{{{\eta _{\rm{f}}}}};\\ {\eta _{\rm{F}}}=1.82 \times {10^{ - 6}}\frac{{{K_{\rm{F}}}}}{{{\phi _{\rm{F}}}\mu {C_{{\rm{tf}}}}}};\\ {C_{{\rm{FD}}}}=\frac{{{K_{\rm{F}}}w}}{{{K_{\rm{f}}}{x_{\rm{F}}}}};\\ {{\bar m}_{{\rm{FD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, {t_{\rm{D}}}} \right)={r_{\rm{D}}}{m_{{\rm{FD}}}}\left({{r_{\rm{D}}}, {t_{\rm{D}}}} \right);\\ {m_{{\rm{FD}}}}=\frac{{{K_{\rm{F}}}{x_{\rm{F}}}}}{{1422{q_{\rm{F}}}T}}\left[{{m_{\rm{F}}}({p_{\rm{i}}})-{m_{\rm{F}}}(p)} \right]. \end{array} $

由裂裂缝网络渗流方程解析解，得到

$ {\left.{\dfrac{{\partial {{\overline m}_{{\rm{fD}}}}}}{{\partial {y_{\rm{D}}}}}} \right|_{{y_{\rm{D}}}={w_{\rm{D}}}/2}}={\left.{ - \beta _{\rm{F}} {{\overline m}_{{\rm{FD}}}}} \right|_{{y_{\rm{D}}}={w_{\rm{D}}}/2}} $ (29)

其中：${\beta _{\rm{F}}}=\sqrt {{\alpha _0}} \tanh \left[{\sqrt {{\alpha _0}} \left({{y_{{\rm{eD}}}}-\dfrac{{{w_{\rm{D}}}}}{2}} \right)} \right]$。

主裂缝渗流方程可写为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\partial ^2}{{\bar m}_{{\rm{FD}}}}}}{{\partial x_{\rm{D}}^2}} - {\alpha _{\rm{F}}}{{\bar m}_{{\rm{FD}}}}=0\\ \frac{{\partial {{\bar m}_{{\rm{FD}}}}}}{{\partial {x_{\rm{D}}}}}\left| {_{{x_{\rm{D}}}=1}} \right.=0\\ \frac{{\partial {{\bar m}_{{\rm{FD}}}}}}{{\partial {x_{\rm{D}}}}}\left| {_{{x_{\rm{D}}}=0}} \right.=- \frac{\pi }{{{C_{{\rm{FD}}}}s}} \end{array} \right. $ (30)

其中：${\alpha _{\rm{F}}}=\dfrac{{4{\beta _{\rm{F}}}}}{{{C_{{\rm{FD}}}}}}+\dfrac{s}{{{\eta _{{\rm{FD}}}}}}$。

由此得到主裂缝渗流方程的解

$ {{\bar m}_{{\rm{FD}}}}=\frac{\pi }{{{C_{{\rm{FD}}}}{s^{1/4}}\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} }}\frac{{\cosh \left[{\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} \left({1-{x_{\rm{D}}}} \right)} \right]}}{{\sinh \left({\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} } \right)}} $ (31)

xD=0时，得到井底压力公式

$ \begin{array}{l} {{\bar m}_{{\rm{wD}}}}=\frac{\pi }{{{C_{{\rm{FD}}}}{s^{1/4}}\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} }}\frac{{\cosh \left({\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} } \right)}}{{\sinh \left({\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} } \right)}}=\\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{\pi }{{{C_{{\rm{FD}}}}{s^{1/4}}\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} \tanh \left({\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} } \right)}} \end{array} $ (32)
3 渗流模型的求解

当x很小时，对于双曲正切函数tanh(x)≈ x；有$\tanh \left({\sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} } \right)\approx \sqrt {{\alpha _{\rm{F}}}} $，则

$ \;{{\bar m}_{{\rm{wD}}}} \approx \frac{\pi }{{{C_{{\rm{FD}}}}{s^{1/4}}{\alpha _{\rm{F}}}}} $ (33)

将αF代入式(33)，整理、化简，得到

$ {{\bar m}_{{\rm{wD}}}}=\frac{{\pi {\eta _{{\rm{FD}}}}}}{{{s^{1/4}}\left({4{\beta _{\rm{F}}}{\eta _{{\rm{FD}}}}+s{C_{{\rm{FD}}}}} \right)}} $ (34)

代入对应参数并化简，得到

$ \begin{array}{l} {{\bar m}_{{\rm{wD}}}}=\frac{{\pi {y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}}}{{4{C_{{\rm{FD}}}}{x_{\rm{e}}}K_{\rm{m}}^2\left({{y_{{\rm{eD}}}} - {w_{\rm{D}}}/2} \right){s^{1.25}}}} \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{2{\eta _{\rm{f}}}\left({{x_{{\rm{eD}}}} - 1} \right)+{C_{{\rm{FD}}}}{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}+C_{{\rm{FD}}}^2{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}}} \end{array} $ (35)

由拉普拉斯反变换，$\frac{{\Gamma \left({m+1} \right)}}{{{s^{m+1}}}}={t^m}\left({m > - 1} \right)$，得到

$ \begin{array}{l} {{\bar m}_{{\rm{wD}}}}=\frac{{\pi {y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}t_{\rm{D}}^{1/4}}}{{4{C_{{\rm{FD}}}}{x_{\rm{e}}}K_{\rm{m}}^2\left({{y_{{\rm{eD}}}} - {w_{\rm{D}}}/2} \right){s^{1.25}}\Gamma }} \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{2{\eta _{\rm{f}}}\left({{x_{{\rm{eD}}}} - 1} \right)+{C_{{\rm{FD}}}}{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}+C_{{\rm{FD}}}^2{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}}} \end{array} $ (36)

由于Γ(1.25)≈ 0.908，进行单位换算，化简，得

$ \begin{array}{l} {{\bar m}_{{\rm{wD}}}}=\frac{{2.04 \times {{10}^{ - 10}}\pi {y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}t_{\rm{D}}^{1/4}}}{{{C_{{\rm{FD}}}}{x_{\rm{e}}}K_{\rm{m}}^2\left({{y_{{\rm{eD}}}} - {w_{\rm{D}}}/2} \right)}} \cdot \\ \;\;\;\;\;{\left[{2{\eta _{\rm{f}}}\left({{x_{{\rm{eD}}}}-1} \right)+{C_{{\rm{FD}}}}{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}+C_{{\rm{FD}}}^2{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}} \right]^{ - 1}} \end{array} $ (37)

将${m_{{\rm{wD}}}}=\dfrac{{{K_{\rm{F}}}h}}{{1422{q_{\rm{F}}}T}}\left[{m\left({{p_i}} \right)-m\left({{p_{{\rm{wf}}}}} \right)} \right]$，代入拟压力函数定义式，得到

$ \begin{array}{l} {q_{\rm{F}}}=\frac{{2{K_{\rm{F}}}h\left({p_{\rm{i}}^2 - p_{{\rm{wf}}}^2} \right)}}{{1422\mu Z{m_{{\rm{wD}}}}T}}=\frac{{6.89 \times {{10}^5}\left({p_{\rm{i}}^2 - p_{{\rm{wf}}}^2} \right)}}{{\pi {y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}T\mu Z}} \cdot \\ \;\;\;\;{K_{\rm{F}}}h{C_{{\rm{FD}}}}{x_{\rm{e}}}k_{\rm{m}}^2\left({{y_{{\rm{eD}}}} - {w_{\rm{D}}}/2} \right)\cdot \\ \;\;\;\;\left[{2{\eta _{\rm{f}}}\left({{x_{{\rm{eD}}}}-1} \right)+{C_{{\rm{fD}}}}{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}+C_{{\rm{FD}}}^2{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}} \right] \end{array} $ (38)

则水平井总的产量为

$ q={q_{\rm{H}}}{n_{\rm{F}}} $ (39)

井底压力与生产时间的关系为

$ \begin{array}{l} p_{\rm{i}}^2 - p_{{\rm{wf}}}^2=\frac{{6.89 \times {{10}^{ - 8}}\pi {y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}T\mu Z{q_{\rm{g}}}t_{\rm{D}}^{1/4}}}{{{C_{{\rm{FD}}}}{x_{\rm{e}}}K_{\rm{m}}^2{K_{\rm{F}}}h\left({{y_{{\rm{eD}}}} - {w_{\rm{D}}}/2} \right)}} \cdot \\ \;\;{\left[{{\eta _{\rm{f}}}\left({{x_{{\rm{eD}}}}-1} \right)+{C_{{\rm{fD}}}}{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}+C_{{\rm{FD}}}^2{y_{{\rm{eD}}}}{\eta _{\rm{m}}}} \right]^{ - 1}} \end{array} $ (40)
4 页岩气储层压裂水平井产能预测

W2-H1井是一口页岩气水平井，该井平均垂深1 530 m，水平段长1 079 m。原计划实施12段分段压裂，在施工过程中，根据微地震监测资料(图 1)减少了一段压裂。

图3 W2-H1井微地震监测成果图 Fig. 3 Micro-seismogram of Well W2-H1

利用微地震解释得到压裂获得的SRV为3 980.8×104 m3，解释的各段人工裂缝参数见表 1。

表1 W2-H1井微地震解释裂缝参数 Table 1 The interpretation fracture parameters of Well W2-H1

利用所建立的考虑解吸-吸附三线性渗流解析模型进行W2-H1井产能分析。人工裂缝参数利用微地震监测解释结果输入模型，产层孔隙度、渗透率等参数主要依据测井资料计算而得。具体参数见表 2。

表2 W2-H1井微地震解释裂缝参数 Table 2 The interpretation fracture parameters of Well W2-H1

该井于2011年8月投产，第1个月最高产量13 467.00 m3/d，平均产量13 122.70 m3/d。连续生产701 d后，平均产量保持在8 239.08 m3/d。

产能分析按照恒定井底流压的生产方式开展计算。预测了2 a的产量情况，并和W2-H1井实际生产数据绘制在同一张图上进行对比分析，见图 4。

图4 W2-H1井实际产量与预测产量对比 Fig. 4 Comparison of the actual production data and predicted data of Well W2-H1

考虑解吸-吸附三线性渗流解析模型所预测的产量与实际产量吻合程度较高。只是在投产初期，模型预测产量明显高于实际生产产量。分析原因，主要是因为实际井在投产之初流压在5.0~5.2 MPa，高于4.0 MPa，因此，产量明显低于模型预测值。而模型采用定压生产，即设定以4.0 MPa的恒定流压生产，这是造成模型预测产量和实际产量存在差异的主要原因。

虽然模型预测的产量曲线和实际产量曲线基本一致，但实际产量的井底流压长时间是在3.0~3.5 MPa，低于模型设定的4.0 MPa，因此模型预测的产量应该是略有偏高。但这不影响对该井产量的大致预测，也说明了所建立的模型可以初步实现页岩气水平井的产能预测，只是尚待下一步进行更多方面的修正和优化。

利用所建立的模型，预测在给定不同井底流压情况下，该井的长期生产动态，计算结果如图 5所示。

图5 不同井底压力产量变化趋势 Fig. 5 The gas production trend of different bottom hole pressure

压裂水平井初期产气量在8 000~16 000 m3/d，但产量递减很快，稳产9 000 m3/d左右最大可达到3 a，之后以2 000~6 000 m3/d的产量稳定生产可达到60 a左右，充分体现了页岩气井的产量低、生产时间长的特点。

5 结语

页岩气压裂水平井渗流很复杂，多尺度的渗流机理计算产能势必更复杂。建立在三线性渗流基础上的数学模型及其解析解提供了简单的计算方法，经过计算分析与对比得到了较为合理的结果，因此，该方法可应用于页岩气藏压裂水平井产能的初略的计算分析。

符号说明

xe-体积压裂区域半长，m；

xF-主裂缝半长，m；

ye-主裂缝半间距，m；

dF-射孔簇半间距，m；

L-水平段长度，m；

nF-主裂缝条数，无因次；

q-井的产量，m3/d；

qF-每条主裂缝流入水平井的流量，m3/d；

r-极半径，m；

t-时间，s；

ρg-气体密度，g/cm3；

ρgsc-标准状态下的气体密度，g/cm3；

v-渗流速度，m/s；

ϕ-孔隙度，%；

K-渗透率，mD；

µ -黏度，mPa·s；

p-压力，MPa；

Z气体偏差因子，无因次；

M气体摩尔质量，g/mol；

R-气体普适常数R=8.314 J/(K·mol)；

T-温度，K；

VL-朗缪尔体积，m3/m3；

pL-朗缪尔压力，MPa；

Cgm-基质不考虑解吸-吸附的综合压缩系数，MPa-1；

Ctm基质考虑解吸-吸附的综合压缩系数，MPa-1；

rw-井眼半径，m；

m-拟压力，MPa2/(mPa·s)；

η-导压系数，无因次；

x-横坐标，m；

y-纵坐标，m；

pi原始地层压力MPa-1；

Ctf裂缝的综合压缩系数MPa-1；

$\overline m$拉普拉斯空间下的拟压力MPa2/({mPa·s})；

s-拉普拉斯变化下的s平面；

ρgf-裂缝系统下的气体密度，g/cm3；

qmf-主裂基质间的流量m3/d；

Cgm裂缝系统的压缩系数，MPa-1；

w-裂缝宽度，m；

${{\bar m}_{{\rm{WD}}}}$-井底无因次压力；

Γ-伽马函数，无因次；

h-厚度，m；

pwf-井底压力，MPa；

qg-气体产量m3/d；

下标m，f，F-基质系统、裂缝网络系统、主裂缝系统；

下标D-无因次变量。

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