引言

利用流管法进行计算是油藏工程研究中的重要方法，在油田新区产能预测、老区水驱评价等方面应用广泛^[1-3]。自1959年前苏联的鲍里索夫应用流管法计算油田注水开发的各项指标起^[4]，国内外学者相继提出一些计算方法，并不断改进完善^[5-8]。这些方法的原则性区别在于对地层非均质性的考虑和水驱油过程的计算^[9-10]。大庆油田的研究人员提出了一套计算方法，该方法是在均质小单元水驱油过程计算公式的基础上，结合统计出的非均质油藏渗透率分布规律进行计算^[11-12]。喻高明指出该方法在无因次时间的定义和处理上存在不足，针对此重新推导了一套非均质油藏水驱开采时各项指标的计算公式，并用油田实例进行了验证^[13-14]。马贤圣等针对桥口油田，以室内实验为基础对多层油藏水驱油状况进行了研究^[15]。邓英尔和刘慈群研究了具有启动压力梯度的油水两相渗流理论和注水开发指标的计算方法^[16]。

目前的注水开发指标概算方法建立在达西定律的基础上，主要应用于中高渗油田开发指标的计算。然而低渗透油层渗流为非达西类型，存在启动压力梯度，非均质油藏各层段并不是从一开始就参与生产。本文针对层状非均质注水开发油藏，在考虑启动压力影响的基础上，推导出了定液量生产时的油藏开发指标计算公式，并通过矿场实例计算进行了验证。

1 假设条件

针对多层非均质油藏(如图 1所示)，其基本假设条件为：

(1) 油藏纵向上由具有独立性质的m层组成，每一层都具有自己独特的性质如孔隙度Φ_i，渗透率K_i，储层厚度h_i，启动压力G_i等；

(2) 不考虑岩石和流体的压缩性；

(3) 假设驱替为非活塞式驱替，忽略重力和毛管力的影响；

(4) 各层启动压力梯度的大小仅受绝对渗透率和流体黏度的影响^[17]，不考虑其随含水饱和度的变化；

(5) 假设层间无窜流，全井的生产指标由各小层出口端指标叠加而成。

启动压力梯度的计算公式为^[18-20]

$ R = a\left( {\dfrac{K}{\mu }} \right)^{ - n} $

(1)

式中：

R—启动压力梯度，MPa/cm；

K—绝对渗透率，mD；

μ—流体黏度，mPa·s；

a，n—具体参数。

2 方法原理

针对某一均质小层，其产液量可以表示为^[4]

$ {q_{{\rm{l}}i}} = \frac{{{K_i}{A_i}\left( {{p_{\rm{e}}}-{p_{{\rm{wf}}}}-{G_i}} \right)}}{{\overline {\lambda _i^{-1}} L}} $

(2)

式中：

q_1i—第i层产液量，×10^-3 cm³/s；

K_i—第i层渗透率，mD；

A_i—第i层横截面积，cm²；

p_e—地层压力，10^-1 MPa；

p_wf—井底流压，10^-1 MPa；

G_i—启动压力，10^-1 MPa，G_i=R_iL；

R_i—第i层启动压力梯度，×10^-1 MPa/cm；

$ \overline {\lambda _i^{ - 1}} $—第i层平均视黏度，mPa·s；

L—井距，cm。

其中平均视黏度的定义为

$ \overline {\lambda _i^{-1}} = \frac{{\int_0^L {\lambda _i^{-1}{\rm{d}}x} }}{{\int_0^L {{\rm{d}}x} }} = \frac{{\int_0^L {\frac{1}{{{K_{{\rm{ro}}}}/{\mu _{\rm{o}}} + {K_{{\rm{rw}}}}/{\mu _{\rm{w}}}}}{\rm{d}}x} }}{{\int_0^L {{\rm{d}}x} }} $

(3)

累积注入孔隙体积倍数Q_i的定义为

$ {Q_i} = \frac{{\int_0^t {{q_{\rm{t}}}{\rm{d}}t} }}{{{V_{\rm{p}}}}} = \frac{{{W_i}}}{{\phi AL}} $

(4)

式中：

λ_i^-1—第i层任一点的视黏度，mPa·s；

K_ro—油相相对渗透率，无因次；

μ_o—油相黏度，mPa·s；

K_rw—水相相对渗透率，无因次；

μ_w—水相黏度，mPa·s；

q_t—某层注入量，×10^-3 cm³/s；

t—时间，s；

A—某层横截面积，cm²；

Q_i—累积注入孔隙体积倍数，无因次；

V_p—某层孔隙体积，×10^-3 cm³；

W_i—某层累积注入量，×10^-3 cm³；

Φ—某层孔隙度，%。

前缘推进方程的解可以表示为

$ {x_{{S_{\rm{w}}}}} = \frac{1}{{A\phi }}{\left( {\frac{{\partial {f_{\rm{w}}}}}{{\partial {S_{\rm{w}}}}}} \right)_{{S_{\rm{w}}}}}\int_0^t {{q_{\rm{t}}}{\rm{d}}t} $

(5)

将式(4)代入式(5)，可得

$ {x_{{S_{\rm{w}}}}} = L{Q_i}{{f'}_{\rm{w}}} $

(6)

式中：

x_Sw—含水饱和度S_w距入口端距离，cm；

f_w—含水饱和度S_w对应的含水率，无因次；

S_w—含水饱和度，无因次；

f_w^′—含水率导数，无因次。

通过式(6)将饱和度分布与Q_i时的f_w^′建立了关系，在所有0≤x≤L情况下，可以计算其饱和度分布。因此可以用数值法或图解法计算式(3)中的积分项，进而确定$ \overline {\lambda _i^{ - 1}} $。

根据文献[11]可知，见水前的平均视黏度为

$ \overline {\lambda _{\rm{b}}^{-1}} = \overline {\lambda _{{\rm{ro}}}^{-1}} + \left( {\overline {\lambda _{{S_{{\rm{wf}}}}}^{-1}} - \overline {\lambda _{{\rm{ro}}}^{ - 1}} } \right){Q_i}{{f'}_{{\rm{wf}}}} $

(7)

式中：

$ \overline {\lambda _{\rm{b}}^{ - 1}} $—见水前平均视黏度，mPa·s；

$ \overline {\lambda _{{{\rm{S}}_{{\rm{wf}}}}}^{ - 1}} $—注入端到驱替前缘之间的平均视黏度，mPa·s；

$ \overline {\lambda _{{\rm{ro}}}^{ - 1}} $—油相区平均视黏度，mPa·s；

f_wf^′—前缘含水率的导数，无因次。

其中，$ \overline {\lambda _{{\rm{ro}}}^{-1}} = \frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{K_{{\rm{ro}}}}{S_{{\rm{w}}i}}}} $，$ \overline {\lambda _{{S_{{\rm{wf}}}}}^{-1}} = \frac{{\int_0^{{{f'}_{{\rm{wf}}}}} {{\lambda ^{{\rm{-1}}}}{\rm{d}}{{f'}_{\rm{w}}}} }}{{{{f'}_{{\rm{wf}}}}}} $可以通过数值积分求得。

见水后平均视黏度为

$ \overline {\lambda _{\rm{a}}^{-1}} = \frac{{\int_0^{{{f'}_{{\rm{w}}2}}} {{\lambda ^{{\rm{-1}}}}{\rm{d}}{{f'}_{\rm{w}}}} }}{{{{f'}_{{\rm{w}}2}}}} $

(8)

其中，积分式$ \int_0^{{{f'}_{{\rm{w}}2}}} {{\lambda ^{{\rm{-1}}}}{\rm{d}}{{f'}_{\rm{w}}}} $可以通过下面的数值积分求得

$ \int_0^{{{f'}_{{\rm{w}}2}}} {{\mathit{\lambda} ^{{\rm{- 1}}}}{\rm{d}}{{f'}_{\rm{w}}}} = \sum\limits_{j = 1}^{n- 1} {\frac{{{{\left( {{\lambda ^{{\rm{- 1}}}}} \right)}_j} + {{\left( {{\lambda ^{{\rm{ - 1}}}}} \right)}_{j + 1}}}}{2}\left[{{{\left( {{{f'}_{\rm{w}}}} \right)}_j}-{{\left( {{{f'}_{\rm{w}}}} \right)}_{j + 1}}} \right]} $

(9)

则全井产液量可以表示为

$ {q_{\rm{l}}} = \sum\limits_{i = 1}^m {\left[{\frac{{{K_i}{A_i}\left( {{p_{\rm{e}}}-{p_{{\rm{wf}}}}-{G_i}} \right)}}{{\overline {\lambda _i^{-1}} L}}} \right]} $

(10)

式中：

$ \overline {\mathit{\lambda} _{\rm{a}}^{ - 1}} $—见水后平均视黏度，mPa·s；

λ^-1—见水后某一点的视黏度，mPa·s；

f_w2^′—出口端含水率的导数，无因次；

(λ^-1)_j，(λ^-1)_j+1—计算点j，j+1处的视黏度，mPa·s；

(f_w^′)_j，(f_w^′)_j+1—计算点j，j+1处的含水率导数，无因次；

q₁—全井产液量，×10^-3 cm³/s。

生产井的井底流压和各层的平均视黏度是随时间不断变化的，且它们的变化互相影响。在各小层产量的计算过程中，每一时间步同时存在着这两个未知量，求解过程中用迭代方法来进行求解。

考虑见水前后渗流阻力的变化，以生产井见水为界将计算过程分为见水前和见水后两个阶段。为了方便计算和描述，把各层按照见水的早晚进行排序，并将渗透率最高、见水最早的层编号为第1层，其他依次为第1, 3，…，m层。

3 见水前开发指标计算方法

记第1层见水突破时该层的累积注入孔隙体积倍数为Q_ibt，在该层的累积注入孔隙体积倍数自0增加至Q_ibt的时间段中，其他层均未见水。将突破前的生产指标分成n步来计算，取第1层累积注入孔隙体积倍数Q_i为$ \frac{{{Q_{i{\rm{bt}}}}}}{n} \times 1 \sim \;\frac{{{Q_{i{\rm{bt}}}}}}{n} \times n $作为自变量，对应时刻t分别记为t₁~t_n。下面以t₁时刻生产指标的计算为例说明。

3.1 对应生产时刻的计算

已知第1层累积注入孔隙体积倍数为$ {Q_i} = \frac{{{Q_{i{\rm{bt}}}}}}{n} $，根据累积注入孔隙体积倍数的定义，有

$ {W^{{t_n}}} = {Q_i}\phi AL $

(11)

$ {W^{{t_n}}} = {W^{{t_{n-1}}}} + \frac{{\left( {q_{{\rm{l}}i}^{{t_{n-1}}} + q_{{\rm{l}}i}^{{t_n}}} \right)}}{2}{\rm{(}}{t_n}-{t_{n - 1}}) $

(12)

式中：

W^t_n-1—t_n-1时刻累积注入量，×10^-3 cm³；

W^t_n—t_n时刻累积注入量，×10^-3 cm³；

q_1i^t_n-1—t_n-1时刻第i层产液量，×10^-3 cm³/s；

q_1i^t_n—t_n时刻第i层产液量，×10^-3 cm³/s；

t_n，t_n-1—第n，n-1步对应的时刻。

式(12)中q_1i^t_n未知，暂时取q_1i^t_n=q_1i^t_n-1，通过联立求解，取n=2，就可以求得对应的生产时刻t₁。

3.2 对应注入孔隙体积倍数的计算

第2层至第m层此时均尚未见水，将求得的t₁代入式(12)及式(11)，分别可得该时刻各层对应的累产液量W_i^t1及累积注入孔隙体积倍数Q_i。

3.3 对应平均视黏度的计算

根据见水前平均视黏度与注入水的孔隙体积倍数的关系即式(7)，可计算出各层在该时刻的平均视黏度。

3.4 井底流压的计算

将该时刻各层的平均视黏度代入式(13)，可以求得此时的井底流压p_wf^t₁

$ p_{{\rm{wf}}}^{{t_1}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{{K_i}{A_i}\left( {{p_{\rm{e}}}-{G_i}} \right)}}{{\overline {\lambda _i^{-1}} L}}}-{q_{\rm{l}}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{{K_i}{A_i}}}{{\overline {\lambda _i^{ - 1}} L}}} }} $

(13)

3.5 生产指标的迭代计算

将p_wf^t₁代入产量式(2)，求得此时刻第1层日产液量p₁₁^t₁。将p₁₁^t₁代入公式(12)中可再次求得生产时刻t₁。比较该步求出的t₁值与第(1)步求得的值的差距，当满足精度要求时便可求出该时刻各层及全井生产指标。然后进行下一时间步的计算，否则将该步求得的t₁重新代入计算，进行迭代校正。

令第1层的Q_i分别取值自$ {Q_i} = \frac{{{Q_{i{\rm{bt}}}}}}{n} \times 2 $至Q_i=Q_ibt，根据第(1)~(5)步的计算方法分别求得对应的生产时刻t₂~t_n及该时刻的全井和各层的生产指标。

4 见水后开发指标计算方法

(1) 为了使计算数据点分布合理，见水后计算过程中以第1层出口端含水饱和度S_w2为自变量。第1层见水突破时的出口端含水饱和度为S_wf，时刻为t_n。取第1层出口端含水饱和度S_w2=S_wf+ΔS_w，不断增加ΔS_w的值，计算每一个S_w2对应的生产时刻及该时刻的全井和各层的生产指标。具体计算步骤与见水前的指标计算步骤类似。

(2) 根据计算出的各层的Q_i分别求得各自的平均视黏度时，需要判断该层是否见水，据此来选择不同的公式进行计算。若Q_i < Q_ibt即该层未见水，则根据式(7)进行计算；若Q_i≥Q_ibt即该层已见水，则根据式(8)进行计算。

(3) 当某一时间步计算出的生产压差小于该层的启动压力时，该层不参与生产，产量为零，累产量不增加，需要重新计算余下各层共同生产时的井底流压。当生产压差大于启动压力时，该层又重新出液。

5 实例分析

某一层状非均质油藏的基本参数为：纵向上分为6层；各层渗透率由大到小分别为：3.0，2.0，1.0，0.8，0.5，0.3 mD；各层厚度均为2 m；油相黏度为20 mPa·s；水相黏度为0.5 mPa·s；日产液量200 m³。按照推导出的开发指标计算方法计算其生产动态。从计算结果中可以看出：

(1) 由于启动压力的不同，各层的有效生产压差不同，因此动用程度也各不相同(见表 1)。见水后由于水淹区的扩大，水相黏度小于油相黏度，随着含水的增加，总的渗流阻力随之减小，在定液量生产时，生产压差逐渐减小。

(2) 保持日产液量200 m³不变进行生产，从图 2中各层产液比例的变化可以看出：见水后，随着含水的增加，渗透率最大层的产液比例越来越大，抑制了其他层的生产，层间干扰加剧。

分析可知，见水后，由于水的黏度比油的黏度小，导致水淹带渗流阻力减小。由于高渗透层进水多，水淹区大，总的渗流阻力减少的幅度大，而低渗透层进水少，水淹带小，总的渗流阻力减少的幅度小。因此，由于渗流阻力变化的这种差异，导致越来越多的水流向高渗透层，高渗透层的产液比例越来越大，抑制了其他层的生产。

6 结论

(1) 建立了考虑启动压力条件下层状非均质油藏注水开发指标的计算方法，可解决多层合采时，低渗层因启动压力大、供液能力低甚至不供液的问题，还可应用于提液等生产措施的效果预测。

(2) 利用所建立的方法对层状非均质油藏生产动态进行计算，结果表明：在定液量生产的情况下，见水后随着含水的增加，生产压差逐渐减小，高渗透率层的产液比例逐渐增大，层间干扰加剧。

(3) 文中是以行列注水条件下开发指标的计算为例进行了公式推导和实例计算，面积注水条件下开发指标计算方法的推导思路与之类似。