引言

中国东部的许多断陷盆地的油藏中，断层非常发育，断层遮挡占有主导地位，许多相邻井的油层不属于同一油藏，也不属于同一断块，现实生产中很难做出符合油藏情况的开发部署，研究断块油藏油井压力特征具有重大意义。中国学者对断块油藏方面进行了大量的研究。周路等对断层连通性及定位进行了研究^[1-2]；卢德唐等考虑井储和表皮效应，从试井曲线方面对两夹角断块油藏油井井底压力特征进行了研究^[3]；王晓冬等通过建立模型对两夹角断块油藏油井井底压力方程进行了解析求解，研究了井底压力变化特征^[4]。

对于断层以不同角度相交的窄小型断块油藏，由于沉积过程中的方向性，使得油藏具有各向异性。各向异性油藏对于渗透率具有方向性，具体表现为：在地层中同一点上，流体向某一个方向流动的渗透率比其他方向大，而在与该方向垂直方向上的渗透率最小。刘月田等研究了各向异性对无限大地层油井产能及井网规划的研究^[5-10]；王海静等研究了各向异性对盒状油藏油井流入动态的影响^[11-12]；王大为等人研究了各向异性对单井或面积井网产量影响^[13-15]，但各向异性对两夹角断块油藏地层压力及油井井底压力影响方面的研究却不多。本文在文献[3]和文献[4]对两夹角断块油藏研究基础上，建立模型分析了各向异性对两夹角断块油藏油井井底压力特征的影响。

1 模型建立及求解 1.1 物理模型

两封闭断面f₁，f₂围成一个等厚、无限大各向异性地层（图 1)，区域渗透率主值分别为K_x，K_y，且渗透率各向异性系数为τ=K_x/K_y(τ > 1)（当τ → 0时，流体在y方向渗流速度接近为0，τ → +∞，此时模型仍然适用)，区域内有一口定产井A到间断面f₁，f₂的距离分别为d₁，d₂。取两间断面交点O为坐标原点，渗透率主值K_x和K_y方向分别为x和y轴方向建立平面直角坐标系。假设间断面f₁与y轴的夹角为β，间断面f₂与y轴的夹角为α，忽略井筒形状的影响，则井点坐标为

$ \left( {{x_0}, {y_0}} \right) = \left[{\frac{{{d_2}\sin \beta + {d_1}\sin \left( {2\alpha } \right)}}{{\sin \left( {2\alpha + \beta } \right)}}, \frac{{{d_2}\cos \beta-{d_1}\cos \left( {2\alpha } \right)}}{{\sin \left( {2\alpha + \beta } \right)}}} \right] $

(1)

1.2 坐标变换

根据文献[1]采用如下坐标变换

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\xi = x/\sqrt \tau }\\ {\eta = y\sqrt \tau } \end{array}} \right. $

(2)

经变换以后，各向异性地层变为等价各向同性地层，如图 2所示。

区域的渗透率变为$K = \sqrt {{K_x}{K_y}} $，间断面f₂与坐标轴ξ的夹角为γ₁，间断面f₁与坐标轴ξ的夹角为γ₂，间断面f₂与f₁的夹角为γ。其中，${\gamma _1} = {\rm{ \pi }}-{\rm{arc}}\cot \left( {\tau \cot \alpha } \right) $，$ {\gamma _2} = \arctan \left( {\frac{{\tan \beta }}{\tau }} \right)$，$\gamma = \arctan \left( {\frac{{\tau \cot \alpha + \tan \beta /\tau }}{{1-\cot \alpha \cdot \tan \beta }}} \right) $。

在新坐标系下OA的长度为

$ {\bar d_0}\% = \frac{{\sqrt {{\tau ^2}{{\left[{{d_2}\cos \beta-{d_1}\cos \left( {2\alpha } \right)} \right]}^2} + {{\left[{{d_2}\sin \beta + {d_1}\sin \left( {2\alpha } \right)} \right]}^2}} }}{{\sin \left( {2\alpha + \beta } \right)\sqrt \tau }} $

(3)

OA与坐标轴ξ的夹角为

$ {\gamma _3} = \arctan \left[{\tau \frac{{{d_2}\cos \beta-{d_1}\cos \left( {2\alpha } \right)}}{{{d_2}\sin \beta + {d_1}\sin \left( {2\alpha } \right)}}} \right] $

(4)

新坐标系下井点坐标为

$ \left( {{\xi _0}, {\eta _0}} \right) = \left( {{{\bar d}_0}\cos {\gamma _3}, {{\bar d}_0}\sin {\gamma _3}} \right) $

(5)

井点到断面f₁，f₂距离分别为

$ {\bar d_1} = \frac{{\left[{{d_2}\sin \beta + {d_1}\sin \left( {2\alpha } \right)} \right]\tan \beta }}{{\sin \left( {2\alpha + \beta } \right)\sqrt \tau \sqrt {{{\tan }^2}\beta + {\tau ^2}} }} -\\ \frac{{{\tau ^2}\left[{{d_2}\cos \beta-{d_1}\cos \left( {2\alpha } \right)} \right]}}{{\sin \left( {2\alpha + \beta } \right)\sqrt \tau \sqrt {{{\tan }^2}\beta + {\tau ^2}} }} $

(6)

$ {\bar d_2} = \frac{{\left[{{d_2}\sin \beta + {d_1}\sin \left( {2\alpha } \right)} \right]\sqrt \tau \cot \alpha }}{{\sin \left( {2\alpha + \beta } \right)\sqrt {1 + {\tau ^2}{{\cot }^2}\alpha } }} +\\ {\rm{ }}\frac{{\sqrt \tau \left[{{d_2}\cos \beta-{d_1}\cos \left( {2\alpha } \right)} \right]}}{{\sin \left( {2\alpha + \beta } \right)\sqrt {1 + {\tau ^2}{{\cot }^2}\alpha } }} $

(7)

1.3 数学模型

通过前文的坐标变换后，可将渗流模型等效为两夹角为$\omega = \arctan \left( {\frac{{\tau \cot \alpha + \tan \beta {\rm{ /}}\tau }}{{1-\cot \alpha \tan \beta }}} \right) $的不渗透开口扇形区域中一口常量生产井，在极坐标中位于(d₀, γ₃)处，相应的不稳定渗流方程组为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial p}}{{\partial r}}-\frac{{q\mu B\delta \left( {r-{{\bar d}_0}} \right)\delta \left( {\theta-{\gamma _3}} \right)}}{{Kh}} + }\\ {\frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {\theta ^2}}} = \frac{{\mu \phi {c_{\rm{t}}}}}{K}\frac{{\partial p}}{{\partial t}}}\\ {p\left( {t = 0, \theta, r} \right) = {p_{\rm{e}}}}\\ {p\left( {t, \theta, r \to \infty } \right) = {p_{\rm{e}}}{\rm{;}}\frac{{\partial p\left( {t, \theta, r = 0} \right)}}{{\partial r}} = 0}\\ {\frac{{\partial p\left( {t, \theta = 0, r} \right)}}{{\partial \theta }} = 0{\rm{;}}\frac{{\partial p\left( {t, \theta = \omega, r} \right)}}{{\partial \theta }} = 0} \end{array}} \right. $

(8)

采用如下无因次化变形处理，${t_{\rm{D}}} = \frac{{3.6Kt}}{{\phi \mu {c_{\rm{t}}}r_{\rm{w}}^2}} $；${p_{\rm{D}}} = \dfrac{{Kh\left( {{p_{\rm{e}}} - p} \right)}}{{1.842 \times {{10}^{ - 3}}q{\mu}B}} $；${r_{{\rm{1D}}}} = \dfrac{{{{\overline d}_0}}}{{{r_{\rm{w}}}}} $；${r_{\rm{D}}} = \dfrac{r}{{{r_{\rm{w}}}}} $，式(8)可化为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\partial ^2}{p_{\rm{D}}}}}{{\partial r_{\rm{D}}^2}} + \frac{1}{{{r_{\rm{D}}}}}\frac{{\partial {p_{\rm{D}}}}}{{\partial {r_{\rm{D}}}}} + \frac{1}{{r_{\rm{D}}^2}}\frac{{{\partial ^2}{p_{\rm{D}}}}}{{\partial {\theta ^2}}} + }\\ {2{\rm{\pi }}\delta \left( {{r_{\rm{D}}}-{r_{{\rm{1D}}}}} \right)\delta \left( {\theta-{\gamma _3}} \right) = \frac{{\partial {p_{\rm{D}}}}}{{\partial {t_{\rm{D}}}}}}\\ {{p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}} = 0, \theta, {r_{\rm{D}}}} \right) = 0}\\ {{p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta, {r_{\rm{D}}} \to \infty } \right) = 0}\\ {\frac{{\partial {p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta, {r_{\rm{D}}} = 0} \right)}}{{\partial {r_{\rm{D}}}}} = 0}\\ {\frac{{\partial {p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta = 0, {r_{\rm{D}}}} \right)}}{{\partial \theta }} = 0}\\ {\frac{{\partial {p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta = \omega, {r_{\rm{D}}}} \right)}}{{\partial \theta }} = 0} \end{array}} \right. $

(9)

1.4 模型计算

采用有限差分方法计算模型。首先将网格进行剖分，r_D方向剖分为N个网格，θ方向剖分为M 个网格，并采用如下变换：$ \ln {r_{1D}} = \Delta x = {x_{\rm{1D}}}{\mbox{；}}\ln {r_{\rm{2D}}} = 2\Delta x = {x_{\rm{2D}}}{\mbox{；}} \cdots {\mbox{；}}\ln {r_{n{\rm{D}}}} = n\Delta x = {x_{n{\rm{D}}}}$，则方程组(9)转换为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{{{\rm{e}}^{2{x_{\rm{D}}}}}}}\frac{{{\partial ^2}{p_{\rm{D}}}}}{{\partial x_{\rm{D}}^2}} + 2{\rm{\pi }}\delta \left( {{r_{\rm{D}}}-{r_{{\rm{1D}}}}} \right)\delta \left( {\theta-{\gamma _3}} \right) + }\\ {\frac{1}{{{{\rm{e}}^{2{x_{\rm{D}}}}}}}\frac{{{\partial ^2}{p_{\rm{D}}}}}{{\partial {\theta ^2}}} = \frac{{\partial {p_{\rm{D}}}}}{{\partial {t_{\rm{D}}}}}}\\ {{p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}} = 0, \theta, {x_{\rm{D}}}} \right) = 0}\\ {{p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta, {x_{\rm{D}}} \to \infty } \right) = 0}\\ {\frac{{\partial {p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta, {x_{\rm{D}}} = 0} \right)}}{{\partial {x_{\rm{D}}}}} = 0}\\ {\frac{{\partial {p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta = 0, {x_{\rm{D}}}} \right)}}{{\partial \theta }} = 0}\\ {\frac{{\partial {p_{\rm{D}}}\left( {{t_{\rm{D}}}, \theta = \omega, {x_{\rm{D}}}} \right)}}{{\partial \theta }} = 0} \end{array}} \right. $

(10)

将方程组(10)离散化，得到离散方程为

$ \frac{{p_{i + 1, j{\rm{D}}}^{n + 1}- 2p_{i, j{\rm{D}}}^{n + 1} + p_{i- 1, j{\rm{D}}}^{n + 1}}}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}} + \\ \frac{{p_{i, j + 1{\rm{D}}}^{n + 1}- 2p_{i, j{\rm{D}}}^{n + 1} + p_{i, j - 1{\rm{D}}}^{n + 1}}}{{\Delta {\theta ^2}}} + \\ 2{\rm{\pi }}{{\rm{e}}^{2{x_{i{\rm{D}}}}}}\delta \left[{{x_{\rm{D}}}-\ln \left( {\frac{{{r_{{\rm{1D}}}}}}{{{r_{\rm{w}}}}}} \right)} \right]\delta \left( {\theta -{\gamma _3}} \right) = \\ {{\rm{e}}^{2{x_{i{\rm{D}}}}}}\frac{{p_{i, j{\rm{D}}}^{n + 1} -p_{i, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta {t_{\rm{D}}}}} $

(11)

将$p_{i, j{\rm{D}}}^{n + 1} $在n时步展开，并取一阶小项，即$p_{i, j{\rm{D}}}^{n + 1} = p_{i, j{\rm{D}}}^n + \delta {p_{i, j{\rm{D}}}} $，若不考虑油井影响，式(11)可变换为

$ {a_{ij}}\delta {p_{i-1, j{\rm{D}}}} + {b_{ij}}\delta {p_{i, j-1{\rm{D}}}} + {c_{ij}}\delta {p_{i, j{\rm{D}}}} + {d_{ij}}\delta {p_{i, j + 1{\rm{D}}}} + {e_{ij}}\delta {p_{i + 1, j{\rm{D}}}} = {f_{ij}} $

(12)

其中$i = 1, 2, \cdots, N;j = 1, 2, \cdots, M;{a_{ij}} = \frac{1}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}}$；${b_{ij}} = \frac{1}{{\Delta {\theta ^2}}};{c_{ij}} = \left( {-\frac{2}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}}-\frac{2}{{\Delta {\theta ^2}}}-\frac{{{{\rm{e}}^{2{x_{i{\rm{D}}}}}}}}{{\Delta {t_{\rm{D}}}}}} \right) $；${e_{ij}} = \frac{1}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}};{d_{ij}} = \frac{1}{{\Delta {\theta ^2}}}; $；${f_{ij}} =-\left( {\frac{{p_{i + 1, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}}-\frac{{2p_{i, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}} + \frac{{p_{i-1, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}}} \right) - \left( {\frac{{p_{i, j + 1{\rm{D}}}^n}}{{\Delta {\theta ^2}}} - \frac{{2p_{i, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta {\theta ^2}}} + \frac{{p_{i, j - 1}^n}}{{\Delta {\theta ^2}}}} \right) $。

由于油井位置为(r_D, γ₃)，则$ i = \left[{\ln \left( {\frac{{{r_{{\rm{1D}}}}}}{{{r_{\rm{w}}}}}} \right){\rm{ }}/\Delta {x_{\rm{D}}}} \right]$；$j = \left[{\frac{{{\gamma _3}}}{{\Delta \theta }}} \right] $（[·]表示取整计算)。

在井点处${f_{ij}} =-2{\rm{\pi }}{{\rm{e}}^{2{x_{i{\rm{D}}}}}}-\left( {\frac{{p_{i + 1, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}}-\frac{{2p_{i, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}} + \frac{{p_{i - 1, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta x_{\rm{D}}^2}}} \right) - \left( {\frac{{p_{i, j + 1{\rm{D}}}^n}}{{\Delta {\theta ^2}}} - \frac{{2p_{i, j{\rm{D}}}^n}}{{\Delta {\theta ^2}}} + \frac{{p_{i, j - 1{\rm{D}}}^n}}{{\Delta {\theta ^2}}}} \right) $。

离散方程(12)可写成AδP=F的矩阵形式，其中A为M×N维五对角方阵；δP，F分别为M、N维列向量。该方程可采用高斯赛德尔迭代法求解，从而得到地层压力值。

2 实例计算与结果分析 2.1 实例计算

国内某油田的一个断块埋深2 354～2 605 m，平均有效厚度7.5 m，x向、y向平均渗透率分别为115.9 mD和64.2 mD，平均孔隙度为20.5%，地层压力27.13 MPa，地层原油黏度10.4 mPa·s，原油密度0.855×10³ kg/m³，原油体积系数1.051 m³/mm³，两断层夹角为50 °，生产井距两断层距离分别为50 m和31 m，生产井半径为0.12 m，产油量为14.64 m³/d。生产时间为100 d和300 d，计算地层压力等值线分布如图 3、4所示。

由图 3和图 4可知，随着生产时间增加，压力波波及范围不断扩大，压力波波及区域地层压力迅速下降，生产井附近区域随生产时间增加而不断下降。压力波x方向波及速度大于y方向波及速度，这是因为地层x方向渗透率大于y方向渗透率。

2.2 断层夹角对油层压力影响

对于不同断层夹角生产300 d地层压力等值线分布如图 5、图 6所示，油井井底压力随断层夹角变化如图 7所示。

由图 5、图 6可以看出，地层夹角越大，相同生产时间地层压降越小，压力值越高，压力波波及范围越大。主要原因是地层夹角越大，断层边界对油井生产影响越小，断层边界造成地层压降损失越小，从而地层压力值越大。从图 7可以看出，油井井底压力随地层夹角增大而增大。主要原因也由于断层夹角越大，断层对油井井底压力影响越小，油井压降损失越小。

2.3 渗透率各向异性对油井压力影响

在平均渗透率$ K = \sqrt {{K_x}{K_y}} $恒定情况下，分析不同渗透率各向异性系数τ=K_x/K_y下油井与两个断层f₁，f₂之间的距离，如表 1所示。

从表 1可以看出，随渗透率各向异性系数增加，油井与两断层之间距离的较小值先增大再减小。从图 8中看出井底压力随渗透率各向异性系数增大先增加再减小，即存在一个拐点，说明实际生产中存在最佳渗透率各向异性系数。

油井与断层距离随渗透率各向异性系数变化而变化，当油井与两断层之间距离的较小值减小，说明油井受到断层边界影响变大，从而导致油井压降损失增大；当油井与两断层之间距离的较小值增加，说明油井受到断层边界影响减小，从而导致油井压降损失减小。随着渗透率各向异性系数增加，油井与两断层之间距离的较小值先增大再减小，因而导致图 7中曲线出线拐点，即压降损失最大点。当渗透率各向异性系数大于拐点值后，油井压降损失减小，压力值升高。

3 结论

(1) 由于各向异性油藏本身地质特征的复杂性，导致其开发中存在压力波波及速度在方向上存在差异，压力波在主渗透率方向上传播速度较大，地层压降更多发生在主渗透率方向上。

(2) 地层或油井井底压力随断层夹角不同发生变化。断层夹角越大，地层及油井压力值越高，反映出断层夹角越大，断层边界对生产影响越小。

(3) 渗透率各向异性系数不同，会导致油井与断层的最短距离发生改变，最终会导致油井井底发生改变。在文中计算实例中油井井底压力随渗透率各向异性系数增大呈现先减小后增大趋势。

符号说明

f₁，f₂ —封闭断面；K_x，K_y — x向，y向渗透率，D；τ—渗透率各向异性系数，无因次；d₁，d₂ — xOy坐标系下生产井到两断面的距离，m；α，β—两断面与y轴的夹角，rad；x₀ — xOy坐标系下井点横坐标，m；y₀ — xOy坐标系下井点纵坐标，m；K —渗透率，D；γ₁，γ₂ —两断面与ξ轴的夹角，rad；γ —两断面间的夹角，rad；d₀ —井点到坐标原点的距离，m；γ₃—井点与坐标原点的连线和ξ轴的夹角，rad；ξ₀ —ξOη坐标系下井点横坐标，m；η₀ —ξOη坐标系下井点纵坐标，m；d₁，d₂ —ξOη坐标系下生产井到两断面的距离，m；p—压力，MPa；r —径向距离，m；θ —角度，rad；δ—狄拉克函数，无因次；q—单位面积产量，m³/(d·m²)；B—原油体积系数，无因次；μ—原油黏度，mPa·s；h—油层厚度，m；φ—孔隙度，%；t —生产时间，h；c_t —岩石压缩系数，MPa^-1；p_e —原始地层压力，MPa；r_w —井眼半径，m；t_D —无因次时间，无因次；r_D —无因次井眼半径，无因次；r_1D —无因次距离，无因次；p_D —无因次压力，无因次；M、N —等分数，无因次；n—迭代时间步；下标i，j—沿坐标等分点计数。