引言

自1936年Schilthuis R J利用物质守恒原理，首先建立油藏的物质平衡方程式以来，它在油藏工程中得到了广泛的应用和发展^[1]。该方程很久以来就被认为是油藏工程师解释和预测油藏动态的基本方法之一^[2]。物质平衡方程应用所涉及的一系列复杂性都隐含在生产压力动态中，同时它的求解一般情况下也不需要确定油藏几何形态，因而油田实践中在应用一些更复杂的技术（如二维、三维油藏数值模拟技术)之前，往往先应用油藏物质平衡方程进行计算求取油藏基本参数如油藏原始地质储量和水体参数, 以及预测油藏动态等。当前在石油工程领域关于物质平衡计算的商业软件种类繁多，如Petex的MBAL、Weatherford的MatBal和Epic的Resbalance等，其计算成本往往较高。传统的物质平衡计算方法则常常需进行线性化处理后常需多次手工试算^[3]，计算效率较低，而采用非线性规划的方法来求解油藏物质平衡问题，可以在仅已知少数实测油藏压力以及生产数据的情况下，通过计算机自动求得较准确的油藏基本参数，同时求出水体平均压力变化情况以及水侵动态。

1 物质平衡方程

油藏物质平衡方程描述了油藏条件下，油藏膨胀的体积连同孔隙体积的减小以及外来流体的侵入等于油藏条件下产出液体的总量。本文所涉及的算例其油藏驱动方式属于天然水驱油藏，对应的油藏物质平衡方程如下

$ {N_{\rm{p}}}\left[{{B_{\rm{o}}} + \left( {{R_{\rm{p}}}-{R_{\rm{s}}}} \right){B_{\rm{g}}}} \right] = \\ N{B_{{\rm{oi}}}}\left[{\frac{{({B_{\rm{o}}}-{B_{{\rm{oi}}}}) + ({R_{{\rm{si}}}}-{R_{\rm{s}}}){B_{\rm{g}}}}}{{{B_{{\rm{oi}}}}}} + \frac{{{c_{\rm{w}}}{S_{{\rm{wc}}}} + {c_{\rm{f}}}}}{{1-{S_{{\rm{wc}}}}}}\Delta p} \right] + \\ \left( {{W_{\rm{e}}} -{W_{\rm{p}}}} \right){B_{\rm{w}}} $

(1)

2 水侵量计算

水侵量计算是物质平衡方程中非常重要的一部分，有大量的文献描述水侵模型以及计算水侵量的方法^[4-5]，中国很多学者在该领域也进行了深入的研究和探索，针对不同水侵类型分别给出了求解算法^[6]，以及在最优化理论^[7-8]、积分变换与数值反演^[9-13]等理论基础上提出了一系列水侵量计算方法，而李传亮等基于油气藏生产动态数据提出了水侵量的矿场简易计算方法^[14-16]。本文的相关计算是在Fetkovich水侵模型^[5]的基础上，利用最优化理论来实现的。选择Fetkovich模型的原因有二：(1) Hurst和van Everdingen模型^[5]（为表示方便，下文中简写为H-V模型)需要知道水体形状和大小，而Fetkovich模型只需要知道水体大小，因此工程实践中更容易获取相关数据；(2) Fetkovich模型消除了H-V模型中每个时间步长的叠加解的复杂性，相关计算更简单。当然也可以使用更为严格的H-V模型，但这种模型在计算上需要付出更多计算机时而在精度上却没有明显提高，在产水量不精确的情况下尤为明显。

Fetkovich M J于1971年提出了水侵量的近似计算公式^[5]。为了便于描述水侵过程，引入了流入动态方程并假设压力在原始油藏和水体边界处保持恒定，实际上，随着油藏的开采，油藏与水体边界处的压力不断发生变化，这时如果把油藏与水体边界的压力变化划分为几个有限的时间步长，就可以满足定压条件，从而可直接计算，避免了使用叠加方法。第n个时间步长的水侵量计算公式为^[3]

$ \Delta {W_{{\rm{e}}, n}} = \frac{{{W_{{\rm{ei}}}}}}{{{p_{\rm{i}}}}}\left( {{{\bar p}_{{\rm{a}}, n-1}}-{{\bar p}_n}} \right){\rm{ }}\left( {1-{{\rm{e}}^{ - J{p_{\rm{i}}}\Delta {t_n}/{W_{{\rm{ei}}}}}}} \right) $

(2)

$ {\bar p_{{\rm{a, }}n{\rm{-1}}}} = {p_{\rm{i}}}\left( {1-{W_{\rm{e}}}_{, n-1}/{W_{{\rm{ei}}}}} \right) $

(3)

$ {\bar p_n} = ({p_{n-1}} + {p_n})/2 $

(4)

3 非线性规划求解

问题的实质是把有“实测油藏压力”(p₀, n)数据点对应的“计算油藏压力”(p_n)求出之后，通过拟合实测油藏压力来实现求取地质储量N、水侵系数J以及最大水侵量W_ei，阶段水侵量ΔW_e及阶段累计水侵量W_e，问题转化为求解目标函数F(N, J, W_ei)的最小值问题，它是一具有线性约束条件的非线性规划问题

$ \min F(N, J, {W_{{\rm{ei}}}}) = \sum\limits_n {{{\left( {{p_n}-{p_{0, n}}} \right)}^2}} $

(5)

约束条件

N > 0，J ≥ 0，W_ei ≥ 0。

求解非线性规划问题通常的解法是将约束问题转化为无约束问题求解^[18-20]，有很多较为成熟的算法，本文非线性规划求解具体实现的流程如图 1所示，实现的算法描述如下：

(1) 根据给定的p_i值以及J、W_ei的初始估计值，得到N初值；

(2) 将式(5)设为规划求解最小值问题的目标函数，同时设定其对应的约束条件，即N > 0，J ≥ 0，W_ei ≥ 0；

(3) 求解该非线性规划问题，当目标函数达到预先设定的精度时，生产数据的历史拟合过程完成，求解结束，此时预先估计的参数即N、J和W_ei达到最佳估计值。然后根据式(2)可以确定每个时间步长的水侵量和相应的累计水侵量。

4 实例分析

实例：某油藏^[2]，具有强天然水驱特征，该实例在多篇SPE文献中用作经典算例^[21-23]，油藏原始生产数据见表 1（部分原始数据进行了单位换算)。

对表 1所示数据进行整理并通过式(1)、式(2)分别计算出“计算油藏压力”和每个时间步长的水侵量，然后利用规划求解对(p_n -p_{0, n})²各项之和求最小值，最后求得拟合的计算结果。

最终计算该非线性规划的目标函数$F = \sum {{{\left( {{p_n}-{p_{0, n}}} \right)}^2}} = 10616.50{\rm{ps}}{{\rm{i}}^2} $，相关的油藏参数计算结果与H-V模型的无因次水侵量方法计算结果^[2]对比如表 2所示，拟合过程中的油藏压力、水侵量计算如表 3所示，最终油藏压力、水侵量拟合结果分别如图 2、图 3所示。

由计算结果可知，“计算油藏压力”和“实测油藏压力”各时间步长相对误差的绝对值均小于3%（见表 3，图 2)，计算水侵量同H-V模型计算结果也非常接近（图 3)。同时其他油藏参数（油藏地质储量、最大水侵量和水侵指数等)拟合计算结果也基本一致，其相对误差的绝对值均小于5%（表 2)，这说明得到的计算结果是可靠的。

5 结语

(1) 利用规划求解对一经典算例进行了基于非线性规划的物质平衡计算，求得了较准确的油藏基本参数油藏地质储量、最大水侵量和水侵指数，同时求出了水体平均压力变化情况以及水侵动态。

(2) 该方法相对于该领域的商业软件计算成本更低、计算过程更简单；相对于传统物质平衡计算不需要进行线性化处理和多次手工试算，在已知少数实测油藏压力以及生产数据的情况下，能自动求得较准确的油藏基本参数如原始地质储量和水体参数等，其可操作性强、计算方法可靠。