引言

油水相对渗透率曲线是油气田开发工程中一项非常重要的基础数据，该资料通常是通过在实验室对小柱状岩芯做水驱油实验来得到。获得相渗曲线的实验室方法包括稳态法和非稳态法，每种方法各有其优缺点。非稳态法由于其实验驱替过程接近实际油藏情况，并且实验时间较短^[1-6]，因此在各油田应用的都比较广泛。

对于非稳态相渗实验数据的处理，石油行业标准中采用的是Johnson等人在1959年提出的JBN方法^[7-11]，也是目前实验人员应用比较广泛的方法。然而Jones等人1978年提出的图解法应用也很广泛^[12]，在其计算油水相对渗透率的公式中引入了平均有效黏度和末端有效黏度的概念。本文通过公式推导，分析数据的处理过程以及最终的处理结果对这两种方法做出充分的对比，找出两种方法相似的地方及本质的差别，并提出作者自己的一些见解。

无论是JBN方法还是Jones的图解法，在实验数据的处理过程中都需要得到一定曲线在各数据点上切线的斜率。图解法中是通过作图来求取某一数据点的切线斜率，但是并不适合实际操作^[13]。通过拟合函数求一阶导数来求取切线斜率更简便易行，无论是在excel中还是软件编程都比较容易实现。对拟合函数类型的选取，多种拟合函数都能达到高的拟合精度，但计算出的相对渗透率结果差异却很大。本文通过实例对比了各种拟合函数，分析了对比结果，优选出最适宜的拟合函数。并在数据拟合中提出了针对实际非稳态实验数据特点的两段式分段拟合法，提高了拟合的精度，并且更具有合理性。

1 JBN方法与Jones图解法对比 1.1 基本公式

两种油水相对渗透率计算方法的假设条件都是不考虑毛管压力、重力作用，油水两相做不可压缩、非混相流动。

JBN法的计算公式为

${{K}_{\text{ro}}}={{f}_{\text{o}}}\text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)/\text{d}\left( \frac{1}{I{{Q}_{\text{i}}}} \right)$

(1)

${K_{{\rm{rw}}}} = {K_{{\rm{ro}}}}\dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}} \cdot \dfrac{{{f_{\rm{w}}}}}{{{f_{\rm{o}}}}}$

(2)

其中

${Q_{\rm{i}}} = V/{V_{\rm{p}}}$

(3)

${f_{\rm{o}}} = \dfrac{{\rm{d}} {\overline {{S_{\rm{w}}}} }}{{\rm{d}} {{Q_{\rm{i}}}}}$

(4)

${f_{\rm{w}}} = 1 - {f_{\rm{o}}}$

(5)

平均含水饱和度

$\overline {{S_{\rm{w}}}} = {S_{{\rm{wi}}}} + {V_{\rm{o}}}/{V_{\rm{p}}}$

(6)

末端含水饱和度

${S_{{\rm{w2}}}} = \overline {{S_{\rm{w}}}} - {Q_{\rm{i}}} \cdot {f_{\rm{o}}}$

(7)

对于恒速驱

$I = \Delta {p_0}/\Delta p$

(8)

对于恒压驱

$I = q/{q_{\rm{o}}}$

(9)

Jones图解法的计算公式为

${K_{{\rm{ro}}}} = {\mu _{\rm{o}}}{f_{\rm{o}}}/{\lambda _2}^{ - 1}$

(10)

${K_{{\rm{rw}}}} = {\mu _{\rm{w}}}{f_{\rm{w}}}/{\lambda _2}^{ - 1}$

(11)

末端有效黏度

${\lambda _2}^{ - 1} = \overline {{\lambda ^{ - 1}}} - {Q_{\rm{i}}}\dfrac{{\rm{d} {\overline {{\lambda ^{ - 1}}} } }}{{{\rm{d}} {{Q_{\rm{i}}}} }}$

(12)

平均有效黏度

$\overline {{\lambda ^{ - 1}}} = \dfrac{{{\mu _{\rm{b}}}\left( {\Delta p/q} \right)}}{{\Delta {p_{\rm{b}}}/{q_{\rm{b}}}}}$

(13)

平均含水饱和度和末端含水饱和度的计算公式与JBN方法相同。

1.2 两种方法的对比与转换

两种计算相对渗透率的方法从表面上看公式差异很大，因此针对恒速法实验对其公式进行了一定的推导与转换。JBN法中的油相相对渗透率用${K_{{\rm{ro(J)}}}}$来表示，以示区别。对于恒速驱替实验，式(13)中的q 、${\Delta {p_{\rm{b}}}/{q_{\rm{b}}}}$均为常数，令$C = \dfrac{{{\mu _{\rm{b}}}{q_{\rm{b}}}}}{{q\Delta {p_{\rm{b}}}}}$，将式(13)代入(11)，化简，有

${\lambda _2}^{ - 1} = C \left[{\Delta p - {Q_{\rm{i}}}\dfrac{{{\rm{d}}\left( {\Delta p} \right)}}{{{\rm{d}}\left( {{Q_{\rm{i}}}} \right)}}} \right]$

(14)

由式(9)，$\text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)/\text{d}\left( \frac{1}{I{{Q}_{\text{i}}}} \right)$ 可化为

$\begin{align} & \text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)/\text{d}\left( \frac{1}{I{{Q}_{\text{i}}}} \right)=\text{d}\left( \frac{\Delta p}{\Delta {{p}_{0}}{{Q}_{\text{i}}}} \right)/\text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)= \\ & \frac{\text{d}\left( \frac{\Delta p}{\Delta {{p}_{0}}} \right)\cdot \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}}+\frac{\Delta p}{\Delta {{p}_{0}}}\cdot \text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)}{\text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)}= \\ & \frac{1}{\Delta {{p}_{0}}}\cdot \left( \Delta p-{{Q}_{\text{i}}}\frac{\text{d}\left( \Delta p \right)}{\text{d}\left( {{Q}_{\text{i}}} \right)} \right) \\ \end{align}$

(15)

由式(14)、式(15)可得

${{\lambda }_{2}}^{-1}=C\cdot \Delta {{p}_{0}}\cdot \text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)/\text{d}\left( \frac{1}{I{{Q}_{\text{i}}}} \right)$

(16)

把式(16)代入式(9)有

${{K}_{\text{ro}}}=\frac{{{\mu }_{\text{o}}}{{f}_{\text{o}}}}{C\Delta {{p}_{0}}}\cdot \text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)/\text{d}\left( \frac{1}{I{{Q}_{\text{i}}}} \right)$

(17)

将式(17)与JBN法计算油相相对渗透率的公式(1)联立可得

${K_{{\rm{ro}}}} = {\mu _{\rm{o}}} \cdot \dfrac{1}{{C\Delta {p_0}}} \cdot {K_{{\rm{ro(J)}}}} = \dfrac{{{K_{\rm{o}}}}}{{{K_{\rm{b}}}}} \cdot {K_{{\rm{ro(J)}}}}$

(18)

式(18)清晰地反映出JBN法计算的相对渗透率与Jones图解法之间的相互关系。Jones在计算中把岩芯水相渗透率作为基准渗透率，而JBN法推导公式的过程表明，其选用的基准渗透率为束缚水条件下的油相渗透率。由式(18)可以看出，当Jones法的基准渗透率为油相渗透率时，两种方法的相对渗透率计算公式是完全可以对等转换的。也就是说两种方法本质上的区别就是选取的岩芯基准渗透率不同。由于水相渗透率比油相渗透率大，因此Jones法得出的相对渗透率比JBN方法小，在Jones的计算中二者相差0.774倍，Jones法油相相对渗透率的起点值小于1.0。在相对渗透率的定义中，相对渗透率是相渗透率与绝对渗透率的比值，这也从概念上说明了为什么Jones法计算的初始油相相对渗透率值会小于1.0。

虽然计算相对渗透率的公式和中间数据处理过程不同，但无论哪种方法，实验过程是相似的，特别是在水驱油的起点，都是选取测量束缚水下油相渗透率时的流量和压差作为水驱油的初始压差，以及整个水驱油过程中的流速。因此本文作者认为，尽管水相渗透率更能代表岩芯的真实渗透能力，但在相对渗透率曲线的计算中，更适合用束缚水下的油相渗透率作为岩芯的基准渗透率，对于两相的渗流能力更具有参照性。

2 函数拟合方法

在JBN方法求取相对渗透率曲线的过程中，需要两次求导:$\frac{\text{d}\overline{{{S}_{\text{w}}}}}{\text{d}{{Q}_{\text{i}}}}$和$\text{d}\left( \frac{1}{{{Q}_{\text{i}}}} \right)/\text{d}\left( \frac{1}{I{{Q}_{\text{i}}}} \right)$，Jones的图解法是用作切线的方式，然后求切线的斜率，这种方法在实际中并不容易操作，因为切线很难作准确。因此更多学者倾向于将所有数据点进行线性回归，拟合出一定的函数关系，然后对函数进行求导得到各点的斜率值^[14-16]。这种方法在excel中很容易实现，也适合编制软件，得到了越来越广泛的应用。但是求导方法中涉及到一个重要的问题，就是拟合函数的选取。符合高拟合精度的函数很多，但不同的拟合函数，计算结果差别会很大。

2.1 $\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$ 拟合

关于平均含水饱和度对注入倍数的拟合，目前比较常用的拟合函数包括多项式拟合、对数拟合和指数拟合，下面对些函数进行简单的对比分析。

多项式函数的形式是 $y = {a_1} + {a_2}x + {a_3}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^{n - 1}}$ 。这种函数的优点是，只要阶数足够高，即使是规律性非常差的数据点也能获得高的拟合精度。然而相对渗透率的计算结果并不是只有拟合精度这一个决定因素，因此拟合精度高的情况下处理出来的结果也并不一定理想。高阶多项式函数的曲线拐点多，波动也大^[4]。比如在对$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$ 进行拟合时，如果采用多项式函数拟合，往往三阶以上(包括三阶)就可以获得非常好的拟合效果。然而对三阶以上的多项式函数进行一阶求导后，得出的结果并不具有单调性。而含油率应该是单调递减的，所以多项式函数求导结果并不符合含油率的变化规律，从而影响最终处理出来的相渗曲线。对Jones文章中实验数据的多项式拟合结果为 $y = - 0.0004{x^4} + 0.0082{x^3} - 0.051{x^2} + 0.1261x + 0.5595$，相关系数 0.969~2。一阶求导后计算出的含油率见表 1，最后两个数据明显违背含油率的单调递减性，特别是最后一个数据出现了负值。

对数函数的形式为$y = a + b\ln x$ 。大量实验表明，$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$ 曲线起始段陡峭，之后渐趋平缓，符合对数函数的变化规律。对数函数的优点是真实地反映实验数据的变化趋势，缺点是拟合精度明显不如多项式函数那么高。根据实验数据的特点，采取分段拟合，可以明显提高对数函数拟合的精度。在对直径2.5 cm的岩芯的大量实验中发现，起始五六个时间点的出油量很大，之后的变化幅度非常小，则平均含水饱和度与注入倍数之间也存在这样的变化关系。根据这一特点，对其数据进行两段式对数函数拟合，既符合实验数据的变化特点，又大大提高了拟合的精度。Jones文章中的实验数据，是对直径3.8 cm的粗岩芯做的驱替实验，$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$ 也存在这样的关系，只是不像小直径岩芯那么明显。对Jones实验数据进行整体对数拟合，结果为$y = 0.027\ln x + 0.6329$，相关系数0.917~9。两段式对数分段拟合的结果为$y = 0.0501\ln x + 0.6513$，相关系数0.993~6；$y = 0.0155\ln x + 0.648$ ，相关系数0.957~7。两段式对数拟合计算的含油率见表 1。

指数函数与对数函数之间可以作一定的转换，其形式为$y = a{{\rm{e}}^{bx}}$。$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$ 曲线是对数函数关系，则$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim 1/{Q_{\rm{i}}}$ 为指数函数关系。在实践中发现，有时对数函数的拟合精度高，有时指数函数的拟合精度会更高些，因此对这两种拟合函数的选取要依具体情况而定。用指数函数对Jones实验数据中的$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim 1/{Q_{\rm{i}}}$进行拟合(表 1)，结果为$y = 0.6748{{\rm{e}}^{ - 0.0387x}}$，即$\overline {{S_{\rm{w}}}} = 0.6748{{\rm{e}}^{ - 0.0387/{Q_{\rm{i}}}}}$，相关系数 0.9746，未采取分段拟合的情况下拟合精度已经很高。指数函数拟合计算的含油率见表 1。

几种拟合函数综合比较结果:多项式函数拟合精度高，但一阶求导后计算出的含油率不具有单调性，不符合含油率的变化规律。对数函数拟合可以反映出真实实验数据的变化趋势，求导计算出的含油率单调递减，虽拟合精度不如多项式，但通过分段拟合可以大幅提高拟合精度。对实验数据作一定转换后可以进行指数函数拟合，拟合精度同样不如多项式，但也可以通过分段拟合来大幅提高拟合精度。因此可以认为，对数函数和指数函数通过分段拟合后可以达到高拟合精度，并且计算出的含油率更为合理，所以在对 $\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$数据进行拟合时，应首选这两种函数。为增加上述结论的置信度，将这3种拟合函数应用于大庆油田某岩芯的实验数据，拟合结果列于表 2。

从表中可以看出，3种拟合方法计算出的含油率对比结果与Jones实验的对比结果完全一样，从而充分证实了上述结论。

2.2 1/Q_i~ 1/(IQ_i)拟合

目前对这类数据拟合方法的论述较少，大量实践经验表明，这两个参数之间的线性关系非常好，许多类函数(线性、多项式和乘幂函数)拟合都可得到较高的拟合精度，但对数和指数函数的拟合精度较低。无论对${1}/{{{Q_{\rm{i}}}}} \sim {1}/({{I{Q_{\rm{i}}}}})$ 采取哪种函数进行拟合，对油相相对渗透率的计算结果影响并不大，但对水相相对渗透率结果却可能有很大的影响，从而导致最终相渗曲线的形态产生较大的差异。同样以Jones的实验数据为例，对$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$进行指数函数拟合后，对${1}/{{{Q_{\rm{i}}}}} \sim {1}/({{I{Q_{\rm{i}}}}})$ 分别采取直线拟合、多项式拟合和乘幂拟合(图 1)，可以看出，油相相对渗透率的计算结果较为接近，但水相相对渗透率差别很大:线性拟合计算出的水相相对渗透率值太小，并且后半段曲线过于平缓；多项式拟合计算结果略小，后半段曲线过于平缓；相比之下，乘幂函数拟合的计算结果最为合理，最后一个点的水相相对渗透率值比Jones的计算结果高，是由于前面提到的原因，JBN方法与Jones方法选取的基准渗透率不同。

3 应用

以大庆油田某岩芯的非稳态相渗实验数据为例，对$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$采取两段式对数函数拟合，对 ${1}/{{{Q_{\rm{i}}}}} \sim {1}/({{I{Q_{\rm{i}}}}})$ 进行乘幂函数拟合求取相对渗透率。

实验基本参数:岩芯长度7.04 cm，直径2.47 cm，孔隙体积6.77 mL，孔隙度20.08%，气测渗透率69.17 mD，束缚水饱和度32.79%，束缚水时油相渗透率24.94 mD，油黏度9.00 mPa$\cdot$s，水黏度0.57 mPa$\cdot$s，流量2.0 mL/min。

实验驱替数据见表 3，拟合处理出来的相对渗透率曲线散点图如图 2所示，对各散点进行整理，将含水饱和度均匀插值，最终相渗曲线如图 3所示。

4 结语

(1) 在相对渗透率计算时，更适合用束缚水下的油相渗透率作为岩芯的基准渗透率，对两相的渗流能力更具有参照性。

(2) 对于$\overline {{S_{\rm{w}}}} \sim {Q_{\rm{i}}}$拟合，对数函数和指数函数通过分段拟合后可以达到高拟合精度，并且计算出的含油率更为合理，因此首选对数函数和指数函数。

(3) 对于${1}/{{{Q_{\rm{i}}}}} \sim {1}/({{I{Q_{\rm{i}}}}})$ 拟合，不同的拟合函数计算出油相相对渗透率较为接近，但水相相对渗透率差别很大。对比线性、多项式和乘幂函数拟合，乘幂函数拟合的计算结果最为合理。

符号说明

${Q_{\rm{i}}}$—累积注入量，PV(Pore Volume，孔隙体积)；

I流动能力比, 无因次；

K_ro—油相相对渗透率，%；

${K_{{\rm{rw}}}}$—水相相对渗透率, %；

${f_{\rm{o}}}$—含油率, %；

${f_{\rm{w}}}$—含水率, %；

${\mu_{{\rm{o}}}}$—油相黏度mPa$\cdot$s；

${\mu_{{\rm{w}}}}$—水相黏度mPa$\cdot$s；

${V}$—累积注入体积mL；

${{V_{\rm{p}}}}$—岩芯孔隙体积mL；

$\overline {{S_{\rm{w}}}}$—平均含水饱和度, %；

${S_{{\rm{wi}}}}$—原始含水饱和度, %； %

${{V_{\rm{p}}}}$—岩芯孔隙体积mL；

${{S_{\rm{w2}}}}$—出口端含水饱和度, %；

${{V_{\rm{o}}}}$—累积采油量mL；

$\Delta {p_0}$—初始压差，bar(1 bar = 0.1 MPa)；

$\Delta p$—压差bar；

q—流量cm³/s；

$q_0$—初始流量cm³/s；

${\lambda _2}^{ - 1}$—出口端有效黏度mPa$\cdot$s；

$\overline {{\lambda _1}^{ - 1}}$—平均有效有效黏度mPa$\cdot$s；

${\mu_{{\rm{b}}}}$—测量岩芯基准渗透率时的流体黏度mPa$\cdot$s；

$\Delta {p_{\rm{b}}}$—测量岩芯基准渗透率时岩芯两端的压差，bar；

${q_{\rm{b}}}$—测量岩芯基准渗透率时的流量cm³/s；

${K_{{\rm{ro(J)}}}}$—公式转换时JBN法中的相对渗透率, %；

${K_{{\rm{o}}}}$—油相渗透率mD；

${K_{{\rm{b}}}}$—岩芯基准渗透率mD；