引言

地震波在地下介质中传播时，能量会发生衰减，造成的因素主要分为两类：非固有衰减和固有衰减。其中，非固有衰减包括几何扩散、反射透射损失、层间颗粒散射等，这种衰减一般认为与频率无关；固有衰减则是地层的吸收作用，频率越高，吸收越严重，同时由于速度频散原因，地震子波的相位发生改变。固有衰减造成地震波主频降低、带宽减小，严重影响了中深层地震资料的成像能力。品质因子Q是表征地层对地震波吸收衰减强弱的常用参量，Q值越小，衰减作用越强。反Q补偿是提高资料分辨率的一种有效手段，需要提取准确的地下Q场。另外，当地层含气时，Q值将变小，呈现出较为明显的异常。因此，Q值的准确估算对于高精度解释、储层预测及油藏描述等具有重要的意义^[1]。

常规的品质因子估算方法^[2-3]分两大类：时间域和频率域。时间域方法有上升时间法^[4]、解析信号法^[5]等，可以利用时间信号直接计算，但受资料品质等因素影响较大，而且只能利用局部一小段信息。频率域方法有谱比法(LSR)、质心频移法(CFS)^[6-9]、峰值频率法^[10-13]等，一般认为频率域方法比较稳定，可靠性高^[14-20]。质心法是目前应用较多的Q值估算方法，其利用了频谱的统计属性(质心和带宽)，通过两者的解析组合来反演品质因子，具有较好的鲁棒性。武银婷等^[21]对质心法进行了测试，认为该方法比频谱比法、振幅衰减法能更加准确识别薄层界面；张大伟等^[22]通过模型对比、资料测试等分析认为，质心法的估算结果比谱比法更精确、更可信；赵宁等^[23]从数学近似的角度推导了更为严密的属性组合法，与质心法类似，都是基于子波谱的统计属性组合式估算Q值，该方法规避了传统质心法对震源谱的Gauss函数假设，更利于误差控制及理论分析。但频域方法面临的问题是需要提取较为准确的地震子波谱，Q值估算精度很大程度上依赖于波谱的提取效果。

为了避免地震子波谱的提取，提出时间域质心频移法，在时间域信号上直接估算地震子波谱的质心和带宽，再根据质心频移公式估算品质因子Q。最后，利用VSP下行波场的模型记录，测试该方法的可信性。

1 基本原理

Barnes A E^[24]指出，对于一个常相位子波a(t)，其包络(由Hilbert变换得到)峰值处的瞬时频率f_s等于其振幅谱A(f)的质心频率f_c

$ {f_{\rm{s}}} = {f_{\rm{c}}} = \frac{{\int_{\rm{0}}^{ + \infty } {fA\left( f \right){\rm{d}}f} }}{{\int_{\rm{0}}^{ + \infty } {A\left( f \right){\rm{d}}f} }} $

(1)

式中：f_s-包络峰值处的瞬时频率，Hz；f_c-谱的质心频率，Hz。

给定一子波g(t)，其振幅谱记为Gauss谱G(f)

$ G\left( f \right) = \exp \left[{-\dfrac{{{{\left( {f-{f_{\rm{c}}}} \right)}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}\sigma _f^{\rm{2}}}}} \right] $

(2)

式中：σ_f-谱的半径(即带宽的一半)，Hz。

事实上，Gauss谱具有较好的数学特性，根据Fourier反变换，g(t)的包络亦是一个Gauss函数，定义其中心为

$ {t_0} = \dfrac{{\int_{ - \infty }^\infty {tg(t)\textrm{d}t} }}{{\int_{ - \infty }^\infty {g(t)\textrm{d}t} }} $

其半宽度为

$ {\sigma _t} = {\left[{\dfrac{{\int_{-\infty }^\infty {{{(t-{t_0})}^2}g(t)\textrm{d}t} }}{{\int_{-\infty }^\infty {g(t)\textrm{d}t} }}} \right]^{\frac{1}{2}}} $

则有如下关系

$ {{\sigma }_{t}}\cdot {{\sigma }_{f}}=\frac{1}{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }} $

(3)

记地震波传播过程中的初始子波谱为S(f)，衰减子波谱为R(f)，若不考虑相位频散因素，按Futterman模型，则有

$ R\left( f \right)=S\left( f \right)\exp \left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\Delta t}{Q}f \right) $

(4)

质心频移法利用如下解析式进行Q值反演

$ Q=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\Delta t\frac{\sigma _{\text{1}}^{\text{2}}}{{{f}_{\text{c1}}}-{{f}_{\text{c2}}}} $

(5)

式中：

f_c1-初始子波谱S(f)的质心频率，Hz；f_c2-衰减子波谱R(f)的质心频率，Hz；Δt-子波传播时差，s；Q-传播介质的品质因子，无因次。

对于近似Gauss谱的常相位子波，可以直接在时间域估算其包络峰值处的瞬时频率和包络宽度，联立式(1)、式(3)和式(5)，得到Q值估算式

$ Q=\frac{\Delta t}{\text{4 }\!\!\pi\!\!\text{ }}\frac{1}{{{f}_{\text{s1}}}-{{f}_{\text{s2}}}}\frac{1}{\sigma _{\text{t1}}^{\text{2}}} $

(6)

式中：

f_s1，σ_t1-初始子波包络峰值处瞬时频率和半径，Hz；f_s2-衰减子波包络峰值处瞬时频率，Hz。

式(6)即为时间域质心频移式。

2 模型测试 2.1 单子波测试

对式(1)和式(3)进行单子波测试，选取的子波谱有Gauss谱和Ricker谱。图 1是Gauss谱子波，主频f₀为50 Hz，谱半径σ_f取15 Hz，左图为时间域子波(蓝线为波形，红线为包络)，右图为振幅谱(蓝线为振幅谱，“^*”号为质心频率，红色实线间距表示波谱的带宽)。根据时间域复信号，利用式(1)估算出质心频率为50.02 Hz，谱半径为14.94 Hz，与理论值较为接近。图 2是Ricker谱子波，主频取40 Hz，图中各曲线说明同图 1。根据频率域振幅谱，可计算得到该谱的质心频率为45.13 Hz，谱半径为19.04 Hz；根据时间域复信号，可计算得到质心频率为45.11 Hz，谱半径为18.21 Hz，两组数值较为接近，相对误差在4.50%以内。

为不失一般性，这里进行了多组不同主频Ricker谱(常相位值随机给定)的测试，分别从频率域和时间域估算质心和谱半径，估算结果见表 1。估算结果显示，时间域估算的质心频率与真实值之间的误差在0.15%以内，谱半径误差在4.50%以内。测试结果表明，对于近似Gauss谱的常相位子波，时间域估算的质心频率和谱半径具有一定的可信度。

2.2 单层模型测试

设计一单层均匀介质，层速度为2 000 m/s，层厚为100 m，单层旅行时为0.05 s，品质因子为50。初始子波为50 Hz主频的Ricker子波(记为子波1)，见图 3中蓝色实线，蓝色虚线为其包络；经介质衰减后的子波(记为子波2)见图 3中红色实线，红色虚线为其包络。根据时间域质心式可反演得Q值为46.56，接近于真实值50，相对误差在10%以内。如果采用频率域质心法，则反演得Q值为50.92，精度更高。对比两种方法发现，时间域求得的质心差为1.748 0Hz，谱半径为22.763 5 Hz，频率域质心差为1.748 8Hz，谱半径为23.809 7 Hz。试算结果可见，时间域质心式的精度稍低于常规质心法，误差主要来源于谱半径的估算，这是由Ricker谱与Gauss谱差异造成的。式(3)显示Gauss谱时频窗面积(即4σ_t·σ_f)为(2π)^-1，达到了理论上的最小值(即时频分辨率的极限)，常见波谱的时频窗面积一般都大于该值，造成谱半径估算误差。但应该肯定的是，时间域质心法反演的地层Q值，具有一定的可信度。

2.3 下行波场测试

设计了一个5层水平介质模型，地层参数见表 2。地表初始子波选50 Hz主频的Ricker子波，按式(4)在地层中衰减，检波间距为10 m，得到图 4所示的零偏VSP下行波场。根据该下行波场，利用式(4)对相邻道进行Q值反演，由于初始子波为Ricker子波，估算谱半径σ_f时将式(3)中的(2π)^-1改为0.166 5(该值根据Ricker子波的时频窗面积给定)。图 5是Q值反演结果，蓝线为真实值，红线为反演值。反演结果较好地反映了地层的Q值走向，在浅层，Q值较准确，随着传播深度的增加，Q值渐渐偏离真实值。图 6是相对误差曲线，相对误差在10%以内。如果初始子波时频窗面积未知，仍然按照式(3)估算谱半径，那么反演结果的相对误差将进一步扩大，在8 12%，但对地层Q值的相对趋势走向影响不大。

3 实际资料处理

图 7是海上一VSP下行波资料，共80道记录，起始深度290 m，最深890 m，前40道检距为10 m，后40道检距为5 m，1 ms采样。利用该下行初至波场，在时间域提取各道初至波的质心频率和谱半径，分别见图 8a和图 8b，由于实际资料处理中质心和谱半径曲线难免出现振荡现象，这里对局部振荡进行了拟合平滑处理。图 9是最终反演的层介质参数，图 9a是层速度曲线，分布在2 000~3 200 m/s；图 9b是频率域质心法(即常规方法)估算的Q值曲线，分布在50~250；图 9c是时间域质心法估算的Q值曲线，分布在50~200。对比频率域和时间域质心法，两者提取的Q值存在一定的差异，图 9d为两者的相对差值百分比(以图 9b的Q值为标准)，相对误差分布在0~25%，这与时间域质心法本身存在一定的理论误差以及质心、谱半径实际估算误差有关；但同时，两条Q值曲线的走向趋势基本保持一致，较好地反映了地层Q值的相对变化，证实了时间域质心法在实际生产中的实用性。对比速度和Q值曲线发现，300~700 m的Q值与速度曲线呈较好的正相关；700~900 m的Q值走向与速度走向不一致，仔细分析原始下行波场纪录以及采用其他Q值估算方法(如谱比法等)后，认为该段Q值趋势是合理的，与速度的不一致可能与该段岩性较为特殊有关。

图 9显示的Q值对应的双程旅行时段约为300~900 ms，利用时间域质心法估算的该段Q值对过井剖面进行反Q补偿，深层Q取恒值120。图 10为井旁道补偿前(图 10a)、后(图 10b)的记录及其对应的时频谱，目的层为1 000~2 000 ms。从补偿前记录的时频谱上可以看到，该海上资料的浅层分辨率较高，高频可达120 Hz，随着深度的增加，主频逐渐降低，带宽变窄，能量降低。记录经补偿后，中深层的主频和带宽增加，分辨率提高，尤其是800~1 400 ms的记录，同时浅中深层的能量分布较为均衡，一致性增强。

图 11是补偿前(图 11a)、后(图 11b)的过井剖面对比(1 300~2 000 ms)，剖面中嵌入了井上VSP走廊叠加道进行井震对比。可以看到，补偿前剖面的分辨率较低，井震匹配度低；补偿后剖面的分辨率提高，各层能量得到合理抬升，相位得到校正，井井震匹配度增强。对比1 710 ms处的同相轴(见黑框)，补偿前井旁道与走廊叠加道极性相反，补偿后两者的一致性增强，横向连续性得到改善。类似的对比还出现在1 380 ms处(见黑框)，补偿后的井震匹配度得到显著改善，从侧面验证了Q值估算的合理性和可靠性。

4 结论

(1) 时间域质心法规避了初至波谱的提取问题，根据子波包络提取峰值处的瞬时频率和包络宽度，再换算成质心法需要的质心频率和谱半径，实现时间域估算Q值的目的。

(2) 与常规质心法相比，时间域质心法可能更依赖于地震子波谱的假设条件(主要是时频窗面积这一因素)，这是该方法的不足之处。一般地，地震子波在传播过程中其时频窗面积是变化的，将影响谱半径的准确估计，但对整体Q值趋势走向影响较小。在实际资料的处理过程中，质心频率的估算是很重要的环节，有限的波动将对Q值估算造成较大的影响。