测试压裂是在主压裂之前进行的小型压裂。它是通过进行一次小体积，且与主压裂相同的压裂液进行的不加砂压裂。测试压裂目的是获取与裂缝有关的地层物性参数，为制定和修改主压裂设计、指导施工及效果评价提供依据。图 1展示了测试压裂施工和停泵卸压阶段的井底压力历史。常规的测试压裂分析针对停泵前的裂缝扩展阶段，使用二维(PKN，KGD)或拟三维压裂模型，拟合净压力的方法计算水力裂缝几何参数^[1-4]。停泵后受裂缝壁面压裂液滤失的影响井底压力递减，裂缝继续延伸，随后弹性闭合，当井底压力递减到地层闭合压力时，认为裂缝完全闭合。从停泵到裂缝闭合包含“裂缝延伸期”和“弹性闭合期”，此阶段的压力递减分析常使用G函数方法^[5-11]，求取地层滤失系数、闭合压力和闭合时间。裂缝闭合后（称为“闭合后期”)的压力递减不再受施工的影响，被视为仅与储层自身特性有关。闭合后期包括“闭合后拟线性流”和“闭合后拟径向流”两个流动阶段^[12-14]。

由于现有的压力递减分析方法都是针对某个流动阶段进行的，没有较为完整的流态诊断工具，也缺乏针对整个停泵后压力递减阶段的分析方法。本文提出一套停泵后压力递减数据的分析方法，诊断停泵后的多个流动阶段，综合延伸期、闭合期和闭合后期分析。通过东海低渗气田某测试压裂井的实例分析，运用井下压力监测数据^[15-16]获取地层关键参数的方法，双对数诊断曲线分析压力递减数据。

1 压力递减模型 1.1 闭合期的压力方程

根据质量守恒和体积平衡原理，Nolte模型^[5]给出在裂缝弹性闭合期井底压力p_w与时间函数G的关系式，如下

$ \Delta p\left( {\Delta t} \right) = {p_{{\rm{ISI}}}}-{p_{\rm{w}}}(\Delta t) = \frac{{{C_{\rm{T}}}{H_{\rm{p}}}E'\sqrt {{t_{\rm{p}}}} }}{{{H^2}{\beta _{\rm{s}}}}}G\left( {t, {t_{\rm{p}}}} \right) $

(1)

其中

$ G\left( {t, {t_{\rm{p}}}} \right) = \frac{4}{\pi }\left[{g(\frac{{\Delta t}}{{{t_{\rm{p}}}}})-{g_0}} \right] = \frac{4}{\pi }\frac{4}{3}\left[{{{(1 + \frac{{\Delta t}}{{{t_{\rm{p}}}}})}^{\frac{3}{2}}}-{{(\frac{{\Delta t}}{{{t_{\rm{p}}}}})}^{\frac{3}{2}}}} \right] $

(2)

当∆t/t_p~1时，

$ G\left( {t, {t_{\rm{p}}}} \right) = \frac{4}{\pi }\frac{4}{3}\left[{{{\left( {\frac{{\Delta t}}{{{t_{\rm{p}}}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}-1} \right] $

(3)

1.2 闭合后拟线性流动方程

Clarslaw和Jaega热扩散模型^[13]描述了一个表面恒温的半无限体，从开始与周围隔热到随后的热衰减过程。考虑到地层压力波的扩散与热传导过程中的温度扩散相似，如果假设裂缝中的压力在注入过程中保持恒定，那么裂缝闭合后的压力递减行为与热衰减行为一致，表示为井底压力p_w与线性流时间函数F_L的关系式，如下

当t≥t_c时

$ {p_{\rm{w}}}(t)-{p_{\rm{r}}} = {C_{\rm{T}}}\sqrt {\frac{{\pi \mu }}{{K\phi {c_{\rm{t}}}}}} {F_{\rm{L}}}(t, {t_{\rm{c}}}) $

(4)

其中

$ {F_{\rm{L}}}(t,{t_{\rm{c}}}) = \frac{2}{\pi }\arcsin \sqrt {\frac{{{t_{\rm{c}}}}}{t}} $

(5)

1.3 闭合后的拟径向流动方程

Horner压降模型将油井晚期径向流动下的压力降描述为Horner时间$ \lg \left( {\frac{{{t_{\rm{c}}} + \Delta t}}{{\Delta t}}} \right) $的函数，用Horner曲线斜率m_R决定地层的流动系数Kh/µ。利用等价公式m_R，裂缝闭合后的拟径向流动可以表示为井底压力p_w与径向流时间函数F_R的关系式，如下

$ {p_{\rm{w}}}(t)-{p_{\rm{r}}} = \frac{{2.51 \times {{10}^5}{V_i}\mu }}{{Kh{t_{\rm{c}}}}}{F_{\rm{R}}}(t, {t_{\rm{c}}}) $

(6)

其中

$ {F_{\rm{R}}}(t, {t_{\rm{c}}}) = \frac{1}{4}\ln \left( {1 + \frac{{\chi {t_{\rm{c}}}}}{{t-{t_{\rm{c}}}}}} \right) \cong \frac{1}{4}\ln \left( {1 + \frac{{1.62{t_{\rm{c}}}}}{{t-{t_{\rm{c}}}}}} \right) $

(7)

2 流态描述与诊断

测试压裂施工停泵后，压裂液在地下裂缝和储层将依次经历以下4个流动时期。

2.1 裂缝延伸期

井底压力递减，但仍高于闭合压力，裂缝沿缝长方向延伸，缝宽保持不变。压裂液沿着垂直裂缝壁面的方向线性地滤失到地层中，如图 2a所示。

2.2 弹性闭合期

井底压力递减到延伸压力之后，裂缝停止延伸，转而进入弹性闭合阶段。此阶段裂缝长度保持不变，裂缝壁面的滤失继续进行，缝宽减小，如图 2b所示。直到井底压力递减到闭合压力，裂缝完全闭合，滤失停止，缝宽不再降低。

2.3 闭合后的拟线性流动期

闭合时刻滤失到地层的液体以线性的方式向地层扩散，如图 2c所示。整个过程类似于热力学的扩散过程。

2.4 闭合后的拟径向流动期

储层中的流体流动到一定程度，开始呈现类似于无限大地层径向流的反向过程，流体以径向流的方式向整个地层扩散，如图 2d所示。

通过对停泵后的井底压力进行数值模拟，得到压降及其导数对停泵时间的双对数曲线，如图 3所示。由红色圆点状的压降导数曲线可以依次识别出斜率为1/2，3/2，1/2和0的4个直线段，分别对应以上描述的裂缝延伸期、弹性闭合期、闭合后的拟线性流和拟径向流动期。

3 参数求取方法 3.1 闭合压力p_c的求取

由闭合期的压降方程可知，在此阶段将压降导数对时间在双对数坐标下会呈现3/2斜率的直线段。当压降偏离此控制方程，视为裂缝完全闭合，因此在偏离3/2斜率的拐点处对应的时间为闭合时间t_c，对应的压降∆p(t_c)可用来计算闭合压力

$ {p_{\rm{c}}} = {p_{{\rm{ISI}}}}-\Delta p({t_{\rm{c}}}) $

(8)

3.2 综合滤失系数C_T的求取

由闭合后拟线性流动阶段的压降方程可知，在此阶段将井底压力对时间函数F_L在直角坐标下会呈现斜率为m_L的直线段

$ {m_{\rm{L}}} = {C_{\rm{T}}}\sqrt {\frac{{\pi \mu }}{{K\phi {c_{\rm{t}}}}}} $

(9)

因此，由式(9)可以计算出综合滤失系数C_T。

3.3 地层系数Kh的求取

由闭合后拟径向流动阶段的压降方程可知，在此阶段将井底压力对时间函数F_R在直角坐标下会呈现斜率为m_R的直线段

$ Kh = 251000\frac{{\mu {V_i}}}{{{m_{\rm{R}}}{t_{\rm{c}}}}} $

(10)

因此，由式(10)可以计算出地层系数Kh。

3.4 地层压力p_r的求取

由闭合后拟径向流动阶段的压降方程可知，当F_R(t, t_c)=0时，p_w=p_r，此时井底压力对时间函数的曲线与Y轴的截距则为地层压力p_r。

4 实例分析 4.1 基本地质特征

A井所在区域构造位置位于东海陆架盆地浙东拗陷西湖凹陷中央反转构造带南部，是春晓气田群的一部分。储层岩性以细砂岩为主，储层结构成熟度较高，分选较好，磨圆度以次圆为主，长石风化程度中等。储层流体以干气为主，凝析油含量低。由测井及岩芯实验获得地层基本数据如表 1所示。

4.2 测试压裂施工情况

A为该区域内完钻的一口开发井，完钻井深为4 100 m，射孔井段为3 980~4 000 m。为了提高单井产量，需对A井进行水力压裂增产改造。于2010-09-16进行小型测试压裂，测试压裂施工共泵注瓜胶压裂液30.7 m³，停泵后关井近16 h。井下压力监测设备获得了整个施工和停泵关井过程中的压力数据，如图 4所示。

4.3 测试压裂压降分析

图 4中红色圈出部分显示，地层破裂压力为7 650 psi，瞬时停泵压力为6 579 psi。图 5为测试压裂压降阶段的双对数诊断曲线，压降导数曲线明显反映了4个流动阶段，即：(1)停泵后的裂缝延伸期；(2)裂缝弹性闭合期，压降导数表现为接近于3/2的斜率段；(3)裂缝闭合后的拟线性流动阶段，压降导数表现为1/2斜率的直线段；(4)裂缝闭合后的拟径向流动阶段，压降导数表现为0斜率的直线段。拟径向流后期导数曲线出现了“凹子”阶段，这种现象是由于井筒对流入井底压裂液的储集，被称为“晚期井筒储集”效应。弹性闭合期的最后一个时间点表示裂缝闭合完毕，图 5压降导数曲线偏离3/2斜率的时间点对应的压降值为276 psi，由公式(8)可以计算闭合压力p_c为6 303 psi。

图 6为裂缝闭合后期拟径向流动阶段分析曲线，此阶段井底压力在F_R时间函数曲线上的斜率m_R为397.1，由公式(10)计算出地层系数Kh为254.2 mD·ft(1 ft=0.304 8 m)。给定储层厚度30 m，可计算地层渗透率K为2.56 mD。将斜率m_R的直线外推到时间零点，与Y轴截距即为初始地层压力，p_r为5 410 psi。图 7为裂缝闭合后期拟线性流动阶段分析曲线，此阶段井底压力在F_L时间函数曲线上的斜率m_L为144.1，由公式(9)计算出压裂液综合滤失系数C_T为2.63×10⁻⁴ft·min^−1/2。

4.4 压后综合评价

根据测试压裂施工阶段的井下压力监测数据，连续分析了停泵后各压降段曲线，计算得到了储层物性参数，如表 2所示。结果显示A井所处地层初试压力和破裂压力均正常，预计主压裂施工难度不大；储层渗透率值较低，属于低渗气层，预计主压裂施工压裂液会有较低的滤失值。另外，双对数诊断曲线（图 5)显示压力导数在闭合点之前呈现出多个3/2斜率段，表明水力裂缝具有多个弹性闭合段，怀疑储层发育微裂缝，这将致使主压裂过程中前置液阶段造缝不好，裂缝在储层中延伸受限。

测试压裂结束后，A井进行了主压裂施工，由主压裂施工净压力拟合方法获得的储层渗透率为2.45 mD，闭合压力为6 178 psi，综合滤失系数为2.92 ×10⁻⁴ft·min^−1/2，其结果与表 2所列出的相应参数值在5%误差范围内，这验证了本文提出方法的可靠性。

5 结论

(1) 测试压裂施工停泵后，压裂液在地下裂缝和储层将依次经历：裂缝延伸、弹性闭合、闭合后的拟线性流和拟径向流4个流动时期。通过对停泵后的井底压力进行数值模拟发现在双对数曲线上，压降导数在上述各个流动期会依次呈现出1/2斜率、3/2斜率、1/2斜率和0斜率段。

(2) 提出了一套“先诊断，再分析”的压力递减分析方法。该方法利用井底压降及其导数的双对数曲线诊断出施工停泵后的各个流动阶段，再分别利用G函数、F_L函数和F_R函数曲线分析获得压裂储层的关键参数。其中，通过弹性闭合期的G函数分析获得储层闭合压力，通过闭合后拟线性流动期的F_L函数分析获得压裂液综合滤失系数，通过闭合后拟径向流动期的F_R函数分析获得初始地层压力和渗透率。

(3) 通过对东海低渗气田某测试压裂井的实例应用，证明提出方法操作简便，获取到与裂缝有关的地层物性参数，为制定主压裂设计与指导施工提供了依据。