三支决策理论由姚一豫教授提出^[1-3], 其基本思想来自Pawlak粗糙集^[4]和概率粗糙集^[5-7], 基本目的是将粗糙集的正域、负域和边界域分别解释为一个三元分类的三个决策结果, 也即, 接受、拒绝和不确定(或延迟决策)。本文系统研究了各类粗糙集和概率粗糙集, 从三支决策的决策度量、决策条件和决策评价函数三个关键问题出发, 引入了决策评价函数的公理化定义并建立了三支决策空间^[8]。基于这一思想, 笔者给出了三支决策空间上的各类三支决策, 使得存在的三支决策成为三支决策空间的一些特例, 例如, 基于模糊集^[9]、区间值模糊集^[10]、区间集^[11]、阴影集^[12]、随机集^[13]和粗糙集的三支决策等。

三支决策空间理论引入之后, 从下列几个方面进行了推广研究。

1) 代数结构:从具有否定算子的完全分配格到具有否定算子的偏序集^[14-15], 这样基于二型模糊集^[16-17]、区间值二型模糊集^[17-18]、犹豫集和区间犹豫集的三支决策^[14]也包含在三支决策空间中。

2) 决策评价函数的构造:从半决策评价函数到决策评价函数^[19-20]、从多个决策评价函数到决策评价函数^[21]的构造方法。

本文对现有的决策评价函数的构造方法进行综述, 并在此基础上给出新的构造方法。

1 三支决策空间的基础知识

如果(X, ≤)是一个偏序集, 映射N:X→X称为强否定算子或逆序对合算子, 如果它满足∀x, y∈X,

1) x≤y$\Rightarrow $N(y)≤N(x) (逆序);

2) N(N(x))=x (对合律)。

算子c (x^c=1-x)是[0, 1]上的一个强否定算子。

在本文中, 我们总假设(P, ≤_P)是一个具有强否定算子N_P的偏序集, 并具有最小元0_P和最大元1_P, 一般被记为(P, ≤_P, N_P, 0_P, 1_P)。本文还使用下列记号:

$ {I^{\left( 2 \right)}} = \left\{ {\left[ {{a^ - },{a^ + }} \right]\left| {0 \le {a^ - } \le {a^ + } \le 1} \right.} \right\}, $

$ {I^2} = \left\{ {\left( {a,b} \right)\left| {a,b \in \left[ {0,1} \right],a + b \le 1} \right.} \right\}, $

$ \bar a\left[ {a,a} \right],a \in \left[ {0,1} \right]。$

假设X和Y是两个论域, Map(X, Y)是X到Y的映射集, 即Map(X, Y)={f|f:X→Y}。特别地, 有以下定义:

1) A∈Map(X, [0, 1])是X上的一个模糊集。

2) A∈Map(X, I⁽²⁾)是X上的一个区间值模糊集。一个区间值模糊集A用A=[A^-, A⁺]表示。

3) A∈Map(X, I²)是X上的一个直觉模糊集。

4) H∈Map(X, 2[0, 1]-Ø)是X上的一个犹豫模糊集。

5) H∈Map(X, 2^I(2)-Ø)是X上的一个区间值犹豫模糊集。

6) A∈Map(X, Map([0, 1], [0, 1])是X上的一个二型模糊集。

7) R∈Map(X×Y, [0, 1])是X到Y的一个模糊关系。

对于A∈Map(U, P), A在U中的截集定义为

$ {A_\lambda } = \left\{ {x \in U\left| {A\left( x \right) \ge {}_P\lambda } \right.} \right\},\lambda \in P。$

补集定义为

$ {N_P}\left( A \right)\left( x \right) = {N_P}\left( {A\left( x \right)} \right)。$

如果A, B∈Map(U, P), 则A$\subseteq $_PB被定义为A(x)≤_PB(x), ∀x∈U。Map(U, P)中的两个特殊元素Ø(x)=0_p(∀x∈U)和U(x)=1_p(∀x∈U), 分别记为(0_p)_U和(1_p)_U。

假设(P_C, ≤_PC, N_PC, 0_PC, 1_PC)和(P_D, ≤_PD, N_PD, 0_PD, 1_PD)是两个偏序集, U是决策论域, V是条件论域。我们有下面的决策评价函数的公理化定义。

定义1^[14]  映射

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,{P_D}} \right) $

称为U上的一个决策评价函数, 如果它满足下列公理:

(E1) 最小元公理(minimum element axiom)

E(Ø)=Ø, 即E(Ø)(x)=0_PD, ∀x∈U。

(E2) 单调性公理(monotonicity axiom)

A$\subseteq $_PCB$\Rightarrow $E(A)$\subseteq $_PDE(B), ∀A, B∈Map(V, P_C), 即E(A)(x)≤_PDE(B)(x), ∀x∈U。

(E3) 补公理(complement axiom)

N_PD(E(A))=E(N_PC(A)), ∀A∈Map(V, P_C), 即N_PD(E(A))(x)=E(N_PC(A))(x), ∀x∈U。

从公理(E1)和公理(E3)可以得到

$ E\left( V \right)\left( x \right) = {1_{{P_D}}},\forall x \in U。$

基于决策评价函数的定义, 我们给出了基于偏序集的三支决策空间。

定义2^[14]  给定决策论域U, 决策条件论域Map(V, P_C), 决策度量论域P_D和决策评价函数E, 称(U, Map(V, P_C), P_D, E)为基于偏序集的三支决策空间。

2 基于半三支决策评价函数的三支决策评价函数构造

在粗糙集的推广研究中发现，当等价关系推广到一般模糊关系时, 决策评价函数不一定满足第三条公理。例如, 如果A是有限论域U上的一个模糊集或R是U上的一个模糊关系, 则

$ {E_1}\left( A \right)\left( x \right) = \frac{{\sum\limits_{y \in U} {A\left( y \right) \wedge R\left( {x,y} \right)} }}{{\sum\limits_{y \in U} {R\left( {x,y} \right)} }}, $

$ {E_2}\left( A \right)\left( x \right) = \frac{{\sum\limits_{y \in U} {A\left( y \right)R\left( {x,y} \right)} }}{{\sum\limits_{y \in U} {R\left( {x,y} \right)} }} $

不一定满足补公理。这样限制了三支决策理论的推广应用。为了解决这个问题, 我们引入了半决策评价函数和半三支决策空间的概念, 并成功得到了从半决策评价函数构造决策评价函数的方法。

定义3^[19]  映射

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,{P_D}} \right) $

称为U上的一个半决策评价函数, 如果它满足最小元公理(E1)和单调性公理(E2)。同时称(U, Map(V, P_C), P_D, E)为一个基于偏序集的半三支决策空间。

下面给出P_D=[0, 1]时的决策评价函数的构造方法。

定理1^[19]  给定U上的一个半决策评价函数

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right), $

并且E((1_PC)_V)=1_U。如果α, β∈[0, 1]并且α+β=1, 则

$ \begin{array}{l} {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \alpha E\left( A \right)\left( x \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\beta \left( {1 - E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)\left( x \right)} \right) \end{array} $

是U上的一个半决策评价函数。

定理2^[19]  给定U上的一个半决策评价函数

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right), $

并且E((1_PC)_V)=1_U。，则

$ \begin{array}{l} {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{{1 + E\left( A \right)\left( x \right) - E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)\left( x \right)}}{2} \end{array} $

是U上的一个决策评价函数。

下面给出了P_D=I⁽²⁾时的决策评价函数的构造方法。

定理3^[19]  设映射

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,{I^{\left( 2 \right)}}} \right) $

并且

$ E\left( A \right)\left( x \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {E\left( A \right)} \right)}^ - }\left( x \right),}&{{{\left( {E\left( A \right)} \right)}^ + }\left( x \right)} \end{array}} \right], $

则E(A)是U上的一个半决策评价函数当且仅当(E(A))^-:Map(V, P_C)→Map(U, [0, 1])和(E(A))⁺:Map(V, P_C)→Map(U, [0, 1])都是U上的一个半决策评价函数。

定理4^[19]  设映射

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,{I^{\left( 2 \right)}}} \right) $

是U上的一个半决策评价函数,

$ E\left( A \right)\left( x \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {E\left( A \right)} \right)}^ - }\left( x \right),}&{{{\left( {E\left( A \right)} \right)}^ + }\left( x \right)} \end{array}} \right] $

并且E((1_PC)_V)=1_U，则

$ \begin{array}{l} {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \\ \left[ {\frac{{1 + {{\left( {E\left( A \right)} \right)}^ - }\left( x \right) - {{\left( {E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)} \right)}^ + }\left( x \right)}}{2},} \right.\\ \left. {\frac{{1 + {{\left( {E\left( A \right)} \right)}^ + }\left( x \right) - {{\left( {E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)} \right)}^ - }\left( x \right)}}{2}} \right] \end{array} $

是U上的一个决策评价函数。

下面给出P_D=I²时的决策评价函数的构造方法。

定理5^[19]  设映射

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,{I^{\left( 2 \right)}}} \right) $

并且

$ E\left( A \right)\left( x \right) = \left( {{E_\mu }\left( A \right)\left( x \right),{E_\nu }\left( A \right)\left( x \right)} \right)。$

则E(A)是U上的一个半决策函数当且仅当

$ {E_\mu },{\left( {{E_\nu }} \right)^c}:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right) $

是U上的一个半决策评价函数。如果E((1_PC)_V)=1_I²=(1, 0), 则

$ \begin{array}{l} {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\left( {\frac{{{E_\mu }\left( A \right)\left( x \right) + {E_\nu }\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)\left( x \right)}}{2},} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {\frac{{{E_\nu }\left( A \right)\left( x \right) + {E_\mu }\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)\left( x \right)}}{2}} \right) \end{array} $

是U上的一个决策评价函数。

文献[19]给出了大量的从半决策评价函数到决策评价函数的构造例子, 这些例子来自于不同的评价条件, 如模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集、随机集、犹豫模糊集和区间值犹豫模糊集和二型模糊集。具有代表性的函数列入表 1供读者研究参考。

3 基于t-模和t-余模的三支决策评价函数构造

在[0, 1]上考虑t-模T和t-余模S可以构造出更丰富的决策评价函数。

定理6^[19]  给定U上的一个半决策评价函数

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right), $

并且E((1_PC)_V)=1_U。则

$ \begin{array}{l} {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \frac{1}{2}\left\{ {T\left( {E\left( A \right)\left( x \right)} \right.,} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {1 - E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)\left( x \right)} \right) + S\left( {E\left( A \right)\left( x \right),} \right.\\ \left. {\;\;\;\;\;\;\;\left. {1 - E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)} \right)\left( x \right)} \right)} \right\} \end{array} $

是U上的一个决策评价函数, 其中T和S是[0, 1]上的对偶t-模和t-余模。

当T=min, S=max, 定理6就是定理2。

在定理6中取E(A)=A, P_C=[0, 1], N_PC(x)=1-x, 则得到文献[20]的结论:

$ \begin{array}{l} {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \\ \frac{{T\left( {A\left( x \right),A\left( x \right)} \right) + S\left( {A\left( x \right),A\left( x \right)} \right)}}{2} \end{array} $

是U上的一个决策评价函数。

定理7^[20]  设映射

$ {E_1},{E_2}:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right) $

是U上的两个半决策评价函数，并且对所有A∈Map(V, P_C)，x∈U，定义

$ {E_T}\left( A \right)\left( x \right) = T\left( {{E_1}\left( A \right)\left( x \right),{E_2}\left( A \right)\left( x \right)} \right), $

$ {E_S}\left( A \right)\left( x \right) = S\left( {{E_1}\left( A \right)\left( x \right),{E_2}\left( A \right)\left( x \right)} \right), $

$ \begin{array}{l} {E_{\left( {T,S,a} \right)}}\left( A \right)\left( x \right) = a{E_T}\left( A \right)\left( x \right) + \\ \left( {1 - a} \right){E_S}\left( A \right)\left( x \right),0 \le a \le 1, \end{array} $

则E_T，E_S和E_{(T, S, a)}都是U上的半决策评价函数。

定理8^[20]  设

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right) $

是U上的一个半决策评价函数。则

$ \begin{array}{l} {E_{\left( {T,{N_{{P_C}}}} \right)}}\left( A \right)\left( x \right) = \\ \;\;\;\;\;\;T\left( {E\left( A \right)\left( x \right),1 - E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)\left( x \right)} \right)} \right), \end{array} $

$ \begin{array}{l} {E_{\left( {S,{N_{{P_C}}}} \right)}}\left( A \right)\left( x \right) = \\ \;\;\;\;\;\;S\left( {E\left( A \right)\left( x \right),1 - E\left( {{N_{{P_C}}}\left( A \right)\left( x \right)} \right)} \right) \end{array} $

都是U上的半决策评价函数。

文献[20]从不同的评价条件, 如模糊集、区间值模糊集、犹豫模糊集等, 基于常见的模糊逻辑连接词t-模和t-余模给出了大量的从半决策评价函数到决策评价函数的构造例子。

4 基于多个三支决策评价函数的三支决策函数构造设

设

$ {E_i}:{\rm{Map}}\left( {V,{P_C}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right)\left( {i = 1,2, \cdots ,n} \right) $

是U的n个决策评价函数, 则$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\wedge }}}\, $E_i(A)(x)和$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\vee }}}\, $E_i(A)(x)是U上的半决策评价函数。由定理2，通过$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\wedge }}}\, $E_i(A)(x)和$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\vee }}}\, $E_i(A)(x)构造的评价函数为

$ \frac{{\mathop \wedge \limits_{i = 1}^n {E_i}\left( A \right)\left( x \right) + \mathop \vee \limits_{i = 1}^n {E_i}\left( A \right)\left( x \right)}}{2}。$

为了给出多个函数的聚合方法, 先给出保补聚合函数的概念。

定义4^[21]  设(P, ≤_P, N_P, 0_P, 1_P)是一个有界偏序集, 则映射f:Pⁿ→P称为一个n元保补聚合函数, 如果它满足下列条件

(AF1) 正则性:

$ f\left( {x,x, \cdots ,x} \right) = x,\forall x \in P; $

(AF2) 递增性:

f是P上的一个对每一个变量都递增的函数, 即由x_i⁽¹⁾ ≤_Px_i⁽²⁾ (i=1, 2, …, n)可推出

$ \begin{array}{l} f\left( {{x_1}, \cdots ,{x_{i - 1}},x_i^{\left( 1 \right)},{x_{i + 1}}, \cdots ,{x_n}} \right)\\ \le {}_Pf\left( {{x_1}, \cdots ,{x_{i - 1}},x_i^{\left( 2 \right)},{x_{i + 1}}, \cdots ,{x_n}} \right), \end{array} $

$ \forall {x_i},x_i^{\left( 1 \right)},x_i^{\left( 2 \right)} \in P; $

(AF3) 保补性:

$ \begin{array}{l} f\left( {{N_P}\left( {{x_1}} \right),{N_P}\left( {{x_2}} \right), \cdots ,{N_P}\left( {{x_n}} \right)} \right) = \\ {N_P}\left( {f\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)} \right),\forall {x_i} \in P. \end{array} $

记P上所有n元保补聚合函数, 记为AF_n(P)。

以下考虑多个决策评价函数的聚合。

定理9^[21]  设映射

E_i:Map(V, P_C)→Map(U, P_D)(i=1, 2, …，n)是U上的n个决策评价函数, f∈AF_n(P_D)并且对所有A∈Map(V, P_C)和x∈U,

$ \begin{array}{l} {E^f}\left( A \right)\left( x \right) = \\ f\left( {{E_1}\left( A \right)\left( x \right),{E_2}\left( A \right)\left( x \right), \cdots ,{E_n}\left( A \right)\left( x \right)} \right), \end{array} $

则(U, Map(V, P_C), P_D, E^f)是U上的一个三支决策评价函数。

下面是一些对P_D=[0, 1]的聚合三支决策评价函数的例子。

1) E^wa(A)(x)=$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{E}_{i}}\left( A \right)\left( x \right), }$

其中a₁, a₂, …, a_n∈[0, 1]，并且$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}=1}$。

2) E^sa(A)(x)=$\frac{{{E}_{1}}\left( A \right)\left( x \right)+{{E}_{2}}\left( A \right)\left( x \right)}{{{2}^{n-1}}}+\frac{{{E}_{3}}\left( A \right)\left( x \right)}{{{2}^{n-2}}}+\cdots +\frac{{{E}_{n}}\left( A \right)\left( x \right)}{2}$。

3) E^ma(A)(x)=$\frac{1}{2}\left\{ {\mathop {\max }\limits_i {\mkern 1mu} \left( {T\left( {{a_i},{E_i}\left( A \right)\left( x \right)} \right) + \mathop {\min }\limits_i {\mkern 1mu} \left( {S\left( {1 - {a_i},{E_i}\left( A \right)\left( x \right)} \right)} \right.} \right.} \right\}$, 并且$\mathop {\max }\limits_i {\mkern 1mu} {a_i} = 1$。

4) E^me(A)(x)=Median{E_i(A)(x)}, 其中Median是中位数。

5 决策评价函数新构造方法

在前面构造方法的启发下, 下面给出新的构造方法。因决策评价函数可由定理2通过半决策评价函数构造得到, 所以下面只给出半决策评价函数的构造。

定理10  设A∈Map(V, [0, 1]), R∈Map(U×V, [0, 1]), 定义映射

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,\left[ {0,1} \right]} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right), $

$ \begin{array}{l} E\left( A \right)\left( x \right) = \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {S\left( {A\left( y \right),T\left( {A\left( y \right),R\left( {x,} \right.} \right.} \right.} \\ \left. {\left. {\left. y \right)} \right)} \right) \end{array} $

则E是U上的一个半决策评价函数并且E(1_V)=1_U。

证明  显然满足最小元公理和单调性公理。对所有x∈U,

$ \begin{array}{l} E\left( {{1_V}} \right)\left( x \right) = \\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {S\left( {{1_V}\left( y \right),T\left( {{1_V}\left( y \right),R\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} = \\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {S\left( {1,R\left( {x,y} \right)} \right)} = 1。\end{array} $

定理11  设A∈Map(V, [0, 1]), R∈Map(U×V, [0, 1]), 定义映射

$ E:{\rm{Map}}\left( {V,\left[ {0,1} \right]} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right) $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( A \right)\left( x \right) = \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {T\left( {A\left( y \right),} \right.} }\\ {\left. {S\left( {A\left( y \right),R\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} \end{array} $

则E是U上的一个半决策评价函数，并且E(1_V)=1_U。

证明  显然满足最小元公理和单调性公理。对所有x∈U,

$ \begin{array}{l} E\left( {{1_V}} \right)\left( x \right) = \\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {T\left( {{1_V}\left( y \right),S\left( {{1_V}\left( y \right),R\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} = \\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {T\left( {1,S\left( {1,R\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} = 1。\end{array} $

例1  在定理10和定理11中, 如果考虑S=∨, T=∧, 则

$ E\left( A \right)\left( x \right) = \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {A\left( y \right)} , $

这其实是模糊集A的相对基数。由定理2得到决策评价函数

$ {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{{2\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {\left( {2A\left( y \right) - 1} \right)} 。$

例2  在定理10中, 如果考虑

$ S\left( {x,y} \right) = \left( {x + y} \right) \wedge 1, $

$ T\left( {x,y} \right) = \left( {x + y - 1} \right) \vee 0, $

则

$ \begin{array}{l} E\left( A \right)\left( x \right) = \\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {\left( {A\left( y \right) + } \right.} \\ \left. {\left( {A\left( y \right) + R\left( {x,y} \right) - 1} \right) \vee 0} \right) \wedge 1。\end{array} $

由定理2得到决策评价函数

$ \begin{array}{l} {E^ * }\left( A \right)\left( x \right) = \frac{1}{2}\left\{ {1 + } \right.\\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\left[ {\sum\limits_{y \in V} {\left( {A\left( y \right) + \left( {A\left( y \right) + R\left( {x,y} \right) - 1} \right) \vee } \right.} } \right.\\ \left. 0 \right) \wedge 1 - \sum\limits_{y \in V} {\left( {1 - A\left( y \right) + } \right.} \\ \left. {\left. {\left. {\left( {R\left( {x,y} \right) - A\left( y \right)} \right) \vee 0} \right) \wedge 1} \right]} \right\}。\end{array} $

取

$ U = V = \left\{ {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5}} \right\}, $

$ A = \frac{{0.8}}{{{x_1}}} + \frac{{0.2}}{{{x_2}}} + \frac{{0.6}}{{{x_3}}} + \frac{{0.9}}{{{x_4}}} + \frac{1}{{{x_5}}}, $

$ R = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{0.8}&{0.6}&{0.4}&{0.6}\\ {0.8}&1&{0.6}&{0.4}&{0.6}\\ {0.6}&{0.6}&1&{0.4}&{0.9}\\ {0.4}&{0.4}&{0.4}&1&{0.4}\\ {0.6}&{0.6}&{0.9}&{0.4}&1 \end{array}} \right], $

则

$ {E^ * }\left( A \right) = \frac{{0.66}}{{{x_1}}} + \frac{{0.68}}{{{x_2}}} + \frac{{0.69}}{{{x_3}}} + \frac{{0.66}}{{{x_4}}} + \frac{{0.7}}{{{x_5}}}。$

定理10和定理11的结论可推广到其他决策条件上。

定理12  设A∈Map(V, I⁽²⁾), R∈Map(U×V, I⁽²⁾), 定义映射

$ {E_1},{E_2}:{\rm{Map}}\left( {V,{I^{\left( 2 \right)}}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,\left[ {0,1} \right]} \right), $

$ \begin{array}{l} {E_1}\left( A \right)\left( x \right) = \\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {S\left( {{A^{\left( m \right)}}\left( y \right),T\left( {{A^{\left( m \right)}}\left( y \right),{R^{\left( {in} \right)}}\left( {x,} \right.} \right.} \right.} \\ \left. {\left. {\left. y \right)} \right)} \right), \end{array} $

$ \begin{array}{l} {E_2}\left( A \right)\left( x \right) = \\ \frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {T\left( {{A^{\left( m \right)}}\left( y \right),S\left( {{A^{\left( m \right)}}\left( y \right),{R^{\left( {in} \right)}}\left( {x,} \right.} \right.} \right.} \\ \left. {\left. {\left. y \right)} \right)} \right) \end{array} $

则E₁和E₂是U上的两个半决策评价函数并且E₁(1_V)=1_U, E₂(1_V)=1_U。

定理13  设A∈Map(V, I⁽²⁾), R∈Map(U×V, I⁽²⁾), 定义映射

$ {E_1},{E_2}:{\rm{Map}}\left( {V,{I^{\left( 2 \right)}}} \right) \to {\rm{Map}}\left( {U,{I^{\left( 2 \right)}}} \right), $

$ \begin{array}{l} {E_1}\left( A \right)\left( x \right) = \\ \left[ {\frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {S\left( {{A^ - }\left( y \right),T\left( {{A^ - }\left( y \right),{R^ - }\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} ,} \right.\\ \left. {\frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {S\left( {{A^ + }\left( y \right),T\left( {{A^ + }\left( y \right),{R^ + }\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} } \right], \end{array} $

$ \begin{array}{l} {E_2}\left( A \right)\left( x \right) = \\ \left[ {\frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {T\left( {{A^ - }\left( y \right),T\left( {{A^ - }\left( y \right),{R^ - }\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} ,} \right.\\ \left. {\frac{1}{{\left| V \right|}}\sum\limits_{y \in V} {T\left( {{A^ + }\left( y \right),S\left( {{A^ + }\left( y \right),{R^ + }\left( {x,y} \right)} \right)} \right)} } \right], \end{array} $

则E₁和E₂是U上的两个半决策评价函数并且E₁(1_V)=1_U, E₂(1_V)=1_U。

6 结语

本文讨论的是三支决策空间理论中一个很重要的结论, 可以从只满足公理(E1)和(E2)的函数出发构造满足公理(E1)，(E2)和(E3)的函数。首先, 从不同角度回顾了一系列构造方法。其次, 基于论域的基数给出了决策评价函数新的构造方法。

关于三支决策的构造还可以从以下几个方面进行考虑:

1) 将强否定算子放宽到否定算子上, 即去掉对合律, 这样使用更加广泛。

2) 基于一致模和零模等推广模的决策评价函数构造。

3) 半决策评价函数到决策评价函数主要是在[0, 1]或I⁽²⁾上, 能否在偏序集上直接从半决策评价函数构造出决策评价函数?