不变子空间方法是求非线性偏微分方程的精确解的有效方法, 在非线性算子允许的空间内可以构造方程的解, 已经在此方面有许多有意义的结果^[1-15], 因此, 由允许的不变子空间来推出具体非线性算子是很重要的, 文献[7]分别研究了二阶非线性算子, 文献[8]研究了三阶非线性算子, 本文借助于Mapler软件推出四阶非线性算子

(1)

允许六维多项式不变子空间的算子的表达式, 这样便于方程精确解的研究。

1 不变子空间方法

对于形如

(2)

的k阶非线性方程, 其中G(x, u, u_x, …)对各个变量都是光滑函数。令g₁(x), g₂(x), …, g_p(x)是线性无关, 它们的线性组合是

如果非线性算子G满足G[W_p]⊆W_p, 即, 对任意c_i(t), 有(c₁, c₂, …, c_p)g_i(x)，就称算子G允许不变子空间W_p, 所以, 非线性方程(2)有变量分离形式解

(3)

将式(3)代入(2), 得出c_i(t)满足

假设子空间W_p是由常系数常微分方程

的解构成的, 则非线性算子G允许的空间W_p不变的条件为L[G[u]]|_[H]=0, [H]表示L[u]=0及关于x的微分。

定理1^{[4, 9]}  若线性子空间W_p在k阶微分算子G作用下不变, 则p≤2k+1。

2 主要结果

对于四阶非线性算子

根据定理1知, 它允许九维以下的子空间, 但考虑到计算量很大, 本文只讨论六维不变子空间, 在

中令a₅=a₄=a₃=a₂=a₁=a₀=0, 即L[y]≡y⁽⁶⁾=0的解, 构成不变子空间

在W₆中算子式(1)有变量分离形式解

那么四阶非线性算子(1)具有咋样的形式?由不变子空间方法及不变条件

(4)

(5)

得出下面的结论。

定理2  四阶非线性算子式(1)允许六维多项式不变子空间W₆={1, x, x², x³, x⁴, x⁵}时, 四阶非线性算子的表达式为

其中

证 明  将式(1)(4), 代入式(5), 得出式(5)的左边是关于u偏导数乘积的和的式子, 并令它们的系数为零, 从而得出(u_xxxxx)⁶的系数, 从而有

(6)

将式(4)，(6)代入式(5), 得出

故有

(7)

由(u_xxxxx)⁵系数: , 得出

得出

得出

得出

得出

(8)

将式(4)，(7)，(8)代入式(6)，再代入式(5)得出，

有

得出G₃₂=b₆,

得出G₃₁=b₇,

得出

得出G₃₀₂=b₈,

得出

得出

得出

得出

得出

因此

类似地分析计算, 得出

将G₅，G₄，G₃，G₂，G₁，G₀代入式(6), 再代入式(5), 整理, 并令等式左边u偏导数乘积的系数为零, 解得b_i, 再回代到式(6), 即得到结果。

3 举例

含有二次算子G₂[u]的方程

允许不变子空间W₆={1, x, x², x³, x⁴, x⁵}, 因此方程有解

其中d₀(t), d₁(t), d₂(t), d₃(t), d₄(t), d₅(t)满足

4 结论

本文推出四阶非线性算子F允许六维多项式不变子空间时, 该四阶算子的表达式, 可以在六维多项式不变子空间上构造出方程的精确解, 同时运用本方法, 也可以推出四阶非线性算子F在允许七维、八维、九维子空间时, 算子的表达式, 并且可以在这些子空间中构造出方程更多的精确解。