1 预备知识

在本文中, H与K都表示无限维的复可分Hilbert空间, B(H, K)表示H到K上的有界线性算子的全体, 记B(H, H)=B(H), K(H)表示B(H)中紧算子的全体。int表示一个集合的内点。对算子T∈B(H), 用n(T)来表示零空间N(T)的维数, d(T)表示值域R(T)的余维数。若n(T) < ∞且R(T)闭, 称T为上半Fredholm算子; 特别地, 当n(T)=0且R(T)闭时, 称T为下有界算子。若d(T) < ∞且R(T)闭, 称T为下半Fredholm算子; 特别地, 当d(T)=0时, 称T为满算子。上半Fredholm算子和下半Fredholm算子统称为半Fredholm算子。T∈B(H)称为Fredholm算子, 若R(T)闭且n(T)和d(T)都有限。若T∈B(H)为半Fredholm算子, T的指标ind(T)定义为ind(T)=n(T)-d(T)。算子T的升标asc(T)为满足N(Tⁿ)=N(Tⁿ⁺¹)的最小非负整数, 若这样的整数不存在, 则记asc(T)=+∞; 而算子T的降标des(T)为满足R(Tⁿ)=R(Tⁿ⁺¹)的最小非负整数, 同样当这样的整数不存在时, 记des(T)=+∞。若T是指标为零的Fredholm算子, 称T为Weyl算子。若T为有有限升标和有限降标的Fredholm算子, 称T为Browder算子。算子T的谱σ(T), 逼近点谱σ_a(T), Browder谱σ_b(T), 半Fredholm谱σ_SF(T)分别定义为:

σ(T)={λ∈C:T-λI不为可逆算子},

σ_a(T)={λ∈C:T-λI不为下有界算子},

σ_b(T)={λ∈C:T-λI不为Browder算子},

σ_SF(T)={λ∈C:T-λI不为半Fredholm算子}。

令σ₀(T)=σ(T)\σ_b(T), ρ(T)=C\σ(T), ρ_a(T)=C\σ_a(T), ρ_b(T)=C\σ_b(T)。

设A∈B(H), B∈B(K), 我们用M_C=表示H⊕K上的上三角算子矩阵, 其中C∈B(K, H), 令。对上三角算子矩阵的研究源于下列事实:若T为一Hilbert空间算子, M为其闭的不变子空间, 则T有下列2×2上三角算子矩阵表示:

对上三角算子矩阵的研究方法之一是研究其主对角线上两个算子的性质, 近年来, 上三角算子矩阵备受关注^[1-5]。本文主要研究了2×2上三角算子矩阵的平方满足(ω)性质的紧摄动的判定方法, 给出了2×2上三角算子矩阵的平方满足(ω)性质的紧摄动的充要条件。

2 算子矩阵的(ω)性质及其摄动

1990年, H.Weyl^[6]在检查Hermitian算子T的谱时发现, λ属于T的所有紧摄动的谱的充要条件是λ属于T的谱集但不是T的谱集中孤立的有限重特征值, 这个结论后来被人们称为Weyl定理, 20世纪90年代, 许多学者, 例如R.Harte和W.Y.Lee对Weyl定理进行了变形和推广, 定义了Browder定理^[7], V.Rakocĉevic^[8-9]给出了Weyl定理的另外两种变化:a-Weyl定理和(ω)性质。称T∈B(H)有(ω)性质^[10], 若T满足σ_a(T)\σ_ea(T)=π₀₀(T), 其中算子T的本质逼近点谱σ_ea(T)={λ∈C:T-λI∉SF₊^-(H)}, 这里

SF₊^-(H)={T∈B(H):T为上半Fredholm算子且ind(T)≤0}，

集合π₀₀(T)={λ∈isoσ(T):0 < n(T-λI) < ∞}。近年来有许多关于(ω)性质及其摄动的研究^[10-11]。本文继续这样的工作, 主要研究上三角算子矩阵平方的(ω)性质及其摄动。若任给K∈K(H)，T+K都具有(ω)性质, 称算子T具有(ω)性质的紧摄动。为了讨论上三角算子矩阵平方的(ω)性质的紧摄动, 先看几个引理。

引理1  T具有(ω)性质的紧摄动当且仅当下列条件成立:

1) ρ_ea(T)=C\σ_ea(T)连通;

2) isoσ_a(T)=σ₀(T);

3) accσ_ea(T)=accσ_a(T)。

证 明  由文献[12]的定理2.1可类似证明。

引理2^[3]  设A∈B(H), B∈B(K), 则存在算子C∈B(K, H)使得2×2上三角算子矩阵M_C∈SF₊^-(H⊕K)的充要条件是A∈B(H)是上半Fredholm算子, 且下列条件之一成立:

(a) 当R(B)闭时, n(B) < ∞且n(A)+n(B)≤d(A)+d(B)或者d(A)=n(B)=∞;

(b) 当R(B)不闭时, d(A)=∞。

下面给出本文的主要定理。

定理1  设A∈B(H), B∈B(K), 若M₀具有(ω)性质且σ_a(M₀)关于原点对称, 则对任意C∈B(K, H)(C≠0), M_C²具有(ω)性质的紧摄动, σ_ea(M_C)关于原点对称且isoσ_ea(M_C)=Ø当且仅当下列条件成立:

1) F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=Ø;

2) E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø;

3) M₀具有(ω)性质的紧摄动。

证 明  必要性  设对任意C∈B(K, H), C≠0, M_C²具有(ω)性质的紧摄动, σ_ea(M_C)关于原点对称, 而且isoσ_ea(M_C)=Ø。首先证明对任意C∈B(K, H), C≠0, ρ_ea(M_C)连通。

反证法, 若ρ_ea(M_C)不连通, 则存在ρ_ea(M_C)的有界连通分支Ω, 且∂Ω⊆σ_SF(M_C), 由文献[13]中引理2.10可知存在紧算子K₁使得M_C+, 其中N是正规算子且σ(N)=σ_SF(N)=∂Ω。对于算子N, 由文献[14]中定理3.1可知，存在紧算子K₂'使得σ(N+K₂')=Ω。对任意λ∈Ω, N-λI是可逆算子。令K₂=且K=K₁+K₂, 则M_C+K=。而对任意λ₀∈Ω, M_C-λ₀I∈SF₊^-(H⊕K), 因为σ_ea(M_C)关于原点对称, 于是M_C+λ₀I∈SF₊^-(H⊕K)。由于

其中K'=M_CK+KM_C+K²是紧算子, 那么(M_C+K)²-λ₀²I∈SF₊^-(H⊕K)。因为M_C²具有(ω)性质的紧摄动, 故(M_C+K)²-λ₀²I是下有界算子或Browder算子, 从而M_C+K-λ₀I下有界算子或Browder算子, 因此存在λ₁∈Ω使得M_C+K-λ₁I是下有界算子, 于是N+K₂'-λ₁I是下有界算子。又因为N+K'₂-λ₁I是Weyl算子, 所以N+K₂'-λ₁I可逆, 这与σ(N+K₂')=Ω矛盾。因此对任意C∈B(K, H), C≠0, ρ_ea(M_C)连通。

接着再证明对任意C∈B(K, H), C≠0, ρ_ea(M_C)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)。

ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)⊆ρ_ea(M_C)是显然的。反之, 设λ₀∈ρ_ea(M_C), 则A-λ₀I是上半Fredholm算子。我们断言A-λ₀I是Weyl算子。事实上, 若A-λ₀I不是Weyl算子, 则λ₀∈intσ(A), 而ρ_ea(M_C)∩∂σ(A)⊆σ₀(A)⊆isoσ(A), 显然isoσ(A)是孤立集, 我们知道一个孤立集至多是可数集^[15], 所以一定存在一条封闭曲线L∈∂σ(A)使得λ₀属于L围成的区域中且L∩ρ_ea(M_C)=Ø, 然而在L外一定存在一点λ₁使得λ₁∈ρ_ea(M_C), 这里λ₁∈ρ(A)∩ρ(B), 但是λ₀∈ρ_ea(M_C), 那么ρ_ea(M_C)不连通, 与已知矛盾。从而A-λ₀I是Weyl算子, 再由引理2可知B-λ₀I∈SF₊^-(K), 故λ₀∈ρ_ea(A)∩ρ_ea(B), 对任意C∈B(K, H), C≠0, ρ_ea(M_C)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)。

1) F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=Ø;

若不然, 设λ₀∈F, 由引理2可知存在算子C∈B(K, H)使得M_C-λ₀I∈SF₊^-(H⊕K)。由ρ_ea(M_C)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)得λ₀∈ρ_ea(A)∩ρ_ea(B), 这与n(B-λ₀I)=∞矛盾, 于是假设不成立。

2) E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø。

若不然, 设λ₀∈E, 由引理2可知存在算子C∈B(K, H)使得M_C-λ₀I∈SF₊^-(H⊕K)。由ρ_ea(M_C)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)得λ₀∈ρ_ea(A)∩ρ_ea(B), 这与R(B-λ₀I)=∞不是闭的矛盾, 于是假设不成立。

3) M₀具有(ω)性质的紧摄动。

由引理1可知需要证明ρ_ea(M₀)连通; isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀)且accσ_ea(M₀)=accσ_a(M₀)。

(ⅰ) ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)。

ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)⊆ρ_ea(M₀)是显然的。反之, 设λ₀∈ρ_ea(M₀), 则A-λ₀I, B-λ₀I均是上半Fredholm算子, 且ind(A-λ₀I)+ind(B-λ₀I)≤0。对任意C∈B(K, H)(C≠0), M_C-λ₀I∈SF₊^-(H⊕K)。因为ρ_ea(M_C)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B), 所以λ₀∈ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)。因此可以得到ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B), 再由已知得到ρ_ea(M₀)连通。

(ⅱ) isoσ_a(M₀)⊆σ₀(M₀)。

只需要证isoσ_a(M₀)⊆σ₀(M₀)。设λ₀∈isoσ_a(M₀), 则存在δ > 0使得λ属于λ₀的空心邻域B⁰(λ₀; δ)时, M₀-λI是下有界算子, 从而A-λI, B-λI均是下有界算子。于是对任意C∈B(K, H), C≠0, M_C-λI是下有界算子。由此可知λ₀∈isoσ_a(M_C)∪ρ_a(M_C), 下面分两种情况讨论。

情况1  当λ₀∈isoσ_a(M_C)时, 容易证明λ₀∈isoσ_ea(M_C)∪ρ_ea(M_C), 由isoσ_ea(M_C)=Ø可知λ₀∈ρ_ea(M_C)。而ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)=ρ_ea(M_C), 那么就有λ₀∈ρ_ea(M₀), 从而λ₀∈σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)。再根据M₀具有(ω)性质的事实, 可以得到λ₀∈σ₀(M₀)。

情况2  当λ₀∈ρ_a(M_C)时, 因为ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)=ρ_ea(M_C), 所以λ₀∈ρ_ea(M₀), 易知λ₀∈σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)。再由M₀具有(ω)性质可知λ₀∈σ₀(M₀)。

综合情况1和2可知isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀)。

(ⅲ) accσ_ea(M₀)=accσ_a(M₀)。

只需要证明accσ_a(M₀)⊆accσ_ea(M₀), 反证法, 若λ₀∉accσ_ea(M₀), 易证对任意C∈B(K, H), C≠0, λ₀∈isoσ_ea(M_C)∪ρ_ea(M_C), 由isoσ_ea(M_C)=Ø可知λ₀∈ρ_ea(M_C)。由ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)=ρ_ea(M_C)可知λ₀∈ρ_ea(M₀), 于是λ₀∈ρ_a(M₀)∪[σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)], 因为M₀具有(ω)性质, 所以λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀)。易证λ₀∈ρ_a(M₀)∪isoσ_a(M₀), 因此λ₀∉accσ_a(M₀), 从而accσ_ea(M₀)=accσ_a(M₀)。

充分性  设条件1)，2)，3)成立。首先证明对任意C∈B(K, H), C≠0, isoσ_ea(M_C)=Ø。反证法, 若不然, 设λ₀∈isoσ_ea(M_C), 则存在δ > 0使得λ属于λ₀的空心邻域B⁰(λ₀; δ)时, M_C-λI∈SF₊^-(H⊕K), 从而A-λI是上半Fredholm算子。由F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=Ø和E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø, 再根据引理2可知B-λI是上半Fredholm算子, 且ind(A-λI)+ind(B-λI)≤0, 从而M₀-λI∈SF₊^-(H⊕K), 于是λ₀∈isoσ_ea(M₀)∪ρ_ea(M₀)。易证λ₀∉ρ_ea(M₀), 那么λ₀∈σ_ea(M₀)。因为M₀具有(ω)性质的紧摄动, 由引理1可知λ₀∈isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀), 于是A-λ₀I和B-λ₀I均是Browder算子, 从而对任意C∈B(K, H), C≠0, M_C-λ₀I是Browder算子, 这与λ₀∈σ_ea(M_C)矛盾。

我们断言σ₀(M₀)关于原点对称。设λ₀∈σ₀(M₀), 易知λ₀∈isoσ_a(M₀), 因为σ_a(M₀)关于原点对称, 所以-λ₀∈isoσ_a(M₀), 根据引理1, 由M₀具有(ω)性质的紧摄动, 可知-λ₀∈σ₀(M₀)。

下证σ_ea(M₀)关于原点对称。设λ₀∈ρ_ea(M₀), 因为M₀具有(ω)性质, 所以λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀)。又因为σ_a(M₀)和σ₀(M₀)均关于原点对称, 从而-λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀), 于是-λ₀∈ρ_ea(M₀)。

再证对任意的C∈B(K, H), C≠0, σ_ea(M_C)关于原点对称。设λ₀∈ρ_ea(M_C), 则A-λ₀I是上半Fredholm算子, 根据引理2和F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=Ø以及E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø可知, B-λ₀I是上半Fredholm算子且ind(A-λI)+ind(B-λI)≤0, 显然λ₀∈ρ_ea(M₀)。于是λ₀∈ρ_a(M₀)∪[σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)]。由于M₀具有(ω)性质, 那么就有λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀)。利用条件σ_a(M₀)和σ₀(M₀)均关于原点对称可知-λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀), 那么可以得到M₀+λ₀I是下有界算子或Browder算子, 从而A+λ₀I, B+λ₀I同时是下有界算子或同时是Browder算子, 于是对任意C∈B(K, H), C≠0, -λ₀∈ρ_ea(M_C)。

要证明M_C²具有(ω)性质的紧摄动, 根据引理1可知需要证明:ρ_ea(M_C²)连通; isoσ_a(M_C²)=σ₀(M_C²)且accσ_ea(M_C²)=accσ_a(M_C²)。

首先容易证明当M₀具有(ω)性质时, ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)。下面分3步来证明:

1) 对任意C∈B(K, H), C≠0, ρ_ea(M_C²)=[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]²。

设λ₀∈ρ_ea(A)∩ρ_ea(B), 则λ₀∈ρ_ea(M₀), 由此可知λ₀∈ρ_a(M₀)∪[σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)]。因为M₀具有(ω)性质, 所以λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀)。由σ_a(M₀)和σ₀(M₀)均关于原点对称可知-λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀), 则M₀-λ₀I, M₀+λ₀I同时是下有界算子或同时是Browder算子, 从而A-λ₀I, A+λ₀I, B-λ₀I, B+λ₀I同时是下有界算子或同时是Browder算子, 所以对任意C∈B(K, H), C≠0, λ₀²∈ρ_ea(M_C²)。反之, 设λ₀²∈ρ_ea(M_C²), 那么M_C-λ₀I, M_C+λ₀I均是上半Fredholm算子, 从而A-λ₀I, A+λ₀I均是上半Fredholm算子, 根据F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=Ø和E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø, 再由引理2可知B-λ₀I, B+λ₀I均是上半Fredholm算子, 而ind(M₀-λ₀I)+ind(M₀+λ₀I)=ind(A-λ₀I)+ind(A+λ₀I)+ind(B-λ₀I)+ind(B+λ₀I)≤0, 从而M₀-λ₀I和M₀+λ₀λ均是上半Fredholm算子, 且ind(M₀-λ₀I)和ind(M₀+λ₀I)中至少有一个小于等于零。再根据σ_ea(M₀)关于原点对称可知ind(M₀-λ₀I)≤0且ind(M₀+λ₀I)≤0, 于是±λ₀∈ρ_ea(M₀)。由ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)可以得到±λ₀∈ρ_ea(A)∩ρ_ea(B), 那么λ₀²=[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]²。于是对任意的C∈B(K, H), C≠0, ρ_ea(M_C²)=[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]²。

下证ρ_ea(M_C²)连通。若不然, 则设存在隔离子集E, G⊆C使得ρ_ea(M_C²)=E∪G, 其中(E∪G)∪(E∪G)=Ø。设f(x)=x², 于是[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]²=f[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)], 而ρ_ea(M_C²)=[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]², 于是ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)=f^-1(E∪G), 其中f^-1(E∪G)表示E∪G在映射f下的原像。而

那么这就与ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)的连通性矛盾。因此ρ_ea(M_C²)连通。

2) isoσ_a(M_C²)=σ_a(M_C²)。

只需要证明isoσ_a(M_C²)⊆σ_a(M_C²), 设μ₀=λ₀²∈isoσ_a(M_C²), 于是存在δ > 0使得μ属于μ₀的空心邻域B⁰(μ₀; δ)时, M_C²-μI是下有界算子, 而ρ_ea(M_C²)=[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]²=[ρ_ea(M₀)]², 于是μ=λ²=[ρ_ea(M₀)]²。由σ_ea(M₀)关于原点对称可得±λ₀∈ρ_ea(M₀), 于是λ₀∈isoσ_ea(M₀)∪ρ_ea(M₀), 则λ₀∉accσ_ea(M₀)。而M₀具有(ω)性质的紧摄动, 由引理1可知λ₀∉accσ_a(M₀), 那么λ₀∈isoσ_a(M₀)∪ρ_a(M₀)。事实上λ₀∉ρ_a(M₀), 若不然, 则由σ_a(M₀)关于原点对称可知-λ₀∈ρ_a(M₀), 易证对任意C∈B(K, H), C≠0, λ₀²∈ρ_a(M_C²), 这就与λ₀²∈σ_a(M_C²)矛盾, 于是λ₀∈isoσ_a(M₀)。因为M₀具有(ω)性质的紧摄动, 根据引理1可知λ₀∈σ_a(M₀), 再利用σ₀(M₀)关于原点对称可得-λ₀∈σ₀(M₀), 因此A-λ₀I, A+λ₀I, B-λ₀I, B+λ₀I均是Browder算子, 于是对任意C∈B(K, H), C≠0, M_C²-λ₀²I是Browder算子, 即μ₀=λ₀²∈σ₀(M_C²)。

3) accσ_ea(M_C²)=accσ_a(M_C²)。

只需证accσ_a(M_C²)⊆accσ_ea(M_C²), 反证法, 设μ₀=λ₀²∉accσ_ea(M_C²), 于是μ₀=λ₀²∈isoσ_ea(M_C²)∪ρ_ea(M_C²), 下面分两种情况讨论:

情况1  若μ₀=λ₀²∈isoσ_ea(M_C²)。则存在δ > 0使得μ属于μ₀的空心邻域B⁰(μ₀; δ)时, μ=λ²=ρ_ea(M_C²)。由ρ_ea(M_C²)=[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]²=[ρ_ea(M₀)]²可知λ²∈[ρ_ea(M₀)]²。又因为σ_ea(M₀)关于原点对称, 从而±λ∈ρ_ea(M₀), 于是λ₀∈isoσ_ea(M₀)∪ρ_ea(M₀)。由isoσ_ea(M_C²)=σ₀(M_C²)的证明过程可知μ₀=λ₀²∈σ₀(M_C²), 于是μ₀=λ₀²∉accσ_a(M_C²)。

情况2  若μ₀=λ₀²∈ρ_ea(M_C²)。因为M_C²-λ₀²I=(M_C-λ₀I)(M_C+λ₀I), 所以M_C-λ₀I与M_C+λ₀I均为上半Fredholm算子。于是A-λ₀I, A+λ₀I均是上半Fredholm算子。根据F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)= n(B-λI)=∞}=Ø和E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø, 再依据引理2可以得到B-λ₀I与B+λ₀I均是上半Fredholm算子, 且ind(M₀-λ₀I)+ind(M₀+λ₀I)=ind(A-λ₀I)+ind(A+λ₀I)+ind(B-λ₀I)+ind(B+λ₀I)≤0, 那么M₀-λ₀I和M₀+λ₀I均是上半Fredholm算子, 而且ind(M₀-λ₀I)和ind(M₀+λ₀I)中至少有一个小于等于零。而σ_ea(M₀)关于原点对称的事实告诉我们ind(M₀-λ₀I)≤0且ind(M₀+λ₀I)≤0, 则±λ₀∈ρ_ea(M₀)。因此±λ₀∈ρ_a(M₀)∪[σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)]。因为M₀具有(ω)性质, 所以±λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀), 从而M₀-λ₀I, M₀+λ₀I同时是下有界算子或同时是Browder算子, 也就是A-λ₀I, A+λ₀I, B-λ₀I, B+λ₀I同时是下有界算子或Browder算子, 故对任意C∈B(K, H), C≠0, μ₀=λ₀²∈ρ_a(M_C²)∪σ₀(M_C²), 于是μ₀=λ₀²∈ρ_a(M_C²)∪isoσ_a(M_C²), 因此μ₀=λ₀²∉accσ_a(M_C²)。

从而由情况(1)和(2)可知accσ_ea(M_C²)=accσ_a(M_C²)。

在定理1中, 在判断“M₀满足(ω)性质的紧摄动”时, 需要判断算子A和B的相关谱集的性质, 下面根据算子A和B的相关谱集的特点来判断算子矩阵平方的(ω)性质的紧摄动。

推论1  设A∈B(H), B∈B(K)。若M₀具有(ω)性质且σ_a(M₀)关于原点对称, 则对任意C∈B(K, H)(C≠0), M_C²具有(ω)性质的紧摄动, σ_ea(M_C)关于原点对称且isoσ_ea(M_C)=Ø当且仅当下列条件成立:

1) ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)连通;

2) F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=Ø;

3) E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø;

4) isoσ_ea(A)∩isoσ_ea(B)=isoσ_ea(A)∩ρ_ea(B)=isoσ_ea(B)∩ρ_ea(A)=Ø。

证 明  必要性  由定理1的证明可知ρ_ea(M_C)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)连通, 并且条件2)，3)成立。因为M₀具有(ω)性质的紧摄动(定理1), 所以isoσ_ea(A)∩isoσ_ea(B)⊆isoσ_ea(M₀)⊆isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀)⊆ρ_b(A)∩ρ_b(B), 然而[isoσ_ea(A)∩isoσ_ea(B)]∩[ρ_b(A)∩ρ_b(B)]=Ø, 于是isoσ_ea(A)∩isoσ_ea(B)=Ø。又因为isoσ_ea(A)∩ρ_ea(B)⊆isoσ_ea(M₀)⊆isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀)⊆ρ_b(A)∩ρ_b(B), 而[isoσ_ea(A)∩ρ_ea(B)]∩[ρ_b(A)∩ρ_b(B)]=Ø, 那么isoσ_ea(A)∩ρ_ea(B)=Ø, 同理可证isoσ_ea(B)∩ρ_ea(A)=Ø。

充分性  由定理1可知只需证M₀具有(ω)性质的紧摄动, 由引理1可知需证ρ_ea(M₀)连通; isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀)且accσ_ea(M₀)=accσ_a(M₀)。由M₀具有(ω)性质容易证明ρ_ea(M₀)=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)连通。

对于isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀), 只需要证明isoσ_a(M₀)⊆σ₀(M₀), 设λ₀∈isoσ_a(M₀), 那么λ₀∈isoσ_a(A)∪ρ_a(A)且λ₀∈isoσ_a(B)∪ρ_a(B)。下面分别讨论。

情况1  当λ₀∈isoσ_a(A)∩ρ_a(B)时, 因为

而已知isoσ_ea(A)∩ρ_ea(B)=Ø, 从而λ₀=ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)=ρ_ea(M₀), 于是λ₀∈σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)。因为M₀具有(ω)性质, 所以λ₀∈σ₀(M₀)。

情况2  当λ₀∈isoσ_a(B)∩ρ_a(A)时, 由情况1可类似证明。

情况3  当λ₀∈isoσ_a(A)∩isoσ_a(B)时, 由于isoσ_a(A)∩isoσ_a(B)⊆[ρ_ea(A)∩isoσ_a(B)]∪[isoσ_ea(A)∩isoσ_a(B)]⊆[ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)]∪[ρ_ea(A)∩isoσ_ea(B)]∪[isoσ_ea(A)∩ρ_ea(B)]∪[isoσ_ea(A)∩isoσ_ea(B)], 而根据已知

所以λ₀∈ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)=ρ_ea(M₀), 从而λ₀∈σ_a(M₀)\σ_ea(M₀), 再次利用M₀具有(ω)性质的条件可知λ₀∈σ₀(M₀)。

综合情况1，2和3可知isoσ_a(M₀)=σ₀(M₀)。

对于accσ_ea(M₀)=accσ_a(M₀), 只需要证明accσ_a(M₀)⊆accσ_ea(M₀)。设λ₀∉accσ_ea(M₀), 于是λ₀∈isoσ_ea(M₀)∪ρ_ea(M₀), 断言λ₀∉isoσ_ea(M₀), 事实上, 若λ₀∈isoσ_ea(M₀), 由于

isoσ_ea(M₀)⊆[isoσ_ea(A)∪ρ_ea(A)]∩[isoσ_ea(B)∪ρ_ea(B)]⊆[isoσ_ea(A)∪isoσ_ea(B)]∪[isoσ_ea(A)∪ρ_ea(B)]∪[isoσ_ea(B)∪ρ_ea(A)]∪[ρ_ea(B)∪ρ_ea(A)], 而isoσ_ea(A)∪isoσ_ea(B)=isoσ_ea(A)∪ρ_ea(B)=isoσ_ea(B)∪ρ_ea(A)=Ø, 因此λ₀∈ρ_ea(A)∪ρ_ea(B)=ρ_ea(M₀), 这与λ₀∈σ_ea(M₀)矛盾, 从而λ₀∈ρ_ea(M₀), 于是λ₀∈ρ_a(M₀)∪[σ_a(M₀)\σ_ea(M₀)]。因为M₀具有(ω)性质, 所以λ₀∈ρ_a(M₀)∪σ₀(M₀), 从而λ₀∉accσ_ea(M₀)。

例1  设A, B∈B(l₂)定义为:

那么:

1) σ_a(M₀)=σ_ea(M₀)={λ∈C:|λ|≤1}=σ(M₀), 于是M₀有(ω)性质且σ_a(M₀)关于原点对称;

2) ρ_ea(A)∩ρ_ea(B)={λ∈C:|λ|>1}连通;

3) F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=Ø；

4) E={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子, d(A-λI)=∞, n(B-λI) < ∞且R(B-λI)不是闭的}=Ø;

5) isoσ_ea(A)∩isoσ_ea(B)=isoσ_ea(A)∩ρ_ea(B)=isoσ_ea(B)∩ρ_ea(A)=Ø，

则对任意C∈B(l₂, l₂), M_C²具有(ω)性质的紧摄动, σ_ea(M_C)关于原点对称且isoσ_ea(M_C)=Ø。