(拟)渐近非扩张映像和(拟)渐近伪压缩映像分别是(拟)非扩张映像和(拟)伪压缩映像的推广形式, 关于这些非线性映像的不动点之迭代算法的构造和强收敛性的讨论, 一些学者已进行了深入的研究^[1-15]。2015年, 文献[4]在Hilbert空间的框架下, 设计出了几种修正的混杂投影算法, 并证明了这些算法生成的迭代序列能强收敛到有限族拟渐近伪压缩映像之公共不动点。另外, 文献[5]设计了无限族拟伪压缩映像之公共不动点的收缩投影算法, 并证明了该算法的强收敛性。受文献[4-5]的启示, 本文在Hilbert空间之框架下, 设计出一种新的关于无限族拟渐近伪压缩映像之公共不动点的复合迭代算法, 而且证明该迭代算法的强收敛性。本文的主要结果是文献[4-5]之相关结果的推广和改进。

1 预备知识

设H代表实的Hilbert空间, 〈·, ·〉与‖·‖分别代表内积和范数符号, 设C是H之闭凸非空子集, N代表正整数集合。设T:C→C代表C到C的映像, 用F(T)代表T之不动点集合, 即F(T)={x∈C:Tx=x}。

定义1  称映像T:C→C是拟伪压缩映像, 如果F(T)≠Ø, 使得

定义2  称映像T:C→C是渐近伪压缩映像, 如果存在一个序列{k_n}⊂[1, ∞)满足k_n→1, 使得

定义3  称映像T:C→C是拟渐近伪压缩映像, 如果F(T)≠Ø, 且存在一个序列{k_n}⊂[1, ∞)满足k_n→1, 使得

注1^[4]  不动点集非空的渐近伪压缩映像是拟渐近伪压缩映像, 反之不真; 拟渐近伪压缩映像是拟伪压缩映像的推广。

定义4  称映像T:C→C是一致L-Lipschitz映像, 如果存在一个常数L > 0, 使得

引理1^[4]  设H表示实的Hilbert空间, C是H之闭凸非空有界子集, T:C→C是一致L-Lipschitz拟渐近伪压缩映像, 则F(T)是C之闭凸子集。

引理2^[4]  设H是实的Hilbert空间, C是H之闭凸非空子集, P_C:H→C代表H到C的度量投影, 则下列不等式成立:

引理3^[4]  设H是实的Hilbert空间, C是H之闭凸非空子集, 任给x∈H, z∈C, 则z=P_Cx的充要条件为

2 主要结果

定理1  设H为实的Hilbert空间, C为H的闭凸有界子集, 设{T_i}_i=1^∞:C→C是一致L_i-Lipschitz的拟渐近伪压缩映像族, 使得F(T_i)≠Ø。设α_{n, i}∈[a, b], a, b∈, {β_{n, i}}⊂[0, 1], , 定义序列{x_n}如下:

(1)

这里k_{n, i}是T_i的渐近常数, 则{x_n}强收敛到P_Fx₀。

证 明  分8步完成定理的证明。

第1步  证F为C的闭凸非空子集。

由引理1知F(T_i)为C的闭凸子集, ∀i∈N。再由可得F是C的闭凸非空子集, 因此P_Fx₀有意义, ∀x₀∈X。

第2步  证C_n是闭凸集, ∀n≥1。

由C_{n+1, i}的构造直接可得C_{n+1, i}是闭凸集, 所以C_n+1是闭凸集, ∀n≥1。

第3步  证F⊂C_n, ∀n≥1。

只须证明F⊂C_{n, i}, ∀n≥1, ∀i∈N。

对n作数学归纳法进行证明, 显然F⊂C_{1, i}=C。假设对某正整数n, F⊂C_{n, i}, 则对于每一p∈F⊂C_{n, i}, 由T_i是一致L_i-Lipschitz的拟渐近伪压缩映像可得

于是

那么

(2)

其中

(3)

式(3)代入(2)可得

所以p∈C_{n+1, i}, 即F⊂C_{n+1, i}, 于是F⊂C_{n, i}, ∀n≥1, ∀i∈N。因此, ∀n≥1。

第4步  证存在。

根据式(1)可得x_n=P_Cnx₀, 因为C_n+1⊂C_n且x_n+1∈C_n+1, 所以

(4)

另一方面, 从第3步知F⊂C_n, 所以

(5)

结合式(4)和(5)可得存在。

第5步  证x_n→q(n→∞), q∈C。

设m > n≥1, 则x_m=P_Cmx₀∈C_m⊂C_n。根据引理2可得

(6)

令m, n→∞, 对式(6)两边取极限, 结合第4步可得

所以{x_n}是柯西列, 于是x_n→q(n→∞), q∈C。

第6步  证x_n-T_iⁿ x_n→0(n→∞)。

由第5步知x_n+1-x_n→0(n→∞)。由于x_n+1∈C_{n+1, i}, 则

由{α_{n, i}}, {β_{n, i}}的假设和{x_n}, {z_{n, i}}的有界性以及k_{n, i}→1(n→∞)可得。

第7步  证x_n-T_ix_n→0(n→∞), ∀i∈N。

由第5步和第6步可得x_n+1-T_ix_n+1→0(n→∞), ∀i∈N。

第8步  证q=P_Fx₀。

因为x_n→q且∀i∈N, x_n-T_ix_n→0(n→∞), 又因为T_i是连续的, 所以q=T_iq, ∀i∈N, 于是q∈F。注意到F⊂C_n, x_n=P_Cnx₀, 由引理3可得

两边取极限得

再由引理3可得q=P_Fx₀。证毕。

注2  1)定理1将文献[4]中的主要结果从有限族拟渐近伪压缩映像推广到无限族拟渐近伪压缩映像上;

2) 定理1将文献[5]中的拟伪压缩映像族推广到拟渐近伪压缩映像族上。

3 数值实验

为了说明算法(1)的有效性, 现给出具体的数值实验。

令T₁=I, I表示实数集R上的恒等映像, T₂:C→R为, x∈C, 这里C=[0, 2π], 则T₁, T₂均为拟渐近伪压缩映像, 且F(T₁)=I，F(T₂)={0}, 则。由文献[4]知L₁=1, , 于是L=, 而且k_{n, 1}≡1, k_{n, 2}≡1, ∀n≥1。取, β_{n, 1}=β_{n, 2}=, ∀n≥1, 则对于算法(1), 任取初始值x₀∈[0, 2π], 迭代到70步, 从图 1可以看出, 取50个不同的初始值, 对应的序列都收敛到公共不动点0。

注3  从图 1可看出, 本文中算法(1)对于不同初始值得到的序列均收敛。

4 结论

近年来, 关于非线性映像的混杂投影迭代算法得到了广泛的研究, 本文的研究目的是进一步改进和发展拟渐近伪压缩映像族的公共不动点的混杂投影算法的迭代逼近问题。本文首先在Hilbert空间中构造出了一种新的无限族拟渐近伪压缩映像族的公共不动点的复合迭代算法, 其次利用拟渐近伪压缩映像的定义和度量投影的性质等证明了该算法的强收敛性, 最后给出具体的计算例子验证了所提出算法的有效性。本文的结果推广和补充了文献[4-5]及其他文献中的一些重要结论。能否去掉定理1中的集合C的有界性的限制条件, 是值得进一步研究的课题。