史福贵教授^[1]定义了(L, M)-fuzzy拟阵(它是分明拟阵^[2-3]和GV模糊拟阵^[4-11]的一般化)并且推广了分明拟阵的一些结果。然而由于一般完全分配格^[12]的结构很复杂, 将分明拟阵中的有些内容(比如拟阵的运算及性质)推广到(L, M)-fuzzy拟阵中是极其困难的事。特殊化是一种可以尝试的解决这些问题的策略。(L, M)-fuzzy拟阵包括两个特殊类: L-拟阵类和M-模糊化拟阵类, 对于后者研究成果已经很丰富(参见文献[13-14]), 对于前者即使研究特殊情形^[15](比如GV模糊拟阵)也困难重重。为了基于特殊化思想探寻解决问题的办法(同时也从实际应用考虑), 本文将研究比GV模糊拟阵还特殊的一类L-拟阵(即GV状模糊拟阵)的性质, 其中L={0, 0.5, 1}⊆[0, 1]。

1 GV状模糊拟阵及其等价刻画

设S为有限集, |S|是它的基数或势, L是完全分配格(本文将2和{0, 1}不加区分), L^S是从S到L的映射(又叫S上的L-子集)的全体。则L^S依点式序(仍用≤表示)构成一个完全分配格。用h_T表示S上的在T上恒等于h，在S-T上恒等于0的L-子集(T⊆S, h∈L); 称L-子集h_{x}(也记作S_x^h, h∈L-{0})为尖。对每个ξ∈L^S, 记↓ξ={η∈L^S|η≤ξ}, 用m(ξ)表示R⁺(ξ)={ξ(x)|x∈S}-{0}的下确界, 称suppξ={x∈S|ξ(x)>0}为ξ的承载集，ξ_[r]={x∈S|ξ(x)≥r}为ξ的r-水平截集(r∈L-{0})，ξ|_T=ξ∧1_T为ξ在T上的限制(T⊆S)、∑_x∈Sξ(x)为ξ的基数或势(记作|ξ|); 当η≤ξ且η≠ξ时记η < ξ。对每个⊆L^S, 记Max()是(, ≤)的极大元的全体，Low()={ν∈L^S|∃ξ∈, ν≤ξ}, _[a]={ξ_[a]|ξ∈}(a∈L-{0})。

定义1^[1]  设S是有限集。则称满足下列条件的⊆L^S是S上的一个L-拟阵独立集系(且称(S, )是带独立集系的L-拟阵):

(LI1) 0_S∈。

(LI2) 若λ∈且μ≤λ(μ∈L^S), 则μ∈。

(LI3) 若λ, μ∈且b=‖μ‖(n)‖λ‖(n)对某个n∈N成立，则存在y∈μ_[b]-λ_[b]使得b_λ[b]∨b_{y}=b_λ[b]∪{y}∈, 其中‖λ‖, ‖μ‖:N→L定义为‖λ‖(n)=∨{a∈L||λ_[a]|}≥n}(∀n∈N), ‖μ‖(n)=∨{a∈L||μ_[a]|≥n}(∀n∈N)，N为非负整数之集。

若还满足

(LI4) {μ∈L^S|b_μ[b]∈(∀b∈L-{0})}⊆, 则称L-拟阵(S, )是完全^[13]的。S上的完全L-拟阵独立集系的全体记作I(S, L)。

下文中我们约定L={0, 0.5, 1}⊆[0, 1]。此时的L-拟阵仍然可能是不完全的。考虑2元素集合S={x, y}并且令=↓0.5_S∪↓1_{y}，则(S, )是L-拟阵但它不是完全的(因μ=0.5_S∨1_{y}∉)。

首先给出完全L-拟阵的等价刻画。

定理1  设S是有限集，∈L^S。

1) 若(S, ∈L^S)是L-拟阵，则(S, _[a])是拟阵独立集系^[3](∀a∈L-{0})(逆不真)。

2) (S, ∈L^S)是完全L-拟阵当且仅当(, ≤)是非空的下集且满足下面条件^①：

①   由于这种完全L-拟阵很像GV模糊拟阵，因此本文中也称其为GV状模糊拟阵。

(^*)对中满足0 < |supp μ| < |supp ν|的任意μ和ν，存在λ∈，使得(ⅰ) μ < λ≤μ∨ν, 其中μ∨ν为μ和ν在(L^S, ≤)中的上确界。(ⅱ) m(λ)≥min{m(μ), m(ν)}。

3) 若(S, ∈L^S)是完全L-拟阵，则={μ∈L^S|μ_[a]∈_[a](∀a∈L-{0})}。

证 明  1)设(S, ∈L^S)是L-拟阵且d∈L-{0}。易见_[d]满足(I1)和(I2)。若A, B∈_[d]满足|A| < |B|, 则因d_A, d_B∈和d= ‖d_B‖(|B|)>‖d_A‖(|B|)=0, 由(LI3)知存在y∈B-A使得d_A∪{y}∈(从而A∪{y} ∈_[d])。这说明_[d]也满足(I3)(从而(S, _[d])是拟阵)(I1，I2，I3的定义见参考文献[3])。

取S={x, y, z}为3元素集，J=↓0.5_S∪↓1_{{y, z}}∪{0.5_{x}∨1_{{y, z}}}。则_[0.5]=2^S和_[1]=2^{[y, z]}都是S上的拟阵独立集系。但是(S, ∈L^S)不是L-拟阵(因为不是下集)。

2) 必要性。易见(, ≤)是非空的下集。设μ, ν∈且满足0 < |supp μ| < |supp ν|，则‖ν‖(|supp ν|)>‖μ‖(|supp ν|)=0, 从而由(LI3)知存在y∈ν_[b]-μ_[b]使得ξ=b_μ[b]∪{y}∈, 其中b=‖ν‖(|supp ν|)(注意b∈{0.5, 1})。下面证明存在λ∈, 使得μ < λ≤μ∨ν和m(λ)≥min{m(μ), m(ν)}成立。

ⅰ) 若b=0.5, 取λ=ξ∨μ，则λ_[0.5]=supp μ∪{y}且λ_[1]=μ_[1], 因此0.5_λ[0.5]=ξ∈且由(LI2)知1_λ[1]=1_μ[1]∈。这时由(LI4)知λ∈。由y∉supp μ知μ < λ; 由y∈ν_[0.5]知ξ≤μ∨ν(从而λ≤μ∨ν); 由‖ν‖(|supp ν|)=0.5可知m(λ)=0.5=m(ν)=min {m(μ), m(ν)}。

ⅱ) 若b=1，则当min{m(μ), m(ν)}=1时由(LI3)易见(^*)成立。当min{m(μ), m(ν)}=0.5时令η=0.5_ν[0.5], ζ=0.5_μ[0.5].则0.5=‖η‖(|supp ν|)>‖ζ‖(|supp ν|)=0, 从而由(LI3)知存在y∈supp ν-supp μ使得ξ=0.5_{supp ζ∪y}∈。令λ=μ∨ξ，则由(LI2)知0.5_λ[0.5]=0.5 _ξ[0.5]∈且1_λ[1]=1_μ[1]∈。这时由(LI4)知λ∈。由y∉supp μ知μ < λ; 由y∈ν_[0.5]知ξ≤μ∨ν(从而λ≤μ∨ν)且m(λ)≥0.5= min{m(μ), m(ν)}。

充分性。设ν, μ∈且b=‖ν‖(n)>‖μ‖(n)对某个n∈N成立。记k=max{n∈N|b=‖ν‖(n)>‖μ‖(n)}, 则由定义可知k=|supp b_ν[b]|=|ν_[b]|。进一步还可以证明|supp b_ν[b]|>|supp b_μ[b]|。事实上，若|ν_[b]|≤|μ_[b]|(即k≤|μ_[b]|), 则‖μ‖(k)≥b, 与b>‖μ‖(k)矛盾。这时由(^*)式知存在λ∈使得b_μ[b] < λ≤b_μ[b]且R⁺(λ)={b}, 再由(LI2)可知存在y∈ν_[b]-μ_[b]使得b_μ[b]∪y∈, 即(LI3)真。接下来验证(LI4)。设μ∈L^S且η, ζ∈(其中η=0.5_μ[0.5], ζ=1_μ[1])。若|supp η|=|supp ζ|, 则μ=ζ∈。下面只须证明|supp η|>|supp ζ|时μ∈。由(^*)式知存在λ₁∈使得ζ < λ₁≤ζ∨η=μ且m(λ₁)=0.5=min{m(ζ), m(η)}。若λ₁=μ(即|supp λ₁|=|supp μ|), 则μ∈。若λ₁ < μ(即|supp λ₁| < |supp μ|), 则由(^*)式知存在λ₂∈使得λ₁ < λ₂≤λ₁∨μ=μ且m(λ₂)=0.5=min{m(λ₁), m (μ)}。若λ₂=μ(即|supp λ₂|=|supp μ|), 则μ∈。若λ₂ < μ(即|supp λ₂| < |supp μ|)，则因|supp η|-|supp λ₂|有限，重复以上做法有限次后必有λ_n=μ∈。

3) 只证μ∈L^S满足μ_[a]∈_[a](∀a∈L-{0})时μ∈。事实上，由μ_[1]∈_[1]知存在ν∈使得ν_[1]=μ_[1], 从而由1_μ[1]≤ν和(LI2)知1_μ[1]∈。同理可证0.5_μ[0.5]∈。因此(LI4)知μ∈。

称S上的满足Γ(0.5)⊇Γ(1)的拟阵独立集系族Γ={Γ(0.5), Γ(1)}为S上的一个拟阵塔。S上的拟阵塔的全体记作T(S, L)。下面的定理2说明可以用拟阵塔确定GV状模糊拟阵。

定理2  1)对每个∈I(S, L), 令φ_S(∈L^S)=Γ，其中Γ(a)=_[a](∀a∈L-{0})。则φ_S:I(S, L)→ T(S, L)是一一对应，它的逆映射ψ_S:T(S, L)→I(S, L)定义为ψ_S(Γ)=_Γ(∀Γ∈T(S, L)), 其中_Γ ={μ∈L^S|∀a∈L-{0}, μ_[a]∈Γ(a)}。

2) 存在T(S, L)上的偏序关系≤使得(1)中的φ_S:(I(S, L), ⊆)→(T(S, L), ≤)和ψ_S:(T(S, L), ≤)→(I(S, L), ⊆)都是保序映射(此时称φ_S和ψ_S是序同构)。

证 明  1) 由定理1可知φ_S和ψ_S都是映射。因Γ(a)= _[a](a∈L-{0}), 故由定理1知_Γ={μ∈L^S|∀a∈L-{0}, μ_[a]∈_[a]}=。这说明φ_S是单射。接下来证明Γ_Γ=Γ(∀Γ∈T(S, L))(这说明φ_S也是满射)，这只需证(_Γ)_[a] =Γ(a)(∀a∈L-{0})。设ξ∈_Γ，则由_Γ的定义知ξ_[a] ∈Γ(a), 从而(_Γ)_[a]⊆Γ(a)(a∈L-{0})。反之，对每个E∈Γ(0.5), 令η=0.5_E, 则η_[0.5]=E∈Γ(0.5), η_[1]=Ø∈Γ(1)。所以由_Γ的定义知η∈_Γ, 从而有E=η_[0.5]∈(_Γ)_[0.5]。这说明Γ(0.5)⊆(_Γ)_[0.5]。同理可证Γ(1)⊆(_Γ)_[1]。

2) 对于T(S, L)的任意两个元素Γ₁={Γ₁(0.5), Γ₁(1)}和Γ₂={Γ₂(0.5), Γ₂(1)}, 规定Γ₁≤Γ₂⇔Γ₁(a)⊆Γ₂(a)(∀a∈L-{0}), 则易见由此定义的≤是T(S, L)上的偏序关系。下面证明φ_S和ψ_S都保序。首先证φ_S:(I(S, L), ⊆) →(T(S, L), ≤)是保序的。设₁, ₂∈ I(S, L)满足₁⊆₂，则(₁)_[a]⊆(₂)_[a](∀a∈L-{0}), 从而由φ_S的定义知φ_S(₁)≤φ_S(₂)。其次证ψ_S:(T(S, L), ≤)→(I(S, L), ⊆)是保序的。设Γ₁, Γ₂∈T(S, L)满足Γ₁≤Γ₂且μ∈ψ_S(Γ₁)，则μ_[a]∈Γ₁(a)⊆Γ₂(a)(∀a∈L-{0}), 从而由定理1的3)知μ∈ψ_S(Γ₂)。所以ψ_S(Γ₁)⊆ψ_S(Γ₂)。

2 GV状模糊拟阵的基

本节证明可以用GV状模糊拟阵基系确定GV状模糊拟阵(见下面的定理3)。

定义2  设S是有限集。称是S上的一个GV状模糊拟阵基系是指它满足下面条件：

1) ⊆L^S的成员不可比较；

2) Low(_[1])是S上的拟阵独立集系；

3) _[0.5]={supp μ|μ∈}是S上的拟阵基系，S上的GV状模糊拟阵基系的全体记作B(S, L)。

定义3  设S是有限集。若⊆L^S的成员不可比较, Low(_[1])是S上的拟阵独立集系且_[0.5]={supp μ|μ∈}是S上的拟阵基系，则称是S上的一个GV状模糊拟阵基系。S上的GV状模糊拟阵基系的全体记作B(S, L)。

定理3  1) 对每个∈I(S, L), 令φ_S()==Max()。则得一一对应φ_S: I(S, L)→B(S, L)，其逆映射ψ_S:B(S, L)→I(S, L)定义为ψ_S()==Low()(∀∈B(S, L))。

2) 存在B(S, L)上的偏序关系≤使1)中的φ_S:(I(S, L), ⊆)→(B(S, L), ≤)和ψ_S:(B(S, L), ≤)→(I(S, L), ⊆)都是保序映射。

证 明  1) Step 1  对于每个∈I(S, L), 是S上的一个GV状模糊拟阵基系(从而φ_S是一个映射)。显然的成员不可比较并且由定理1(1)可知Low(_[1])是S上的拟阵独立集系。因此只须证明={supp μ|μ∈}={μ_[0.5]|μ∈}和_[0.5] ={supp μ|μ∈}的基系₀相等。一方面，对于每个X∈₀, 由于{μ∈|supp μ|=X}的极大元存在且属于(从而X∈), 所以B₀⊆B。另一方面，若μ, ν∈，则可证|supp μ|=|supp ν|。事实上，若|supp μ|≠|supp ν|, 不妨设|supp μ| < |supp ν|，则由(^*)式知存在λ∈使得μ < λ≤μ∨ν，这与μ的极大性矛盾。由于B⊆_[0.5]且B₀是拟阵基系，所以B⊆B₀。

Step 2  对于每个∈B(S, L), 是S上的一个GV状模糊拟阵独立集系(从而ψ_S是一个映射)，只需证定理1结论2)的(^*)式。设0 < |supp μ| < |supp ν|, 下面证明存在λ∈使得μ < λ≤μ∨ν和m(λ)≥min{m(μ), m(ν)}成立。分两种情形：

Case 1  min{m(μ), m(ν)}=0.5。因I=Low({supp μ|μ∈})是S上的拟阵独立集系且supp μ, supp ν∈I, 故由独立集系公理(I3)知存在x∈supp ν-supp μ使得supp μ∪{x}∈I。可证λ=μ∨S_x^0.5即为所需。

Case 2  min{m(μ), m(ν)}=1。由supp μ=μ_[1]和supp ν=ν_[1]知|μ_[1]| < |ν_[1]|。因I=Low(_[1])是S上的拟阵独立集系且ν_[1], μ_[1]∈I, 故由独立集系公理(I3)知存在x∈ν_[1]-μ_[1]使得μ_[1]∪{x}∈I，可证λ=μ∨S_x¹即为所需。

Step 3  容易验证=(即φ_Sοψ_S=id_B(S, L))和=(即ψ_Sοφ_S=id_{I(S, L)})成立。

2) 对于B(S, L)的任意两个元素₁和₂, 规定₁≤₂⇔∀ξ₁∈B₁, ∃ξ₂∈₂, s.t. ξ₂≥ξ₁。则易见由此定义的≤是B(S, L)上的偏序关系且φ_S:(I(S, L), ⊆)→(B(S, L), ≤)和ψ_S:(B (S, L), ≤)→(I(S, L), ⊆)都是保序映射。

3 GV状模糊拟阵的秩函数

本节定义GV状模糊拟阵秩函数并证明可以用它生成GV状模糊拟阵(见下面的定理4)。

定义4  设S是有限集。则称满足以下条件的映射R:L^S→[0, ∞)为S上的一个GV状模糊拟阵秩函数(S上的GV状模糊拟阵秩函数的全体记作R(S, L)):

(LR1) 0≤R(μ)≤|μ|(∀μ∈L^S)。

(LR2) 若μ, ν∈L^S且μ≤ν, 则R(μ)≤R(ν)。

(LR3) R(μ)+R(ν)≥R(μ∨ν)+R(μ∧ν)(∀μ, ν∈L^S)。

(LR4) R(S_x^h)∈{0, sup{h∧μ(x)|μ∈}}, 且当R(S_x^h)=0对某个h∈L-{0}成立时R(S_x^k)=0对任意k∈L-{0}成立。

(LR5) 若μ∈L^S满足m(μ)≥h且x∈S-supp μ, 则R(μ∨S_x^h)-R(μ)∈{0, h}。

定理4  对每个R∈R(S, L), _R ={μ∈L^S|R(μ)=|μ|}∈I(S, L)。

证 明  Step 1  |μ|+|ν|=|μ∨ν|+|μ∧ν|(∀μ, ν∈L^S)。令X={x∈S|μ(x)≥ν(x)}, Y={x∈S|μ(x) < ν(x)}。则X∪Y＝S且X+Y=Ø, 从而有

Step 2  设μ∈L^S, h∈{0}, X⊆S。用归纳法和Step 1的结论可以证明R(μ∨h_X)=R(μ)当且仅当R(μ∨S_x^h)= R(μ)(∀x∈X)。

Step 3  对每个R∈R(S, L), _R是GV状模糊拟阵独立集系(从而ψ_S是映射)。显然_R≠Ø, 故只须证(_R, ⊆)是下集且满足定理1结论2)的(^*)式。

首先证明(_R, ⊆)是下集。设μ∈_R, ν∈L^S且0_S < ν≤μ。下面证明ν∈_R。分两种情形。

Case 1  A=supp μ, B=supp ν且ν=μ|_B。假设ν∉_R(即R(ν) < |ν|)。令ξ=μ|_A-B, 则μ=ξ∨ν且ξ∧ν=0_S, 从而R(ξ∨ν) =R(μ)=|μ|=|ξ∨ν|=|ξ|+|ν|。由(LR3)知|ξ|+|ν|= R(ξ∨ν)=R(ξ∨ν)+R(ξ∧ν)≤R(ν)+R(ξ) < |ν|+|ξ|, 矛盾。

Case 2  , 其中supp ν是k元素集且h₁≥h₂≥…≥h_k。因sup{h₁∧ξ(e₁)|ξ∈, ξ≥ν}=h₁, 故由Case 1及(LR4)可知R(S_e1^h₁)=h₁。假设, 下面只须证明

(1)

令, 则由h_j+1≤h_i(1≤i≤j)和(LR5)可得R(ξ∨S_ej+1^h_j+1)-R(ξ)=h_j+1(此时式(1)成立)或者

(2)

下面只须证明式(2)不可能成立。若不然, 令C={e₁, e₂, …, e_j}且μ_C=μ|_C, 则由(LR5)可得

(3)

或者

(4)

令D=C∪{e_j+1}, μ_D=μ|_D, γ=μ_C∨S_ej+1^h_j+1, β=μ|_{ej+1}。若式(3)成立, 则由(LR3)和(LR4)得|μ_D|=|μ_C∨β| =|μ_C|+|β|=R(μ_C)+R(β)=R(μ_C∨S_ej+1^h_j+1)+R(β)=R(γ)+R(β)≥ R(γ∨β)+R(γ∧β) = R(μ_D)+R(S_ej+1^h_j+1)=|μ_D|+h_j+1, 矛盾(因h_j+1>0)。若式(4)成立, 则由式(2)和(LR3)-(LR4)得|μ_C|+|ξ|=R(μ_C)+R(ξ∨S_ej+1^h_j+1)≥R(μ_C∨ξ∨S_ej+1^h_j+1)+R(μ_C∧(ξ∨S_ej+1^h_j+1))=R(μ_C∨S_ej+1^h_j+1)+ R(ξ)=|μ_C|+h_j+1+|ξ|, 矛盾(因h_j+1>0)。

接下来证明_R满足定理1的2)的(^*)式。设μ, ν∈_R且0 < |supp μ| < |supp ν|。只须证明存在x∈X，使得R(μ∨S_x^h)>R(μ)(其中X=supp ν-supp μ, h=min{m(μ), m(ν)})—此时只要令λ=μ∨S_x^h, 则由(LR5)知R(μ∨S_x^h)= R(μ)+h=|μ∨S_x^h|, 从而λ∈_R, μ < λ≤μ∨ν且m(λ)≥min{m(μ), m(ν)}。假设R(μ∨S_x^h)= R(μ)(∀x∈X), 令η=η∧h_S(∀η∈L^S), 则由μ∨S_x^h∉_R和以上假设知R(μ∨S_x^h)=R(μ)(∀x∈X)。由Step 2知R(μ∨h_S)=R(μ)。再由|supp μ| < |supp ν|和μ, ν∈知R(μ=h|supp μ| < h|supp ν|= R(ν)≤R(μ∨ν)=R(μ∨h_S)=R(μ), 矛盾。

4 结论

本文证明了可以用拟阵塔或GV状模糊拟阵基系确定GV状模糊拟阵独立集系, 可以由GV状模糊拟阵秩函数导出GV状模糊拟阵独立集系。由于文中使用的方法颇具一般性, 因此通过完善秩函数的定义证明|B(S, L)|=|I(S, L)|并且将所得结果推广到更一般的L-拟阵情形将是有待进一步完成的工作。