设q≥3为一个整数, χ为模q的Dirichlet特征, L(s, χ)为Dirichlet L-函数, 特征和的估计在数论的研究中有着重要的作用。许多学者对此问题进行了广泛而深入的研究，并且获得了丰富的研究成果^[1-7]。张文鹏^[8]研究了短区间上非主特征和与Dirichlet L-函数的混合均值, 给出了对任意固定的ε>0, 并且满足q^ε≤N≤q^1/2-ε的任意实数N, 有渐近公式

其中, 表示对模q的所有非主特征求和, 表示模q的所有素因子的乘积, ζ(s)表示黎曼Zeta函数, ω(q)表示q的不同素因子的个数。

Igor E.Shparlinski^[9]把N的范围扩大到q^ε≤N≤q^1-ε, 将误差项N³改进为N²q^o(1)。Shparlinski最后在注记中指出:对于, 比如, 却得不到一个合适的渐近公式。本文取，, 利用特征和的估计以及Dirichlet L-函数的均值定理研究了区间上原特征和与Dirichlet L-函数的混合均值, 并给出了如下结论。

1 主要结论

定理1  设q≥5为奇整数, 则有渐近公式

其中, J(q)表示模q的所有原特征的个数, ε为任意固定的正数,

推论1  对奇整数q≥5，有渐近公式

推论2  设p≥5为素数, 则有

其中表示对素数p的所有非主奇特征求和。

定理2  设q≥5为奇整数, 则有渐近公式

其中, χ₄表示模4的原特征, τ_k(n)表示k次除数函数。

定理3  设q≥3为奇整数, 则有渐近公式

其中

推论3  对奇整数q≥3, 有渐近公式

推论4  设p≥3为素数, 则有

注1  根据文献[10]中引理2, 当q>8为奇整数, χ为模q的原特征且满足χ(-1)=1时, 有区间上偶原特征和与Dirichlet L-函数的关系式:

利用本文的方法, 容易得到区间上偶原特征和与Dirichlet L-函数混合均值的渐近公式。

文献[11]中提到，当χ为模q的原特征时, 则对任意实数λ∈[0, 1]且, 有

对于λ取其他一些合适的值时, 利用该公式可以导出对应区间上原特征和与Dirichlet L-函数的关系式, 结合本文的方法, 可以得到对应区间上原特征和与Dirichlet L-函数混合均值的渐近公式。

2 一些引理

引理1  设整数q和r满足q≥2与(r, q)=1, χ为模q的特征, 则有恒等式

和

其中, 表示对模q的所有原特征求和, J(q)表示模q的所有原特征的个数。

证 明  参见文献[12]引理4。

引理2  设q≥5为奇整数, χ为模q的原特征，且满足χ(-1)=-1, 则

证 明  参见文献[13]引理3。

引理3  设q≥5为奇整数, χ为模q的原特征，且满足χ(-1)=1, 则

证 明  参见文献[14]引理2。

引理4  设q≥3为奇整数, χ为模q的原特征，且满足χ(-1)=-1, 则

证 明  结合文献[13]中引理2.1和引理2.2, 可以得到引理4。

引理5  设q≥3为整数, χ为模q的特征, 则有渐近公式

证 明  参见文献[15]引理4。

引理6  设q>2为奇整数, m≥0为一给定整数, 则对任意满足Res>1的复变量s, 有恒等式

证 明  参见文献[13]引理7。

引理7  设q>2为奇整数, χ为模q的特征, 并且m≥1为一个固定的整数, 则有如下的两个渐近公式

(1)

和

(2)

证 明  这里只证明式(1), 式(2)同理可得。为方便起见, 令

其中, N为满足q≤N＜q^2k+1的参数, 那么利用Abel恒等式可以得到

(3)

现在来逐个处理式(3)中的每一项。

1) 利用引理1可得

(4)

所以从式(4)可得

(5)

同文献[16]中证明引理7第一部分的方法一样, 可以得到

(6)

2) 由引理4, 有估计式

利用柯西不等式容易得到

结合这个估计式可得

(7)

3) 类似于(2), 还可以得到

(8)

4) 利用与2)相同的方法，并注意到积分的绝对收敛性, 有

(9)

令N=q^2k和, 结合式(3)和式(6)~(9), 可得

这样就证明了引理7。

引理8  设q≥5为奇整数, 则有渐近公式

证 明  利用证明引理7的方法可以证明引理8。

3 定理的证明

现在给出定理1、定理2和定理3的证明。先证明定理1。注意到当χ为模q的原特征时, 有, 所以利用引理2可得

其中, 符号χ^-1和χ意义相同, 都表示特征χ的共轭。结合引理6和引理7, 便可得到

这就证明了定理1。

结合引理3和引理8, 引理4和引理7, 同证明定理1的方法一样, 易证定理2和定理3。