一提到“微分”和“积分”, 多数人都知道是数学中重要的概念和内容, 是大学必修的一门专业基础课内容, 甚至“微积分”的基本概念和基本公式在高中就已经接触到了。显然, “微积分”理论中包括两个部分, 一是“微分”理论, 二是“积分”理论。就“微分”和“积分”二术语的出现, 则可以追溯到中国古代。在中国古典数学著作《九章算术注》中就出现了“微分”和“积分”二术语。然而, 中国传统数学中的“微分”和“积分”二术语分别表示了无限分割和无穷求和的意思。作为微积分理论中函数的无穷小运算的“微分”和“积分”二术语则是由清末数学家李善兰(1811—1882)在1859年和传教士伟烈亚力(Alexander Wylie, 1815—1887)合译《代微积拾级》(以下简称《拾级》)中首次给出的, 并且“微分”和“积分”二术语一直沿用至今^[1]。“微分”和“积分”二术语在中国传统数学中早已出现, 而作为分析理论中的“微分”和“积分”二术语则是在清末译著《拾级》中出现, 虽然这两者同名, 但是它们之间有着什么样的相互联系, 传统数学中的“微分”和“积分”概念与分析学中的“微分”和“积分”概念内涵与外延的异同, 传统数学中的“微分”和“积分”二术语和分析学中的“微分”和“积分”二术语有怎么样的历史渊源, 下面即通过历史文献的分析对这些问题试作研究。

1 微积分理论的中西发展简史

微积分思想在古代西方很早就已经萌芽了, 公元前7世纪, 测量学的鼻祖, 数学家泰勒斯(Thales, 624 B.C.—546 B.C.)对于几何图形的面积和体积, 以及曲线长度等问题的研究就已经出现了朴素的微积分思想。到了公元前3世纪, 数学家阿基米德(Archimedes, 287 B.C.—212 B.C.)利用穷竭法计算抛物线弓形、圆和椭圆等复杂几何图形的面积, 计算出球和椭球等几何体的体积, 并且还得出了计算的一般性公式。而在中国传统科学中, 同样很早就有了微积分思想的雏形, 魏晋时期的杰出数学家刘徽(225—295)发明了著名的“割圆术”, 他用无穷逼近的极限方法计算出了圆周长和面积等数学问题。南朝时期杰出的数学家祖冲之(429—500)、祖暅(不详)父子发展了刘徽的无限分割与求和的极限理论, 得到了求解立体体积的高水平研究成果“祖暅原理”。纵观古代中西方的微积分思想都是一直有着极限的思想, 这就是无穷分割与无限求和的方法^[2]。17世纪, 西方数学致力于解决物体运动的速率、函数的极值、函数曲线的切线、曲线围成的面积等实际问题, 特别是描述运动和变化的一种关于无限小的算法取得了极大的发展。其中，法国数学家笛卡尔(René Descartes, 1596—1650)的代数方法对于微积分的产生起了极大的推动作用, 数学家费马(Fermat, 1601—1665)在求曲线的切线及函数的极值方面贡献推动了微积分理论诞生的进程。17世纪下半叶, 英国数学家和物理学家牛顿(Isaac Newton, 1642—1727)发明正流数术, 即微分, 次年他又发明反流数术。在微分和积分的基础上, 又将流数术总结一起, 最终写出了《流数简论》, 这一著作标志着微积分理论作为一门学科正式诞生。就在同一时期, 德国数学家和哲学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716)也独立地创立了微积分理论, 他在1684年发表的一篇名为《一种求极值和求切线的新方法》的学术论文中, 定义了微分概念, 这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。其实在牛顿和莱布尼茨之前, 有很多数学家都已经隐约发现分割和求和之间的相互关系, 即微分和积分之间的内在关系。然而最终都没有找到这种相互关系, 牛顿和莱布尼茨找到了这种相互关系, 并且给出了著名的牛顿-莱布尼茨公式, 将微分与积分互逆运算联系在一起, 这一关系的揭示在数学上是非常重要的。需要特别说明的是, 牛顿和莱布尼茨在微积分方面的贡献旗鼓相当。二人创立了微积分理论, 后来经过数学家的严格化, 柯西(Cauchy, 1789—1857)、魏尔斯特拉斯(Weierstrass, 1815—1897)等数学家的工作, 微积分才真正的完善起来。当然, 微积分理论发展史上不仅只是上述所提及的数学家, 还有诸多的数学家为微积分发展做出了贡献，如牛顿的老师巴罗(Isaac Barrow, 1630—1677), 在级数理论方面有所贡献的数学家麦克劳林(Colin Aclaurin, 1698—1746)和泰勒(Brook Taylor, 1685—1731), 还有继续发展微积分理论的, 如欧拉(Leonhard Euler, 1707—1783)的经典著作《无穷小分析引论》(1748)、《微分学原理》(1755)、《积分学原理》(1768—1770);拉格朗日(Lagrange, 1736—1813)的经典著作《解析函数论》等都是早期关于微积分理论的经典著作。

我国早在春秋时期就有了极限思想的萌芽, 到了两汉时期极限思想有所发展。特别是《九章算术》中出现的一些关于极限的思想, 已经可以求解一些复杂的求和问题。后来刘徽在其《九章算术注》中给出了更为合理的解释。虽然, 《九章算术注》里面大量采用了“微分”和“积分”这两个术语，但此时的“微分”和“积分”概念还不是对应西方分析学理论中的“differential”和“integral”二概念。《九章算术注》是数学家刘徽对经典数学著作《九章算术》的注释。《九章算术注》这一经典著作中所蕴涵的分割与求和的极限思想是很深邃的。刘徽是在这个传统数学中探寻和集合各数学家的优秀思想方法, 同时并加以创新, 加强数学思想应用于实践研究。通过这一做法, 这就使得数学在其思想和方法上发生了变化, 特别是其中提出的面积和体积理论。“刘徽原理”中的面积和体积计算理论就出现了微分和积分思想的雏形。分析学意义下的“微分”和“积分”概念, 即对应西方分析理论中的“differential”和“integral”则是出现在19世纪中叶, 中国数学家李善兰在微积分方面有了很重要的结果, 他在中国传统数学一系列成果的基础上完成了著作《方圆阐幽》, 其中给出无限分割与求和的极限思想, 同时还零星地给出了几个微积分公式, 遗憾的是没有给出微积分基本公式。但这也是中国传统数学在微积分领域的最高成就了, 其理论性最接近牛顿和莱布尼茨的微积分理论。1859年, 李善兰和伟烈亚力通过“口述——笔译”的方式共同翻译了《拾级》, 这标准着西方微积分理论正式传入我国, 并一直影响着我国数学的发展。

2 “微分”一词的历史记录

“微分”一词在中国传统数学中很早就有了描述, 在《九章算术注》中就有了这一术语。而中国传统数学发展到了清末, 李善兰在其著作《方圆阐幽》中给出了几个微积分公式, 明确地给出了“微分”这一概念, 并且对“微分”进行了深入的解释。1859年李善兰和伟烈亚力合译《拾级》时, 用“微分”翻译了底本中的“differential”一词。从此, 传统数学中的“微分”一词, 衍生为近代西方分析学中的“微分”一词。

2.1 中国传统数学中的“微分”一词

中国古代的传统数学理论中就已经有了极限的朴素思想, 这些求极限的方法, 在思想上已经涉及到了微积分思想的雏形。在这些极限问题中出现了无限求和的思想, 以三国时期数学家赵爽及其对《周髀算经》所作的注释和魏晋时期数学家刘徽及其《九章算术注》为代表。在此之前, 如《九章算术》中没有使用“微分”这一术语, 全书甚至没有使用一个“微”字。然而刘徽在给《九章算术》进行注释的时候, 不仅大量使用“微”、“细”等字, 而且还在其中大量使用了术语“微分”。在《九章算术注》方田草圆田术中刘徽采用了估值法求出圆面积的近似值。方法的描述为“以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四, 倍所得, ……若此者, 盖尽其纤微矣。……当求一千五百三十六觚之一面, 得三千七十二觚之幂, 而裁其微分, ……重其验耳。”^[2]刘徽从圆的内接正六边形为基础, 开始增加内接正多边形的边数, 每次将其边数倍增, 可以得到圆内接正十二边形、内接正二十四边形、内接正四十八边形等。通过极限方法, 可以确定其内接正多边形的面积, 如确定正十二边形的面积为$ {S_{12}} = 3 \times ({a_6} \times R) = \frac{{{C_6}}}{2} \times R $, 正二十四边形面积为$ {S_{24}} = 6 \times ({a_{12}} \times R) = \frac{{{C_{12}}}}{2} \times R \cdots \cdots $通过上述关系可以得出正多边形的面积$ {S_{3 \times {2^n}}} = 3 \times {2^{n - 2}} \times ({a_{3 \times {2^{n - 1}}}} \times R) = \frac{{{C_{3 \times {2^{n - 1}}}}}}{2} \times R $, 其中的a_k, C_k, S_k则分别表示圆内接正多边形的边长、周长和面积。刘徽的这种求圆面积的“割圆术”与近代极限方法基本上是一致的, 通过无限分割求和的“割圆术”是我国近代极限方法的雏形。在刘徽的《九章算术注》中就出现了“微分”这一术语, 在这里的“微分”有特殊的意义。这里的“微分”指的是圆的内接正3072边形的总面积计算数值中极小的奇零部分, 这里实际上就是指非常微小的分数。刘徽在给《九章算术》的阳马术进行注释时给出的证明里提出了著名的“刘徽原理”, 在这个证明过程中, 刘徽用无穷小分割和极限思想进行证明。刘徽证明的核心思想是“半之弥少, 其余弥细。至细曰微, 微则无形。……数而求穷之者, 谓以情推, 不用筹算。”^[2]刘徽在《九章算术》中对开方术进行注释时还提出了“微数”的概念。并且认为“术亦有以定法命分者, 不如故幂开方, 以微数为分也。”^[2]显然, 刘徽所提及的“微”、“小”、“微分”、“细”、“微数”指的是微小的数, 即很小的数。然而, 可以看出刘徽最后要有“所弃之数”, 其并没有将极限过程进行到底, 而是将极限思想在近似计算中的一种具体的应用。

中国古代传统数学中很早就有了“无限”、“无形”、“无穷”、“微”、“细”、“少”、“分”、“穷”、“分割”等概念, 表达的是较小、很小、变小等意思。时间较早的著作中, 如《淮南子》、《庄子》中就已经有了这些思想的萌芽。《庄子·秋水》中所提出的“至精无形”和“夫精粗者, 期于有形者也; 而无形者, 数之所不能分也; 不可围者, 数之所不能穷也。”^[2]《淮南子·要略》中所记录的“至微之论之无形也。……微则无形”^[2]等这一系列早期记录中的“形”、“无形”、“分”、“围”、“数”、“穷”、“微”等概念都是表达同样的无穷分割的思想, 并且这些概念都说明了无限分割求和的极限思想与刘徽的割圆术在思想上是完全相同的。刘徽主张的“割之弥细, 所失弥少。割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无所失也。”^[3]刘徽的这种思想特别重要的地方就是其强调的是一种无穷的分割下去, 分割为无穷多无穷小, 再叠加, 最后求和。这种思想是无穷小分割和求和思想的集大成者。

2.2 李善兰著作中的“微分”一词

李善兰在分割与求和的极限理论方面的工作主要体现在其传统数学经典著作《方圆阐幽》之中, 该著作是李善兰在1845年完成的, 是在李善兰翻译出版西方微积分理论之前十年完成的著作。该著作主要的数学思想是分割和求和, 特别是著作中给出的独创“尖锥术”是李善兰创造出来的一种求解几何体面积或体积的一般性算法, 同时, 通过这种方法可以得到更多的应用和结论, 比如可以进一步用来解决对数计算, 可以解决计算中的一些问题, 还可以解决级数展开等问题。这种方法, 李善兰称之为“尖锥求积术”, 现简称为“尖锥术”, 这是一种分割求和的极限算法^[4]。

李善兰在其著作《方圆阐幽》里面列出了十个基础性的“当知”, 每个“当知”就是给出一个原则或者法则。特别是在第一个当知给出了这样的描述“今试以墨作一点于纸上, 细如微尘此形之至校者也, 然非。”^[4]这一解释非常形象和具体, 一滴墨是固定的, 让其放在一张纸上, 展开的面积越宽, 就分得越细, 这个“细”字就是微分的意思。同时, 李善兰认为“体面线点”这些元素之间有着相互的联系, 这些元素都是有实体的, 只是在其形状大小上有所不同, 并且还指出“点者体之小儿微者也, 线者体之长而细者也, 面者体之阔而薄者也。”^[4]指出了它们之间可以相互转变, 但是其原来的长度、面积、体积的值是不变的, 这种元素就是单位微元, 即就是微积分中的微分微元。

2.3 译著《拾级》中的“微分”一词

李善兰和伟烈亚力合译《拾级》时，二人选用的翻译底本是美国著名数学家E·罗密士(Elias Loomis，1811—1889)在1851至1852年期间出版的微积分理论方面的经典教材名为Elements of analytical geometry and differential and integral calculus《解析几何与微积分基础》^[5]。由于当时所处的时代背景, 李善兰之前没有接触过西方分析学理论, 这次接触底本也是他初次见识西方系统的分析学理论。在共同翻译的过程中, 李善兰把底本中原来的术语“analytical geometry”翻译成为“代”, 即在译著中李善兰指出的“代数几何”。这里的“代数几何”即“解析几何”, 是由笛卡尔、费马等数学家创立并发展起来的数学分支。它是用代数方法来解决几何问题的一门几何学分支。解析几何的诞生, 特别是将变量引入数学研究, 这就是数学进入了变量数学的时期。把“differential and integral calculus”翻译成“微积”, 二者合在一起即为“微积分”^[6]。李善兰考虑到全书的难易程度, 以及学者学习起来很困难, 故而把译者取名为《代微积拾级》, 其中的“拾级”, 即为“拾级而上”的意思, “拾级”一词形象地说明了其内容逐渐加难。二人在翻译时, 很正确地表述了“微分”这译概念。李善兰在译著的自序中指出“凡线、面、体皆设为由小渐大, 一刹那中所增之积, 即微分也。……故积分逐层分之为无数微分, 合无数微分仍为积分。”^[7]同时, 伟烈亚力也在《拾级》中给的另一个序言中认为“微分不过求变几何最小变率之较耳。”^[7]李善兰翻译数学术语的时候, 非常重视中国传统数学文化, 尽量在中国传统数学思想中去找寻对应的术语并将其改造和扩展^[8]。传统数学中“细”、“微”、“微小”、“穷”、“微分”、“微数”等都是微小的数值, 很小的数, 是微小的奇零部分, 即就是微小的分数, 它与近代西方分析学中的“微分”所表达的自变量的无穷小变化量是不相同的。但是, 究其思想和本质却有相近之处。刘徽所说的“微则无形”, 就是无穷小变化量, 并且与分析学中的“微分”一词意义更为接近。李善兰在传统数学的基础上继续发展了这些概念的含义, 他在著作《方圆阐幽》给出了无穷小叠加中的微小、微元等, 说明李善兰完全理解了微分的本质, 结合传统数学中的术语含义和自己对微分理论的理解，采用了中国传统数学理论中的“微分”一词, 赋予其新的含义。同时, 通过赋予新的含义后, 李善兰使用的“微分”与近代西方微积分学中的“differential”在本质上是一致的。

3 “积分”一词的历史记录

“积分”一词在中国传统数学中很早就有了描述, 在《算数书》、《九章算术》和《九章算术注》等传统数学著作中就有“积分”或与其意义相近的含有“积”字术语的大量描述。同样, 中国传统数学发展到了清末, 李善兰在其著作《方圆阐幽》中创造了一种“尖锥术”，且给出了几个微积分公式, 明确地给出了“积分”这一概念, 并且对“积分”进行了深入的解释。1859年李善兰和伟烈亚力合译《拾级》时, 用“积分”翻译了底本中的“integral”一词。从此, 传统数学中的“积分”一词, 衍生为近代西方分析学中的“积分”一词。

3.1 中国传统数学中的“积分”一词

“积分”一词出现在中国传统数学中比“微分”一词较多, 《九章算术注》中用到“积分”的地方比“微分”要多。主要是从分数运算、长度、面积和体积的求解等几个方面来分析。《算数书》、《九章算术》等经典传统数学典籍中都有“少广术”。其中在《算数书》、《九章算术》中的“少广术”都一致使用了“积分”这一术语。在《算数书》中有这样的表述“先直广, ……下有若干步, ……积分以尽所救分同之以为法, ……以为积步, 除积步如法得从一步。……以法命其分。”^[3]而在《九章算术》中的描述为“置全步及分母子, ……并之为法。置所求步数, 以全步积分乘之为实。”^[3]这里的“积分”就是所有的分之积。在《九章算术注》的商功章李也有这样的描述“假令以三除周, ……通分内子, 即为径之积分。……令自乘, 以高乘之, 为三方锥之积分。”^[3]然而, 这里的两个“积分”其表示的意义却是不同的, 其中, 第一个“积分”的意义与《九章算术》的“积分”意思相同, 都是表示长度的分之积。即微元之求和的运算, 并且得到一个值。第二个“积分”则是关于体积的求和运算及其获得的数值。虽然在《九章算术》开方术中没有使用“积分”这一术语, 但是刘徽在对其进行注释的过程中大量用到“积分”这一术语, 如有“术或有以借算加定法而命分者, ……凡开积为方, 方之自乘当还复其积分。令不加借算而命分, ……则又微多。”^[3]《九章算术注》中还有“……令二出门相乘, 故为半方邑自乘, 居一隅之积分。……即得四隅之积分。”^[3]可以看出这里的“积分”也是面积分数的积累。虽然《九章算术》中没有出现“积分”这一术语, 但是, 其中大量出现了诸如“积”、“积步”、“积里”和“积尺”等概念。如果要深刻地理解《九章算术注》中“积分”的内涵, 那么可以进一步分析与“积分”同类的“积”、“积步”、“积里”和“积尺”等概念。在《九章算术》原始文献中“积步”也多次出现, 其中有一系列的表述“广从步数相乘得积步。……半周半径相乘得积步。……以径乘之, 为积步。……母互乘子, 通全步, 内分子。……径亦通分内子, 以乘周为密实。……除之为积步, 余, 积步之分。”^[3]刘徽在注释时指出“按半广乘从, 以取中平之数, 故广从相乘为积步。……半径为广, 故广从相乘为积步也。……母互乘子者, 为中、外周俱有分, 故以互乘齐其子。……故令周、径分母相乘而连除之, 即得积步。”^[3]刘徽在少广术的注释中认为“一亩积步为实”。在《九章算术》中, 还使用了“积里”这一概念。方田章有“广从里数相乘得积里”。刘徽《九章算术注》又指出“此术广从里数相乘得积里。”该“积里”概念就是平方里的积累。与积步类似, 都是面积问题中的。在《九章算术》计算体积问题中没有使用“积分”, 而在《九章算术注》商功章关于体积问题中却使用了术语“积分”。“假令三约上下周, 俱不尽, 还通之, ……又各自乘, 并, 以高乘之, 为三方亭之积分。”^[3]《九章算术》及刘徽的《九章算术注》中出现了“积尺’一词还多, 比如还有“……置积尺数。并上下广而半之, ……又以裹乘之, 即积尺。……得立实之积, 故为积尺。……以积尺为实, 程功尺数为法。……去其五分之一, 余为法。以沟积尺为实。……以堑积尺为实。实如法而一, 即用徒人数。……取其定功, 乃通分内子以为法。以分母乘积尺为实者。……以分母乘沟积尺实者, 法里有分, 实里通之, ……此以一人之积尺除其众尺, 故用徒人数不尽者, 等数约之而命分也。……故三而一, 得积尺。”^[3]等关于“积尺”这一概念的一系列表述。数学史专家郭书春先生曾对中国古代传统数学中的“积”、“积步”、“积尺”、“积里”、“积分”等名词进行了统计。中国古代传统数学著作中的“积”、“积尺”、“积步”、“积分”等表示的是尺或立方尺的积累, 是平方步的积累, 具有更小的分数单位的分数的积累, 这与近代西方微积分学中的“积分”也有所不同, 但, 都表示了一种积累, 就是一种求和的方法运算, 故在数学思想上也是一致的。

3.2 李善兰著作中的“积分”一词

在继承中国传统数学的基础上, 李善兰在无限求和方面进一步做出了深入的研究, 并且获得了一系列成果。李善兰在继承前人的基础上于1845年撰写出经典著作《方圆阐幽》, 该著作深入地研究了无限分割与求和的理论。在这著作中, 他认为一个平面所围成的面积是由无数的线段叠加而得到, 体积是由无数的平面叠加而得到。其核心思想的描述为“盈尺之书由迭纸而得, 盈丈之绢由积丝而成”。这中间的“积”字, 就是积累的意思, 就是求和运算。李善兰认为, “点线面体”这四者都是有形的和具体的，只是其形状大小不同而已。李善兰在该著作中主要创立了一种分割求和的极限方法，名为“尖锥术”, 并且通过尖锥术得到了幂函数积分公式。他提出的无穷叠加理论, 又把极限思想与其结合起来, 得到求积分, 这与西方微积分早期时候的做法是相同的。在李善兰在《方圆阐幽》中得出几个积分公式, 如幂函数的积分公式:

$ \int_0^h {A{x^n}{\rm{d}}x = \frac{{A{h^{n + 1}}}}{{n + 1}}} $

同时, 李善兰还给出了逐项积分公式:

$ \begin{array}{l} \int_0^h {{\psi _1}\left( x \right){\rm{d}}x + \ldots + \int_0^h {{\psi _n}\left( x \right){\rm{d}}x = } } \\ \int_0^h {[{\psi _1}\left( x \right) + \ldots + {\psi _n}\left( x \right)]{\rm{d}}x} \end{array} $

李善兰的《方圆阐幽》中的十个“当知”实际上是给极限一个全面的定义, 通过这个定义获得了一些微积分结论。

3.3 译著《拾级》中的“积分”一词

李善兰在和伟烈亚力在翻译时, 正确地表述了“积分”这一概念。李善兰在译著自序中指出，“凡线、面、体皆设为由小渐大, 一刹那中所增之积即微分也。其全积即积分也。故积分逐层分之为无数微分, 合无数微分仍为积分。”^[7]同时, 伟烈亚力在序言中认为，“微分不过求变几何最小变率之较耳, 积分者, 合无数微分全之积也。”^[7]二人不仅说出了积分是求和的概念, 还说明了“积分”和“微分”之间的关系。即积分可以无穷分割成为无穷多的无穷小, 这些无穷多的无穷小就是微分, 而无穷多无穷分割的无穷小之和就是积分，即就是伟烈亚力指出的“积分者, 合无数微分全之积也。”^[7]分析学理论中, 积分的最基本思想就是无穷的求和运算, 将需要所求量无穷多地分割下去, 通过建立数学关系式, 再把这些所谓的“小部分”合起来, 最后求和运算。实际上, integral在英语中就含有“整个”的意思, 那么无穷多的“小部分”, 再求和运算, 得到的就是一个“整个”。李善兰不仅是对中国传统数学中的“求和”理论非常熟悉, 同时, 他还继承和发展了中国传统数学中的这个“小部分”, 所以他选用传统数学中的术语“微分”一词翻译“integral”。可见, 李善兰也是赋予了传统数学中“积分”一词新的含义。同时, 通过赋予新的含义后, 李善兰使用的“积分”与微积分学中的“integral”在本质上是一致的。

4 “微分”和“积分”二术语的影响

中国传统数学中很早就有了“微分”和“积分”的概念, 其科学思想也是分割和求和, 其中渗透了极限的数学思想。这个分割和求和的过程及其方法, 隐含有朴素的微积分思想^[9]。李善兰传承了中国古代传统数学思想伟大成就的同时也发展了自己的分割和求和理论, 把这种微积分思想发展到了更高的境界。他把中国传统数学中的“微分”和“积分”所对应的分割和求和方法, 进行了深入地研究, 利用“尖锥术”得到了一些积分成果。同时, 还得到了一些与级数相关的成果等^[10]。正是由于李善兰深厚的传统数学功底和对西方数学的接受能力, 在他和伟烈亚力合译西方微积分理论时, 把“differential”和“integral”分别译为“微分”和“积分”。这可以看出李善兰在创造译名的时候, 充分考虑到了中国传统文化中的微积分思想, 同时, 又把其传统的意义进行扩大, 使之与近代西方微积分理论相对应。这里需要指出的是，微积分的发明人是牛顿和莱布尼茨, 二人从不同角度进行了研究且得出了相同结论。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑, 而莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。在此之前, 已有一些微积分的成果出现, 但是这些成果都是零散的。在笛卡尔和费马的时代, 数学家都隐约发现微分和积分之间存在一定的关系, 但是都没有人给出联系微分和积分的统一计算公式。之所以说牛顿和莱布尼茨是微积分的发明人, 那是因为“牛顿-莱布尼茨”公式的出现标志着微积分理论的诞生。正是基于对中西方微积分发展史的认识，李善兰才能从本质上掌握微积分理论。同时，这也有利于他在翻译过程中，应对和解决出现的相关问题。李善兰在翻译时, 采用中文字和中文字的偏旁表示数学字母与符号, 比如用“天、地、人”表示未知数x, y, z等。李善兰不仅科学地创译名词术语, 而且还将译名实践到公式运算和表述中去。特别是李善兰在《拾级》中用积分中的“积”字的偏旁“禾”作为符号来表示西方微积分学中的积分号, 用微分中“微”字的双人旁“ㄔ”来表示微分符号^[11]。要表示一个积分∫x²(a+bx²)²dx, 对应李善兰的符号表示系统, “禾”作为积分符号则可以表示为:

$ \begin{align} &\ \ \ \ \ \ {{禾天}^{二}}{{\left( 甲\bot {{乙天}^{二}} \right)}^{二}}彳天=\frac{三}{{^{甲^{二}天^{三}}} }\bot \\ &\frac{三}{甲乙天{^{六}}}\bot \frac{九}{{{乙}^{二}}{{天}^{九}}}{{\bot }^{\square }}丙 \\ \end{align} $

同样, 要表示$ \text{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}y $这样一个全微分, 则可以用“微”字的双人旁“ㄔ”来表示微分符号, 则可以表示为:

$ ㄔ戌=\frac{ㄔ天}{ㄔ戌}ㄔ天\bot \frac{ㄔ地}{ㄔ戌}ㄔ地 $

李善兰把译名应用到了微积分理论的运算和表述中, 这能看出李善兰对微积分的彻底理解, 只有在这种深入理解和研究的基础上, 才能做出这种表示方法。这些表述方法都非常形象和生动地表达其本意, 也利于时人理解微积分理论。李善兰的“微分”和“积分”二术语随着《拾级》传到了日本, 对日本的微积分理论有着一定的影响^[12]。李善兰的“微分”和“积分”二术语在李善兰之后的清末微积分著作中, 一直被采用，并延续使用至今。可以说, “微分”和“积分”二术语是李善兰翻译西方科学著作中非常有科学性和文化氛围的两个名词术语, 他与李善兰自身在微积分理论方面的贡献密不可分^[13]。从翻译史的角度来看, 这是李善兰创译近代西方科学名词术语的代表性成果。

5 李善兰翻译术语的贡献

李善兰的翻译活动正处于西方科学传入我国的高潮时期, 而他又是这个高潮时期的集大成者^[14]。正如当代翻译学专家许钧指出，如果要进行一项翻译活动, 其中一定离不开与翻译活动相关的三个要素：第一是翻译的客体, 即被翻译的对象和载体; 第二是翻译的主体, 即从事翻译活动的人; 第三是作用于主体和客体之间的翻译工具。其中特别需要指出的是，唯一能作用于翻译客体和翻译主体之间的就是人的思维, 人的思维在翻译活动中有着重要的作用, 这就是说翻译的主体通过借助于人的思维作用于翻译客体从而来进行翻译活动的^[15]。可见李善兰的翻译无疑是思维的活动, 而且这种思想更多的是科学思维。李善兰在数学理论上有着较高的科学思维, 正是因为这种高层次的思维促进了他的翻译活动。这也使得李善兰的翻译活动不再停留在语义层次上, 而变成一种学术活动。这就符合了翻译的规律, 即人的思维活动是整个翻译活动的最为基础的层次, 而对于语义层次则是整个翻译活动的必要层次, 即必不可少的的过程, 这二者是充分和必要的逻辑关系, 不能没有基础层次, 更不能没有必要层次。同时, 这两个层次的活动都要受到思维规律, 即人的思想活动, 以及语言规律和言语规律的约束, 即要符合语言翻译的本身特点和性质。只有这样兼顾二层次, 才能共同完成一项翻译活动^[15]。也有当代学者认为这一时期的翻译方式已经发生了变化, 由“洋译华述”逐渐过渡到“汉人自主翻译”的模式了。其中涌现出像李善兰、王韬(1828—1897)、徐寿(1818—1884)、华蘅芳(1833—1902)、徐建寅(1845—1901)等杰出翻译家^[16]。当然, 这一时期的翻译, 中国学者不再是被动的接受, 而是主动地参与翻译活动中^[17]。李善兰翻译“微分”和“积分”二术语, 其准确性可以看出, 他认可了中西方对微积分理论的贡献。微积分理论的传入就是要让国人在了解“归纳逻辑体系”的基础上, 又要懂得西方的演绎“逻辑思维模式”^[18]。同时, 李善兰结合中国古代传统数学思想, 深刻理解了近代西方微积分理论后, 进行创译微积分的术语, 这是很科学的, 符合科学的本质特征。正如当代学者所说，“翻译家及其译著的影响, 既是历史的, 同时也是现实的。这对国家、社会、乃至个人的影响无处不在, 科学技术、文学艺术等无不受外来影响。^[16]”李善兰的翻译活动及其译著, 影响着清末的科学研究和科学教育, 并且一直影响到当代。其中特别有利于清末数学研究者职业化的培养, 以及数学专业化人才的培养^[19]。同时, 加快了我国数学的西化和近代化的进程^[20]。今天的中学教育中有微积分, 大学教育中有微积分。可以说“微分”和“积分”这两个概念几乎都会深入到每一个公民的心里, 然而, 当论述了“微分”和“积分”的来龙去脉后, 对照分析《拾级》的底本和译本就会发现，数学家李善兰翻译微积分理论时候用了一种科学思维的术语翻译模式^[21]。同时, 从科学传播史的角度来说, 既获得了更多的中国传统科学文化知识, 又是对中国传统科学文明的传承和发展。

6 结语

纵观“微分”和“积分”二概念的演变历史, 从中国古代传统数学中的“无限”、“无形”、“无穷”、“微”、“细”、“少”、“分”、“穷”、“分割”、“微分”等和中国古代传统数学中的“积”、“积步”、“积尺”、“积里”、“积分”等到李善兰著作《方圆阐幽》中的“微分”和“积分”概念, 最后再到《拾级》中分析学理论下的“微分”和“积分”二术语，可以看出，“微分”和“积分”首先从中国古代传统数学中与之意义相近的词语演变而来, 在传统数学中于是出现了“微分”和“积分”二术语, 到了清末, 李善兰继承了中国古代的极限理论, 沿用了“微分”和“积分”二术语, 还得到了几个微积分公式, 可以说到这时的“微分”和“积分”二术语要接近分析理论下的“微分”和“积分”二术语的数学含义。到了《拾级》中的译名“微分”和“积分”则是完全表示分析下的数学概念, 与之对应的是“differential”和“integral”。李善兰将“微分”和“积分”二术语的传统含义进行外扩, 赋予其新的数学含义, 即从朴素的极限思想到其著作中的分割求和的极限思想, 再到分析学下的无穷小运算的思想, 使之与近代西方数学中的数学本意相吻合，扩大了“微分”和“积分”的外延与内涵, 从而得到科学的译名。其中，寻找适当的汉字及其偏旁来表示数学运算及符号。李善兰采用“微”字的双人旁“ㄔ”来表示微分符号, 和用“积”字的偏旁“禾”来表示积分符号。这两个符号不仅恰到好处地表示出了积分的运算, 还进一步反映出了微积分的本质。“微分”和“积分”二术语从中国古代一直到1859年, 表示的是传统数学中的分割与求和, 而“微分”和“积分”二译名, 从1859年后, 则表示的是西方分析学理论中的函数的无穷小分割与求和, 是函数的无穷小运算, 即函数的微分和积分, 并且到至今仍然一直被采用, 可以得出其创译的科学性, 同时也是译名创造的典范。