在生态学中, 不同类型的物种之间会存在相互作用, 国内外有为数不少的生态数学工作者相继对物种间存在的捕食现象进行了研究。捕食者对食饵的功能反应有很多类型, 文献[1]对带有Neumann边界条件的食物和猎物相互作用的反应扩散系统进行了研究, 文献[1]的模型为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial t}}-{d_1}\Delta u = u(a-u-\frac{{\beta v}}{{u + mv}}), {\rm{ }}(x, t) \in \Omega \times (0, + \infty ), \\ \frac{{\partial v}}{{\partial t}} - {d_2}\Delta v = v(b - \frac{v}{u}), {\rm{ }}(x, t) \in \Omega \times (0, + \infty )。 \end{array} \right. $

(1)

初值与边值条件为

$ \left\{ \begin{align} & u(x,0)={{u}_{0}}(x)>0,v(x,0)={{v}_{0}}(x)\ge 0,\text{ }x\in \overline{\Omega }, \\ & {\partial u}/{\partial n}\;\text{=0, }{\partial v}/{\partial n}\;\text{=0, }(x,t)\in \partial \Omega \times (0,+\infty )。 \\ \end{align} \right. $

其中：u和v为食物和猎物的物种密度, Ω是食物和猎物的生存空间且具有光滑边界$\partial \Omega ,{\partial }/{\partial n}\;$是$\partial \Omega $沿单位外法向量的方向导数, d_i(i=1, 2) 是食物u和猎物v的扩散系数, β和m表示猎物的捕食率和饱和率, a和b为内禀增长率, 考虑到猎物捕食过程中食物起到的合理影响, 响应函数βu/(u+mv)为比例依赖的, 而v/u表示环境对猎物的承载能力。

文献[1]获得了系统(1) 唯一的正常数平衡解的全局稳定性; 对于系统(1) 的平衡态问题, 文献[2]建立了正平衡解上下界的先验估计, 并且导出了当物种的扩散系数很大或者很小时非常数正平衡解的一些不存在性结果; 文献[3]结合平衡态解的先验估计, 利用局部分歧理论, 研究了在Neumann边界条件下系统(1) 的平衡解的局部分歧的存在性, 得到了其正平衡解存在的充分条件。本文则利用上下解的方法^[4-8], 在前人工作的基础上, 给出下列系统(2) 解的存在唯一性及解的发展趋势。

捕食-食饵系统(2) 为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial t}}-\Delta u = u(a-u-\frac{{\beta v}}{{u + mv}}), {\rm{ }}(x, t) \in \Omega \times (0, + \infty ), \\ \frac{{\partial v}}{{\partial t}} - \Delta v = v(b - \frac{v}{u}),{\rm{ }}(x, t) \in \Omega \times (0, + \infty )。 \end{array} \right. $

(2)

设初始时刻食饵和猎物的密度分别为u₀和v₀, 并且捕食过程只在区域Ω内发生, 即

$ \left\{ \begin{align} & {{\left. ({\partial u}/{\partial n}\;+u) \right|}_{\partial \Omega }}=0,{{\left. ({\partial v}/{\partial n}\;+v) \right|}_{\partial \Omega }}=0, \\ & {{\left. u \right|}_{t=0}}={{u}_{0}}>0,{{\left. v \right|}_{t=0}}={{v}_{0}}>0。 \\ \end{align} \right. $

(3)

取f=u(a-u-βv/(u+mv)), 经过计算得f_v=-βu²/(u+mv)²≤0, f关于v是拟减的, 取g=v(b-v/u), 因为g_u=v²/u²≥0, 故g关于u是拟增的。根据函数f和g的连续性和单调性, f和g关于u和v满足Lipsichltz条件, 记Lipsichltz常数为K。

1. 上下解的存在性

本节根据弱耦合反应扩散方程组的边值问题解的理论, 通过上下解的定义, 分别构造所讨论系统(2) 常数形式的上下解和指数形式的上下解。

因为函数f和g的拟单调性, 系统(2) 的上下解需要满足下列定义。

定义1   如果$(\bar u, {\rm{\bar v}})$和$(\underline u, \underline v )$满足

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}}-\Delta \bar u \ge \bar u(a-\bar u-\frac{{\beta \underline v }}{{\bar u + m\underline v }}), \\ \frac{{\partial \underline u }}{{\partial t}} - \Delta \underline u \le \underline u (a - \underline u - \frac{{\beta \bar v}}{{\underline u + m\bar v}}), \\ \frac{{\partial \bar v}}{{\partial t}} - \Delta \bar v \ge \bar v(b - \frac{{\bar v}}{{\bar u}}), \\ \frac{{\partial \underline v }}{{\partial t}} - \Delta \underline v \le \underline v (b - \frac{{\underline v }}{{\underline u }})。{\rm{ }} \end{array} \right. $

(4)

$ \left\{ \begin{align} & {{\left. {\bar{u}} \right|}_{t=0}}={{{\bar{u}}}_{0}}\ge {{u}_{0}},{{\left. \underline{u} \right|}_{t=0}}={{\underline{u}}_{0}}\le {{u}_{0}}, \\ & {{\left. {\bar{v}} \right|}_{t=0}}={{{\bar{v}}}_{0}}\ge {{v}_{0}},{{\left. \underline{v} \right|}_{t=0}}={{\underline{v}}_{0}}\le {{v}_{0}}, \\ & {{\left. ({\partial \bar{u}}/{\partial n}\;+\bar{u}) \right|}_{\partial \Omega }}\ge 0\ge {{\left. ({\partial \underline{u}}/{\partial n}\;+\underline{u}) \right|}_{\partial \Omega }}, \\ & {{\left. ({\partial \bar{v}}/{\partial n}\;+\bar{v}) \right|}_{\partial \Omega }}\ge 0\ge {{\left. ({\partial \underline{v}}/{\partial n}\;+\underline{v}) \right|}_{\partial \Omega }}。 \\ \end{align} \right. $

(5)

则称$(\bar u, \bar v)$和$(\underline u, \underline v )$为系统(2)(3) 的上解和下解。^[4-5]

1.1. 常数上解和下解

设$(\bar u, \bar v)$和$(\underline u, \underline v )$是系统(2)(3) 的常数上解和下解, 由定义1可得, $(\bar u, \bar v)$满足

$ \bar u(a-\bar u-\frac{{\beta \underline v }}{{\bar u + m\underline v }}) \ge 0, {\rm{ }}\bar v(b-\frac{{\bar v}}{{\bar u}}) \ge 0, $

解得

$ \bar v \le b\bar u, {\rm{ }}\bar u \le a-\frac{{\beta \underline v }}{{\bar u + m\underline v }} \le a, $

从而有$(\bar u, \bar v) = (a, ab)$。

同样，根据定义1可知$(\underline u, \underline v )$满足

$ \underline u (a-\underline u-\frac{{\beta \bar v}}{{\underline u + m\bar v}}) \le 0, {\rm{ }}\underline v (b-\frac{{\underline v }}{{\underline u }}) \le 0, $

解得

$ \underline{v}\ge b\underline{u},\text{ }a-\underline{u}-\frac{\beta \bar{v}}{\underline{u}+m\bar{v}}\le a-\underline{u}-\frac{\beta }{({\underline{u}}/{{\bar{v}}}\;)+m}\le a-\underline{u}-\frac{\beta }{({1}/{b}\;)+m}\le 0, $

从而有$(\underline u, \underline v ) = (a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}}, b(a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}})$。

当参数满足条件

$ a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}} \le {u_0} \le a, b(a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}}) \le {v_0} \le ab $

时, 若取$(\bar u, \bar v) = (a, ab), (\underline u, \underline v ) = (a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}}, b(a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}}))$, 则其构成了系统(2) 的上下解, 并且有$(\bar u, \bar v) \ge (\underline u, \underline v )$。

1.2. 指数形式的上解

根据反应扩散方程引论可知, 特征值问题

$ \left\{ \begin{align} & -\Delta \varphi =\lambda \varphi ,x\in \Omega , \\ & {\alpha (x)\partial \varphi }/{\partial n}\;+\beta (x)=0,x\in \partial \Omega \\ \end{align} \right. $

所有的特征值λ_i(i=0, 1, 2, …)满足:0＜λ₀＜λ₁≤λ₂≤…→∞, λ_i的代数重数为m_i≥1, 其中:λ₀为主特征值, 相应的主特征函数为Φ(x), 记φ_m=min{Φ(x), x∈Ω}, 0＜φ_m≤Φ(x)≤1。

取$(\underline u, \underline v ) = (a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}}, b(a-\frac{{b\beta }}{{1 + bm}}))$, (u, v)=(p(t)Φ(x), q(t)Φ(y)), 选择合适的p(t), q(t), 使得(u, v)确为上解, 即满足不等式(4)(5) 有

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\Phi }(x)\frac{{dp(t)}}{{dt}}-p(t)\Delta \mathit{\Phi }(x)-a\mathit{\Phi }(x)p(t) + {\mathit{\Phi }^2}(x){p^2}(t) + \frac{{\beta \underline v }}{{\mathit{\Phi }(x)p(t) + m\underline v }}\\ {\rm{ }} \ge \mathit{\Phi }(x)\frac{{dp(t)}}{{dt}} + {\lambda _0}p(t)\mathit{\Phi }(x)-a\mathit{\Phi }(x)p(t) \ge 0\\ \mathit{\Phi }(y)\frac{{dq(t)}}{{dt}} - q(t)\Delta \mathit{\Phi }(y) - b\mathit{\Phi }(y)q(t) - \frac{{{q^2}(t){\mathit{\Phi }^2}(y)}}{{\mathit{\Phi }(x)p(t)}}\\ {\rm{ }} = \mathit{\Phi }(y)\frac{{dq(t)}}{{dt}} + {\lambda _0}q(t)\mathit{\Phi }(y) - b\mathit{\Phi }(y)q(t) - \frac{{{q^2}(t){\mathit{\Phi }^2}(y)}}{{\mathit{\Phi }(x)p(t)}} \ge 0 \end{array} \right. $

(6)

及

$ p(0)\mathit{\Phi }(x) \ge {u_0}, q(0)\mathit{\Phi }(y) \ge {v_0}。 $

(7)

为了上述不等式(6)(7) 成立, 首先需要解微分不等式dp(t)/dt+λ₀p(t)-ap(t)≥0, 根据不等式的特点, 只需要取

p(t)=p(0)e^-(λ₀-a)t,

将p(t)代入式(6) 有

$ \frac{{dq(t)}}{{dt}} + {\lambda _0}q(t)-bq(t)-\frac{{\mathit{\Phi }(y){e^{({\lambda _0}-a)t}}}}{{\mathit{\Phi }(x)p(0)}}{q^2}(t) \ge 0, $

对上式进行适当放缩有

$ \frac{{dq(t)}}{{dt}} + {\lambda _0}q(t)-bq(t)-\frac{{{e^{({\lambda _0}-a)t}}}}{{{\varphi _m}p(0)}}{q^2}(t) \ge 0, $

通过求解微分方程, 满足上述不等式的q(t)取为

$ {q^{-1}}(t) = N{e^{({\lambda _0}-b)t}}-\frac{{{e^{({\lambda _0} - a)t}}}}{{{\varphi _m}p(0)(b - a)}}{\rm{。 }} $

其中：$N = \frac{1}{{q(0)}} + \frac{1}{{{\varphi _m}p(0)(b-a)}}$。

当p(0)≥u₀/φ_m, q(0)≥v₀/φ_m时,

$ (\bar u, \bar v) = (p(0){e^{-({\lambda _0}-a)t}}\mathit{\Phi } (x), {\left( {N{e^{({\lambda _0}-b)t}} - \frac{{{e^{({\lambda _0} - a)t}}}}{{{\phi _m}p(0)(b - a)}}} \right)^{ - 1}}\Phi (y)) $

为系统(2)(3)的指数形式上解。

2. 解的存在唯一性

为了证明定理, 取$({\tilde u_0}, {\tilde v_0}) = (\bar u, \bar v), ({\hat u_0}, {\hat v_0}) = (\underline u, \underline v )$, 构造如下的迭代格式

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial {{\tilde u}_k}}}{{\partial t}}-\Delta {{\tilde u}_k} + K{{\tilde u}_k} = {{\tilde u}_{k-1}}(a-{{\tilde u}_{k - 1}} - \frac{{\beta {{\hat v}_{k - 1}}}}{{{{\tilde u}_{k - 1}} + m{{\hat v}_{k - 1}}}}), \\ \frac{{\partial {{\hat u}_k}}}{{\partial t}} - \Delta {{\hat u}_k} + K{{\hat u}_k} = {{\hat u}_{k - 1}}(a - {{\hat u}_{k - 1}} - \frac{{\beta {{\tilde v}_{k - 1}}}}{{{{\hat u}_{k - 1}} + m{{\tilde v}_{k - 1}}}}), {\rm{ }}\\ \frac{{\partial {{\tilde v}_k}}}{{\partial t}} - \Delta {{\tilde v}_k} + K{{\tilde v}_k} = {{\tilde v}_{k - 1}}(b - \frac{{{{\tilde v}_{k - 1}}}}{{{{\tilde u}_{k - 1}}}}) + K{{\tilde v}_{k - 1}}, \\ \frac{{\partial {{\hat v}_k}}}{{\partial t}} - \Delta {{\hat v}_k} + K{{\hat v}_k} = {{\hat v}_{k - 1}}(b - \frac{{{{\hat v}_{k - 1}}}}{{{{\hat u}_{k - 1}}}}) + K{{\tilde v}_{k - 1}}。{\rm{ }} \end{array} \right. $

(8)

$ \left\{ \begin{align} & {{\left. {{{\tilde{u}}}_{k}} \right|}_{t=0}}={{\left. {{{\hat{u}}}_{k}} \right|}_{t=0}}={{u}_{0}},{{\left. {{{\tilde{v}}}_{k}} \right|}_{t=0}}={{\left. {{{\hat{v}}}_{k}} \right|}_{t=0}}={{v}_{0}}, \\ & {{\left. ({\partial {{{\tilde{u}}}_{k}}}/{\partial n}\;+{{{\tilde{u}}}_{k}}) \right|}_{\partial \Omega }}={{\left. ({\partial {{{\hat{u}}}_{k}}}/{\partial n}\;+{{{\hat{u}}}_{k}}) \right|}_{\partial \Omega }}=0, \\ & {{\left. ({\partial {{{\tilde{v}}}_{k}}}/{\partial n}\;+{{{\tilde{v}}}_{k}}) \right|}_{\partial \Omega }}={{\left. ({\partial {{{\hat{v}}}_{k}}}/{\partial n}\;+{{{\hat{v}}}_{k}}) \right|}_{\partial \Omega }}=0。 \\ \end{align} \right. $

(9)

式(8)(9) 是关于${\tilde u_k}, {v_k}, {\hat u_k}, {\hat v_k}$的线性初边值问题, 根据抛物系统解的理论, 可以得到如下函数列

$ ({\tilde u_0}, {\tilde v_0}), ({\tilde u_1}, {\tilde v_1}), ({\tilde u_2}, {\tilde v_2}), \cdots, ({\tilde u_k}, {\tilde v_k}), \cdots $

(10)

$ ({\hat u_0}, {\hat v_0}), ({\hat u_1}, {\hat v_1}), ({\hat u_2}, {\hat v_2}), \cdots, ({\hat u_k}, {\hat v_k}), \cdots $

(11)

引理1   若函数列$\{ ({\tilde u_k}, {\tilde v_k})\} (k = 0, 1, 2, \cdots )$单调递减, 而函数列$\{ ({\hat u_k}, {\hat v_k})\} (k = 0, 1, 2, \cdots )$单调递增, 即

$ ({\tilde u_0}, {\tilde v_0}) \ge ({\tilde u_1}, {\tilde v_1}) \ge \cdots \ge ({\tilde u_k}, {\tilde v_k}) \ge \cdots \ge ({\hat u_k}, {\hat v_k}) \ge \cdots \ge ({\hat u_1}, {\hat v_1}) \ge ({\hat u_0}, {\hat v_0}), $

则存在函数$(\tilde u, \tilde v)$和$(\hat u, \hat v)$满足

$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } ({\tilde u_k}, {\tilde v_k}) = (\tilde u, \tilde v), \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } ({\hat u_k}, {\hat v_k}) = (\hat u, \hat v)。 $

(12)

证明  记${\tilde \omega _1} = {\tilde u_1}-{\tilde u_0} = {\tilde u_1}-\bar u, {\hat \omega _1} = {\hat u_1}-{\hat u_0} = {\hat u_1} - \underline u $, 则$({\tilde \omega _1}, {\hat \omega _1})$满足

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial {{\tilde \omega }_1}}}{{\partial t}}-\Delta {{\tilde \omega }_1} + K{{\tilde \omega }_1} \le 0, \\ \frac{{\partial {{\hat \omega }_1}}}{{\partial t}}-\Delta {{\hat \omega }_1} + K{{\hat \omega }_1} \ge 0。 \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{align} & {{\left. {{{\tilde{\omega }}}_{1}} \right|}_{t=0}}\le 0,{{\left. \text{ }{{{\hat{\omega }}}_{1}} \right|}_{t=0}}\ge 0, \\ & {{\left. ({\partial {{{\tilde{\omega }}}_{1}}}/{\partial n}\;+{{{\tilde{\omega }}}_{1}}) \right|}_{\partial \Omega }}\le 0,\text{ }{{\left. ({\partial {{{\hat{\omega }}}_{1}}}/{\partial n}\;+{{{\hat{\omega }}}_{1}}) \right|}_{\partial \Omega }}\ge 0。 \\ \end{align} \right. $

由抛物型方程的极值原理可得${\tilde \omega _1} \le 0, {\hat \omega _1} \ge 0$, 即${\tilde u_1} \le {\tilde u_0}, {\hat u_1} \ge {\hat u_0}$。利用归纳法可证得引理1成立。根据迭代格式及引理1, 可得

引理2   式(12) 中的$(\tilde u, \hat u)$和$(\tilde v, \hat v)$满足

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial \tilde u}}{{\partial t}}-\Delta \tilde u = \tilde u(a-\tilde u-\frac{{\beta \hat v}}{{\tilde u + m\hat v}}), \\ \frac{{\partial \hat u}}{{\partial t}} - \Delta \hat u = \hat u(a - \hat u - \frac{{\beta \tilde v}}{{\hat u + m\tilde v}}), \\ \frac{{\partial \tilde v}}{{\partial t}} - \Delta \tilde v = \tilde v(b - \frac{{\tilde v}}{{\tilde u}}), \\ \frac{{\partial \hat v}}{{\partial t}} - \Delta \hat v = \hat v(b - \frac{{\hat v}}{{\hat u}})。{\rm{ }} \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{align} & {{\left. {\tilde{u}} \right|}_{t=0}}={{\left. {\hat{u}} \right|}_{t=0}}={{u}_{0}},{{\left. {\tilde{v}} \right|}_{t=0}}={{\left. {\hat{v}} \right|}_{t=0}}={{v}_{0}}, \\ & {{\left. ({\partial \tilde{u}}/{\partial n}\;+\tilde{u}) \right|}_{\partial \Omega }}={{\left. ({\partial \hat{u}}/{\partial n}\;+\hat{u}) \right|}_{\partial \Omega }}=0, \\ & {{\left. ({\partial \tilde{v}}/{\partial n}\;+\tilde{v}) \right|}_{\partial \Omega }}={{\left. ({\partial \hat{v}}/{\partial n}\;+\hat{v}) \right|}_{\partial \Omega }}=0。 \\ \end{align} \right. $

借助于极值原理, 可以证得$\tilde u = \hat u, \tilde v = \hat v$。若记$\tilde u = \hat u = u, \tilde v = \hat v = v$, 则(u, v)满足

$ \left\{ \begin{align} & \frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=u(a-u-\frac{\beta v}{u+mv}),\text{ } \\ & \frac{\partial v}{\partial t}-\Delta v=v(b-\frac{v}{u})。\text{ } \\ \end{align} \right. $

$ \left\{ \begin{align} & {{\left. ({\partial u}/{\partial n}\;+u) \right|}_{\partial \Omega }}=0,{{\left. ({\partial v}/{\partial n}\;+v) \right|}_{\partial \Omega }}=0, \\ & {{\left. u \right|}_{t=0}}={{u}_{0}}>0,{{\left. v \right|}_{t=0}}={{v}_{0}}>0。 \\ \end{align} \right. $

从而得到下面的定理

定理1   如果系统(2)(3) 存在有序的上解和下解, 且满足$(\bar u, {\rm{\bar v}}) \ge (\underline u, \underline v ) \ge (0, 0)$, 则系统一定存在唯一解(u, v)满足

$(\bar u, {\rm{\bar v}}) \ge (u, v) \ge (\underline u, \underline v ),$

即

$ p(0){e^{-({\lambda _0}-a)t}}\mathit{\Phi }(x) \ge u \ge a-\frac{\beta }{m}, {\rm{ }}{\left( {N{e^{({\lambda _0} - b)t}} - \frac{{{e^{({\lambda _0} - a)t}}}}{{{\varphi _m}p(0)(b - a)}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\Phi }(y) \ge v \ge b(a - \frac{\beta }{m})。 $

若上述的主特征值满足λ₀>max{a, b}, 根据指数形式的上解可知, 当t→+∞时, (u, v)均趋向于0, 这一结论说明了系统(2) 的平衡解不是指数稳定的。