引言

微分中值定理是微积分学中的一组重要定理，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，在微积分教学与研究中具有承前启后的作用。然而，在证明了罗尔中值定理之后，如何再去证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，是一个比较困难的问题。通常采用的方法是构造辅助函数法，并且与微分中值定理相关的证明题，大多数也需要作辅助函数才能完成，因而构造辅助函数是证明此类问题的关键。目前的参考书上介绍了多种构造辅助函数的方法^[1-3]，但对于学生来讲，要构造合适的辅助函数仍是比较困难的。目前已有不少关于如何构造辅助函数的讨论与研究，例如：文献[4]给出了用原函数法和系数法构造辅助函数；文献[5]用构造行列式法给出证明；文献[6]根据Darboux定理构造另类函数；文献[7]在通常的辅助函数上，采用区间套方法给出证明；文献[8]总结了4种构造辅助函数的方法；文献[9]通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数，并明确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法；文献[10]通过构造含参数的辅助函数证明中值定理。这些证明方法中，行列式法将线性代数用于微积分，其证明方法简捷明了，不仅让初学者认识并理解微分中值定理，而且为其以后的学习打下了坚实基础。

本文应用行列式理论以及求导方法，在罗尔中值定理的基础上，对拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行了再一次证明，并得到了一些广义中值定理。

1 预备知识

首先我们给出行列式的求导法则和罗尔中值定理的内容。

定理1^[1]  设f_ij(x)(i, j=1, 2, …, n) 为可导函数，则

$ \frac{d}{{dx}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{11}}\left( x \right)}&{{f_{12}}\left( x \right)}& \cdots &{{f_{1n}}\left( x \right)}\\ {{f_{21}}\left( x \right)}&{{f_{22}}\left( x \right)}& \cdots &{{f_{2n}}\left( x \right)}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{f_{n1}}\left( x \right)}&{{f_{n2}}\left( x \right)}& \cdots &{{f_{nn}}\left( x \right)} \end{array}} \right| = \sum\limits_{k = 1}^n {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{11}}\left( x \right)}&{{f_{12}}\left( x \right)}& \cdots &{{f_{1n}}\left( x \right)}\\ {{f_{21}}\left( x \right)}&{{f_{22}}\left( x \right)}& \cdots &{{f_{2n}}\left( x \right)}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {f{\prime _{k1}}\left( x \right)}&{f{\prime _{k2}}\left( x \right)}& \cdots &{f{\prime _{kn}}\left( x \right)}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{f_{n1}}\left( x \right)}&{{f_{n2}}\left( x \right)}& \cdots &{{f_{nn}}\left( x \right)} \end{array}} \right|}。 $

定理2   (罗尔中值定理)^[1]  如果函数f(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f′(ξ)=0。

2 中值定理的行列式法证明

定理3  (拉格朗日中值定理)^[4]  如果函数f(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 那么在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得$f\prime \left (\xi \right) = \frac{{f\left (b \right)-f\left (a \right)}}{{b-a}}$。

证明  构造行列式

$ \varphi \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{f\left( x \right)}\\ 1&a&{f\left( a \right)}\\ 1&b&{f\left( b \right)} \end{array}} \right| = \left( {b- a} \right)f\left( x \right) + \left[{f\left( a \right)-f\left( b \right)} \right]x + af\left( b \right) -bf\left( a \right)。 $

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续, 开区间 (a, b) 内可导, 且

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{f\prime \left( x \right)}\\ 1&a&{f\left( a \right)}\\ 1&b&{f\left( b \right)} \end{array}} \right| = \left( {b-a} \right)f\prime \left( x \right) + f\left( a \right)-f\left( b \right), $

进一步计算得φ(a)=φ(b)=0。根据罗尔中值定理知，在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即 (b-a)f′(ξ)+f(a)-f(b)=0。故

$ f\prime \left( \xi \right) = \frac{{f\left( b \right)-f\left( a \right)}}{{b-a}}。 $

定理4  (柯西中值定理)^[4]  如果函数f(x) 及g(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且g′(x) 在 (a, b) 内的每一点处均不为0, 那么在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使等式$\frac{{f\prime \left (\xi \right)}}{{g\prime \left (\xi \right)}} = \frac{{f\left (b \right)-f\left (a \right)}}{{g\left (b \right)-g\left (a \right)}}$成立。

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {f\left (x \right)} & {g\left (x \right)}\\ 1 & {f\left (a \right)} & {g\left (a \right)}\\ 1 & {f\left (b \right)} & {g\left (b \right)} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且φ(a)=φ(b)=0，并有

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{f\prime \left( x \right)}&{g\prime \left( x \right)}\\ 1&{f\left( a \right)}&{g\left( a \right)}\\ 1&{f\left( b \right)}&{g\left( b \right)} \end{array}} \right| = \left[{f\left( b \right)-f\left( a \right)} \right]g\prime \left( x \right) - \left[{g\left( b \right)-g\left( a \right)} \right]f\prime \left( x \right)。 $

根据罗尔中值定理知，在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

$ \left[{f\left( b \right)-f\left( a \right)} \right]g\prime \left( \xi \right) = \left[{g\left( b \right)-g\left( a \right)} \right]f\prime \left( \xi \right)。 $

故

$ \frac{{f\prime \left( \xi \right)}}{{g\prime \left( \xi \right)}} = \frac{{f\left( b \right)-f\left( a \right)}}{{g\left( b \right)-g\left( a \right)}}。 $

3 中值定理的推广

定理5^[5]  如果函数f(x), g(x) 及h(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 那么在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得

$ \begin{array}{l} [g\left( a \right)h\left( b \right)-g\left( b \right)h\left( a \right)]f\prime \left( \xi \right) + [f\left( a \right)g\left( b \right)-f\left( b \right)g\left( a \right)]h\prime \left( \xi \right){\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = [g\left( a \right)h\left( b \right)-g\left( b \right)h\left( a \right)]g\prime \left( \xi \right)。 \end{array} $

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left (x \right)} & {g\left (x \right)} & {h\left (x \right)}\\ {f\left (a \right)} & {g\left (a \right)} & {h\left (a \right)}\\ {f\left (b \right)} & {g\left (b \right)} & {h\left (b \right)} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且φ(a)=φ(b)=0, 并有

$ \begin{array}{l} \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {f\prime \left( x \right)}&{g\prime \left( x \right)}&{h\prime \left( x \right)}\\ {f\left( a \right)}&{g\left( a \right)}&{h\left( a \right)}\\ {f\left( b \right)}&{g\left( b \right)}&{h\left( b \right)} \end{array}} \right|\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; = [g\left( a \right)h\left( b \right)-g\left( b \right)h\left( a \right)]f\prime \left( x \right) - [g\left( a \right)h\left( b \right)-g\left( b \right)h\left( a \right)]g\prime \left( x \right) + {\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{[}}f\left( a \right)g\left( b \right)-f\left( b \right)g\left( a \right)]h\prime \left( x \right)。 \end{array} $

根据罗尔中值定理知，在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

$ \begin{array}{l} \left[{g\left( a \right)h\left( b \right)-g\left( b \right)h\left( a \right)} \right]f\prime \left( \xi \right) + \left[{f\left( a \right)g\left( b \right)-f\left( b \right)g\left( a \right)} \right]h\prime \left( \xi \right){\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[{g\left( a \right)h\left( b \right)-g\left( b \right)h\left( a \right)} \right]g\prime \left( \xi \right)。 \end{array} $

定理6^[5]  如果函数f(x), g(x)及h(x), p(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 那么在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ {f\left( a \right)}&{g\left( a \right)}&{h\left( a \right)}&{p\left( a \right)}\\ {f\left( b \right)}&{g\left( b \right)}&{h\left( b \right)}&{p\left( b \right)}\\ {f\prime \left( \xi \right)}&{g\prime \left( \xi \right)}&{h\prime \left( \xi \right)}&{p\prime \left( \xi \right)} \end{array}} \right| = 0。 $

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 1 & 1\\ {f\left (a \right)} & {g\left (a \right)} & {h\left (a \right)} & {p\left (a \right)}\\ {f\left (b \right)} & {g\left (b \right)} & {h\left (b \right)} & {p\left (b \right)}\\ {f\left (x \right)} & {g\left (x \right)} & {h\left (x \right)} & {p\left (x \right)} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且φ(a)=φ(b)=0。

根据罗尔中值定理知，在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

$ \varphi \prime \left( \xi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ {f\left( a \right)}&{g\left( a \right)}&{h\left( a \right)}&{p\left( a \right)}\\ {f\left( b \right)}&{g\left( b \right)}&{h\left( b \right)}&{p\left( b \right)}\\ {f\prime \left( \xi \right)}&{g\prime \left( \xi \right)}&{h\prime \left( \xi \right)}&{p\prime \left( \xi \right)} \end{array}} \right| = 0。 $

定理7  设函数f(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内二阶可导, 那么对∀c∈(a, b)，至少存在一点ξ∈(a, b), 使得$\frac{{f''\left (\xi \right)}}{2} = \frac{{\frac{{f\left (b \right)-f\left (a \right)}}{{b-a}}-\frac{{f\left (c \right)-f\left (a \right)}}{{c-a}}}}{{b-c}}$。

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & x & {{x^2}} & {f\left (x \right)}\\ 1 & a & {{a^2}} & {f\left (a \right)}\\ 1 & c & {{c^2}} & {f\left (c \right)}\\ 1 & b & {{b^2}} & {f\left (b \right)} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且φ(a)=φ(c)=φ(b)=0，并有

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{2x}&{f\prime \left( x \right)}\\ 1&a&{{a^2}}&{f\left( a \right)}\\ 1&c&{{c^2}}&{f\left( c \right)}\\ 1&b&{{b^2}}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right|。 $

根据罗尔中值定理知，至少存在点α∈(a, c)，β∈(c, b), 使得φ′(α)=φ′(β)=0。

又因为φ′(x) 在闭区间[α, β]上连续, 在开区间 (α, β) 内可导，且

$ \begin{array}{l} \varphi ''\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&2&{f''\left( x \right)}\\ 1&a&{{a^2}}&{f\left( a \right)}\\ 1&c&{{c^2}}&{f\left( c \right)}\\ 1&b&{{b^2}}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right|\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2[\left( {c-a} \right)f\left( b \right) + \left( {a-b} \right)f\left( c \right) + \left( {b-c} \right)f\left( a \right)] -\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }}f''\left( x \right)(c{b^2} + a{c^2} + b{a^2} -c{a^2} -b{c^2} - a{b^2})。 \end{array} $

再次利用罗尔中值定理知，至少存在一点ξ∈(α, β)(a, b)，使得φ″(ξ)=0。故

$ \begin{array}{l} \frac{{f''\left( x \right)}}{2} = \frac{{\left( {c- a} \right)f\left( b \right) + \left( {a- b} \right)f\left( c \right) + \left( {b- c} \right)f\left( a \right)}}{{c{b^2} + a{c^2} + b{a^2} - c{a^2} - b{c^2} - a{b^2}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\left( {c - a} \right)[f\left( b \right)-f\left( a \right)] - \left( {b - a} \right)[f\left( c \right)-f\left( a \right)]}}{{\left( {b -c} \right)({a^2} -{c^2}) + \left( {c -a} \right)({b^2} - {c^2})}}{\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\frac{{f\left( b \right) - f\left( c \right)}}{{b - c}} - \frac{{f\left( c \right) - f\left( a \right)}}{{c - a}}}}{{b - a}}{\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} - \frac{{f\left( c \right) - f\left( a \right)}}{{c - a}}}}{{b - c}}。 \end{array} $

定理8  设函数f(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内三阶可导, 那么对∀c, d∈(a, b), (c < d)，至少存在一点ξ∈(a, b), 使得

$ \frac{{f''\left( \xi \right)}}{6} = \frac{{\left( {d-c} \right)\frac{{f\left( b \right)-f\left( a \right)}}{{b-a}} - \left( {b - c} \right)\frac{{f\left( d \right) - f\left( a \right)}}{{d - a}} + \left( {b - d} \right)\frac{{f\left( c \right) - f\left( a \right)}}{{c - a}}}}{{\left( {d - c} \right){b^2} - \left( {b - c} \right){d^2} + \left( {b - d} \right){c^2}}}。 $

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & x & {{x^2}} & {{x^3}} & {f\left (x \right)}\\ 1 & a & {{a^2}} & {{a^3}} & {f\left (a \right)}\\ 1 & c & {{c^2}} & {{c^3}} & {f\left (c \right)}\\ 1 & d & {{d^2}} & {{d^3}} & {f\left (d \right)}\\ 1 & b & {{b^2}} & {{b^3}} & {f\left (b \right)} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 且φ(a)=φ(c)=φ(d)=φ(b)=0。

根据罗尔中值定理知，至少存在点α∈(a, c)，β∈(c, d)，γ∈(d, b), 使得

$ \varphi \prime \left( \alpha \right) = \varphi \prime \left( \beta \right) = \varphi \prime \left( \gamma \right) = 0。 $

又因为φ′(x) 在[α, β]及[β, γ]上分别连续, 在 (α, β) 及 (β, γ) 内可导，则至少存在点μ∈(α, β)，ν∈(β, γ)，使得φ″(μ)=φ″(ν)=0。

再次利用罗尔中值定理，则至少存在一点ξ∈(μ, ν)，使得φ'''(ξ)=0。由于

$ \begin{array}{l} \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{2x}&{3{x^2}}&{f\prime \left( x \right)}\\ 1&a&{{a^2}}&{{a^3}}&{f\left( a \right)}\\ 1&c&{{c^2}}&{{c^3}}&{f\left( c \right)}\\ 1&d&{{d^2}}&{{d^3}}&{f\left( d \right)}\\ 1&b&{{b^2}}&{{b^3}}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right|, \varphi ''\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2&{6x}&{f''\left( x \right)}\\ 1&a&{{a^2}}&{{a^3}}&{f\left( a \right)}\\ 1&c&{{c^2}}&{{c^3}}&{f\left( c \right)}\\ 1&d&{{d^2}}&{{d^3}}&{f\left( d \right)}\\ 1&b&{{b^2}}&{{b^3}}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right|, \\ \varphi '''\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&6&{f'''\left( x \right)}\\ 1&a&{{a^2}}&{{a^3}}&{f\left( a \right)}\\ 1&c&{{c^2}}&{{c^3}}&{f\left( c \right)}\\ 1&d&{{d^2}}&{{d^3}}&{f\left( d \right)}\\ 1&b&{{b^2}}&{{b^3}}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right| = f'''\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}&{{a^3}}\\ 1&c&{{c^2}}&{{c^3}}\\ 1&d&{{d^2}}&{{d^3}}\\ 1&b&{{b^2}}&{{b^3}} \end{array}} \right|-6\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}&{f\left( a \right)}\\ 1&c&{{c^2}}&{f\left( c \right)}\\ 1&d&{{d^2}}&{f\left( d \right)}\\ 1&b&{{b^2}}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right|。 \end{array} $

从而有，$f'''\left (\xi \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & a & {{a^2}} & {{a^3}}\\ 1 & c & {{c^2}} & {{c^3}}\\ 1 & d & {{d^2}} & {{d^3}}\\ 1 & b & {{b^2}} & {{b^3}} \end{array}} \right| = 6\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & a & {{a^2}} & {f\left (a \right)}\\ 1 & c & {{c^2}} & {f\left (c \right)}\\ 1 & d & {{d^2}} & {f\left (d \right)}\\ 1 & b & {{b^2}} & {f\left (b \right)} \end{array}} \right|$, 故,

$ \frac{{f'''\left( \xi \right)}}{6} = \frac{{\left( {d-c} \right)\frac{{f\left( b \right)-f\left( a \right)}}{{b-a}} - \left( {b - c} \right)\frac{{f\left( d \right) - f\left( a \right)}}{{d - a}} + \left( {b - d} \right)\frac{{f\left( c \right) - f\left( a \right)}}{{c - a}}}}{{\left( {d - c} \right){b^2} - \left( {b - c} \right){d^2} + \left( {b - d} \right){c^2}}}\left( {d - c} \right){b^2} - \left( {b - c} \right){d^2} + \left( {b - d} \right){c^2}。 $

4 应用

例1  如果函数f(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且f(a)=f(b), 那么在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使等式f(a)=ξf′(ξ)+f(ξ) 成立。

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {f\left (x \right)}\\ x & {f\left (a \right)} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且φ(a)=φ(b)=0，并有

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{f\prime \left( x \right)}\\ x&{f\left( a \right)} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&{f\left( x \right)}\\ 1&0 \end{array}} \right| = f\left( a \right)-xf\prime \left( x \right)-f\left( x \right)。 $

根据罗尔中值定理知，在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

$ f\left( a \right)-\xi f\prime \left( \xi \right)-f\left( \xi \right) = 0。 $

从而，f(a)=ξf′(ξ)+f(ξ)。

特别地，当f(a)=f(b)=0时，有ξf′(ξ)+f(ξ)=0。

例2  如果函数f(x) 及g(x) 在闭区间[a, b](ab>0) 上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且g′(x) 在 (a, b) 内的每一点处均不为0, 那么在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得

$ \frac{{f\prime \left( \xi \right)}}{{g\prime \left( \xi \right)}} = \frac{{af\left( b \right)-bf\left( a \right)}}{{ag\left( b \right)-bg\left( a \right)}}。 $

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {f\left (x \right)} & {g\left (x \right)}\\ a & {f\left (a \right)} & {g\left (a \right)}\\ b & {f\left (b \right)} & {g\left (b \right)} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且φ(a)=φ(b)=0，并有

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{f\prime \left( x \right)}&{g\prime \left( x \right)}\\ a&{f\left( a \right)}&{g\left( a \right)}\\ b&{f\left( b \right)}&{g\left( b \right)} \end{array}} \right|。 $

根据罗尔中值定理知，在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

$ 0 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{f\prime \left( \xi \right)}&{g\prime \left( \xi \right)}\\ a&{f\left( a \right)}&{g\left( a \right)}\\ b&{f\left( b \right)}&{g\left( b \right)} \end{array}} \right| = [af\left( b \right)-bf\left( a \right)]g\prime \left( \xi \right) - [ag\left( b \right)-bg\left( a \right)]f\prime \left( \xi \right)。 $

故

$ \frac{{f\prime \left( \xi \right)}}{{g\prime \left( \xi \right)}} = \frac{{af\left( b \right)-bf\left( a \right)}}{{ag\left( b \right)-bg\left( a \right)}} = \frac{{\frac{{f\left( b \right)}}{b}-\frac{{f\left( a \right)}}{a}}}{{\frac{{g\left( b \right)}}{b} - \frac{{g\left( a \right)}}{a}}}。 $

例3  如果函数f(x) 在闭区间[a, b](ab>0) 上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 那么至少存在一点ξ∈(a, b), 使得$f\left (\xi \right)-\xi f\prime \left (\xi \right) = \frac{{af\left (b \right)-bf\left (a \right)}}{{a-b}} = \frac{{\frac{{f\left (b \right)}}{b}-\frac{{f\left (a \right)}}{a}}}{{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}}$。

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {\frac{1}{x}} & {\frac{{f\left (x \right)}}{x}}\\ 1 & {\frac{1}{a}} & {\frac{{f\left (a \right)}}{a}}\\ 1 & {\frac{1}{b}} & {\frac{{f\left (b \right)}}{b}} \end{array}} \right|$。

显然φ(x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且φ(a)=φ(b)=0，并有

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-\frac{1}{{{x^2}}}}&{\frac{{xf\prime \left( x \right)-f\left( x \right)}}{{{x^2}}}}\\ 1&{\frac{1}{a}}&{\frac{{f\left( a \right)}}{a}}\\ 1&{\frac{1}{b}}&{\frac{{f\left( b \right)}}{b}} \end{array}} \right| = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{{f\left( b \right)}}{b}-\frac{{f\left( a \right)}}{a}} \right) + \frac{{xf\prime \left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{b} - \frac{1}{a}} \right)。 $

根据罗尔中值定理知，在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

$ \frac{1}{{{\xi ^2}}}\left( {\frac{{f\left( b \right)}}{b}-\frac{{f\left( a \right)}}{a}} \right) + \frac{{\xi f\prime \left( \xi \right)-f\left( \xi \right)}}{{{\xi ^2}}}\left( {\frac{1}{b}-\frac{1}{a}} \right) = 0。 $

故

$ f\left( \xi \right)-\xi f\prime \left( \xi \right) = \frac{{\frac{{f\left( b \right)}}{b}-\frac{{f\left( a \right)}}{a}}}{{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}} = \frac{{af\left( b \right) - bf\left( a \right)}}{{a - b}}。 $

例4  如果函数f(x) 在[0, 1]上可导, 且$f (1) = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{2}} {xf (x) dx} $，证明存在一点ξ∈(0, 1), 使得f(ξ)+ξf′(ξ)=0。

证明  根据$f (1) = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{2}} {xf (x) dx} $，由积分中值定理知，存在一点a∈(0, 1)，使得f(1)=af(a)。

构造行列式$\varphi (x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {af (a)}\\ 1 & {f (x)} \end{array}} \right|$，显然φ(x) 在闭区间[0, 1]上可导, 且φ(a)=φ(1)=0。并有

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 1&{f\left( x \right)} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&{af(a)}\\ 0&{f'(x)} \end{array}} \right| = f\left( x \right)-xf\prime \left( x \right)。 $

由罗尔中值定理知，在区间[a, 1]上，至少存在一点ξ∈(a, 1)⊂(0, 1), 使得φ′(ξ)=0，即

$ f\left( \xi \right) + \xi f\prime \left( \xi \right) = 0。 $

例5  如果函数f(x) 在闭区间[1, 2]上连续, 在开区间 (1, 2) 内可导, 且$f (1) = \frac{1}{2}$，f(2)=2，那么至少存在一点ξ∈(1, 2), 使得$f\prime \left (\xi \right) = \frac{{2f\left (\xi \right)}}{\xi }$。

证明  构造行列式$\varphi \left (x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{{x^2}}}} & {\frac{1}{2}}\\ 1 & {f\left (x \right)} \end{array}} \right|$。显然φ(x) 在[1, 2]上连续, 在 (1, 2) 内可导, 且φ(1)=φ(2)=0。并有

$ \varphi \prime \left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {-\frac{2}{{{x^3}}}}&0\\ 1&{f\left( x \right)} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{{x^2}}}}&{\frac{1}{2}}\\ 0&{f\prime \left( x \right)} \end{array}} \right| = \frac{{f\prime \left( x \right)}}{{{x^2}}}-\frac{{2f\left( x \right)}}{{{x^3}}}。 $

根据罗尔中值定理知，至少存在一点ξ∈(1, 2)，使得φ′(ξ)=0，即$\frac{{f\prime \left (\xi \right)}}{{{\xi ^2}}}-\frac{{2f\left (\xi \right)}}{{{\xi ^3}}} = 0$。

故

$ f\prime \left( \xi \right) = \frac{{2f\left( \xi \right)}}{\xi }。 $