众所周知，量子态的等价分类问题研究已经成为量子计算和量子通信领域中的一个重大课题。近年来，在量子态的等价分类问题上，不论是对多体量子态纯态等价的讨论，还是对多体量子态混合态等价的讨论，相比以前都取得了极大进步^[1]。本文在符合量子力学假设前提条件下，针对量子态的局部酉等价(LU等价)有关问题，讨论了满足两个局部酉等价的量子态所对应密度矩阵满足的条件，并且通过向量的n指标矩阵表示的定义给出了量子态的n指标矩阵表示，最后得到了量子态局部酉等价所满足的条件和定理，通过举例证实了结论的正确性。

1 量子态的LU等价

定义1 若两个量子态|ψ〉，|φ〉在局部酉运算下可交换，则称它们是局部酉等价的，即两个量子态是LU (local unitary)等价的。

由定义1可知，对两个LU等价的量子态|ψ〉，|φ〉，有下式成立：

$\left| \psi \right\rangle = {U_1} \otimes {U_2} \otimes \ldots \otimes {U_n}\left| \varphi \right\rangle 。$

其中：U_i(i=1, 2, …, n)是H_i上的酉算子。

若LU等价的两个量子态|ψ〉，|φ〉所对应的量子系统的密度矩阵分别为ρ_ψ, ρ_φ，可通过矩阵知识的简单证明得到如下性质：

(1)ρ_φ=Uρ_ψU⁺(U为酉阵)，且ρ_ψ, ρ_φ的奇异值相同；

(2)ρ_φ=ρ_ψ，且ρ_ψ, ρ_φ的特征值相同；

(3)rρ_φ=rρ_ψ，即ρ_ψ, ρ_φ的秩相同。

我们知道，对于一个封闭的量子系统，它的演化是由一个酉变换来描述的，即系统在时刻t₁的状态ρ₁和时刻t₂的状态ρ₂由一个仅依赖于时间t₁, t₂的酉算子联系：ρ₂=U(t₁, t₂)ρ₁U(t₁, t₂)⁺，即LU等价的量子态也可以看作是一个封闭量子系统演化下不同时刻的态。

需要指出的是，上述性质的逆命题不成立。比如对性质1中的结论(1)：假设有ρ_φ=Uρ_ψU⁺成立，并不能由此说明|ψ〉，|φ〉是LU等价的，这是因为不同量子状态系综可以产生同一个密度矩阵。例如，对于密度矩阵ρ=$\frac{3}{4}$|0〉〈0|+$\frac{1}{4}$|1〉〈1|的量子系统，可以对应以$\frac{3}{4}$的概率处于|0〉，以$\frac{1}{4}$的概率处于|1〉的系统；同时定义两个量子态|a〉=$\sqrt {\frac{3}{4}} $|0〉+$\sqrt {\frac{1}{4}} $|1〉, |b〉=$\sqrt {\frac{3}{4}} $|0〉-$\sqrt {\frac{1}{4}} $|1〉，现在使系统以$\frac{1}{2}$的概率处于|a〉，以$\frac{1}{2}$的概率处于|b〉，可以得到ρ=$\frac{1}{2}$|a〉〈a|+$\frac{1}{2}$|b〉〈b|=$\frac{3}{4}$|0〉〈0|+$\frac{1}{4}$|1〉〈1|。可以看到，这样的两个不同的量子系统所对应的密度矩阵却是相同的。所以，密度矩阵的特征值和特征向量仅表示可能产生密度矩阵的许多系综中的一个^[2]。

定义2 设矩阵A=(a_ij)∈C^I₁×I₂, 定义映射f:A→$\vec A$，其中：$\vec A$=(a₁₁, …, a_1I2, …, a_I11, …, a_I1I2)^T，则f(UV^T)=U⊗V, f(|a〉〈b|)=|a〉|b〉^[3]。

定义2给出了矩阵到向量之间的映射，容易验证对于两体量子态，通过这样的映射，把两个态|a〉和|b〉的外积转换成了|a〉和|b〉的张量积的形式，对于两体量子态的矩阵表示，记为f^-1(|ψ〉)=ψ。

通过上述定义，给出定理：

定理1 两体态|ψ〉，|φ〉LU等价的充分必要条件是它们的矩阵表示具有相同的奇异值。

证明 必要性：设|ψ〉，|φ〉LU等价，则有局部酉算子U⊗V，使|ψ〉=U⊗V|φ〉，故f^-1(|ψ〉)=ψ=UφV^T，即ψ, φ有相同的奇异值。

充分性：设ψ, φ有相同的奇异值，由奇异值分解定理有：ψ=U₁S₁V₁^T, φ=U₂S₂V₂^T, S₁=S₂，则|ψ〉=U₁⊗V₁|S₁〉，因而|S₁〉=(U₁⊗V₁)⁺|ψ〉，且下式成立：

$\begin{array}{l} \left| \varphi \right\rangle = {U_2} \otimes {V_2}\left| {{S_2}} \right\rangle = ({U_2} \otimes {V_2})\left| {{S_1}} \right\rangle \\ \;\;\;\;\; = ({U_2} \otimes {V_2}){({U_1} \otimes {V_1})^ + }\left| \psi \right\rangle = {U_2}{U_1}^ + \otimes {V_2}{V_1}^ + \left| \psi \right\rangle , \end{array}$

即|ψ〉，|φ〉LU等价。

下面通过例题验证LU等价的量子态所符合的条件和性质。

例1 Bell态均是LU等价的^[4]。

证明 Bell态对应的矩阵表示和奇异值分解分别为：

$\begin{array}{l} {\varphi ^ + } = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\left| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right| + \left| 1 \right\rangle \left\langle 1 \right|} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&0\\ 0&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right],\\ {\varphi ^ - } = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\left| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right| - \left| 1 \right\rangle \left\langle 1 \right|} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&0\\ 0&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right],\\ {\psi ^ + } = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\left| 0 \right\rangle \left\langle 1 \right| + \left| 1 \right\rangle \left\langle 0 \right|} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&{ - 1}\\ { - 1}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&0\\ 0&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 1}&0\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right],\\ {\psi ^ - } = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\left| 0 \right\rangle \left\langle 1 \right| - \left| 1 \right\rangle \left\langle 0 \right|} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&0\\ 0&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 1}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]。 \end{array}$

可以看到，Bell态所对应的矩阵表示具有相同的奇异值，由定理1的结论可以得到Bell态均是LU等价的。

例2 设|ψ〉=$\frac{1}{4}$|0000〉+$\frac{{\sqrt 7 }}{4}$|0101〉+$\frac{1}{2}$|1010〉+$\frac{1}{2}$|1111〉，对应的矩阵表示为

$\psi = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{4}}&0&0&0\\ 0&{\frac{{\sqrt 7 }}{4}}&0&0\\ 0&0&{\frac{1}{2}}&0\\ 0&0&0&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right]。$

令

${U_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{e^{i{\theta _1}}}}&0&0&0\\ 0&{{e^{i{\theta _2}}}}&0&0\\ 0&0&{{u_{11}}}&{{u_{12}}}\\ 0&0&{{u_{21}}}&{{u_{22}}} \end{array}} \right],{U_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{e^{ - i{\theta _1}}}}&0&0&0\\ 0&{{e^{ - i{\theta _2}}}}&0&0\\ 0&0&{{u_{11}}^*}&{{u_{12}}^*}\\ 0&0&{{u_{21}}^*}&{{u_{22}}^*} \end{array}} \right]。$

其中：$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{11}}}&{{u_{12}}}\\ {{u_{21}}}&{{u_{22}}} \end{array}} \right]$是酉阵，经计算可以得到U₁⊗U₂|ψ〉=|ψ〉，则U₁⊗U₂称为|ψ〉的局部对称算子。

2 多体量子态的分类

定理2说明了两体态LU等价的充要条件，我们用多维张量积的奇异值分解^[5]来研究多体态的LU等价问题。

定义3 对A∈C^{I₁×I₂×…×I_N}，定义矩阵A_n∈M_{In×(In+1In+2…INI1I2…In-1)}，即对应I_n行I_n+1…I_NI₁…I_n-1列矩阵，其中A_n矩阵中的元素a_i1i2…iN位于A_n的第i_n行第(i_n+1-1)I_n+2…I_NI₁…I_n-1+…+(i_N-1)I₁…I_n-1+(i₁-1)I₂…I_n-1+(i₂-1)I₃…I_n-1+…i_n-1列，称A_n为A的n指标矩阵表示。

例3 设A∈R^3×2×3，其中

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{a_{111}} = {a_{112}} = {a_{211}} = - {a_{212}} = 1,{a_{223}} = {a_{321}} = {a_{323}} = 4,\\ {a_{113}} = {a_{312}} = {a_{123}} = {a_{322}} = 0,{a_{121}} = {a_{122}} = {a_{213}} = {a_{221}} = - {a_{222}} = {a_{311}} = {a_{313}} = 2。 \end{array}$

对应的矩阵表示分别为

$\begin{array}{l} {A_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&1&0&2&2&0\\ 1&{ - 1}&2&2&{ - 2}&4\\ 2&0&2&4&0&4 \end{array}} \right],\\ {A_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&1&2&1&{ - 1}&0&0&2&2\\ 2&2&4&2&{ - 2}&0&0&4&4 \end{array}} \right],\\ {A_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&2&1&2&2&4\\ 1&2&{ - 1}&{ - 2}&0&0\\ 0&0&2&4&2&4 \end{array}} \right]。 \end{array}$

定理2 (多维张量积的奇异值分解定理)设A∈C^{I₁×I₂×…×I_N}，则有下式成立：

$A = {S_{ \times 1}}U_{ \times 2}^{(1)}{U^{(2)}}{ \ldots _{ \times N}}{U^{(N)}}。$

其中：U⁽ⁿ⁾是一个I_n×I_n酉阵，A_×nU为A的n模积，S∈C^{I₁×I₂×…×I_N}且满足以下条件：

(1)〈S_in=α, S_in=β〉=0(α≠β，S_in=α表示固定第n个指标为α)；

(2) ‖S_in=1‖≥‖S_in=2‖≥…≥‖S_in=IN‖≥0, (n=1, 2, …，N)，其中：S称为A的核心张量。

可以看到定理2使用起来比较复杂，通过定义3中的矩阵表示可以给出下面的等价关系式：

${A_n} = {U_n}\cdot{S_n}\cdot{({U_{n + 1}} \otimes {U_{n + 2}} \otimes \ldots {U_N} \otimes {U_1} \otimes \ldots \otimes {U_{n - 1}})^T}。$

由定理2对多体态|ψ〉有下式成立：

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| \psi \right\rangle = { \otimes ^n}_{i = 1}{U_i}S,\\ {\psi _n} = {U_n}\cdot{S_n}\cdot{({U_{n + 1}} \otimes {U_{n + 2}} \otimes \ldots {U_N} \otimes {U_1} \otimes \ldots \otimes {U_{n - 1}})^T}。 \end{array}$

例4设|ψ〉∈C²⊗C²⊗C⁴，其中：ψ₁₁₁=ψ₂₁₂=$\frac{1}{{\sqrt {10} }}$, ψ₁₂₃=ψ₂₂₄=$\frac{2}{{\sqrt {10} }}$，其余元素为0。则

$\begin{array}{l} {\psi _1} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&0&0&0&2&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&2 \end{array}} \right] = I\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2.0248}&0& \cdots &0\\ 0&{2.0248}& \cdots &0 \end{array}} \right]V_1^ + ,\\ {\psi _2} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2&0&0&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.8944}&0& \cdots &0\\ 0&{0.4472}& \cdots &0 \end{array}} \right]V_2^ + ,\\ {\psi _3} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&0&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&0&1&0\\ 0&0&0&{ - 1}\\ 0&{ - 1}&0&0\\ 1&0&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.6325}&0&0&0\\ 0&{0.6325}&0&0\\ 0&0&{0.3162}&0\\ 0&0&0&{0.3162} \end{array}} \right]V_3^ + 。 \end{array}$

故|ψ〉∈C²⊗C²⊗C⁴的核心张量为

$S = {I_{2 \times 2}} \otimes \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right] \otimes {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&0&1&0\\ 0&0&0&{ - 1}\\ 0&{ - 1}&0&0\\ 1&0&0&0 \end{array}} \right]^T}\psi 。$

引理1 若|ψ〉=⊗_nU_n|S〉且|ψ〉=⊗_nV_n|S'〉，则|S'〉=⊗_nQ_n⁺|S〉，其中：Q_n具有例2中U₁，U₂的形式，即Q_n是与|ψ〉的n指标矩阵表示的奇异值结构一致的分块对角酉阵。

证明 因为|ψ〉=⊗_nU_n|S〉，由向量的n指标矩阵表示定义知有下式成立：

${\psi _n} = {U_n}\cdot{S_n}\cdot{({U_{n + 1}} \otimes {U_{n + 2}} \otimes \ldots {U_N} \otimes {U_1} \otimes \ldots \otimes {U_{n - 1}})^T}。$

又由于|ψ〉=⊗_nV_n|S'〉，有下式成立：

${\psi _n} = {V_n} \cdot {S_n}' \cdot {({V_{n + 1}} \otimes {V_{n + 2}} \otimes \ldots {V_N} \otimes {V_1} \otimes \ldots \otimes {V_{n - 1}})^T}。$

由奇异值的唯一性，S_n=S'_n，所以下式成立：

$\begin{array}{l} {S_n} = {S_n}' = {V^ + }_n{U_n}{S_n}{({U_{n + 1}} \otimes {U_{n + 2}} \otimes \ldots {U_N} \otimes {U_1} \otimes \ldots \otimes {U_{n - 1}})^T}\left( {\left( {{V_{n + 1}} \otimes {V_{n + 2}} \otimes \ldots {V_N} \otimes } \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{V_1} \otimes \ldots \otimes V\left. {_{n - 1}} \right){\left. {^T} \right)^ + }。 \end{array}$

记M=(U_n+1⊗U_n+2⊗…U_N⊗U₁⊗…⊗U_n-1)^T((V_n+1⊗V_n+2⊗…V_N⊗V₁⊗…⊗V_n-1)^T)⁺。当ψ_n的奇异值不同时，令V_n⁺U_n=diag (e^-iθ₁, …, e^-iθ_In)，M=diag (e^iθ₁, …, e^iθ_In, A)，A为酉阵，可以通过计算说明S_n=S'_n成立；当ψ_n的奇异值有相同的时，令V_n⁺U_n=diag (e^-iθ₁, …, e^-iθ_Ik, A₁, …，A_m)，M=diag (e^iθ₁, …, e^iθ_Ik, A₁⁺, …，A_m⁺, B)，A_i, B为酉阵，通过计算说明S_n=S'_n仍然成立。

故有下式成立：

$\left| {S'} \right\rangle = { \otimes _n}{V^ + }_n{U_n}\left| S \right\rangle = { \otimes _n}{Q_n}^ + \left| S \right\rangle 。$

其中：Q_n⁺=V_n⁺U_n。

定理3 |ψ〉，|φ〉LU等价的充分必要条件是|S'〉=⊗_nQ_n⁺|S〉，|S〉, |S'〉分别是|ψ〉, |φ〉的核心张量，⊗_nQ_n具有引理1的形式。

证明 必要性：设|ψ〉，|φ〉LU等价，则有局部酉算子U_n使得|φ〉=⊗_nU_n|ψ〉，分别对|ψ〉, |φ〉进行多维张量的奇异值分解，则存在局部酉算子W_n, V_n使得下式成立：

$\left| \psi \right\rangle = { \otimes _n}{W_n}\left| S \right\rangle ,\left| \psi \right\rangle = { \otimes _n}{V_n}\left| {S'} \right\rangle 。$

由条件知|ψ〉=⊗_nU_n⁺|φ〉=(⊗_nU_n⁺)(⊗_nV_n)|S'〉，由引理1得|S'〉=⊗_nQ_n⁺|S〉。

充分性：设|S'〉=⊗_nQ_n⁺|S〉，对|ψ〉, |φ〉进行多维张量的奇异值分解得：

$\begin{array}{l} \left| \psi \right\rangle = { \otimes _n}{W_n}\left| S \right\rangle = ({ \otimes _n}{W_n})({ \otimes _n}{P_n})\left| {S'} \right\rangle ,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| \varphi \right\rangle = { \otimes _n}{V_n}\left| {S'} \right\rangle 。 \end{array}$

则有下式成立：

$\left| \psi \right\rangle = { \otimes _n}{W_n}\left| S \right\rangle = ({ \otimes _n}{W_n}{P_n}{V^ + }_n)\left| \varphi \right\rangle = {U^ + }_n\left| \varphi \right\rangle 。$

即|φ〉=⊗_nU_n|ψ〉。

3 结语

本文主要讨论了量子态的LU等价问题，通过量子系统的密度矩阵和量子态的矩阵表示方法，得出了两个态LU等价所满足的条件和定理，证明了两个态LU等价的充要条件是它们的核心张量相同或仅相差具有特定结构的算子。