0、引言

1988年,Goetschel和Voxman提出了模糊拟阵理论。 此后, 他们定义了模糊拟阵的秩函数、模糊拟阵的基和极小圈等概念, 研究了模糊拟阵的对偶、和与积等结构, 得到了模糊拟阵的贪心算法等许多深刻的性质^[1-4], 从而初步建立了模糊拟阵的理论体系。 我国学者也在模糊拟阵方面有深入研究^[5-10]。我们知道, 在一般的矩阵理论和拟阵理论研究中, 基及其性质对刻画矩阵和拟阵有十分重要的作用, 并且矩阵和拟阵的许多基础性质也都是由基来刻画的, 另外拟阵也可以用基集来等价地定义。 在模糊拟阵的研究过程中, 闭正则模糊拟阵是一类很重要的模糊拟阵, 有着非常好的性质, 如任意闭正则模糊拟阵的基的基数相等, 并且用闭正则模糊拟阵来刻画贪心算法。 本文结合文献^[7]得到了闭正则模糊拟阵的一类基交换性质, 得到了闭正则模糊拟阵的基交换性质的若干刻画。 研究了闭正则模糊拟阵的基有序性质, 并举例说明了闭正则模糊拟阵基交换性质。 这些结果丰富了模糊拟阵的性质。

1、预备知识

定义1^[11] 设E是有限集, I为E的非空子集族, 它满足如下条件：

(1) A∈I且B⊆A,则B∈I,

(2) A,B∈I且|A|＜ ｜B｜(｜A｜表示A的势), 则有C∈I使得A⊂C⊆A∪B,

则称偶对M=(E,I)为E上的一个拟阵, I中的元素称为M的独立集, M的极大独立集称为M的基, M的所有基的集合记为β(M)。

设E是有限集,μ:E→[0,1]是一映射,则称μ为E上的一个模糊集。 用F(E)表示E上的所有模糊集组成的集族。

对于任意的μ,ν∈F(E),记suppμ=x∈E|μ(x)>0},m (μ) = inf{μ(x)|x∈suppμ},C_r(μ)=x∈E|μ(x)≥r}(r∈(0,1］); 记$\left| \mu \right|=\sum\limits_{x\in E}{\mu \left( x \right)}$, 称μ为μ的势。 ∀A⊆E,r∈(0,1］, 称ω(A,r)为A上值为r的初等模糊集^[5]。 我们将不区分A与其特征函数χ_A。 E上一个尖S_e^λ是一个支撑集为{e}、高度为λ的模糊集。 μ\ν定义为

$\mu \backslash \nu \left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \mu \left( x \right), & x\in supp\mu -supp\nu \\ 0, & x\in supp\nu \\ \end{matrix} \right.$

定义2^[1] 设E是有限集, ⊆F(E)为E上的非空模糊子集族, 它满足如下条件：

(1) ∀μ∈,ν∈F(E), 若ν＜μ,则ν∈,

(2) ∀μ,ν∈,若 | suppμ＜ |suppν,则存在η∈, 使得:

$\begin{align} & \left( a \right)\mu ＜\eta \le \mu v, \\ & \left( b \right)\text{ }m\left( \eta \right)\ge minm\left( \mu \right),m\left( \nu \right), \\ \end{align}$

则称偶对M=(E,)为E上的一个模糊拟阵, M中的元素称为M的模糊独立集, M的极大模糊独立集称为M的模糊基, M的所有模糊基的集合记为β(M)。

设M=(E,)是一个模糊拟阵,∀r∈(0,1］, 令I_r={C_r(μ)|μ∈},则M_r=(E,I_r)是一个拟阵, 称为M=(E,)的诱导拟阵。 由E的有限性知E上只有有限个不同的拟阵。S_e^λ是M^*的反环当且仅当S_e^λ≤∧μ, 其中μ为M^*的任一基(M^*为M的对偶拟阵)。

定理1 设M=(E,)是一个模糊拟阵,则有有限序列 0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1, 使得:

(1) 当0＜s≤r_n时,I_s≠∅; 当s>r_n时,I_s=∅,

(2) ∀s,t∈(r_i－1,r_i］, 有 I_s=I_t (i=1,2,…,n),

(3) 若0≤s≤t≤1, 则I_t⊆I_s,

(4) 若r_i－1＜s＜r_i＜t＜r_i+1 (i=1,2,…,n－1) , 则I_t⊂I_s,

称0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为M=(E,)的基本列。 若∀i∈{1,2,…,n},有I_r=I_ri,则称M为闭模糊拟阵。 若∀s,t∈(0,1］,r＜s, 并且对于M_r=(E,I_r)的任何基A,都有M_s=(E,I_s)的基B,使B⊆A,则称M=(E,)是正则模糊拟阵。

本文沿用文献^{[1-4, 7]}的术语和记号,未加说明或定义的概念,请参阅文献^{[1-4, 7]}。

2、闭正则模糊拟阵的基交换性质

基交换性质是拟阵理论中很重要的性质之一, 许多深刻的结论都由基交换性质得到。 在模糊拟阵的研究中,关于闭正则模糊拟阵,有如下的基交换定理。

定理2^[7] 设M=(E,)为闭正则模糊拟阵,基本列为0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1, μ₁,μ₂为M两个不同的基, 对所有的x∈(suppμ₁- suppμ₂),存在y∈(suppμ₂- suppμ₁)使得(μ₁\x)S_y^λ∈β(其中β为(E,)的基的集合, λ∈｛r₁,r₂,…, r_n｝)。

定义3 设M=(E,)为闭正则模糊拟阵,μ为M的基, ξ,ξ′为两个模糊集。 若ξ≤μ且(μ\ζ)∨ξ′为M的基, 则称序对ξ,ξ′为一个μ-交换。

定理3 设M=(E,)是一闭正则模糊拟阵,ξ,ξ′为一个μ-交换, 则对于任意一个尖S_x^λ∈ξ, 存在S_y^λ∈ξ′, 使得S_x^λ,S_y^λ为一个μ-交换。

证明 由假设μ,(μ\ζ)∨ξ′为(E,)的两个基,则对于任意尖S_x^λ∈μ,(λ∈(0,1］, x∈E),存在S_y^λ∈(μ\ζ)∨ξ′使得S_x^λ,S_y^λ为一个μ-交换,并且由于μ\ξ≤μ\S_x^λ, 因此S_y^λ∉μ\ξ, 故S_y^λ∈ξ′。

定义4 设M=(E,)为闭正则模糊拟阵,μ为M的基。 若ξ_i,ξ′_i(i=1,2,…, m)为模糊集且M的基由μ₀=μ, μ_i=(μ_i－1\ξ_i)∨ξ′_i且ξ_i≤μ_i－1组成, 则称ξ_i,ξ′_i(i=1,2,…, m)为系列μ-交换。

定理4 设M=(E,)是一闭正则模糊拟阵,S_x^λ,S_x′^λ,S_y^λ为(E,)中的尖,其中S_x^λ,S_x′^λ为一个μ-交换,S_y^λ,S_x′^λ不是一个μ-交换。 对于任意一个尖S_y′^λ,序列S_x^λ,S_x′^λ, S_y^λ, S_y′^λ为系列μ-交换当且仅当S_y^λ,S_y′^λ为一个μ-交换。

证明 设S_x^λ,S_x′^λ, S_y^λ, S_y′^λ为系列μ-交换,故S_x^λ∨S_y^λ,S_x′^λ∨S_y′^λ为μ-交换,由定理3,存在S_z^λ∈S_x′^λ∨S_y′^λ使得S_z^λ,S_y^λ为μ-交换,由于S_y^λ,S_x′^λ不是一个μ-交换,所以S_z^λ≠S_x′^λ。 故S_z^λ=S_y′^λ,即S_y^λ,S_y′^λ是一个μ-交换。

反过来,若S_y^λ,S_y′^λ为一个μ-交换,由已知S_x^λ,S_x′^λ为一个μ-交换,由定义4, 有S_x^λ,S_x′^λ, S_y^λ, S_y′^λ为系列μ-交换。

推论1 设M=(E,)是一闭正则模糊拟阵,μ,μ′为M的基, ξ,ξ′为两个模糊集。设ξ,ξ′为μ-交换, ξ′,ξ为μ′-交换, 则ξ,ξ′可表示为

$\begin{array}{*{35}{l}} \xi ={{S}_{{{a}_{1}}^{{{\lambda }_{1}}}}}\vee {{S}_{{{a}_{2}}^{{{\lambda }_{2}}}}}\vee \ldots \vee {{S}_{{{a}_{n}}^{{{\lambda }_{n}}}}}, \\ \xi \prime ={{S}_{{{b}_{1}}^{{{\lambda }_{1}}}}}\vee {{S}_{{{b}_{2}}^{{{\lambda }_{2}}}}}\vee \ldots \vee {{S}_{{{b}_{n}}^{{{\lambda }_{n}}}}} \\ \end{array}。$

其中：S_ai^λi, S_bi^λi为系列μ-交换, S_bi^λi, S_ai^λi为系列μ′-交换(λ_i={r₁,r₂,…,r_n})。

例1 设E={a,b,c},以及I_{$\frac{1}{2}$}={∅,{a},{b},{c},{a,c},{b,c}},I₁={∅,{a},{c}}。易知I₁⊆I_{$\frac{1}{2}$}。

令

${{I}_{r}}=\left\{ \begin{matrix} {{I}_{\frac{1}{2}}}, & r\in (0,\frac{1}{2}], \\ {{I}_{1}}, & r\in (\frac{1}{2},1] \\ \end{matrix} \right.$

以及=μ∈F(E)|C_r(μ)∈I_r,r∈(0,1］。

由文献^[4]定理 2.4,(E,)是一个模糊拟阵。

由的定义知(E,)的基为

$\begin{align} & \mu \left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1, & x=a, \\ 0, & 0, \\ \frac{1}{2}, & x=c \\ \end{array} \right.\text{ }v\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0, & x=a, \\ \frac{1}{2}, & \frac{1}{2}, \\ 1, & x=c \\ \end{array} \right. \\ & \lambda \left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2}, & x=a, \\ 0, & x=b, \\ 1, & x=c \\ \end{array} \right. \\ \end{align}$

由定理易知{μ,v,λ}为(E,)的基集族, (E,)的基本列为0＜$\frac{1}{2}$＜1。

由于(E,)是闭的且所有基的基数相等,所以(E,)是闭正则模糊拟阵。 对于(E,)中任意的基μ, (E,)都满足μ-交换。

3、闭正则模糊拟阵的基有序性质

基有序性质是拟阵理论中一个很有趣的性质,不是所有的拟阵都满足基有序性质^[12-13]。 以下在闭正则模糊拟阵中研究基有序性质。

定义5 设M=(E,)是一闭正则模糊拟阵。 ∀μ₁,μ₂∈β,有π:μ₁→μ₂, 使得对任意的S_e^λ∈μ₁, 有(μ₁\\π(e))∨S_π(e)^λ与(μ₂\\π(e))∨S_e^λ都为M的基, 则称M是基有序的。

定理5 设M=(E,)是一基有序的闭正则模糊拟阵,T⊂E。 若M|_T=(E,｜_r)是闭正则模糊拟阵, 则M|_T是基有序的。

证明 设ξ,ξ′为M|_T的两个基, 则存在M的两个基μ,μ′使得μ｜_T=ξ,μ′｜_T=ξ′, 由M是基有序的, 则存在π:μ→μ′为μ与μ′的交换序。显然π｜_T:ξ→ξ′为π在T上的约束, 当然也是ξ, ξ′的一个交换序。 故M|_T是基有序的。

定理6 设M=(E,)是一闭正则模糊拟阵, M^*=(E,^*)为其对偶模糊拟阵。 若M是基有序的, 则对偶模糊拟阵M^*是基有序的。

证明 由于(E,)是闭正则模糊拟阵, 其对偶模糊拟阵M^*=(E,^*)为闭正则的。设μ₁,μ₂是M^*的两个不同的基, 则μ₁^*,μ₂^*为M的两个基。 由于M是基有序的, 故存在一个交换序π:μ₁^*→μ₂^*。定义π^*:μ₁→μ₂如下：

${{\pi }^{*}}\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} {{\pi }^{-1}}\left( x \right), & x\in supp{{\mu }_{1}}\backslash supp{{\mu }_{2}}, \\ x, & x\in supp{{\mu }_{1}}\cap supp{{\mu }_{2}}, \\ \end{matrix} \right.$

则π^*是μ₁,μ₂的一个交换序。

定理7 设M₁=(E,₁)与M₂=(E,₂)是闭正则模糊拟阵,若M₁ ,M₂是基有序的, 则M₁与M₂ 的并是基有序的。

证明 (分两种情况证明) 设M是M₁与M₂ 的并。

(1) 若M没有反环

∀μ, μ′∈β,存在μ_i, μ′_i∈β_i(i=1,2) ,使得μ=μ₁∨μ′₁,μ′=μ₂∨μ′₂且μ₁∧μ₂=0,μ₁′∧μ₂′=0。由于M₁与M₂都是闭正则模糊拟阵,且都是基有序的,由定义,存在π₁:μ₁→μ₁′为μ₁, μ′₁的交换序,π₂:μ₂→μ₂′为μ₂, μ′₂的交换序,令

$\pi \left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\pi }_{1}}\left( x \right),\text{ }x\in {{\mu }_{1}}\prime , \\ {{\pi }_{2}}\left( x \right),\text{ }x\in {{\mu }_{2}}, \\ \end{array} \right.$

则π:μ₁∨μ₂→μ′₁∨μ₂′为μ, μ′的交换序。

(2) 若M有反环

设ξ=S_a1^λ1∨S_a2^λ2∨…∨S_an^λn为M中所有反环的并,令T=E\{a₁,a₂,…,a_n},则M|_T= M₁|_T ∨ M₂|_T,由于M₁|_T 与 M₂|_T 都是闭正则模糊拟阵, 并且M|_T无反环,由定理6 知M|_T是基有序的。 设μ₁,μ₂是M的两个基,则存在M|_T的两个基μ₁′,μ₂′使得μ₁=μ′₁∨ξ,μ₂=μ′₂∨ξ。 由于M|_T是基有序的,存在交换序π′:μ′₁→μ₂′。定义π:μ₁→μ₂如下：

$\pi \left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \pi \prime \left( x \right),\text{ }x\in {{\mu }_{1}}\prime , \\ x,\text{ }x\in \xi , \\ \end{array} \right.$

则易知π是μ₁,μ₂的一个交换序。

以下给出基交换性质的一个例子。

例2 设E={a,b,c,d},Β_{$\frac{1}{2}$}={{a,b,c},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,d}}, Β₁={{a},{b},{c}}。 令

${{B}_{r}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{B}_{\frac{1}{2}}},r\in (0,\frac{1}{2}], \\ {{B}_{1}},r\in (\frac{1}{2},1] \\ \end{array} \right.$

以及 Β=μ∈F(E)|C_r(μ)∈Β_r,r∈(0,1］, 有

$\begin{align} & {{\mu }_{1}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1,x=a, \\ \frac{1}{2},x=b, \\ \frac{1}{2},x=c, \\ 0,x=d \\ \end{array}{{\mu }_{2}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1,x=a, \\ 0,x=b, \\ \frac{1}{2},x=c, \\ \frac{1}{2},x=d \\ \end{array} \right. \right.{{\mu }_{3}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1,x=a, \\ \frac{1}{2},x=b, \\ 0,x=c, \\ \frac{1}{2},x=d \\ \end{array} \right. \\ & {{\mu }_{4}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0,x=a, \\ 1,x=b, \\ \frac{1}{2},x=c, \\ \frac{1}{2},x=d \\ \end{array}{{\mu }_{5}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2},x=a, \\ 1,x=b, \\ 0,x=c, \\ 12,x=d \\ \end{array} \right. \right.{{\mu }_{6}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2},x=a, \\ 1,x=b, \\ \frac{1}{2},x=c, \\ 0,x=d \\ \end{array} \right. \\ & {{\mu }_{7}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0,x=a, \\ \frac{1}{2},x=b, \\ 1,x=c, \\ \frac{1}{2},x=d \\ \end{array} \right.{{\mu }_{8}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2},x=a, \\ \frac{1}{2},x=b, \\ 1,x=c, \\ 0,x=d \\ \end{array}{{\mu }_{9}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2},x=a, \\ 0,x=b, \\ 1,x=c, \\ \frac{1}{2},x=d \\ \end{array} \right. \right. \\ & {{\mu }_{10}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0,x=a, \\ \frac{1}{2},x=b, \\ \frac{1}{2},x=c, \\ 1,x=d \\ \end{array}{{\mu }_{11}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2},x=a, \\ \frac{1}{2},x=b, \\ 0,x=c, \\ 1,x=d \\ \end{array}{{\mu }_{12}}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2},x=a, \\ 0,x=b, \\ \frac{1}{2},x=c, \\ 1,x=d \\ \end{array} \right. \right. \right. \\ \end{align}$

令=↓Β={μ∈F(E)|μ≤ν, ν∈Β}。 容易验证,Β={μ_i|i=1,2,…,12}为(E,)中的基集族,故(E,)为模糊拟阵。 又∀μ_i∈Β,|μ_i|=|μ_j|(i≠j), 故(E,)为闭正则模糊拟阵。容易验证(E,)是满足μ_i-交换的(i=1,2,…, m)。 由定理7, 其对偶拟阵也是基有序的。

注1 基有序性质是拟阵理论中一类基交换性质。 但是满足基有序性质的拟阵要求比较苛刻,许多拟阵并不满足基有序性质。 在闭正则模糊拟阵中,我们研究了闭正则模糊拟阵的一类子拟阵,对偶拟阵和两个基有序模糊拟阵的和是基有序的。 之所以能够得到这样好的结果,关键在于模糊拟阵的闭正则性。

注2 在闭正则模糊拟阵中,基有序拟阵的子拟阵未必是基有序的,因为一个闭正则模糊拟阵的子拟阵未必是闭正则的,而一般的模糊拟阵可能没有基,更谈不上基有序性质。