确界概念是关于实数完备性的基本概念，在数学分析中有着广泛的应用^[1-3]。但是确界概念和直观理解之间仍然缺乏有效的联系，为此我们针对概念的几种等价形式进行讨论，有助于对概念的直观理解和应用^[4]，并且沟通其与现在相当广泛的偏序集上确界概念的联系和共性。我们按照概念的层次重新给出确界及其相关概念的定义，这些有助于我们把数学分析和高等数学中的有关界的概念统一起来。

1 实数集上确界的概念

有关实数、极限的概念及其性质等这里不再一一叙述，相关的概念可以参阅文献^[1-2]。我们直接在实数集上建立界和确界的相关概念。先看实数集上界的定义。

定义1 设S是非空实数集，M，L是实数，

(1) 若S中所有的元素都小于或等于M，即∀x∈S，x≤M，则称M是S的上界；

(2) 若S中所有的元素都大于或等于L，即∀x∈S，x≥L，则称L是S的下界；

(3) 若S中有元素大于M，即∃x∈S，x>M，则称M不是S的上界；

(4) 若S中有元素小于L，即∃x∈S，x<L，则称L不是S的下界。

显然，上界和不是上界的概念是对立的并且是排中的，下界和不是下界的概念也是对立的并且是排中的。上界和下界统称为界。接下来我们给出实数集有界的概念。

定义2 设S是非空实数集，

(1) 若存在实数M是S的上界，即∃M∈R满足：∀x∈S，x≤M，则称S有上界；

(2) 若存在实数L是S的下界，即∃L∈R满足：∀x∈S，x≥L，则称S有下界；

(3) 若任何实数都不是S的上界，即对∀M，∃x∈S，x>M，则称S无上界；

(4) 若任何实数都不是S的下界，即对∀L，∃x∈S，x<L，则称S无下界；

(5) 若S既有上界且有下界，则称S有界，或称S是有界集；S有界的条件还有另外一种常用的等价说法：存在正实数是S的界，即∃M∈R⁺满足：∀x∈S，|x|≤M；

(6) 若S无上界或者无下界，则称S无界。

从实数集S有上界的定义可以看出，若实数集S有上界，则S有无限多个上界；若实数集S有下界，则S有无限多个下界。并且有如下引理：

引理1^[1] 设S是非空实数集，若S有上界，则S有最小上界；若S有下界，则S有最大下界。

我们把S的最小上界称为S的上确界，把S的最大下界称为S的下确界。

定义3 设S是非空实数集，

(1) 若实数ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)若M是S的上界，则ξ≤M，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2) 若实数η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)若L是S的下界，则L≤η，则称η是S的下确界，记作η=infS；

(3) 若S无上界，则称S的上确界是+∞，记作supS=+∞；

(4) 若S无下界，则称S的下确界是-∞，记作infS=-∞。

定义3′ 设S是非空实数集，

(1) 若实数ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)若M<ξ，则存在x∈S使得x>M，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2) 若实数η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)若L>η，则存在x∈S使得x<L，则称η是S的下确界，记作η=infS；

(3) 若S无上界，则称S的上确界是+∞，记作supS=+∞；

(4) 若S无下界，则称S的下确界是-∞，记作infS=-∞。

在应用中，常常把定义中的M写成ξ-ε，把定义中L写成η+ε，其中ε表示任何一个正数，常常理解为任意小的一个正数，可以对ε作适当限定。这样使得定义更加直观，因而也把定义写成如下形式。

定义3″ 设S是非空实数集，

(1) 若实数ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)∀ε>0，存在x∈S使得x>ξ-ε，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2) 若实数η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)∀ε>0，存在x∈S使得x<η+ε，则称η是S的下确界，记作η=infS；

(3) 若S无上界，则称S的上确界是+∞，记作supS=+∞；

(4) 若S无下界，则称S的下确界是-∞，记作infS=-∞。

定义3° 设S是非空实数集，

(1) 若实数ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)存在数列{x_n}⊂S，使得$\underset{n\to \infty }{\mathop \lim {{x}_{n}}}\,=\xi $，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2) 若实数η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)存在数列{x_n}⊂S，使得$\underset{n\to \infty }{\mathop \lim {{x}_{n}}}\,=\eta $，则称η是S的下确界，记作η=infS；

(3) 若存在数列{x_n}⊂S，使得$\underset{n\to \infty }{\mathop \lim {{x}_{n}}}\,=+\infty $，则称S的上确界是+∞，记作supS=+∞；

(4) 若存在数列{x_n}⊂S，使得$\underset{n\to \infty }{\mathop \lim {{x}_{n}}}\,=-\infty $，则称S的下确界是-∞，记作infS=-∞。

上确界和下确界统称为确界。我们对上述4个定义中关于上确界定义的第二个条件之间的关系进行讨论。在定义3和定义3′之间，因为有“若M是S的上界，则ξ≤M”等价于逆否命题“若M<ξ，则M不是S的上界”，再由不是上界的概念等价于“若M<ξ，则存在x∈S使得x>M”，这就说明了定义3和定义3′的上确界的定义第二条是等价的，因而定义3和定义3′的上确界的定义是等价的。又由于任意小于ξ的实数M，总可以写成ξ减去某个正数ε，而ξ减去任意正数ε总可以用小于ξ的正数M来表示，所以定义3′和定义3″的上确界定义中第二条也是等价的，因而定义3′和定义3″中上确界的两个定义是等价的。只要把定义3″中的ε看成数列定义中的任意正数ε，定义3″和定义3°的上确界中关于上确界的第二条等价是显然的，因而定义3″和定义3°的上确界的定义是等价的，所以关于上确界的4个定义是等价的。同样可以证明下确界的4个定义是等价的。这就完成了4个定义等价的证明。应用中可选择4个定义之一直接引用。

关于确界的存在和有界的等价问题，在一般的高等数学和数学分析教材中都有引理1，我们不再论证，对于确界的概念首先遇到的是和最值概念之间的关系，而确界和最值的区别是其是否属于集合。

定理1 设S为非空集，则

(1) supS=ξ∈S⇔ξ=maxS；

(2) infS=η∈S⇔η=minS。

由确界的概念与极限的概念的独立性可知，可以用其中一个概念去计算另外一个概念，给确界的判定和确界概念的应用带来极大方便。而定义3是直观性和数学本质之间联系的桥梁，也给我们把确界的概念推广到一般的偏序集上带来了方便。

例如，对于区间(0,1)用定义3〞比较方便，而对于$S=\left\{ x\left| x \right.=1-\frac{1}{{{2}^{n}}},n\in {{N}^{+}} \right\}$等则用定义3°更方便。

2 实数集上确界的性质

由于极限的运算法则和确界的概念是独立的，利用确界和极限的关系，应用极限的四则运算和不等式的性质容易得到以下结论：

定理2 设A，B为非空集，若∀x∈A和∀y∈B有x≤y，则supA≤infB。

推论1 设A，B为非空集，且S=A∩B非空，则

(1) supS≥max{supA,supB}；

(2) infS≤min{infA,infB}。

定理3 设A，B为非空集，S=A∪B，则

(1) supS=max{supA,supB}；

(2) infS=min{infA,infB}。

定理4 令S^-={x-x‌∈S}，则

(1) supS^-=-infS；

(2) infS^-=-supS。

定理5 设A，B为非空集，A+B={z‌z=x+y,x∈A,y∈B}，则

(1) sup(A+B)=supA+supB；

(2) inf(A+B)=infA+infB。

定理6 设A，B为由正数构成的两个非空集，A·B={z‌z=x·y,x∈A,y∈B}，则

(1) sup(A·B)=supA·supB；

(2) inf(A·B)=infA·infB。

3 函数的确界及其应用

对于函数y=f(P)，P∈D，类似可定义上确界为$\underset{P\in D}{\mathop \sup f}\,(P)$，下确界为$\underset{P\in D}{\mathop \inf f}\,(P)$。在不引起混淆的情况下，我们也可以分别记为supf(P)和inff(P)，相应的确界的性质依然成立。结合定理1，比较函数在极值点、边界点和无穷远处的极限，我们就可以得到函数的确界，进而得到函数的最值。文献^[4]对于一般定义域上，函数在边界或无穷远处有相同极限时给出了下述的结论,这些正是这种比较方法中常见的两种有用的情形：

定理7 设函数y=f(P)，P∈D，在D内有有限个极值点f(P₁)，f(P₂)，…，f(P_n)，边界点有相同的极限ξ，或无穷远处有相同的极限η，则

(1) supf(P)=max{f(P₁),f(P₂),…,f(P_n),ξ,η}；

(2) inff(P)=min{f(P₁),f(P₂),…,f(P_n),ξ,η}。

例1 证明圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小。

证明 设圆的半径为α，三切点处的半径两两夹角分别为α,β,γ=2π-α-β，则得到三角形的面积为$S={{\alpha }^{2}}\left( \tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \frac{\gamma }{2} \right)={{\alpha }^{2}}\left( \tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \left( \pi -\frac{\alpha +\beta }{2} \right) \right)$，其中0<α,β<π，0<2π-α-β<π，求得稳定点α=β=2π3，和边界处比较$\underset{\alpha \to {{0}^{+}}}{\mathop \lim S}\,(\alpha ,\beta ,\gamma )=+\infty ,\underset{\beta \to {{0}^{+}}}{\mathop \lim S}\,(\alpha ,\beta ,\gamma )=+\infty ,\underset{\gamma \to {{0}^{+}}}{\mathop \lim S}\,(\alpha ,\beta ,\gamma )=+\infty $，得到外切面积最小值为$S\left( \frac{2\pi }{3},\frac{2\pi }{3} \right)=\sqrt{3}{{\alpha }^{2}}$，为正三角形。

例2 (均值不等式)求函数f(x₁,x₂,…,x_n)=x₁x₂…x_n在条件x₁+x₂+…+x_n=α下的最大值，其中x_k>0(k=1,2,…,n)，并证明$\sqrt[n]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}\cdots {{x}_{n}}}\le \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}}{n}$，且等号当且仅当x₁=x₂=…=x_n时成立。

证明  求得稳定点${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\cdots ={{x}_{n}}=\frac{\alpha }{n}$，比较稳定点$f\left( \frac{\alpha }{n},\frac{\alpha }{n},\cdots \frac{\alpha }{n} \right)={{\left( \frac{\alpha }{n} \right)}^{n}}$和边界处值$\underset{xk\to {{0}^{+}}}{\mathop \lim }\,f({{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}})=0,(k=1,2,\cdots ,n)$，，得到最大值$f\left( \frac{\alpha }{n},\frac{\alpha }{n},\cdots \frac{\alpha }{n} \right)={{\left( \frac{\alpha }{n} \right)}^{n}}$，无最小值；所以${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}}\le {{\left( \frac{\alpha }{n} \right)}^{n}}$即$\sqrt[n]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}\cdots {{x}_{n}}}\le \frac{\alpha }{n}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}}{n}$，由最大值点的唯一性知道等号仅在${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\cdots ={{x}_{n}}=\frac{\alpha }{n}$时成立。

例3 求f(x,y,z)=xyz在条件$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(0<x,y,z,r)$下的最小值，并证明不等式$3{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{-1}}\le \sqrt[3]{abc}$，其中a>0,b>0,c>0。

解 讨论稳定点x=y=z=3r和无穷远处$\underset{p\to \infty }{\mathop \lim }\,(x,y,z)=+\infty $，得到最小值f(3r,3r,3r)=27r³，无最大值。

把x=a,y=b,z=c带入$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$，和xyz≥27r³得到$abc\ge {{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{-3}}$，即有$3{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{-1}}\le \sqrt[3]{abc}$。

例4 (水箱设计问题)要设计一个容积为V的长方体开口水箱，试问水箱的长宽高各等于多少时，其表面积最小?

解 设水箱的长宽高分别为x,y,z，则问题变为在条件xyz=V和x,y,z>0下的函数S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy的最值问题，求得稳定点$x=y=2z=\sqrt[3]{2V}$，比较稳定点$S\left( \sqrt[3]{2V},\sqrt[3]{2V},\frac{1}{2}\sqrt[3]{2V} \right)$和边界处$\underset{x\to \infty }{\mathop \lim }\,(x,y,z)=+\infty ,\underset{y\to \infty }{\mathop \lim }\,(x,y,z)=+\infty ,\underset{z\to \infty }{\mathop \lim }\,(x,y,z)=+\infty $，得到最小值$S\left( \sqrt[3]{2V},\sqrt[3]{2V},\frac{1}{2}\sqrt[3]{2V} \right)$，无最大值。

4 有序集上的确界

在一般的偏序集上，我们同样可以定义界和确界的相关概念。例如有界的定义如下^[3]，其他的概念有类似的定义。

定义4 设(P,≤)为偏序集，S⊂P是非空集，M,L∈P，

(1) 若S中所有的元素都小于或等于M，即∀x∈S，x≤M，则称M是S的上界；

(2) 若S中所有的元素都大于或等于L，即∀x∈S，x≥L，则称L是S的下界；

(3) 若S中有元素大于M，即∃x∈S，有x>M，则称M不是S的上界；

(4) 若S中有元素大L，即∃x∈S，有x<L，则称L不是S的下界。

我们把定义3直接推广到偏序集上，这样就得到更一般的偏序集上确界的定义，这样的定义本质上是代数形式的定义。

定义5 设(P,≤)为偏序集，S⊂P是非空集，ξ,η∈P，

(1) 若ξ满足两条：i)∀x∈S，x≤ξ；ii)若M是S的上界，则ξ≤M，则称ξ是S的上确界，记作ξ=supS；

(2) 若η满足两条：i)∀x∈S，x≥η；ii)若L是S的下界，则L≤η，则称η是S的下确界，记作η=infS。

5 结语

确界是数学中应用非常广泛的概念之一，我们还可以得到更强条件下确界的判定条件。但是作为等价形式把这个概念建立成统一的形式有着积极的意义，其他学科上的确界概念都是偏序集上确界概念的应用，我们把实数集的确界概念也归入这个形式，并且深化了它的应用。