武汉大学学报(工学版)   2016, Vol. 49 Issue (4): 481-486

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张平, 夏军, 邹磊, 黄金凤
HANG Ping, XIA Jun, ZOU Lei, HUANG Jinfeng
基于物理水文模型的不确定性分析
Uncertainty analysis of geological models based on physical hydrological model
武汉大学学报(工学版), 2016, 49(4): 481-486
Engineering Journal of Wuhan University, 2016, 49(4): 481-486
http://dx.doi.org/10.14188/j.1671-8844.2016-04-001

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收稿日期: 2015-05-11
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张平, 夏军, 邹磊, 黄金凤. 基于物理水文模型的不确定性分析[J]. 武汉大学学报(工学版), 2016, 49(4): 481-486.
HANG Ping, XIA Jun, ZOU Lei, HUANG Jinfeng. Uncertainty analysis of geological models based on physical hydrological model[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2016, 49(4): 481-486.
基于物理水文模型的不确定性分析
张平1,2, 夏军1,2, 邹磊1,2, 黄金凤1,2     
1. 武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉 430072;
 2. 武汉大学水资源安全保障湖北省协同创新中心，湖北 武汉 430072
收稿日期: 2015-05-11
作者简介: 张平（1990-），女，硕士研究生，研究方向为变化环境下的水系统研究，E-mail:：2014202060016@whu.edu.cn.
通讯作者: 夏军（1954-），男，博士，教授，博士生导师，中国科学院院士，研究方向为现代水文学，E-mail：xiaj@igsnrr.ac.cn
基金项目: 国家自然科学基金(编号：51279140)；中央高校基本科研业务费专项资金（编号：2042014kf1012,2042014kf0033）；国家“十二五”水专项淮河课题（编号：2014ZX07204-006）.
摘要: 基于物理基础的水文模型预测精度受不确定性影响显著，分析这些不确定性因素对模型预测精度的提高十分必要.目前对于水文模型不确定性研究比较成熟，众多专家已经提出了模型不确定分析的框架，同时设计了一些模型优化算法，但较为缺乏针对模型结构不确定性研究的系统内容.通过选择具有物理基础的水文模型——HYDRUS，分别开展模型参数和结构的不确定性研究.结果表明，详实的观测信息是模型选择不可缺少的；不同时间点的模型信息对模型的确定更为有用；在选择模型时，应充分了解真实结构信息，减少因模型结构误差所带来的模型预测不确定性.在目标函数的选择上，也应充分考虑模型结构的不确定性.要减少模型不确定性，必须加强对模型参数和结构的认识.
关键词： 模型不确定性     水力参数     参数反演    
Uncertainty analysis of geological models based on physical hydrological model
HANG Ping1,2, XIA Jun1,2, ZOU Lei1,2, HUANG Jinfeng1,2     
1. State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China;
 2. Hubei Collaborative Innovation Center for Water Resources Security, Wuhan University, Wuhan 430072, China
Abstract: The uncertainty of the model has a significant effect on model prediction, so to improve the model prediction accuracy analysis of these uncertainties is necessary. The uncertainty studies of the physical model is relatively mature, some experts have proposed a framework for model uncertainty analysis and design optimization of some models. Recent study of the parameters uncertainty for the model is relatively mature. While the study of model structure uncertainty is relatively rare. So this paper presents research of parameters uncertainty, model structure by selecting the hydrological model-HYDRUS model which has a physical basis. The results show that sufficient observation information is indispensable for true model selection; the model information of the different time points is more useful. When selecting the model, we should fully understand the real structure information of model to reduce errors caused by the structure uncertainty. On the choice of the objective function we should also fully consider the uncertainty due to model structure. To reduce the model uncertainty, we must strengthen the understanding of structure and parameters of the model.
Key words: model uncertainty     hydraulic parameters     parameter inversion    

水资源是人们社会经济发展不可缺少的一部分，对水资源保护的研究特别是地下水数值模拟方面越来越受到人们的重视，但是由于自然过程的复杂、人们采集数据的误差及模型分析方法选择的不同导致最终模拟出来的效果与实际并不相同，优化模型成为人们孜孜不倦追求的目标.水文模型的不确定性主要来源于3个方面：模型参数的不确定性、模型结构不确定性、模型输入的不确定性.

目前针对水文模型不确定性的研究主要有以下几种方法.

马尔柯夫链蒙特卡洛方法(MCMC)广泛应用于复杂、高维概率分布的试验函数评估中，尤其是贝叶斯统计和统计物理[1]中，陈昌君等用MCMC、蒙托卡罗和拉丁超立方体3种方法分析了水箱模型输出的不确定性，得出MCMC方法能得出较为合理的结果，但是却需要较多的模拟次数，不适合复杂的模型[2].

蒙特卡洛(Monte Carlo)是通过模拟随机变量来解决数学问题的一种非确定性数值方法[3].束龙仓等[4] 用蒙特卡洛方法对山东省济宁市地下水开采量进行风险分析，可使地下水开采决策失误减小到最低.陈彦等[5]利用随机场生成技术和蒙特卡洛模拟探讨了含水层渗透系数空间变异性对地下水溶质运移数值模拟的影响.

广义似然不确定性估计(Generalized likelihood uncertainty estimation,GLUE)是一种集合预报方法，它认为模型模拟结果好与差不取决于模型的单个参数，而是模型参数的组合[6].Salazar 等[7]于 2010 年用GLUE 分析Arc Hydro-DRAINMOD 模型模拟瑞典东南部沿海流域入海流量时的不确定性，结果表明：只要能找到合适的似然函数，GLUE 方法也可以用于无资料地区的水文系统模拟.

贝叶斯(Bayes)理论将模型参数的先验信息和后验信息联系起来，使得模拟过程既能充分利用数据所隐含的信息，又能与实际经验结合起来，减少了参数识别方法的预测风险[8].

前人用这些方法研究模型不确定性的来源并应用到实践中以减少预测不确定性，更有对各方法优劣的研究，但却没有定量的把参数和结构不确定性对模型模拟结果的影响分开讨论，并提出可操作性改善方法，也没有对模型结构不确定性具体影响在模型预测的哪些步骤给出明确的表述.因此，基于HYDRUS模型，分开研究了土壤水运动过程中，先验的模型参数及结构对模型选择的影响，结果表明充足的观测信息是模型选择不可缺少的，模型结构的不确定性对模型选择的影响不可忽略，同时应注意不同时间点的观测信息对模型的选择更有用.文中设置了8种不同先验结构及反演初始参数信息，针对性地对模型结构及参数分开讨论，对结构与参数不确定性影响模型选择哪一个环节，有了更进一步的认识，并对以后模型目标函数及模型输入信息的选择提出建议.

1 研究区域与方法 1.1 研究区域及数据

用HYDRUS进行地下水模拟的初始参数及结构信息来源于武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室灌溉排水综合实验场中8、9、10、18等编号的蒸渗仪数据[9]，实验区域是标准立方体，四周用钢板与外界隔绝，且作物和灌水在平面上是均匀的，所以可以假设水流和溶质运移是一维的垂向运动，将模拟区域简化成二维剖面.选取模拟区域为宽0.1 m、深3.0 m的垂直土壤剖面，根据实验环境，上边界采用大气边界，下边界为自由排水边界.重点用到10号坑各层土壤特性数据，及8、9、18的土层结构信息，土壤特性参数及其范围见表 1.

表 1 土壤特性参数及其范围 Table 1 Soil parameters
坑号土层深度/mθγθαa/m-1nKs/(m·d-1)
100~0.20.0950.411.921.410.55
0.2~30.10.391.51.320.4
90~30.0950.3951.91.320.54
80~0.20.0340.461.61.370.6
0.2~20.10.391.71.230.4
2~30.0680.380.81.090.2
180~1.50.0670.4521.410.6
1.5~30.0950.451.91.310.01
表选项
1.2 研究方法 1.2.1 HYDRUS模型

HYDRUS模型是由美国国家盐改中心于1991年研制成功的一个数值模型[10]，它可用来模拟土壤水流及溶质二维运动的有限元计算机模型.该模型的水流状态为二维或轴对称三维等温饱和-非饱和达西水流，忽略空气对土壤水流运动的影响，水流控制方程采用修改过的Richards方程，即嵌入汇源项以考虑作物根系吸水.程序可以灵活处理各类水流边界.它是通过交互图形界面进行数据的预处理、土壤剖面的离散化和图形化结果的模型[11].

同时HYDRUS也提供了进行参数反演的模型，即通过输入观测值来反推出模型参数的一种模型.这些观测值可以是不同时刻不同深度的水头信息或氮浓度信息.

经过广泛研究，HYDRUS模型得到了普遍的认可，汤英[12]等应用该软件模拟了土壤含水量随入渗时间的变化过程，模拟效果良好.孟江丽等[13]利用HYDRUS数值模型分析了灌溉水量对土壤盐分分布的影响，为农业操作提供依据.李亮[14]通过HYDRUS率定和检验进行模型的模拟研究，结果显示模型模拟值和实测值拟合较好.曹巧红等[15]运用HYDRUS模型模拟了冬小麦农田水分氮素运移转化过程，为优化水肥管理措施提供依据.

基于此，本文也运用了模拟结果可靠的HYDRUS模型模拟土壤水分运动.文中用实际条件下武汉大学科学重点实验室10号坑蒸渗仪的边界条件及降雨情况设置模型的输入，记录实验开始到结束213 d的水头模拟情况并分别进行不同参数反演模拟.

1.2.2 参数反演

真实模型采用2层土壤结构的蒸渗仪(10号坑)边界条件及观测数据进行水流运动模拟，并记录模拟得出的213 d不同时刻、不同深度的水头值信息，再用这些水头信息进行参数反演模拟.在实际反演模拟过程中，选用了4种水头信息，具体见表 2所示.

表 2 4种水头信息 Table 2 Four kinds of head information
1234
时间水头/m 时间水头/m 时间水头/m 时间水头/m
第50、100、150、213 d 0.1、0.3、
0.5、0.7、
0.9、1.1、
1.3、1.5		 第50、65、72、100、128、132、150、170、175、200、213 d 0.5、1、1.5 第50、65、72、100、128、132、150、170、175、200、213 d 0.1、0.3、
0.5、0.7、
0.9、1.1、
1.3、1.5		 第50、100、150、213 d 0.5、1、1.5
表选项

最后通过分析反演水力参数及反演预测水头与真实值的误差分析模型结构、模型预测目标函数、模型反演初始水力参数设置对模型选择的影响.反演初始参数及结构设置如表 3所示.

表 3 反演初始参数及结构设置 Table 3 The initial setting of inversion parameters and structure
反演土层深度/m土层结构初始参数取值
反演10~0.210号坑土层结构10号坑第1层参数
0.2~310号坑土层结构10号坑第2层参数
反演20~0.29号坑参数
0.2~3
反演30~39号坑土层结构10号坑第2层参数
反演40.2~28号坑土层结构8号坑第1层参数
0~0.28号坑第2层参数
2~38号坑第3层参数
反演50.~0.2 10号坑第2层参数
0.2~2
2~3
反演60~1.518号坑土层结构18号坑第1层参数
1.5~318号坑第2层参数
反演70~1.59号坑参数
1.5~3
表选项
1.2.3 模型不确定性评价指标

通过比较不同的土层结构，不同输入水头数据对反演输出SSQ，AIC，BIC的影响，来判定它们的重要性.

1) 其中SSQ为在参数优化过程中目标函数Φ的最小值.当目标函数最小时，参数最优.

目标函数：

$\begin{align} & \Phi \left( b,q,p \right)=\sum\limits_{j=1}^{{{m}_{q}}}{{{v}_{j}}~\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{q,j}}}{{{w}_{i,j}}}}{{[{{q}^{*}}_{j}(x,{{t}_{i}})-{{q}_{j}}(x,{{t}_{i}},b)]}^{2}}+ \\ & \sum\limits_{j=1}^{{{m}_{q}}}{{{{\bar{v}}}_{j}}~\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{q,j}}}{{{{\bar{w}}}_{i,j}}}}{{[{{q}^{*}}_{j}({{\theta }_{i}})-{{p}_{j}}({{\theta }_{i}},b)]}^{2}}+\text{ }\sum\limits_{j=1}^{{{n}_{b}}}{{{{\hat{v}}}_{j}}~}{{[{{b}^{*}}_{j}-{{b}_{j}}]}^{2}} \\ \end{align}$    (1)

右侧第1项代表空间时间变量(即水头值)实测值与计算值之间的P偏差，第2项代表独立测量和预测的土壤水分运动参数之间的偏差，最后1项代表先验土壤特性参数的罚函数.

2) 赤池信息量准则AIC：

$\text{AIC}=\lg (\text{ESS}/n)+2\times k/n$    (2)

3) 贝叶斯信息准则BIC：

$\text{BIC}=\lg (\text{ESS}/n)+\lg (n)\times k/n~$    (3)

式中：ESS为真实数据与模拟数据的残差平方和；n为观测数据数目；k为模型参数个数.

4) MATLAB中做方差分析的anova1(X)用于单因子方差分析，当返回P值越接近0，说明所考虑的因素对观测值存在显著影响.当P>0.05时，则认为此因素对观测值没有显著影响.anova2(X,steps)用于双因子方差分析，通过比较输出行列的P值判断2个因素是否对观测数据有影响，哪个的影响更显著.

2 结果

4种水头输入，每个坑反演参数值及误差计算如下.

2.1 不同输入水头反演误差分析

第1种输入水头即第50、100、150、213 d 0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.1、1.3、1.5 m水头输入，7种先验结构输入，反演结果输出水头值与真实值误差如表 4所示.

表 4 第1种输入水头值数据反演输出误差 Table 4 Inversion output error of the first head value
坑号反演SSQAICBICR
1011.7771.000
21.7771.301.140.999
931.7770.730.650.997
841.7770.660.430.996
51.7771.351.120.997
1861.7771.901.750.804
71.7771.040.890.997
表选项

反演1:作为参数初始值及土层结构与真实值相同的反演模型，它的反演结果与真实值相同.反演2、3、5、7(2、3、5、7设置的不同层初始参数值相同，土层结构不同)反演的参数值每一层相同.其中反演3、5、7的反演参数值相同，而与原土层结构相同的反演2却与其他3种反演参数不同.以反演参数AIC、BIC误差值作为反演评价标准时，除效果最好的反演1外，反演4反演误差最小.而初始值和结构为18号坑真实参数及结构的反演6反演误差最大,倾向于选择与真实结构不同的反演4.比较反演输出水头值与输入水头值的相关系数，反演1相关系数最大为1；反演2(结构与真实值相同)的相关系数次大，接下来是反演3、5、7(结构不同，每层参数初始值设置相同).最差的是反演6(结构和初始值为18号坑的真实参数与初始值)，仅为0.804.表明先验结构与真实结构相同的反演参数预测水头信息越准确，结构和初始值与真实情况没有关系的水头预测越差.

第2种输入水头即第50、65、72、100、128、132、150、170、175、200、213 d 0.5、1、1.5 m，7种先验结构输入，反演结果输出水头值与真实值误差如表 5所示.

表 5 第2种输入水头值反演输出误差 Table 5 Inversion output error of the second head value
坑号反演SSQAICBICR
1017.3031.000
27.303-0.57-0.720.999
937.303-1.18-1.260.997
847.3030.400.170.996
57.303-0.56-0.790.997
1867.3030.980.830.804
77.303-0.87-1.020.997
表选项

反演1的反演结果与真实值相同，反演2、3、5、7反演参数值每一层相同.其中反演3、5、7的反演参数值相同，而与原土层结构相同的反演2却与其他3种反演参数不同.比较反演结果参数AIC、BIC误差值，除效果最好的反演1外，作为单层土壤结构的反演3反演误差最小.而初始值和结构为18号坑真实参数及结构的反演6反演误差最大,倾向于选择与真实结构不同的反演3.分析反演输出水头值与输入水头值的相关系数，反演1相关系数最大为1，其次是反演2的相关系数次大，接下来是反演3、5、7，最差的是反演6.结构与真实结构相同的反演参数预测水头信息越准确.

第3种输入水头即第50、65、72、100、128、132、150、170、175、200、213天0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.1、1.3、1.5 m，7种先验结构输入，反演结果输出水头值与真实值误差如表 6所示.

表 6 第3种输入水头值反演输出误差 Table 6 Inversion output error of the third head value
坑号反演SSQAICBICR
10 11.1081.000
21.1080.650.650.999
931.1081.211.200.997
841.1082.382.370.996
51.1081.431.420.997
1861.1082.762.760.804
71.1081.321.310.997
表选项

反演1的反演结果与真实值相同.反演2、3、5、7反演参数值每一层相同.其中反演3、5、7的反演参数值相同，而与原土层结构相同的反演2却与其他3种反演参数不同.比较反演结果参数AIC、BIC误差值，除效果最好的反演1外反演2反演误差最小.而初始值和结构为18号坑真实参数及结构的反演6反演误差最大,倾向于选择与真实结构相同的反演2.通过分析反演输出水头值与输入水头值的相关系数，反演1相关系数最大为1，其次是反演2，接下来是反演3、5、7，最差的是反演6.表明结构与真实结构相同的反演参数预测水头信息越准确，结构和初始值与真实情况没有关系的水头预测越差.

第1种输入水头即第50、100、150、213 d 0.5、1、1.5 m水头输入，7种先验结构输入，反演结果输出水头值与真实值误差如表 7所示.

表 7 第4种输入水头值反演输出误差 Table 7 Inversion output error of the fourth head value
坑号反演SSQAICBICR
10 112.400-0.86-0.870.998
212.400-0.98-0.990.999
9312.400-1.33-1.330.997
8412.400-0.20-0.210.996
512.400-1.31-1.320.999
18612.4000.570.560.804
712.400-1.22-1.220.997
表选项

与前3种水头信息输入反演结果不同的是第4种水头反演1与真实值并不相同，可能是因为输入的水头信息十分不足，出现极端情况.反演2、3、5、7反演参数值各层相同.其中反演3、5、7的反演参数值相同，反演2却与其他3种反演参数不同.比较反演结果参数AIC、BIC误差值，作为单层结构的反演3反演误差最小，反演6反演误差最大.当AIC、BIC作为模型参数及结构选择的评价指标时，倾向于选择与真实结构不同的反演3.分析反演输出水头值与输入水头值的相关系数，反演2、5的相关系数最大，最差的是反演6，仅为0.804.

2.2 不同输入水头数量及土层结构反演误差分析

综合分析不同种输入水头的反演误差：

1) 对比不同深度的水头信息和不同时刻的水头信息对参数反演误差SSQ影响，以确定减少SSQ的有效水头测量措施.运用Matlab中的双因素分析函数anova2(表 8).

表 8 反演参数误差SSQ的输入水头测量信息 Table 8 Inversion input parameter error SSQ of different head measurement information
测量信息SSQ
8个深度4个时刻1.777
3个深度 11个时刻 7.303
8个深度 11个时刻 1.108
3个深度 4个时刻 12.400
表选项

通过在Matlab中输入

X=[1.777,1.108;12.4,7.303]

P=anova2(X)

可以得到所要的结果(表 9).

表 9 误差SSQ方差分析输出anova table Table 9 The anova table of variance analysis of output error SSQ
SourceSsDfMsfProb>f
Columns 8.31 1 8.31 1.7 0.41
Rows 70.71 1 70.71 14.43 0.16
Error 4.90 1 4.90
Total 83.92 3
表选项

其中，Columns为深度信息；Rows为时间信息，输出分别为0.416 9、0.163 9，方差分析中，f值越小说明该因素对结果影响越大，以验证时间信息比深度信息对误差影响最大，即通过增加不同时间点对土壤剖面水头的测量比增加剖面不同深度节点水头信息的获取对减少误差SSQ进而减少反演参数模拟误差更有效.

2) 分析相同初始参数不同土层结构对反演参数误差AIC或者BIC的影响情况.

验证土层结构先验信息对模型最终确定的影响，及不同目标函数的选择对模型最终确定的影响，下面只对比2个目标函数AIC、BIC的变化.其中反演2、反演7均为2层土层结构但每层土层的深度不同；反演3为1层土层结构；反演5为3层土层结构.AIC、BIC计算结果如表 10所示.

表 10 不同结构、不同输入的反演参数误差值 Table 10 Inversion parameter error values of different structures and inputs
反演 层
1 2 3 4
反演21.30-0.570.65-0.98
AIC反演30.73-1.181.21-1.33
反演51.35-0.561.43-1.31
反演71.04-0.871.32-1.22
反演21.14-0.720.65-0.99
BIC反演30.65-1.261.2-1.33
反演51.12-0.791.42-1.32
反演70.89-1.021.31-1.22
表选项

通过单因素方差分析结果如表 11、12所示.

表 11 AIC方差分析出anova table Table 11 The anova table of variance analysis of AIC
SourceSsDfMsfProb>f
Columns 15.21 3 5.07 15.68 0.000 2
Error 3.88 12 0.32
Total 19.10 15
表选项
表 12 BIC方差分析出anova table Table 12 The anova table of variance analysis of BIC
SourceSsDfMsfProb>f
Columns 19.49 3 5.165 18.48 0.000 085 59
Error 3.35 12 0.279
Total 18.85 15
表选项

通过分析土层结构不同对反演参数误差的影响，发现AIC、BIC方差分析P值均小于0.05 ，土层结构不同对模型选择目标函数影响显著.不同先验土层结构信息将影响模型最终选择，同时看出BIC的f值更小，先验结构对模型最终选择影响更大，在选择BIC做目标函数时，应特别注意先验结构信息应尽量接近真实模型，减少因先验土层结构对模型选择带来的误差.

3 结论

水文模型不确定性来自于模型结构不确定性、模型参数不确定性、模型输入不确定性.实际观测信息及先验的模型结构确实会给模型预测精确度带来影响并影响最终模型的选择.

文中通过设置了一个理想模型模拟出不同时刻及深度的水头值，并通过7种先验结构4种观测水头值进行模型参数反演，结果发现输入的水头值越多，反演得到的参数值方差越小，极端情况下模型选择可能因为输入数据太少而出现错误，并且水头时间信息比深度信息更有效.先验的模型结构确实会给模型选择带来影响，用相同的模型优选目标函数来选择最优模型时，模型结构所带来的误差不可忽略.

因此在地下水水文模型模拟进行参数优选时，应该提供较多的时间点水头信息，从而使参数优选结果更接近真实情况.模型选择前充分了解真实情况，特别是真实的土层结构信息，针对不同的研究领域找出最适合的目标函数将是减少模型选择误差的有效手段.

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