武汉大学学报(工学版)   2016, Vol. 49 Issue (5): 791-795

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侯晓亮, 谭晓慧
HOU Xiaoliang, TAN Xiaohui
改进的一次二阶矩方法在基坑抗隆起稳定可靠度评价中的应用
Application of advanced first order second moment method to reliability assessment of basal heave stability for braced excavation
武汉大学学报(工学版), 2016, 49(5): 791-795
Engineering Journal of Wuhan University, 2016, 49(5): 791-795
http://dx.doi.org/10.14188/j.1671-8844.2016-05-025

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收稿日期: 2016-04-01
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侯晓亮, 谭晓慧. 改进的一次二阶矩方法在基坑抗隆起稳定可靠度评价中的应用[J]. 武汉大学学报(工学版), 2016, 49(5): 791-795.
HOU Xiaoliang, TAN Xiaohui. Application of advanced first order second moment method to reliability assessment of basal heave stability for braced excavation[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2016, 49(5): 791-795.
改进的一次二阶矩方法在基坑抗隆起稳定可靠度评价中的应用
侯晓亮, 谭晓慧     
合肥工业大学资源与环境工程学院，安徽 合肥 230009
收稿日期: 2016-04-01
作者简介: 侯晓亮(1978-)，男，硕士，讲师，主要从事岩土工程领域的教学与科研工作，E-mail：xlhou@hfut.edu.cn.
基金项目: 安徽省自然科学基金项目(编号：JZ2015AKZR0045)；合肥工业大学青年教师创新基金资助项目(编号：2012HGQC0025).
摘要: 评价抗隆起稳定性是软土基坑支护设计中一项重要工作.传统的安全系数法无法考虑到岩土参数不确定性对抗隆起稳定的影响，为此基于可靠度理论，以土体参数γ、c、φ为随机变量，利用改进的一次二阶矩法计算软土基坑抗隆起稳定可靠性指标.通过基坑工程实例，分别采用可靠度和安全系数法评价了基坑抗隆起稳定性，分析了土性指标的均值和变异性对基坑抗隆起稳定可靠指标的影响.结果表明，采用改进的一次二阶矩可靠度计算方法评价基坑抗隆起稳定性具有科学性和合理性，基坑抗隆起稳定可靠指标β对参数均值变化的敏感性明显大于安全系数Fs.土性指标φ的变异性对基坑抗隆起稳定可靠指标β的影响最大，c的变异性影响次之，γ的变异性对β的影响最小.
关键词： 深基坑     支护     抗隆起稳定性     可靠度     安全系数    
Application of advanced first order second moment method to reliability assessment of basal heave stability for braced excavation
HOU Xiaoliang, TAN Xiaohui     
School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China
Abstract: Evaluation of basal heave stability is important in the design of braced excavation in clay. The traditional safety factor method can not take into account the influence of the uncertainties about the geotechnical parameters to the basal heave stability. Based on the reliability theory, the advanced first order second moment method (AFOSM) is proposed to calculate the reliability index of basal heave stability considering the soil parameters γ, c, φ as random variables. This paper analyzes the basal heave stability using the reliability analysis method and the safety factor method by case studies. The influence of the mean value and the variability of soil parameters on the reliability index β of basal heave stability are also studied. The results show that the advanced first order second moment method is scientific and reasonable. The sensitivity of the mean value of design parameters that affected the reliability index β is much more than those affected the safety factor Fs. The effect of the variability of soil parameters φ, c, γ on the reliability index of basal heave stability ranked decreasingly.
Key words: deep excavation     bracing     basal heave stability     reliability     safety factor    

软土具有很低的抗剪强度，对变形非常敏感，在沿海软土深基坑工程中最容易引发过大的坑底隆起变形或隆起破坏，基坑底部抗隆起稳定验算是软土地区深基坑工程设计中的一项重要内容.因此正确评价软土深基坑抗隆起稳定性对软土地区深基坑工程施工安全具有重要意义.

目前软土深基坑抗隆起稳定性分析方法大多是基于极限平衡理论[1-3]，采用抗力效应与荷载效应的比值作为抗隆起稳定安全系数Fs来评价深基坑底部隆起变形的稳定与否，即Fs>1基坑抗隆起稳定，Fs<1基坑隆起破坏.在计算基坑抗隆起稳定安全系数时，常把相关土性参数(如c、φ、γ)视为是固定不变的值.而实际上土体在其漫长的形成过程中，经历了许多自然和人为因素的作用，性质十分复杂，是一种变异性很大的工程材料[4]，因此安全系数值本身也具有随机性和不确定性，并不能真正反映出基坑隆起变形的稳定与安全程度，有时甚至会出现计算得到的抗隆起安全系数Fs>1但基坑仍然发生隆起破坏的事故.基于此，在抗隆起稳定性设计中有必要考虑采用可靠度设计方法来消除土性参数不确定性的影响，以便对基坑抗隆起稳定性的评价更科学、合理.

本文采用改进一次二阶矩可靠度计算方法来研究软土基坑抗隆起稳定问题，考虑了土性参数γ、c、φ的随机性，用可靠指标β来度量基坑抗隆起破坏的稳定可靠程度，通过工程实例来验证该方法的可行性，并分析了设计参数均值的变化对基坑抗隆起稳定安全系数Fs以及可靠度指标β的影响.也分析了土性参数γ、c、φ的内在变异性对基坑抗隆起稳定可靠度指标β的影响.

1 基坑抗隆起稳定安全系数Fs

基坑开挖活动会破坏天然土体的原始应力平衡状态，使得土体中的应力重新分布，当地基土和地面超载在基坑底部产生的垂直荷载超过了基底以下土体的承受极限时，就会导致基坑底部土体的隆起和坑壁的坍塌，这就是基坑隆起破坏的力学机制.目前在我国基坑工程实践中，基于地基承载力模式的基坑抗隆起稳定分析是常用的一种方法[5]，这种方法以验算支护墙体地面的地基承载力作为抗隆起分析依据.地基承载力模式的抗隆起稳定安全系数由下式来计算：

${{F}_{s}}=\frac{{{\gamma }_{2}}D{{N}_{q}}+c{{N}_{c}}}{{{\gamma }_{1}}(H+D)+q}$    (1)

式中： Nc、Nq为地基承载力系数，如果按基底光滑情况处理，则Nc、Nq采用Prandtl公式计算：

$\begin{align} & {{N}_{q}}={{e}^{\pi tg\phi }}t{{g}^{2}}(\pi /4+\phi /2) \\ & {{N}_{c}}=({{N}_{q}}-1)/tg\phi \\ \end{align}$

如果按基底粗糙情况处理，则Nc、Nq采用Terzaghi公式计算：

$\begin{align} & {{N}_{q}}=\frac{1}{2}{{[\frac{{{e}^{(\frac{3}{4}\pi -\frac{\phi }{2})tg\phi }}}{\cos (\pi /4+\phi /2)}]}^{2}} \\ & {{N}_{c}}=({{N}_{q}}-1)/tg\phi \\ \end{align}$

γ1为基坑外侧支护结构底部至地面之间土层的加权重度，kN/m3；γ2为基坑内侧支护结构底部至坑底之间土体的加权重度，kN/m3；H为基坑开挖深度，m；D为支护结构嵌入深度，m；c为支护结构底部滑裂面深度内土的加权黏聚力，kPa；φ为支护结构底部滑裂面深度内土的加权摩擦角；q为支护结构底部抗隆起验算地面超载折算值，kPa；Fs为抗隆起稳定性系数.详见图 1所示.

图 1 地基承载力模式抗隆起分析 Figure 1 Basal heave stability analysis of ultimate capacity method
图选项

上述计算基坑抗隆起稳定安全系数的方法实质上是在工程设计中给予一定的安全储备，属于确定性设计方法，也是一种经验设计方法，其设计结果的可靠性与经济性既依赖于现有工程设计规范的合理性，也取决于设计人员的实践经验，并且也无法考虑到设计参数所固有的不确定性的影响.而采用基于结构可靠度理论的概率分析方法，将分析中的不确定性因素视为服从某种概率分布的随机变量，通过失效概率或稳定性概率来评价结构稳定的安全程度，能够真实反映结构的安全状态，是一种可以替代传统安全系数法的有效分析方法.

2 改进的一次二阶矩法(AFOSM)可靠度分析原理

常用的可靠度计算方法有统计矩(Rosen blueth)法、蒙特卡罗 ( Monte Carlo) 法和一次二阶矩法等.蒙特卡罗的计算精度受模拟次数的影响较大，工作量大；统计矩法虽然数学上比较简单,但分析精度上不如一次二阶矩法；一次二阶矩法基本原理是在随机变量分布不明确的情况下，将功能函数在某点用泰勒级数展开，取一次项(即线性化)，利用随机变量的均值和标准差(即前二阶矩)来求解可靠度指标.1974年Hasofer和Lind对可靠指标进行了科学定义，在引入验算点概念的基础上对一次二阶矩计算方法进行了改进.假设结构功能函数g(xi)为非线性函数，其中随机变量xi为相互独立且正态分布的基本变量.对功能函数g(xi)进行线性化，线性化点选在设计验算点P1*(x*,…,xn*)，其功能函数的极限状态方程为

$Z\approx g\left( \text{x}_{1}^{\text{*}},\cdots ,\text{x}_{n}^{*} \right)+{{\left. \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial g}{\partial {{x}_{i}}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}({{x}_{i}}-x_{i}^{*})=0$

功能函数Z的均值为

${{\mu }_{z}}=g(\text{x}_{1}^{*},\cdots ,\text{x}_{\text{n}}^{\text{*}})+{{\left. \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}({{\mu }_{{{\text{x}}_{i}}}}-\text{x}_{i}^{*})$

功能函数Z的标准方差为

${{\sigma }_{Z}}={{\left[ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{\left. \frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}{{\sigma }_{{{\text{x}}_{i}}}})}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}$

根据结构可靠指标β的定义，有

$\beta =\frac{{{\mu }_{z}}}{{{\sigma }_{z}}}=\frac{g(x_{1}^{*},\cdots ,x_{n}^{*})+{{\left. \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}({{\mu }_{{{\text{x}}_{i}}}}-\text{x}_{i}^{*})}{{{\left[ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{\left. \frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}{{\sigma }_{{{\text{x}}_{i}}}})}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}}$    (2)

设计验算点的坐标为

$P_{i}^{*}={{\mu }_{{{\text{x}}_{i}}}}+\cos {{\theta }_{{{\text{x}}_{i}}}}\beta {{\sigma }_{{{\text{x}}_{i}}}}$    (3)
$\cos {{\theta }_{{{\text{x}}_{i}}}}=\frac{-{{\left. \frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}} \right|}_{{{P}^{8}}}}{{\sigma }_{{{\text{x}}_{i}}}}}{{{\left[ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{\left. \frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{\text{i}}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}{{\sigma }_{{{\text{x}}_{i}}}})}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}}$    (4)

由于设计验算点就在失效边界上，故有g(x1*，…，xn*)=0，因此，μz变成：

${{\mu }_{z}}={{\left. \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}({{\mu }_{{{\text{x}}_{i}}}}-\text{x}_{i}^{*})$    (5)

可靠指标可表示为

$\beta =\frac{{{\mu }_{z}}}{{{\sigma }_{z}}}=\frac{{{\left. \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}({{\mu }_{{{\text{x}}_{i}}}}-\text{x}_{i}^{*})}{{{\left[ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{\left. \frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}{{\sigma }_{{{\text{x}}_{i}}}})}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}}$    (6)

在由式(6)求解β之前，P1*的坐标未知，故β的计算只能采用迭代法，在迭代求解的过程中，因P*为假设值，故不能满足g(x*，…，xn*)=0的要求，因此，在迭代求解过程中应按式(2)求β.

验算点法求解可靠指标的具体计算步骤如下：

1) 选取设计验算点Pi*为中心点，即坐标的初值x*=μxi；

2) 由式(4)计算cosθxi的值，其中包括根据P*的坐标计算${{\left. \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial g}{\partial {{\text{x}}_{i}}}} \right|}_{{{P}^{*}}}}$的值；

3) 由式(2)计算β；

4) 由式(3)求出新的坐标点Pi*；

5) 以新的坐标点代替步骤(1)中的Pi*，重复步骤(2)~(4)，前后两次算出的β值之差小于允许误差，即可认为得到满足要求的可靠指标β.

3 实例分析

根据式(1)，基坑坑底抗隆起稳定的极限状态函数可以表示为

$g(R,S)=({{\gamma }_{2}}D{{N}_{q}}+c{{N}_{c}})-[{{\gamma }_{1}}(H+D)+q]$

已知某基坑工程开挖深度H=12 m，周边地面无超载，即q=0 kPa，支护形式采用地下连续墙+混凝土支撑支护，地连墙入土深度D=6 m，地层情况如表 1所示.

表 1 土层参数 Table 1 Parameters of soil layer
重度γ/(kN·m-3)黏聚力c/kPa内摩擦角φ/(°)
平均值标准差平均值标准差平均值标准差
17.70.3820.65.610.02.9
表选项

本文按照Prandtl公式确定Nq和Nc，利用式(1)计算得到基坑抗隆起稳定安全系数Fs，将土性指标γ、c、φ视为独立正态分布的随机变量，利用在应用代数、数理统计方面具有卓越功能的Matlab软件，编制相应的验算点法可靠度分析计算程序来获得基坑抗隆起稳定的可靠指标β和破坏概率Pf，结果如表 2所示.

表 2 基坑抗隆起稳定性分析结果 Table 2 Results of the basal heave stability for braced excavation
安全系数Fs可靠指标β破坏概率Pf
Prandtl1.3631.2520.105 2
表选项

由表 2可知，计算得到的基坑抗隆起稳定安全系数Fs =1.363>1.1，满足抗隆起稳定要求，计算得到的基坑抗隆起稳定可靠指标β2=1.252，基坑隆起破坏概率Pf =0.1052.对于基坑抗隆起失稳的概率标准目前尚无明确规定，高大钊[6]曾提出在计算地基承载力时目标可靠度β0可取为0.95，计算变形时目标可靠度β0可取为0.85，参考这一标准，本文基坑发生隆起破坏的概率属于小概率事件，因此可认为该基坑抗隆起稳定性达到要求.

4 基坑抗隆起稳定可靠指标β的影响分析 4.1 土性参数均值对抗隆起稳定可靠指标β的影响

因为基坑的几何尺寸(如开挖深度H、入土深度D、地面超载量q等)一般可以事先确定，其变异性较小，可以视为常量.本文仅考虑土性指标作为随机变量对基坑抗隆起稳定安全系数Fs和可靠度指标β的影响.分别改变设计参数γ、c、φ的均值，采用式(1)和改进的一次二阶矩法分别计算得到基坑抗隆起稳定安全系数Fs和可靠指标β，并得到如图 2所示的规律.

图 2 计算参数的均值与抗隆起稳定安全系数Fs、可靠指标β的关系曲线 Figure 2 Relation curves between parameters and Fs,β
图选项

由图 2可知，在其他计算参数不变的情况下，基坑抗隆起稳定性的安全系数Fs、可靠指标β与土体重度均值μγ和黏聚力均值μc均有明显的线性关系，Fs、β随着μγ的增大线性递减，随着μc的增大而线性递增.μγ、μc～Fs曲线均要比μγ、μc～β曲线平缓，说明基坑抗隆起稳定性的可靠指标β对土体重度均值μγ和黏聚力均值μc的变化比安全系数Fs敏感.

由图 2(c)可知，随着土体内摩擦角均值μφ的增大，可靠指标β与其具有明显的对数型递增关系，而安全系数Fs则与μφ具有明显的指数型递增关系.当μφ≤15°时，抗隆起稳定可靠指标β对μφ的变化更敏感，而当μφ＞15°时，抗隆起稳定安全系数Fs对μφ的变化更敏感.

4.2 土性指标变异性对基坑抗隆起稳定可靠指标β的影响

已有研究表明，土体抗剪强度参数c、φ的变异系数为0.1~0.5[7]，为了分析土性指标的变异性对可靠指标的影响，以Prandtl公式为例，分别改变γ、c、φ的变异系数，其余皆不变，采用改进的一次二阶矩法计算可得到不同的基坑抗隆起稳定可靠指标β，并得到如图 3所示的规律.

图 3 土性参数变异系数δ与可靠指标β关系曲线 Figure 3 Relationships between coefficients of variation of soil parameters δ and β
图选项

由图 3中的曲线形式可知，基坑抗隆起稳定性随着土性参数指标变异性的增大而减小，其中土体重度γ变异系数与可靠指标β的关系曲线最为平缓，说明其对基坑抗隆起稳定性的影响较小，而内摩擦角φ的变异系数与可靠指标β的关系曲线最陡，说明基坑抗隆起稳定性对内摩擦角φ的变异性最为敏感，内聚力c变异性对基坑抗隆起稳定的影响次之.而传统的安全系数法则无法考虑到土性参数变异性的影响，这导致采用不同计算方法将得到不同的抗隆起稳定结果.以本文中的工程为例，如果土体内摩擦角的变异系数δφ＝0.45，其均值μφ和其他参数的均值与标准差同表 1，由安全系数法得到的抗隆起稳定安全系数Fs=1.363，大于规范要求的Fs>1.1，是稳定的，而由改进的一次二阶矩法计算得到的抗隆起稳定可靠指标β＝0.8703，发生隆起破坏的概率为Pf=19.21%.这表明虽然由土性参数指标的均值利用确定性的安全系数法得到的抗隆起稳定安全系数恒大于1、基坑抗隆起稳定的结论，但是由于土性参数指标存在有随机性，还是有可能引发基坑隆起破坏事故的发生.

5 结论

1) 在深基坑抗隆起稳定分析中采用改进的一次二阶矩(AFOSM)可靠度计算方法，能够考虑到土性参数固有的不确定性对抗隆起稳定性的影响，是对传统安全系数的完善；文中实例基坑的隆起破坏的失效概率属于小概率事件，因此可认为该基坑是稳定的.

2) 在基坑抗隆起稳定性分析中，土性参数指标的均值μγ、μc、μφ(μφ≤15°)的变化对可靠度指标β的影响明显大于对安全系数Fs的影响.

3) 土性指标中内摩擦角的变异性对基坑抗隆起稳定的影响最为显著，黏聚力c变异性的影响次之，土体重度的变异性对基坑抗隆起稳定的影响不明显.

4) 由于安全系数法对计算参数均值变化的敏感性弱于可靠度指标β，并且无法考虑参数内在变异性的影响.因此，在实际的基坑工程设计评价时，应该将确定性分析结果与可靠度分析结果相结合进行综合判断.

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